Ganit Rahasya

Author(s): Dhirajlal Tokarshi Shah
Publisher: Pragna Prakashan Mandir
Catalog link: https://jainqq.org/explore/005357/1

Page #1

ILITIC
હચ
+
T
મ
ર
ક
,
કે
હ
બ
જ
જat t*
i
( T IિLE GIiE I[! - ||
EDIES Tી ='TE Wain Educationa international
લેખકઃ-શતાવધાની પંડિત ate Use Only Gil EP 2 Mwishehrkry op 11€

Page #2

-
-
-
,
--
-
40,
-
*
:
૧૮...
-
-
- -
r
-અંક દુગરીના અભત પ્રયોગો - અંક ચમત્કૃતિ,કોયડાઓ વગે૨ે – s શતાવધાની પંદપ્રીધીરજલાલ શe

Page #3

પ્રકાશક : નરેન્દ્રકુમાર ડી. શાહ, વ્યવસ્થાપક : પ્રજ્ઞા પ્રકાશન મંદિર, લધાભાઈ ગુણપત બીલ્ડીંગ, ચીંચબંદર, મુંબઈ-૯
આવૃત્તિ પહેલી : જૂન ૧૯૬૬ આવૃત્તિ બીજી : નવેમ્બર ૧૯૬૬
મૂલ્ય રૂપિયા પાંચ આ પુસ્તકના સર્વ હક્ક લેખકને સ્વાધીન છે.
મુદ્રક : કાંતિલાલ સોમાલાલ શાહ,
સાધના પ્રીન્ટરી, ઘીકાંટા રોડ, અમદાવાદ.

Page #4

વિષયાનુક્રમ
•••
છે.
જ
સમર્પણ ... ... ... ... ... ૫ પ્રકાશકીય ... પ્રકરણ વિષય
પૃષ્ઠસંખ્યા પહેલું આમુખ બીજું અંકસ્થાન ત્રીજું શૂન્યનું સામર્થ્ય ... ...
૧૭ ચોથું ગણિતની વિશિષ્ટ પ્રજ્ઞા ...
૨૫ પાંચમું મોટી સંખ્યાઓ યાદ રાખવાની રીત ... ... છઠું અંકસ્મૃતિને એક વિલક્ષણ પ્રવેગ ... સાતમું સંખ્યાને ચમત્કાર ... ... આઠમું એકી-બેકીના આકર્ષક પ્રયોગ ... નવમું સમરક સંખ્યાઓનો સરવાળો ... દશમું ત્રણ ક્રમિક સંખ્યાઓનું શોધન .. અગિયારમું અજ્ઞાત સંખ્યાઓનું જ્ઞાત સંખ્યામાં પરિણમન બારમું ઉત્તરની અચૂક આગાહી ... તેરમું હજાર વિકલ્પનો એક જ ઉત્તર ... ચૌદમું ધારેલે પ્રશ્ન કહેવાની રીત -. .. ૧૦૯ પંદરમું પ્રકીર્ણ પાંચ પ્રયોગ .. ••••••
૧૨૭

Page #5

કેયડાઓ
૨૪૪
વર્ગ પહેલો વર્ગ બીજે વર્ગ ત્રીજો ઉત્તરે
૧૫૬ ૧૭૧
૧૮ ૦.
થી
Serving jinshasan
:
125168. gyanmandir@kobatirth.org
-
-
-
- -
-
-

Page #6

Page #7

શ્રી લાલમહાદુર શાસ્ત્રી સાથેની એ ધન્ય પળ
શ્રી ધીરજલાલ શાહ તથા શ્રી રમણીકચંદ ઝવેરી તેમની સાથે મહત્ત્વના વિષય પર વાર્તાલાપ કરી રહ્યા છે. તા. ૯-૭-૬૫ દિલ્હી.

Page #8

માનવતાનું મહાશિખર
સર કરનાર
ભારતરત્ન
સ્વ. શ્રી લાલબહાદુર શાસ્ત્રીને સાદર સમર્પિત

Page #9

Page #10

પ્રકાશકીય
સને ૧૯૬૫ ના જાન્યુઆરી માસની ૧૭મી તારીખે સુંદરબાઈ હોલ (કવીન્સ રેડ, મુંબઈ) ખાતે મુંબઈના માનનીય મેયર ડે. બી. પી. દવગીની અધ્યક્ષતામાં યોજાયેલ ભવ્ય સમારોહમાં
ગણિત-ચમત્કાર” ગ્રંથ પ્રસિદ્ધ થયો અને તે વડોદરાના વિદ્યાપ્રેમી શ્રીમંત મહારાજા ફતેસિંહરાવ ગાયકવાડને સાદર સમર્પણ કરવામાં આવ્યો, ત્યારે ઉત્સાહનાં અનેરાં દૃશ્યો સજર્યા હતાં. આ સમારોહમાં મુંબઈના શેરીફ, જાણીતા મ્યુનિસિપલ કોર્પોરેટર તથા અન્ય આગેવાનોની હાજરી ધ્યાન ખેંચનારી હતી. એ વખતે શતાવધાની પંડિત શ્રી ધીરજલાલ શાહે ગણિતના જે પ્રયોગ કરી બતાવ્યા, તેણે પ્રેક્ષકોને અત્યંત આશ્ચર્ય મુગ્ધ કર્યા હતા. ,
ત્યારબાદ શ્રીમંત મહારાજ શ્રી ફત્તેસિંહરાવ ગાયકવાડે આ વિષયમાં ઊંડે રસ લીધો અને સુપ્રસિદ્ધ રાષ્ટ્રસેવક તથા ગણિતના મર્મજ્ઞ શ્રીમાન કે. કે. શાહે આ ગ્રંથને સેલ્લાસ સત્કાર કરી તેને વિતરણને વેગ આપવા માટે “મહારાજા સયાજીરાવ હીરક મહોત્સવ તથા સ્મારક નિધિ” તેમજ “મહારાજા ફત્તેસિંહરાવ ચેરીટી ટ્રસ્ટના ટ્રસ્ટી–બોર્ડને ખાસ ભલામણ કરી. પરિણામે આ બંને-ટ્રસ્ટના ટ્રસ્ટી મહાશયોએ આ ગ્રંથની અનુક્રમે ૫૦૦ તથા ૧૦૦ પ્રતિ પૂરાં મૂલ્ય ખરીદી, તેનું ગુજરાતના પુસ્તકાલયોને વિતરણ કર્યું, તેથી અમારા ઉત્સાહને વેગ મળ્યો અને ત્યારબાદ માત્ર દોઢ વર્ષના ગાળામાં જ અમે ગણિત-ચમત્કારની વિશિષ્ટ પુતિરૂપ આ
ગણિત-રહસ્ય નામનો ગ્રંથ પ્રકટ કરવા શક્તિમાન થયા. તે માટે અમે આ સર્વે મહાનુભાવોને અંતઃકરણથી આભાર માનીએ છીએ.

Page #11

શ્રીમાન કે. કે. શાહે પાતાના બહુમૂલ્ય સમયને ભેગ આપીને આ ગ્રંથની પ્રરતાવના લખી આપી, તે માટે તેમને ખાસ આભાર માનીએ છીએ
.
મુંબઈ નિવાસી શ્રીમાન શેઠ શ્રી માણેકલાલ ચુનીલાલ, શ્રીમાન્ રમણીકદ માતીચંદ ઝવેરી, શ્રીમાન્ લાલજી છગનભાઈ કાપડિયા વગેરેએ આ ગ્રંથના પ્રકાશનમાં ઘણો ઉત્સાહ બતાવ્યા છે, તે માટે તેમને અંતઃકરણથી આભાર માનીએ છીએ.
ભારતના બીજા પ્રતપ્રધાન સદ્ગત શાસ્ત્રીજીની વિદ્યામાનતામાં અમે શ્રી લાલમહાદુર શાસ્ત્રી ગૌરવગથ પ્રકટ કરવાની ભાવના ધરાવતા હતા અને તે અંગે કેટલીક તૈયારી પણ કરી હતી, પરંતુ તેઓશ્રીનુ તાશ્ક ંદ ખાતે એકાએક અવસાન થતાં અમારી એ ભાવના અમલમાં આવી શકી નહિ, એટલે આ ગ્રંથ તેમને સાદર સમર્પણ કરીને કૃતાંતા અનુભવીએ છીએ.
માત્ર ચાર માસના ગાળામાં પ્રથમ આવૃત્તિ ખલાસ થઈ જતાં આ બીજી આવૃત્તિ બહાર પાડવામાં આવી છે.
પ્રજ્ઞાના પ્રકાશન કરનારું સુંદર સાહિત્ય બહાર પાડવાની અમારી ભાવના છે અને તે અનુસાર યથાશક્તિ પ્રવૃત્તિ ચલાવી રહ્યા છીએ. અમને આશા છે કે બૃહદ્ ગુજરાતના ધીમાને। તથા શ્રીમાના અમારી આ પ્રવૃત્તિને યાગ્ય પ્રાત્સાહન આપતા રહેશે.
તા. ૧૦-૧૧-૬} ધનત્રયેાદશી, સ. ૨૦૨૨.
પ્રકાશક.

Page #12

તા. ૧૬-૧૦૬૬ ના રોજ અમદાવાદ ટાઉનહોલમાં સન્માનનીય શ્રી મેરારજી દેસાઈને ગણિત-સિદ્ધિ ગ્રંથ સમર્પણ કરવામાં આવ્યા, તે વખતનું દશ્ય. ગ્રંથલેખક શ્રી ધીરજલાલ શાહ તથા સ્વાગત પ્રમુખ શેઠશ્રી અરવિંદભાઈ નરોત્તમદાસ ગ્રંથ અર્પણ કરી રહ્યા છે.

Page #13

પ્રજ્ઞા – પ્રકાશન – મંદિર તરફથી શ્રી પ્રવીણચંદ્ર સી. શાહ શ્રીમાન કે. કે. શાહને પુષ્પહાર અર્પણ કરવા સાથે “ગણિત-ચમત્કાર” પુસ્તક ભેટ આપી રહ્યા છે. શ્રીમાન કે. કે. શાહ તેનો સહર્ષ સ્વીકાર કરે છે.

Page #14

પ્રસ્તાવના
લેખક : શ્રીમાન કે. કે. શાહ બી. એ., એએલ્ બી.
જ્યારે હું ખી. એ. માં ભણતા હતા અને ગણિતશાસ્ત્રના જુદા જુદા વિષયાનુ અધ્યયન કરતા હતા, ત્યારે કુતૂહલની દૃષ્ટિએ હિન્દુસ્તાનમાં એલજીબ્રા કે જ્યેામેટ્રી જેવા વિષયે હશે કે નહિ, એનું સ ંશાધન કરતા હતા. ધીરે ધીરે જેમ અભ્યાસ ઊડો થતા ગયેા, તેમ સમજાતું ગયું કે એલજીબ્રા ને જ્યેામેટ્રીને તદ્દન જુદા વિષયા તરીકે લેખવાનું હિન્દુસ્તાને એટલા માટે પસંદ નહાતુ કર્યું કે એની ખૂબીઓ જળવાઈ રહે અને રહસ્યની ગહનતાની છાપ કાયમ રહે.
એલજીબ્રા અને જ્યેામેટ્રી ગણિતના કેટલાક પ્રશ્નોને તાત્કાલિક સરળ મનાવતા હશે, પણ લાંબા કાળે સ ંશેાધનની જિજ્ઞાસા એછી કરે છે. તેમાંયે ખાસ કરીને એલજીબ્રા, એ નિર્વિવાદ વાત છે. એક સાધારણ દાખલેા લઈ એ. અમને મેટ્રીક પછીના પહેલા વર્ષોંમાં શીખવવામાં આવતુ (n + 1 ). હતુ કે Sum to N terms - n આ ફોર્મ્યુલા અમે ગેાખી રાખતા અને અઘરામાં અઘરા એલજીબ્રાના પ્રશ્નોના ઉત્તર આ ફોર્મ્યુલાના ઉપયાગ કરીને લખતા. સંશોધનની દૃષ્ટિએ પણ કોઈ દિવસ એનુ રહસ્ય સમજવા પ્રયત્ન ભાગ્યે જ કોઈ એ કર્યાં હશે.
2

Page #15

૧૦
હિન્દુસ્તાનમાં ગણિતશાસ્ત્ર ઉપર લખાયેલાં પુસ્તકે જેમ જેમ વાંચતો ગયે, તેમ તેમ મને ખાતરી થતી ગઈ કે હિન્દુસ્તાને ગણિતશાસ્ત્ર ઉપર ઘણે જ ઊંડો અભ્યાસ કરી એની બારીકમાં બારીક ખૂબીઓને જણાવી છે, એટલું જ નહિ પણ એને ઉપગ કરી કુદરતનાં રહસ્ય ઉપર કાબૂ. મેળવ્યું છે, જ્યારે Sum to N terms= (+ના અર્થ અને ઉકેલને લીલાવતી ગણિતમાં છે, ત્યારે હેરા આશ્ચર્યને પાર હેતે રહ્યો Sum to N termનો અર્થ એકથી દશ કે એકથી કેઈપણ રકમ સુધીને સરવાળે કરા એ થાય છે અને એ સરવાળો કરવાની રીત એટલે પહેલી અને છેલ્લી રકમ સાથે લેવી, બીજી અને છેલ્લેથી બીજી રકમ સાથે લેવી, ત્રીજી અને છેલ્લેથી ત્રીજી રકમ સાથે લેવી એમ થાય છે અને સાથે લઈએ તે આવી સાથે લીધેલી રકમને સરવાળે સરખો હોય છે, એટલું જ નહિ પણ આ સરવાળે જે રકમ સુધી સરવાળે કરવાનો છે તેનાથી અંક વધારે હોય છે, એટલે કે એના પછીને આંકડો એક હાય છે અને પહેલી અને છેલ્લી એટલે કે એ રકમ સાથે લેવાથી આ નવે અંક બને છે; એટલે જેટલી રકમને સરવાળે કરવાને છે, તેને બેએ ભાગી નવી રકમથી ગણવામાં આવે છે. દા. તરીકે ૧ થી ૧૦ ને સરવાળે કરવો હોય તે ૧+૧૦ ને સરવાળે ૧૧ થાય, ૨ અને ૯ને સરવાળે ૧૧ થાય, ૩ ને ૮ ને સરવાળે ૧૧ થાય વગેરે વગેરે. આ રીતે ૧ થી ૧૦ ને સરવાળો કર હોય તે ૧૦ ને ૧૧ થી ગુણી ૨ એ

Page #16

ભાગવા. વધારે સહેલા શબ્દોમાં મૂકીએ તો ૧ થી ૧૦સુધીના પહેલા અને છેલ્લા, પહેલેથી બીજા અને છેલ્લેથી. બીજા એમ સાથે અંકે લેવાથી ૧૧ બને છે. આમ ૧૦ને. ૨ વડે ભાગવાથી ૫ વખત ૧૧ બનશે, એટલે ૧૧ ને. ૧૦ થી ગુણી ૨ વડે ભાગવાથી સરવાળો થઈ જાય છે.
આ પ્રમાણે ૧૦ ને સરવાળે કરવું હોય તે ૧૦૦ ને. ૨ થી ભાગી ૧૦૧ વડે ગુણવા. ખૂબી તે એ છે કે એકીને. સરવાળે હોય તે એકી પછીની રકમ બેકી હોય અને બેકીને સરવાળે હોય તે ત્યાર પછીની રકમ એકી હોય, પણ બંનેમાં એક વખત બેકી રકમ હોવાથી ૨ એ ભાગી શકાય. આ રીતે જ્યારે મારે અભ્યાસ વધતે ગયે અને બ્રાહ્મણના. છોકરાને આંગળીના વેઢા ઉપર નવમાંશ કાઢતે જે, ત્યારે. મને સમજાયું કે મેટ્રીની કઠણમાં કઠણ ગણતરીઓ જે અમને બી. એ. માં ટ્રીગનેમેટ્રીમાં શીખવવામાં આવે છે, તે સહેલાઈથી તિશાસ્ત્રના બહાનાં નીચે નાનામાં નાના બાળક માટે સાધ્ય બને એ રીતે શીખવવાની કળા. હન્દરતાનના ગણિતશાસ્ત્રીઓએ આ રીતે પ્રાપ્ત કરેલી. અને તેથી મારે અચંબાને પાર ન રહ્યો.
થોડા અભ્યાસ બાદ હું એમ માનતા થયે છું કેહિન્દુરતાને જ્યોતિષશાસ્ત્રનું આટલું બધું મહત્વ આપેલું
એનું કારણ જોતિષશાસ્ત્રના બહાને ગણિતશાસ્ત્રને અત્યંત. બારીકાઈથી અરયાસ કરવાનું મન થાય અને અભ્યાસને. અનુમો દન મળે, એ હેવું જોઈએ.

Page #17

જ્યોતિષશાસ્ત્ર એ ઊંચામાં ઊંચા પ્રકારની એન્ટ્રનેમીનું ગણિત છે, એ શંકા વગરની વાત છે. જેણે હિન્દુસ્તાનના -જ્યોતિષશાસ્ત્રને અભ્યાસ કર્યો છે અને જેમને એનેમીને અભ્યાસ કરવાની તક મળી છે, તેઓ કબૂલ કરશે કે ખગોળશાસ્ત્રની અટપટી અને ગુંચભરેલી ગણતરીઓ ઉકેલવાની રીતે હિન્દુસ્તાનના તિષશા સહેલાઈથી શોધી કાઢી છે. આખા બ્રહ્માંડની રચના અને તેના નિયમને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે અને હિન્દુસ્તાનના તિષશાસ્ત્રની ગણતરીઓને સરખાવવામાં આવે તે મોટામાં મોટા વૈજ્ઞાનિકને કબૂલ કરવું પડશે કે આજના વિજ્ઞાનના યુગમાં પણ તે ગણતરીએ સાચી અને ભૂલ વિનાની છે. કેઈને પુરો જોઈતા હોય તે જગવિખ્યાત ગણિત પારંગત શ્રીરામાનુજમનું જીવનચરિત્ર વાંચી જુએ.
આવાં અનેક કારણસર હું હિન્દુસ્તાનના ગણિતશાસ્ત્રમાં રસ લેતા ભાઈ એ તરફ મમત્વ અને માનની દષ્ટિ કેળવતે આવ્યો છું. જ્યારે જ્યારે છાપામાં યાદદાસ્તીના પ્રાગોના અહેવાલે વાંચતા, ત્યારે એનું રહસ્ય શોધવાની મને જિજ્ઞાસા થતી. સાનુકૂળ સંજોગોમાં પંડિત શ્રી ધીરજલાલ શાહના સંપર્કમાં આવવાનું ભાગ્ય પ્રાપ્ત થયું. એમની સાથેની વાતચીતમાં ખાત્રી થઈ કે તેઓ હિન્દુસ્તાનના ગણિતશાસ્ત્રના - ઊંડા અભ્યાસી છે અને મને વધારે માન છે એટલા માટે થયું કે અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રને ઊંડો અભ્યાસ ન કરે હોવા છતાં વિજ્ઞાનની દષ્ટિએ હિન્દુસ્તાનના ગણિતશાસ્ત્રને

Page #18

૧૩
અને પ્રસંગોએ પુયર યમ રાખી
તમને
પાકી
તેઓ સમજ્યા છે અને તેને વૈજ્ઞાનિક દ્રષ્ટિએ રજુ કરવાને પ્રયત્ન કરે છે.
પછી શતાવધાનના પ્રયેગે જેવાને અને સમજવાનો મને પ્રસંગ મળે. વડોદરાના શ્રીમંત મહારાજા ફત્તેહસિંહરાવ ગાયકવાડ જેઓ પુણ્યસ્મૃતિ મહારાજા સયાજીરાવ ગાયકવાડની જ્ઞાનને પિષવાની પ્રથાને કાયમ રાખી રહ્યા છે અને પૂર્વજની જ્ઞાનગંગાની તૃષાને કેળવી રહ્યા છે, તેમને પંડિત શ્રી ધીરજલાલભાઈને ભેટો કરી આપવાની જિજ્ઞાસાને હું રોકી શક્યો નહિ. મહારાજા સાહેબે તેમની લાક્ષણિક બુદ્ધિથી હિન્દુસ્તાનની ઊંચી કક્ષાની જ્ઞાનની સરિતાને વહેતી કરવાના પ્રયત્નમાં પં. શ્રી ધીરજલાલભાઈને ઉપગ કરવાનું નક્કી કર્યું અને જાતે હાજર રહી તેમના પ્રયોગ જોયા અને તેમને ગણિત-ચમત્કાર ગ્રંથને આવકાર્યો તથા પ્રજામાં લેકપ્રિય બનાવવાનું બીડું ઝડપ્યું. પં. શ્રી ધીરજલાલભાઈ ગણિત-રહસ્યનું પુસ્તક આટલા થોડા સમયમાં તૈયાર કરી શક્યા છે, તેને યશ તેમને અને શ્રીમંત મહારાજા સાહેબના ફાળે જાય છે.
ગણિત-રહસ્યમાં ગણિતશાસ્ત્રના પ્રચલિત કેયડાઓને અને સમાજે માની લીધેલા ચમત્કારેને તેમણે સરલ રીતે અને સાદી ભાષામાં સમજાવ્યા છે. એકી-બેકીના પ્રયોગ વાંચ્યા પછી ચમત્કાર નહિ, પણ સાદા સીધા ગણિતશાસ્ત્રના દાખલાઓ છે, એ કબૂલ કર્યા સિવાય ચાલે તેમ નથી. જે હાથમાં એકી હોય તેને એકીથી ગુણવામાં આવે તે તેનું

Page #19

૧૪
પરિણામ એકીમાં જ આવે અને એકીને એકી અથવા એકીથી ગુણવામાં આવે તે તેનું પરિણામ બેકી જ આવે, આટલું સમજવું બહુ સહેલું છે અને એટલું સમજાય તે ગમે તેટલા છૂપાવવા પ્રયત્ન થાય તે પણ પેટીમાં અથવા હાથમાં રાખેલી એકી–એકી રકમને કહેવી મુશ્કેલ ન પડે, એ ઉક્ત પ્રકરણ વાંચ્યા પછી કબૂલ કરવુ પડશે. એકી–એકીના આકષ ક પ્રયાગા ઉપરનું પ્રકરણ વાંચવાથી વાંચકોને સાષ થશે કે કહેવાતા ચમત્કારો એ ગણિતશાસ્ત્રના સાધારણ દાખલાઓ છે. રકામી અને ચમચાના પ્રયોગ આકર્ષક અને લેાકેાની ગેરસમજ દૂર કરવા માટે ઉપયાગી થઈ પડશે.
તેવી જ રીતે પ્રકીણ પાંચ પ્રયાગા નામના પ્રકરણમાં ડાબી અને જમણી રકમ કહેવાની રીત, તેમણે જે રીતે સમજાવી છે, તે રીતે સમજતાં વાચકે કબૂલ કરવું પડશે કે આંકડાની રમત જાણનાર પ્રેક્ષકા ઉપર કેટલી ઊંડી છાપ પડી શકે છે અને કેટલું માન ઉત્પન્ન કરાવી શકે છે.
તેવી જ રીતે ગણિતજ્ઞાન અને બુદ્ધિની કસોટી કરનાર કોયડાઓને અભ્યાસ કરનારને ખાતરી થશે કે એલજીબ્રાને હિન્દુસ્તાનના ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ઘણી સરલ બનાવી હતી. આઠમા નોંમરના કેાયડાના અને તે પછીના બે-ચાર કયડાઓના અભ્યાસ કરવામાં આવે તે તેવી પ્રતીતિ થયા વિના નહિ રહે. તેવી જ રીતે ૪૦ નંબરના કોયડાને સમજવામાં આવે તે તેવી પ્રતીતિ થયા વિના રહેશે નહિ. ૪૦ નખરના કાયડામાં ઓછામાં ઓછા શબ્દને વાચકે પૂરેપૂરું માન

Page #20

૧૫
આવું પડશે, નહિ તા અનેક જવાબ આવશે, જેવા કે ૨૦, ૩૫, ૫૦, ૬૫, ૮૦ વગેરે વગેરે.
પ્રસ્તાવના લાંખી ન થાય, માટે એક મહત્ત્વની વાત તરફ ધ્યાન ખેંચી સમેટવા પ્રયત્ન કરીશ. ૧ ને ૨ થી ગુણવામાં આવે તે ૨ થાય, ૨ ને ૨ થીગુણવામાં આવે તા ૪ થાય અને ૪ ને ૨ થી ગુણવામાં આવે તે ૮ થાય, એટલે કે અંગ્રેજીમાં જેને ૨૩ કહેવામાં આવે છે, તે પ્રમાણે અને; પણ અત્યાર સુધી ભાગ્યે જ ઘણાએને ખબર હશે કે ૧ અને ૨ ના સરવાળા ૩ થાય અને ૨ ને ૨ થી ગુણવામાં આવે તે ૪ થાય, તેવી જ રીતે ૧, ૨ અને ૪ ના સરવાળે છ થાય અને ૪ ને ૨ થીગુણવામાં આવે તે ૮ થાય, એજ પ્રમાણે ૧, ૨, ૪, ૮ તે સરવાળે ૧૫ અને ૮ ને ૨ થી ગુણવામાં આવે તા ૧૬ થાય. ટુકામાં આ ગણિત પ્રમાણે કોઈ પૂછે કે ૨૭માં શરૂ કરીને સમાયેલા અંકના સરવાળા કેટલા થાય, તેા બહુ સહેલાઈથી કહી શકાય. એના ગુણાકારની થતી રકમના પહેલાના આંક આ સંપૂર્ણ એલજીબ્રા છે.
૫. શ્રી ધીરજલાલભાઈ એ આ બધું એટલું સહેલાઈથી સમજાવ્યું છે કે વાચકને હિન્દુસ્તાનના ગણિતશાસ્ત્રના ઊંચા પ્રકારના જ્ઞાન માટે માન પેઢા થયા સિવાય નહિ રહે.
લાંખી પ્રસ્તાવના ન થાય, તેથી બુદ્ધિને હેરત પમાડે તેવી બીજી અનેક મમતા તરફ ધ્યાન ખેંચવાનું શકય નથી, પણ એટલું કહીને વિરમીશ કે હિન્દુસ્તાનની પુરાણી

Page #21

જ્ઞાનસમૃદ્ધિને તાજી બનાવવાથી પાછળ પડી ગયેલું હિંદુસ્તાન દુનિયાની હરોળમાં પહેલે નંબરે આવી શકશે. એ દૃષ્ટિએ અત્યંત મહત્વનું છે કે પંડિત શ્રી ધીરજલાલભાઈ જેવા ગણિતશાસ્ત્રના ઊંડા અભ્યાસીની પૂરેપૂરી કદર થાય અને એમના જ્ઞાનને તાજું કરવાના અને વિકસાવવાના પ્રયત્નને પૂરેપૂરું અનુમોદન મળે અને ઉત્સાહથી આવકારવામાં આવે. જો આમ થશે તે જ્ઞાનગંગાને પ્રવાહ અખલિત કરવામાં વખત નહિ લાગે, એવી મારી ખાતરી છે.
વાચકોને મારી વિનંતિ છે કે જ્યાં જ્યાં સમજતાં વાર લાગે ત્યાં ત્યાં વધારે શ્રમ લે. તેઓ જેટલો શ્રમ લેશે, તેટલા જ આનંદના ભક્તા બનશે અને જ્ઞાનસમૃદ્ધિના પ્રવાહને વેગવંતે બનાવશે.

Page #22

ગણિત-રહસ્ય
www.ur.cancervencrosancescansarcoeuvrnuscorunun

Page #23

Page #24

[૧] આમુખ
અમોએ આ ગ્રંથની પૂર્વે રચેલા “ગણિત-ચમત્કાર” ગ્રંથમાં અંક અને સંખ્યાઓની કરામત અંગે, તેમજ સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર તથા ભાગાકારની રીતે અને તાળા અંગે કેટલીક રસપ્રદ સામગ્રી રજુ કરી હતી. વળી સર્વતભદ્ર યંત્રો અને મનને ધારેલે આંક કહેનારા યંત્રો વિષે પણ કેટલુંક વિવેચન કર્યું હતું. ઉપરાંત સહુ કોઈને મનમાં ચમત્કારિક અસર પેદા કરે તેવા સિદ્ધાંકના ત્રણ પ્રાગે, ગંજીફાના ચાર પ્રયોગ તથા બીજા પ્રકીર્ણ દશ પ્રવેગ આપ્યા હતા. તે સાથે અંક-વિનોદનું પણ એક પ્રકરણ લખ્યું હતું અને દેશ-વિદેશમાં પ્રચલિત કેયડાઓમાંથી ચૂંટી કાઢેલા સે જેટલા કેયડાઓ તથા તેના ઉત્તરની પણું રજૂઆત કરી હતી. તેણે શાળા-મહાશાળાઓના છાને, તેમ જ વિદ્યારસિક નરનારીઓને ઉત્તમ કોટિનું મનરંજન પૂરું પાડ્યું છે અને ગણિતની ગહનતાને કેટલાક ચાલ પણ આપ્યા છે..

Page #25

ગણિત–રહસ્ય
પર'તુ ગણિત અંગે મીનુ' પણ ઘણું જાણવા જેવુ છે. ખાસ કરીને અંક-જાદુગરી (Mathemagic)ના પ્રયાગે કે જે યુરોપ-અમેરિકામાં વિશેષ ને વિશેષ લેાકપ્રિય થઈ રહ્યા છે, તેમ જ અહી પણ શાળા, કોલેજો, મિજલસ તથા પરિષદે સમક્ષ રજૂ કરવામાં આવે છે અને જે લેાકેાના મન પર અદ્ભુત અસર ઉત્પન્ન કરે છે, તેનું રહસ્ય જાણવા જેવુ છે. એ રહસ્યનુ સવિસ્તર ઉદ્ઘાટન અમેએ આ ગ્રંથમાં કરેલું છે.
શતાવધાનના પ્રત્યેાગે! દીર્ઘ સમયથી ભારતની પ્રજાનું અનેરું આકર્ષણુ કરી રહ્યા છે. તેમાં ગણિતને લગતા જે પ્રયાગા રજૂ કરવામાં આવે છે, તેમાંના ઘણાખરાનુ રહસ્ય અમારા આ અને ગ્રંથામાં એટલે કે ‘ગણિત-ચમત્કાર તથા ગણિત-રહસ્ય ’ માં આવી જાય છે અને તેથી આ વિષયમાં રસ ધરાવનાર સજ્જના તથા સન્નારીઓએ આ અને ગ્રંથાનું સાંગેાપાંગ વાંચન-મનન કરવું જરૂરી છે.
"
આપણે ત્યાં સામાન્ય પ્રથા એવી રહી છે કે જે વસ્તુ લેાકાને ચમત્કારિક લાગે, તેના પર ચમત્કારિકતાના વિશેષ ઢાળ ચડાવવા અને આ વસ્તુ તે વિશિષ્ટ અધિકારીઓને જ પ્રાપ્ત થાય છે, એમ જણાવી સામાન્ય લેાકેાને માટે તેની પ્રાપ્તિના દરવાજા બંધ કરી દેવા. વિદ્યા માટે પાત્ર જોવાની આવશ્યકતા છે ખરી, પણ તેમાં જે વિજ્ઞાન રહેલુ છે, તેનાથી જિજ્ઞાસુઓને વંચિત રાખવા અને તેના લેપ થઈ જાય ત્યાં સુધી તેને ગુપ્ત રાખવી, એ કોઈ પણ રીતે ઉચિત નથી. આ પ્રથાને અનુસરવાથી આપણે ઘણું ગુમાવ્યું છે.

Page #26

આમુખ
- આધુનિક વિજ્ઞાનશાસ્ત્રીએ શું કરે છે? સતત શેબળને પરિણામે પ્રકૃતિનું રહસ્ય સમજવામાં આવે, તેને લેકે આગળ પદ્ધતિસર રજૂ કરી દે છે અને તેના વડે જીવને પગી જુદાં જુદાં ક્ષેત્રમાં ઘણી પ્રગતિ સધાય છે.
અમને આ વસ્તુ મેળવતાં ઘણો પરિશ્રમ પડ્યો છે, કારણ કે તેને જાણનારાઓએ પિતાની મૂઠીઓ બંધ રાખી હતી અને તે વિષયનું ખાસ સાહિત્ય પણ હતું નહિ. પરંતુ દઢ સંકલ્પ અને પ્રયત્ન કરતાં અમને એક પછી એક વસ્તુ પ્રાપ્ત થતી ગઈ અને તેણે અમારા અતિ જિજ્ઞાસુ હૃદયને સંતોષ આપે. આમાંની કેટલીક વસ્તુઓ તે અમને પિતાને જ સ્ફરેલી છે અને અમે તેને પ્રવેગાત્મક સ્વરૂપમાં મૂકેલી છે.
અમારું એમ માનવું છે કે અમારા આ બંને ગ્ર વાંચી-વિચારીને વિશિષ્ટ પ્રજ્ઞાવાળા મહાનુભાવે આ વિષયની એક યા બીજા પ્રકારે ખીલવણી કરશે અને એ રીતે ગણિતજ્ઞાનમાં વૃદ્ધિ કરી ભારતની પ્રાચીનતમ પ્રતિષ્ઠામાં વધારે કરશે.

Page #27

[૨]
અંકસ્થાન
જેમ સંગીતને આધાર સ્વર ઉપર છે અને લિપિને આધાર વર્ણ (અક્ષર) ઉપર છે, તેમ ગણિતને આધાર અંક ઉપર છે. જે અંક ન હોય તે કઈ પણ વસ્તુની યથાર્થ ગણના કે ગણતરી થઈ શકે નહિ.
“તમારા ઘરમાં કેટલી વ્યક્તિઓ છે?” તમારી પાસે કેટલી પુંજી છે?” તમારી હાલની ઉંમર શું ?' વગેરે પ્રશ્નોના ઉત્તરમાં જે એમ કહેવામાં આવે કે– “મારા ઘરમાં કેટલીક વ્યક્તિઓ છે.”
મારી પાસે કેટલીક પંજી છે.” મારી ઉંમર કેટલાક વર્ષની છે.”
તે વસ્તુસ્થિતિને સ્પષ્ટ બંધ થતો નથી અને તેથી પ્રશ્ન પૂછનારના મનને સમાધાન સાંપડતું નથી. ત્યાં અંકને આશ્રય લે આવશ્યક થઈ પડે છે. જેમકે–

Page #28

અકસ્થાન
મારા ઘરમાં નાની–મેટી મળીને ૫ વ્યક્તિઓ છે.” મારી પાસે ૫૦૦૦ રૂપિયાની પુંજી છે.' મારી હાલની ઉંમર ૬૦ વર્ષની છે.” વસ્તુને ભાવ જાણુ હોય, વ્યાપારની પરિસ્થિતિ જાણવી હોય કે કોઈ પ્રવૃત્તિના ખર્ચને અંદાજ કાઢ હોય તે એ કાર્ય અંકથી જ સિદ્ધ થઈ શકે છે, અન્ય કઈ સાધનથી નહિ.
આજે ચંદ્ર પર પહોંચવાની તૈયારીઓ થઈ રહી છે, પણ પૃથ્વીથી ચંદ્ર ક્યારે-કેટલે દૂર હોય છે? ત્યાં પહોંચનાર રેકેટને એક કલાકની કેટલા માઈલની ઝડપ રાખવી પડે ? વગેરે હકીકતોનું જ્ઞાન અંકના આધારે જ પ્રાપ્ત થયું છે.
વિજ્ઞાનને આત્મા ગણિત છે અને ગણિતને આત્મા અંક છે, એટલું અવશ્ય યાદ રાખવું.
અંક એટલે ૧ (એક), ૨ (બે), ૩ (ત્રણ), ૪ (ચાર), ૫ (પાંચ), ૬ (છ), ૭ (સાત), ૮ (આઠ), ૯ (નવ) અને ૦ (શૂન્ય).
કેટલાકને ખ્યાલ એ છે કે શૂન્ય કંઈ પણ મૂલ્ય (Value) બતાવતું નથી, માટે તેને અંક કહેવાય નહિ; પરંતુ આ ખ્યાલ ભૂલભરેલું છે. શૂન્ય પણ એક પ્રકારને અંક જ છે અને તેથી જ ૧૦ ને બે અંકની, ૧૦૦ ને ત્રણ અંકની તથા ૧૦૦૦ ને ચાર અંકની સંખ્યા કહેવામાં આવે છે.

Page #29

- ગણિત-રહસ્ય અહીં એટલું સમજવા જેવું છે કે ૧ થી ૯ સુધીના અંકે સ્વાવલંબી છે, એટલે કેઈનું અવલંબન લીધા વિના ' પિતાનું મૂલ્ય દર્શાવી શકે છે, જ્યારે પરાવલંબી હોવાથી અન્ય અંકનું અવલંબન ન મળે ત્યાં સુધી પોતાનું મૂલ્ય દર્શાવી શકતું નથી.
દાખલા તરીકે ૧, ૪, ૬ આ પ્રમાણે અંકે લખ્યા હોય તે તે અનુક્રમે એક, ચાર અને છ નું મૂલ્ય દર્શાવે છે, પણ ૦, ૦૦, ૦૦૦, ૦૦૦૦ આમ ગમે તેટલી શૂન્ય લખી હોય, તો તે કંઈ પણ મૂલ્ય દર્શાવતી નથી.
પરંતુ આ જ શુને અંકનું અવલંબન મળે, એટલે કે તેની પૂર્વે ૧ થી ૯ સુધીને કોઈ પણ અંક લખાય, તે તે પિતાનું વિશિષ્ટ મૂલ્ય અવશ્ય દર્શાવે છે. જેમકે–
૧૦ દશ ૩૦૦ ત્રણ ૫૦૦૦ પાંચ હજાર
તાત્પર્ય કે અંકે નવ નહિ, પણ દશ છે અને તે જ ગણિતને મુખ્ય આધાર છે.
આપણે ૨, ૩ અને ૭ એવા અંકે છૂટા લખીએ તે તેનું મૂલ્ય બે, ત્રણ અને સાત જ થાય છે, પણ આ જ અંક સંખ્યા રૂપે લખીએ તે તેનાં મૂલ્યમાં ઘણું વધારે થાય છે. જેમકે-૨૩૭ બસે સાડત્રીશ.
આ રીતે અંકનું મૂલ્ય વધવાનું કારણ અંકસ્થાનની

Page #30

અંકસ્થાન
વિશિષ્ઠ યેજના છે. વધારે સ્પષ્ટ કહીએ તે જમણી બાજુના અંક કરતાં ડાબી બાજુના અંકનું સ્થાન દશગણું વધારે મૂલ્ય બતાવે છે, તેની પછીના ડાબી બાજુના અંકનું સ્થાન તેના કરતાં દશણું વધારે મૂલ્ય બતાવે છે. આ રીતે ૨૩૭ને અર્થ નીચે પ્રમાણે થાય છે?
૭નું સ્થાન એમનું છે, માટે તેને એકથી ગુણવા. આ રીતે ૭ ૮૧ = ૭ આવે. - ૩નું સ્થાન દશકનું છે, માટે તેને દશથી ગુણવા. આ રીતે ૩ ૪ ૧૦ = ૩૦ આવે.
૨ નું સ્થાન સોનું છે, માટે તેને સેથી ગુણવા. આ રીતે ૨ x ૧૦૦ = ૨૦૦ આવે.
આ ત્રણેયના સરવાળા જેટલું મૂલ્ય ઉપરની સંખ્યા દર્શાવે છે. જેમકે –
૩૦
૨૦૦
૨૩૭ આ પરથી સંખ્યાઓની બાબતમાં અંકસ્થાનેનું કેટલું મહત્વ છે, તે સમજી શકાશે.

Page #31

ગણિત-રહસ્ય આપણા પ્રાચીન ગણિતમાં ૧૮ અંત સુધીની સંખ્યાઓ, બતાવવામાં આવી છે. જેમકે – (૧) ૧ (૨) ૧૦ (૩) ૧૦૦ (૪) ૧,૦૦૦
હજાર (૫) ૧૦,૦૦૦
દશ હજાર (અયુત) (૬) ૧૦૦,૦૦૦
લાખ (૭) ૧,૦૦૦,૦૦૦
દશ લાખ (પ્રયુત) (૮) ૧૦,૦૦૦,૦૦૦
કોડ (૯) ૧૦૦,૦૦૦,૦૦૦
દશ કોડ (અબુંદ) (૧૦) ૧,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦
અબજ (૧૧) ૧૦,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦ દશ અબજ (ખર્વ (૧૨) ૧૦૦,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦ નિખર્વ (૧૩) ૧,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦ મહાપા (૧૪) ૧૦,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦ (૧૫) ૧૦૦,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦ જલધિ (૧૬) ૧,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦ અંત્ય (૧૭) ૧૦,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦ મધ્ય (૧૮) ૧૦૦,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦પરાર્ધ
આમાં જમણા હાથથી ગણતા જેટલા અંક હોય તેટલામું આ સંખ્યાનું સ્થાન ગણાય. દાખલા તરીકે જમણું હાથથી ડાબી તરફ ગણતાં ત્રીજો આંકડ હેય તે સેના
VWVWW.jainelibrary.org

Page #32

સ્થાન
૧૨.
સ્થાને ગણાય, છઠ્ઠો આંકડા હાય તેા લાખના સ્થાને ગણાય. અને દશમા આંકડા હાય તેા અબજના સ્થાને ગણાય.
આ અકસ્થાન પ્રમાણે રકમા ખેલવામાં આવે છે. દાખલા તરીકે ૧૨ ૯ ૭૪ ૫ ૮ ૨ ૯ ૬ ૫૩ ૭ ૧ ૬ ૨ ૪ ૩. ની રકમ ખાલવી હાય તે નીચે પ્રમાણે ખેલાય :
એક પરા, એ મધ્ય, નવ અંત્ય, સાત જલધિ, ચાર શ', પાંચ મહાપદ્મ, આઠે નિખ, એગણત્રીજ અમજ, પાંસઠ ક્રોડ, સાડત્રીશ લાખ, સાળ હજાર, મસા ને તે તાલીશ.
એક અકસ્થાન આછું કે વત્તું થઈ જાય તે તેના મૂલ્યમાં ભારે પરિવર્તન થઈ જાય છે. આ હકીકત નીચેના દૃષ્ટાંતથી સમજી શકાશે :
માત્ર એક શૂન્ય એછું!
એક વાર એક કાબેલ નાણાંપ્રધાને રાજ્યની આવકના હેવાલ રજૂ કરતાં જણાવ્યું કે ‘ ગયા વર્ષે મહેસુલની આવક એકડા પર નવ શૂન્યા ચડાવીએ એટલી હતી, પણ આ વર્ષે ખરાબ સંચાગાને લીધે તેમાં એક શૂન્યના ઘટાડા થયા છે.’
નાણાંપ્રધાને આ વાત એટલા ઠાવકા માટે રજૂ કરી. હતી કે તેમાં ધારાસભ્યાને કઈ ગંભીર લાગ્યું નહિ. તે તે એમ જ સમજ્યા કે આ એક મામૂલી ફેરફાર છે, પરંતુ. બીજા દિવસે જ્યારે તેમણે વત માનપત્રા જોયા અને તેની ટીકાઓ વાંચી, ત્યારે આંખ ઉઘડી ગઇ. ઘણાંખરાં વતમાનપત્રાએ પ્રથમ

Page #33

-૧૨
ગણિત-રહસ્ય પાને છાપ્યું હતું કે આ વર્ષની મહેસુલમાં ભયંકર ઘટાડો
અને તેમાં નીચે પ્રમાણે આંકડા પ્રસિદ્ધ કર્યા હતા – "૧,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦ એક અબજ રૂપિયા, ગયા વર્ષનું મહેસુલ.
૧૦૦,૦૦૦,૦૦૦ દશ કોડ રૂપિયા, આ વર્ષનું મહેસુલ. ૧ ૯૦૦,૦૦૦,૦૦૦ નેવું કોડને ઘટાડો.
આ ઘટનાને અનુલક્ષીને વર્તમાનપત્રોએ કેવી ટીકાઓ કરી, તે અહીં રજૂ કરવાની જરૂર નથી, પણ નવમા સ્થાનમાં રહેલે એક આંકડો ઉડી જાય, તે સંખ્યાના મૂલ્યમાં કેટલું પરિવર્તન થાય છે, તે આ પરથી સમજી શકાશે. તે અંગે બીજું રમુજી દષ્ટાંત નીચે મુજબ છેઃ
ચેરે ચે ચગડે ત્રણ તા ને ચગડે, બંને બાજુ સેળ, ચારે ચડ્યો ચગડે, થઈ ગઈ કાગાળ. પૂછું તમને પ્રેમથી, થઈ કેટલી હાણ? ઉત્તર જે મુખથી કહો, માનું ચતુર સુજાણ.
એક ગૃહસ્થ પાસે એટલી રકમ હતી કે વચ્ચે ત્રણ તગડા અને એક ચગડો આવે તથા તેની બંને બાજુ -સેળ-સેળની સંખ્યા આવે. હવે એક વાર કેટલાક ગેરેએ -તેના મકાન પર ધાડ પાડી અને બેફામ લૂંટ ચલાવી. આથી
ત્યાં ભારે કાગારોળ મચી ગઈ. જ્યારે એ ચેરે આ રીતે લૂંટ ચલાવીને ત્યાંથી ચાલ્યા ગયા, ત્યારે પેલા ગૃહસ્થ

Page #34

અંકસ્થાન
૧૩. પિતાની રકમ ગણી તે તેમાંથી ચગડે ઓછો થઈ ગયે હતો. હું તમને પ્રેમથી પૂછું છું કે આ બનાવ બનતાં પિલા ગૃહસ્થને કુલ કેટલા રૂપિયાની હાનિ થઈ? જે તેને. ઉત્તર મૌખિક આપે તે હું સમજીશ કે તમે ચતુર સુજાણ છો.
પરંતુ આને જવાબ મૌખિક કેટલા આપી શકશે?" તે માટે તે કાગળ અને પેનસીલને જ ઉપયોગ કરવો પડશે.
૧૬૩૩૩૪૧૬ મૂળ રકમ ૧૬૩૩૩૧૬ બાકી રહેલી રકમ.
આમાંથી ચગડો ચાલ્યા ગયે છે. ૧૪૭૦૦૧૦૦ લૂંટાયેલી રકમ.
આને અર્થ એ થયો કે એ ગૃહસ્થની મૂડીને ઘણે મેટો ભાગ લૂંટાઈ ગયું હતું. પ્રથમ તેની ગણતરી. કાડાધિપતિમાં થતી હતી, તે હવે લખપતિની ટિમાં આવી ગયે. કયાં એક કોડ અને ત્રેસઠ લાખ ઉપરાંતની રકમ અને કયાં સેળ લાખ તેત્રીશ હજાર ત્રણસો ને સળની રકમ !
સંખ્યામાં એક અંક વધી જાય તે પણ તેના મૂલ્યમાં મોટું પરિવર્તન થાય છે. દાખલા તરીકે એક વેપારી પેઢીએ કઈ આસામીને ૧૨૮૬૩ રૂપિયાને ચેક આપ્યો હતો. હવે તે આસામીએ આ રકમની આગળ પ ઉમેરી દો અને સંખ્યાદર્શક બાર હજાર આઠસે ને ત્રેસઠ પૂરા” એ શબ્દો. કઈ રાસાયણિક વસ્તુને ઉપગ કરી કાઢી નાખ્યા અને તેના સ્થાને એક લાખ અઠાવીસ હજાર છસોને પાંત્રીશ પૂરા એવા શબ્દો લખી નાખ્યા. આ તર્કટ એટલી સીતથી કર્યું

Page #35

૧૪
ગણિત-રહસ્ય હતું કે બેંકના કાર્યકર્તાઓને તે અંગે જો શક આ નહિ અને તેમણે એ ચેકની રકમ ચૂકવી આપી. પાછળથી હિસાબ મેળવ્યું ત્યારે ખબર પડી કે આ તે ભયંકર ટાળે થયેલ છે. આ રીતે ૧ અંક વધારતાં મૂળ સંખ્યામાં કેટલે ફેર પડયો ? તે જુઓ.
૧૨૮૬૩૫ ૧૨૮૬૩
૧૧૫૭૭૨ એક લાખ પંદર હજાર સાતસે ને બોતેર.
સંખ્યામાં કોઈ પણ અંક વધે ત્યારે પાછળના અંકનું સ્થાન બદલાઈ જાય છે અથવા તે તે રકમ દશગણું થઈ જાય છે અને પછી જ તેટલે અંક ઉમેરાય છે, એ વાત આપણુ લક્ષ્યમાં બરાબર આવવી જોઈએ.
૨ માં આગળ પ લખાય તે ૨૫ થાય. આને અર્થ એ થયે કે જે ૨ એકમના સ્થાને હતે; તે દશકના સ્થાને ગયે અને ન પ એકમના સ્થાને આવ્યું. હવે ૨ દશમના સ્થાને ગયે એટલે તેણે ૨૦ નું મૂલ્ય ધારણ કર્યું. તેમાંથી મૂળ ૨ બાદ જતાં તેણે કુલ ૧૮ ને વધારે કર્યો. આમ ૨ ના ૨૫ થતાં કુલ ૧૮ + ૫ = ૨૩ નું મૂલ્ય વધવા પામ્યું. અન્ય રીતે કહીએ તે ૨ ની સંખ્યા દશગણી બની એટલે તે ૨૦ થઈ અને તેમાં પ ઉમેરાતાં કુલ ૨૫ થયા.
હજી છેડા આગળ વધીએ. ૨૫ ની આગળ લખીએ તે ૨૫૭ થાય. આને અર્થ એ થયે કે મૂળ રકમમાં પ

Page #36

૧૫
એકમના સ્થાને હતું, તે દશકના સ્થાને છે અને ૨ દશકના સ્થાને હતું, તે સે ના સ્થાને ગયે; તથા ન ઉમેરાયેલે ૭ એકમના સ્થાને આવ્યું. બીજી રીતે કહીએ તે આગળ ૭ ઉમેરાતાં ૨૫ ની સંખ્યા દશગણી બની એટલે કે તે ૨૫૦ ની થઈ અને તેમાં છ ઉમેરાયે.
- ટૂંકમાં સંખ્યાઓની બાબતમાં અંકસ્થાન ઘણું મહત્વની વસ્તુ છે, એટલે તેને બરાબર લક્ષ્યમાં રાખવા જોઈએ.
આ પ્રકરણ પૂરું કરતાં એ પણ જણાવી દેવું જરૂરનું છે કે અહીં દર્શાવેલા ૧૮ અંકસ્થાને શ્રી ભાસ્કરાચાર્ય
લીલાવતી ગણિત માં બતાવ્યા મુજબનાં છે. પરંતુ તેમનાથી લગભગ ત્રણ વર્ષ પૂર્વે એટલે ઈ. સ. ૮૫૦ માં દક્ષિણ દેશમાં શ્રી મહાવીરાચાર્ય નામના એક મહાન ગણિતશાસ્ત્રી થઈ ગયા. તેમણે “ગણિત સારસંગ્રહ” નામને એક સુંદર ગ્રંથ લખેલે છે. આ ગ્રંથ સને ૧૯૧૨ માં મદ્રાસ સરકાર તરફથી અંગ્રેજી અનુવાદ સાથે અને સને ૧૯૬૩ માં જીવરાજ જૈન ગ્રંથમાળા–સોલાપુર તરફથી હિંદી અનુવાદ સાથે પ્રસિદ્ધ થયેલ છે. તેમાં વીસ અંકસ્થાનની ગણના નીચે મુજબ બતાવેલી છે? અંકસ્થાન સંજ્ઞા અકસ્થાન સંજ્ઞા પહેલું
પાંચમું દશ સહસ્ત્ર બીજું દશ
લક્ષ ત્રીજું શતક
સાતમું
દશ લક્ષ ચોથું સહસ્ત્ર
આઠમું કેટિ

Page #37

ગણિત-રહસ્ય નવમું દશકોટિ સત્તરમું ક્ષણી દશમું શતકેટિ અઢારમું મહાક્ષણી. અગિયારમું
અબ્દ ઓગણીસમું શંખ બારમું ન્યુન્દ
વીસમું
મહાશંખ તેરમું ખર્વ એકવીસમું ફિત્યા ચૌદમું
મહાપર્વ બાવીશમું મહાક્ષિત્યા પંદરમું
ત્રેવીસમું ક્ષોભ સોળમું મહાપદ્મ વીશમું મહાક્ષોભ
આથી એમ લાગે છે કે દક્ષિણ ભારતમાં અંકગણનાની એક જુદી પરંપરા ચાલતી હશે.
૫%
*
ક
છે
?

Page #38

[3]
શૂન્યનુ' સામ
એક નાગણ ગુંચળું વાળીને ચૂપચાપ પડી હાય અને આપણે માની લઈએ કે તેનામાં કંઈ દમ નથી, અથવા તે તે મરી ગયેલી છે; પરં'તુ લાકડીના સ્પર્શ થતાં જ તે સળવળી ઉઠે અને જોરથી દોડવા લાગે તે શું કહેશે!! શૂન્યનુ પણ આવું જ છે. સામાન્ય સયેાગેામાં તે કંઈપણ સામર્થ્ય મતાવ્યા વિના ચૂપચાપ પડી રહે છે, પણ અંકનું અવલંબન મળ્યું કે સળવળી ઉઠે છે અને મૂલ્ય દર્શાવવાની દિશામાં જોરથી ગતિ કરવા લાગે છે. આ સાગામાં શૂન્ય નિરક છે, તેનુ મૂલ્ય કંઈ નથી, એમ કહીએ તેા એ એક પ્રકારનુ સાહસ લેખાશે. એક રાજાએ શૂન્યનું મૂલ્ય કંઈપણુ માન્યુ નહિં, તેા તેના ખજાના ખાલી થઈ ગયા. તે આ પ્રમાણે : રાજા અને વૃદ્ધ વિપ્રની વાત
એક વૃદ્ધ વિપ્રના આશીર્વાદથી રાજાને ત્યાં પુત્રને જન્મ થયા. આથી રાજા ઘણેા ખુશ થયા અને તેણે એ વિપ્રને દક્ષિણા માગવાનું કહ્યું. હવે એ વૃદ્ધ વિપ્ર ઘણા

Page #39

૧૮
ગણિત-રહસ્ય ચતુર હતું, એટલે તેણે સ્પષ્ટ શબ્દોમાં દક્ષિણાનું નામ ન પાડતાં નીચે પ્રમાણે વિનંતિ કરી?
“હે મહારાજ ! મેં આ કાગળમાં નાનામાં નાના ગણાતા ત્રણ સમાન અંકે લખ્યા છે, પણ શ્રી ગજાનન પિતાની એક બાજુ રિદ્ધિ અને બીજી બાજુ સિદ્ધિ વિના શેભતા નથી, તેમ આ અંકે પણ બંને બાજુ શૂન્ય વિના શેભતા નથી. માટે કૃપા કરીને આપના શુભ હસ્તે દરેક અંકની આગળ-પાછળ અકેકું શૂન્ય ઉમેરી દો અને તેના જેટલા સોનૈયા મને દક્ષિણમાં આપ. મારે આથી વિશેષ કંઈ જોઈતું નથી.”
રાજાને એ ખ્યાલ હતો કે શૂન્યનું મૂલ્ય કંઈ પણ હોતું નથી, એટલે તેણે એ વૃદ્ધ વિપ્રની માગણી મંજૂર કરી અને કાગળ પર લખેલા ત્રણેય અંકની આગળ-પાછળ શૂન્ય ઉમેરી દીધાં. પછી પિતાના ખજાનચીને હુકમ કર્યો કે આ વૃદ્ધ બ્રાહ્મણને હમણાં ને હમણું આ કાગળમાં લખ્યા મુજબ સોનૈયા, ચૂકવી આપો.”.
એ તે રાજાને હુકમ, તેનું ઉલ્લંઘન થઈ શકે નહિ, એટલે ખજાનચીએ કાગળમાં લખ્યા મુજબ સેનિયા વૃદ્ધ વિપ્રને ચૂકવી આપ્યા.
ત્રણ નાનામાં નાના સમાન અંકે એટલે ૧૧૧. તે દરેક અંકની આગળ અને પાછળ શૂન્ય ઉમેરતાં પરિણામ નીચે મુજબ આવે?
૦૧૦૦૧૦૦૧૦ * શ્રી ગણપતિ અથવા ગણેશને ગજનું મસ્તક હોવાથી ગજાનન કહે છે.

Page #40

શૂન્યનું સામર્થ્ય
આ તે થઈ એક કોડ, દશ હજાર ને દશની રકમ! આટલા સેનૈયા હાથમાં આવે તે સાત પેઢીનું સાજું થઈ જાય, એ દેખીતું છે. વૃદ્ધ વિપ્રના આનંદને પાર રહ્યો નહિ, પણ તે ચૂકવતાં રાજાને ખજાને ખાલી થઈ ગયો. * જે રાજા શૂન્યનું સામર્થ્ય સમજે હેત તે તેણે વૃદ્ધ વિપ્રની માગણીને ભાગ્યે જ મંજૂર રાખી હોત, અથવા તે એમ જણાવ્યું હતું કે “હે વિપ્રવર્ય! સતી સ્ત્રીઓ હમેશાં પતિની પાછળ જ ચાલે છે અને તેમાં જ તેની શોભા છે. તેમ તમે લખેલાં અંકે પણ પાછળ શુન્ય ઉમેરવાથી જ વધારે શોભશે.” અને તેણે દરેક અંકના બે શૂન્ય ગણુને કુલ છ શૂન્ય ૧૧૧ની પાછળ ઉમેરી દીધા હોત. આથી તેને એક પણ સેને વધારે આપવો પડત નહિ. ૧૧૧ લખીએ કે ૦૦૦૦૦૦૧૧૧ લખીએ તેના મૂલ્યમાં ફેર શે ? પણ રાજાને ખ્યાલ એ જ હતો કે શૂન્યનું મૂલ્ય કંઈ પણ નથી, એટલે તેણે વધારે વિચાર કર્યા વિના
એકની આગળ-પાછળ શૂન્ય વધારી દીધાં અને તેનું પરિણામ " ઉપર જણાવ્યું તેમ, નહિ ધારેલું એટલું ખરાબ આવ્યું.
શૂન્ય દ્વારા સંખ્યામાં કેટલું સામર્થ્ય આવે છે, તેને સ્પષ્ટ ખ્યાલ ઘણાને હેત નથી. આજે અબજને વ્યવહાર સામાન્ય થઈ પડ્યો છે. ખાસ કરીને કરવેરા તથા સંરક્ષણના ખર્ચની રકમ તે અબજમાં જ પ્રસિદ્ધ થાય છે, પણ અબજ એ કેવડી મોટી રકમ છે? તે નીચેનાં દૃષ્ટાંતથી સમજી શકાશેઃ
લખવાની ફાઉન્ટન પેન સામાન્ય રીતે ૬ ઈચના કદની

Page #41

૨૦
ગણિત-રહસ્ય હોય છે. આવી એક અબજ ફાઉન્ટન પેનને એક પંક્તિમાં ગઠવીએ તો એ પંક્તિ આશરે એક લાખ માઈલ લાંબી થાય, એટલે કે દુનિયાના ગોળાને ચાર વાર વીંટળાઈ વળે અને છતાં બાર હજાર માઈલ વધે.
આ જાણ્યા પછી ઘણાને અધધ થઈ પડશે, પણ આંકડા માંડીએ તે વસ્તુસ્થિતિ સ્પષ્ટ થઈ જશે. - છ ઈંચની ૨ ફાઉન્ટન પેનને સાથે મૂકીએ એટલે ૧ કુટ થાય, એ હિસાબે ૧૦૫૬૦ ફાઉન્ટન પેનને મૂકીએ એટલે ૧ માઈલ થાય. ગણવાની સરલતા ખાતર તેને ૧૦૦૦૦ માની લઈએ, તે ૧ લાખ ફા–પેને ૧૦ માઈલ થાય, ૧. ક્રોડ ફા–પને ૧૦૦૦ માઈલ થાય અને ૧ અબજ ફા–પેને ૧૦૦૦૦૦૦ માઈલ થાય.
હાલ તે ભારતમાં કેઈ અબજપતિ નથી, પરંતુ માની. લઈએ કે એક વ્યક્તિ અબજપતિ છે અને તેની પાસેનું બધું જ નાણું ૧ રૂપિયાની કરંસી નોટમાં છે. જે આ. કરંસી નોટની જાડાઈ ઇંચના સમા ભાગ જેટલી હોય તે પણ એને ઢગલે ૧ કોડ ઈંચ ઊંચે થાય, એટલે કે ૮૩૩૩૩૩ આઠ લાખ તેત્રીશ હજાર ત્રણસે ને તેત્રીસ ઉપરાંત એક તૃતીયાંશ ફુટની ઊંચાઈને ધારણ કરે કે જે હિમાલયના સહુથી ઊંચા એવરેસ્ટ શિખર કરતાં આશરે ૨૭ ગણી મોટી છે.
એક અબજપતિ રેજના ૧૦૦૦ રૂપિયા ખર્ચ કરે તે વર્ષમાં ૩૬૦૦૦૦ ત્રણ લાખ ને સાઠ હજાર વપરાય. માની

Page #42

૨૧
શૂન્યનું સામર્થ લઈએ કે તે વર્ષ દહાડે ૪૦,૦૦૦ રૂપિયાની સખાવત કરે છે, તે એ રકમ ચાર લાખની થાય. હવે તે આ જ ધોરણે ખર્ચ કરવાનું ચાલુ રાખે તો પણ તેની મિલક્ત પૂરી થવાને ૨૫૦૦ વર્ષ જોઈએ ! હિસાબ સીધે છે. વર્ષના ૪ લાખ તે ૨૫ વર્ષના કેડ. તેના પર બે શૂન્ય ચડે એટલે સામે અબજની સંખ્યા આવી જાય.
જ્યાં અબજનું આવું સામર્થ્ય છે, ત્યાં ખર્વ, નિખર્વ, મહાપદ્મ, શંકુ, જલધિ, અંત્ય, મધ્ય કે પરાર્ધની વાત શી કરીએ? પરંતુ ખગોળશાસ્ત્રીઓને ગ્રહોની ઉમર તથા પ્રહાના અંતર વગેરે દર્શાવવા માટે આવી કે આથી પણ મટી સંખ્યાઓની જરૂર પડે છે. દાખલા તરીકે તેમણે ઘણા સંશોધન પછી સૂર્યની ઉંમર ૧૦,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦ એક શંકુ વર્ષની જણાવી છે.
જે શૂન્ય ન હેત તે માત્ર ૧ થી ૯ સુધીના અંકે જ રહ્યા હોત અને સંખ્યાઓ આગળ વધી શકી ન હોત. આ સંગમાં આપણું વ્યવહારમાં, વ્યાપારમાં તથા વૈજ્ઞાનિક સંશોધનમાં મોટી અડચણો ઊભી થઈ હત. દાખલા તરીકે એક મહિનામાં ૩૦ દિવસો આવે છે, તેમાં ૩૦ને વ્યવહાર શૂન્યના આધારે થાય છે, પણ શૂન્ય ન હોય અને માત્ર ૧ થી ૯ સુધીના જ અકે હેાય તે એમ કહેવું પડે કે એક મહિનામાં નવ, નવ, નવ અને ત્રણ દિવસો આવે છે. પરંતુ આગળ વધીને વર્ષના દિવસે કહેવા હોય તે? ત્યાં શૂન્યના આધારે તે સરલતાથી કહી શકાય કે વર્ષમાં

Page #43

૨૨
ગણિત-રહસ્ય ૩૬૦ દિવસો હોય છે. પરંતુ માત્ર ૧ થી ૯ સુધીના અંકેના આધારે જ કહેવું હોય તે એમ કહેવું પડે કે એક વર્ષમાં નવ વાર નવ, બીજા નવ વાર નવ, ત્રીજા નવ વાર નવ, ચોથા નવ વાર નવ તથા ચાર વાર નવ એટલા દિવસે આવે છે.
(૧) નવ વાર નવ = ૮૧ (૨) , , , = ૮૧ (૩) , , , = ૮૧ (૪) , , ;) = ૮૧ (૫) ચાર ; ; = ૩૬
૩૬૦ આ પરથી સમજી શકાશે કે ગણનાની બાબતમાં શૂન્ય આપણને કેટલી સરલતા કરી આપી છે.
આજે જગતભરના દેશમાં પૈસાના ચલણ અંગે તથા વસ્તુઓના વજન અને માપ અંગે દશાંશ-પદ્ધતિ અમલમાં આવી રહી છે, તેનું ખરું શ્રેય શૂન્યને જ ઘટે છે. જે શૂન્ય ન હોત તે ૧૦-દશને આંક સર્જાત નહિ અને દશના આંક સર્જાત નહિ તે દશાંશ-પદ્ધતિ અમલમાં આવતા નહિ.
થોડીક રમુજ હવે અંકની સાથે છે જેડાતાં જે રમુજ ઉત્પન્ન થાય છે, તે પણ જોઈ લઈએ.
૧ની સાથે છે જેડાય તે એક ૯ તથા ૧નું પ્રમાણ

Page #44

૨૩
શૂન્યનું સામર્થ્ય બતાવે છે. ૨ ની સાથે છે જેડાય તે બે ૯ તથા ૨ નું પ્રમાણ બતાવે છે. આ રીતે જે અંક સાથે જોડાય તેટલા નવ અને તેટલા અંક દર્શાવે છે. આ રહી તે માટેની તાલિકા
૧ ૧ ૮ ૯ = ૯ + ૧ = ૧૦ ૨૦ ૨ x ૮ = ૧૮ + ૨ = ૩૦ ૩ ૪ ૯ = ૨૭ + ૩ = ૩૦ ૪૦ ૪ X ૯ = ૩૬ + ૪ = ૪૦ ૫૦ ૫ x ૯ = ૪૫
x
જ
x
x
+
w
+
+
+
૭૦ ૭ ૮ ૯ = ૬૩ ૮૦ ૮ X ૯ = ૯૦ ૯ X ૯ = ૮૧ + ૮ = ૯૦ ૧૦૦ ૧૦ x - = ૯૦ + ૬૦ = ૧૦૦
' આગળ– ૧૨૦ ૧૨ X ૯ =૧૦૮ + ૧૨ = ૧૨૦ ૩૦૦ ૩૦ ૪ ૯ =ર૭૦ + ૩૦ = ૩૦૦ ૭૦૦ ૭૦ ૮ ૯ =૬૩૦ + ૭૦ = ૭૦૦
આ વિવેચનને સાર એ છે કે ગણિતમાં ગહનતા લાવનારું શૂન્ય છે અને તેનું સામર્થ્ય ઘણું મોટું છે, તેથી - શૂન્ય તરફ જરા પણ ઉપેક્ષા કરવી નહિ.

Page #45

[૪] ગણિતની વિશિષ્ટ પ્રજ્ઞા
આ જગતમાં કેટલાક મનુષ્ય ગણિતની વિશિષ્ટ પ્રજ્ઞા સાથે જન્મ ધારણ કરે છે, એટલે તેમાં થોડી મીનીટમાં જ ગણિતના મેટા મેટા દાખલાઓને જવાબ મઢેથી આપી દે છે તથા વિરાટ સંખ્યામાં માત્ર એક જ વાર સાંભળીને તેને યથાક્રમ કહી સંભળાવે છે.
લંડનનિવાસી જી. પી. બીડર સીવીલ એન્જિનિયર હતા. તેઓ જ્યારે માત્ર ૧૦ વર્ષની ઉંમરના હતા, ત્યારે તેમને નીચેની સંખ્યા સંભળાવવામાં આવી હતી?
૨૫૬૩૭૨૧૯૮૭૬૫૩૪૬૧૫૯૮૭૪૬૨૩૧૯૦૫૬૦૭૫ ૪૧૧૨૮૯૭૫૨૩૧
આ સંખ્યા સાંભળ્યા પછી તરત જ તેઓ એને અંકવાર બેસી ગયા હતા. જેમકે—બે, પાંચ, છ, ત્રણ, સાત, બે વગેરે. એક કલાક પછી ફરી તેમને એ સંખ્યા પૂછવામાં

Page #46

ગણિતની વિશિષ્ટ પ્રજ્ઞા
૨૫ આવી, ત્યારે પણ એકેય ભૂલ વિના તેમણે એ આખી સંખ્યા યથાક્રમ કહી સંભળાવી હતી.
વિયેના વિશ્વવિદ્યાલયમાં એવરેસ્ટોક નામને વિદ્યાથી અંકસ્મૃતિ માટે વિખ્યાત હતે. એક વાર કેટલાક ગણિત તથા વૈજ્ઞાનિકેએ સાથે મળીને તેની કસોટી કરી. તેમણે ઓર્ડ પર સે અંકની એક લાંબી સંખ્યા લખી અને તેના પર નજર નાખવા માટે માત્ર થોડી જ સેકન્ડને સમય આપે. બાદ તે સંખ્યા ભૂંસી નાખવામાં આવી, પરંતુ એવરટેકે એટલા અલ્પ સમયમાં એ આખી સંખ્યા પર દષ્ટિપાત કરીને તેને યાદ રાખી લીધી હતી અને તેને યથાક્રમ કહી સંભળાવી હતી. આથી ગણિત તથા વૈજ્ઞાનિના આશ્ચર્યને પાર રહ્યો ન હતો.
પરંતુ આ કરતાં યે વધારે વિક્રમ તે બંગાળના સિમેશચંદ્ર બસુએ નેંધાવેલું છે. એક વાર ન્યુયોર્કમાં કિલંબિયા વિશ્વવિદ્યાલયના ગણિતવિભાગના અધ્યક્ષ પ્રે.
સી. જે. કેસરની અધ્યક્ષતામાં નીમાયેલી સમિતિએ નીચેની સંખ્યા બ્લેકબોર્ડ પર લખી તેને વર્ગ કરવાનું જણાવ્યું હતું
૬૫૦૧ ૮૭૩૪ ૪૬૩૧ ૪૩૫૪ ૮૨૨૩ ૫૧૭૭ ૩૩૧ ૧૧૪૯ ૪૩૨૬ ૦૫૭ ૯૭ર૬ ૭૫૪૭ ૩૮૮૪ ૦૬૩૯ ૮૯૭૬
આ સાઠ અંકની સંખ્યાને તે જ સંખ્યાથી ગુણવાની હિય તે તેટલા અંક ગુણક તરીકે સ્થાપન કરવા પડે અને તેને જવાબ ૧૨૦ અંકને આવે. તે સિવાય ગુણાકારની

Page #47

૨૬
ગણિત-રહસ્ય પ્રક્રિયામાં કેઈ અંકને આધાર લેવું પડતું હોય તે જુદો. પરંતુ બસુ મહાશયે આ તમામ અંકે યાદ રાખીને માત્ર ૪૫ મિનિટમાં જ તેને યથાર્થ ઉત્તર આપ્યું હતું.
ત્યારબાદ કેટલાક વર્ષે એટલે સને ૧૯૧ના એપ્રિલ માસની ૧૮મી તારીખે ન્યુયોર્કમાં વાનડાઈક સ્ટેડિયેના માલીક અને જગવિખ્યાત કલાકાર શ્રી જેન એ. નિલે એક બ્લેકબોર્ડ પર નીચેની ગુણ્ય તથા ગુણક રકમ લખી તેને ગુણાકાર કરવાને શ્રી બસુ મહાશયને જણાવ્યું હતું :
૮૫૩૧, ૨૭૪૬, ૯૩૭૬, ૮૪૧૩, ૨૫૭૨, ૬૧૪૩, પ૬૩૯, ૭૮૧૨, ૬૪૭૩, ૯૮૨૫, ૭૩૧૨, ૪૮૭૩, ૬૪૯૭, ૧૨૫૬, ૫૩૨૭, ૩૪૭૮, ૧૭૨૮, ૬૩૫૭, ૨૩૭૪, ૮૧૨૫, ૨૫૭૪, ૬૧૨૮, ૩૬૯૨, ૪૩૭૬, ૧૮૫૩.
૭૪૬૩, ૮૧૨૫, ૭૩૬૪, ૭૯૨૮, ૩૭૪૩, ૫૧૭૯, ૬૨૯૭, ૬૪૩૬, ૮૪૧૭, ૮૯૬૭, ૬૧૨૮, પ૭૪૯, ૫૩૫૯, ૮૩૮૧, ૪૨૮૧, ૨૫૫, ૯૧૮૧, ૫૧૨૭, ૬૩૯૭, ૮૨૫, ૭૮૧૬, ૩૯૫૩, ૨૮૯૬, ૪૭૨૫, ૭૩૬૯.
એટલે કે તેમણે સે અંકની ગુણ્ય રકમ લખી હતી. અને તેને સે અંકની ગુણક રકમે ગુણવાની હતી !!!
આંકડાઓની આ લાંબી હારમાળા પર બસુજીએ એકાગ્રચિત્ત દષ્ટિપાત કરી લીધું અને તેઓ તરત જ આંખે બંધ કરી તેને ઉત્તર મનમાં ને મનમાં તૈયાર કરવા લાગ્યા. આ વખતે સ્ટેડિયેની બારી ખુલ્લી હતી અને રસ્તા પરથી
VWVWW.jainelibrary.org

Page #48

ગણિતની વિશિષ્ટ પ્રજ્ઞા અનેક જાતનાં વાહને પસાર થઈ રહ્યાં હતાં, એટલે તેને અવાજ આવતું હતું, છતાં તેમના ધ્યાનને ભંગ થયે નહિ. તેઓ તે પિતાની ગણનામાં જ મગ્ન રહ્યા. તેમણે પર (બાવન) મીનીટ અને ૩૦ (ત્રીશ) સેકન્ડમાં પિતાને જવાબ તૈયાર કરી નાખે અને તે એક કાગળ પર નીચે પ્રમાણે લખી આપ્યા :
૬૪૬૭, ૫૮૩૫, ૩૨૮૫, ૯૦૦૬, ૨૫૬૩, ૨૮૯૭, ૭૩૬૬, ૨૦૧૬, ૧૩૧૭, ૨૮૨૨, ૨૩૨૫, ૯૭પ, ૪૪૦૧, ૭૦૮૧, ૭૭૩૫, ૪૬૧૮, ૬૭૧૬, ૩૩૬૭, ૩૮૨૯, ૧૯૫૮, પ૭૨૫, ૦૧૦૪, ૩૫૭૪, ૫૬૬૭, ૯૯૧૬, ૯૮૩૨, ૦૭ર૬,. ૪૯૭૪, ૧૯૨૮, ૨૭૦૨, ૭૨૮૧, પ૬ર૭, ૮૦૮૫,૪૪૩૬, ૯૯૭૩, પ૦૦૫, ૭૭૪૨, ૮૫૭૯, ૭૧૫૮, ૦૪પ૭, ૪૧૬૫, ૭૮૨૩, ૭૭૪૦, ૭૮૧૬, ૮૩૪૮, ૧૪૮૫, ૨૦૬૨, ૩૩૩૬, ૩પ૭૪, ૪૭૫૭.
અમારા ખ્યાલ મુજબ અંકમૃતિને લગતે આ વિકમ મોટામાં મોટો છે, કારણ કે તેમાં ઓછામાં ઓછા ૪૦૦ અંકે યાદ રાખવામાં આવ્યા છે.
શ્રી સોમેશચંદ્ર બસુ બંગાળ પ્રાંતના ઢાકા જીલ્લાના બજરાગિની નામના ગામમાં એક સામાન્ય સ્થિતિના કુટુંબમાં જન્મ્યા હતા અને ગુરુદત્ત એગપ્રક્રિયાના અભ્યાસથી. આગળ વધ્યા હતા. તેઓ માત્ર ગુણાકાર જ નહિ, પણ ઘણું મેટી રકમના સરવાળા, બાદબાકી, ભાગાકાર વગેરે પિતાની યાદદાસ્તીને આધારે કરતા હતા.
કોઈ વાર કોઈએ તમને પૂછ્યું કે –

Page #49

૨૮
ગણિત-રહસ્ય ૧૮૭૯૦૮૦૯૦૪ નું ઘનમૂળ શું?
તેને ઉત્તર તેમણે માત્ર એક-બે સેકંડમાં જ આપી - દીધે કે ૧૨૩૪.
બીજા એક પ્રસંગે તેમની સામે પ્રશ્ન રાખવામાં આવ્યો -હિતે કે –
૩૧૯૩૯,૧૨૦,૬૫૯,૯૧૯૧૨૩ નું ઘનમૂળ શું?
તેને ઉત્તર તેમણે એક મીનીટમાં આપે હતું કે ૬૮૩૯૪૭.
તાત્પર્ય કે અંકને લગતી તેમની યાદદાસ્તી તથા પ્રજ્ઞા અજબ કોટિની હતી !
મહાશય જી. પી. બીડેશે, તેમજ એવરટેકે પિતાની આ અંકમૃતિ વિષે શે ખુલાસે આવે છે, તે અમે જાણ શકયા નથી, પણ અમારું એવું અનુમાન છે કે તેમની એ શક્તિ કુદરતી હતી, જ્યારે બસુ મહાશયે પિતાની આ શક્તિ વિષે ખુલાસો કરતાં જણાવ્યું છે કે આ શક્તિ મનની એકાગ્રતા અને અભ્યાસ વડે પ્રાપ્ત કરી છે.”
તેમણે વિશેષમાં કહ્યું છે કે મારી સ્મરણશક્તિ બાલ્યા- વસ્થાથી જ સારી હતી. જ્યારે હું આઠ વર્ષને હતા, ત્યારે મનમાં ને મનમાં વિચાર કરીને સરવાળા-બાદબાકી બરાબર કરી દેતે. શાળામાં વિશેષ અભ્યાસ કરતાં ગણિતની કક્ષામાં હું સહુથી વધારે ઝડપથી મૌખિક ઉત્તરે આપી શક્ત. જ્યારે હું વિશ વર્ષની ઉંમરને થયે, ત્યારે ૧૪ અંકને ૧૪ અંકથી ગુણવા જેટલી શક્તિ

Page #50

ગણિતની વિશિષ્ટ પ્રજ્ઞા
૨૯:
કેળવી શક્યો ને એ રીતે મારી શક્તિ ઉત્તરાત્તર વધતાં જતાં ૧૦૦ અંકને ૧૦૦ અંકથી ગુણવામાં સફળ નીવડ્યો.
વળી તેમણે એ પણ કહ્યું છે કે ‘હું પ્રાર ંભથી જ મિતાહારી રહ્યો છું. તેમ જ પાણી પણ વિશેષ લેતે નથી. છેલ્લાં કેટલાંક વર્ષોંમાં તા માત્ર રાજના ચાર પ્યાલા દૂધ. પર જ નણ્યા છું અને કદી કદી ઘેાડી દ્રાક્ષ લીધી છે. મારા સૂવાનો સમય રાત્રિના ૧૧ થી ૨ ના રહ્યો છે. એ વાગ્યે ઉડી ગયા પછી હું ધ્યાનમાં બેસુ છુ અને ગુરુએ શીખવેલી પદ્ધતિથી મનની શક્તિઓને એકાગ્ર કરું છું. કોઈ પણ મનુષ્ય પેાતાની ચિત્તવૃત્તિએને એકાગ્ર કર્યા વિના સફળતા. પ્રાપ્ત કરી શકતા નથી.

Page #51

[4]
મોટી સંખ્યાઆ યાદ રાખવાની રીત
આપણા દેશમાં અનેક શતાવધાનીઓ થઈ ગયેલા છે અને તેમણે પણ ઘણી મેોટી મોટી સંખ્યાએ માત્ર એક વખત સાંભળીને યાદ રાખી બતાવી છે. તેમાં બે પ્રકાર જોવામાં આવ્યા છે : કેટલાકે પેાતાની નૈસર્ગિક શક્તિથી એમ કરી ખતાવ્યું છે; તે કેટલાકે તે માટે અમુક પદ્ધતિના આશ્રય લીધેલેા છે. આ પદ્ધતિ તે શબ્દપરિવર્તનની પદ્ધતિ છે, એટલે કે અંકાનુ વમાં પરિવર્તન કરવું, તેમાંથી શબ્દો મનાવવા અને તેના આધારે એ સખ્યા યાદ રાખવી.
સંખ્યા કરતાં શબ્દો સહેલાઈથી યાદ રહે છે, તે માટે આ પદ્ધતિ ચૈાજવામાં આવી છે.
શબ્દપરિવતન-પદ્ધતિ
શબ્દપરિવર્તન માટે અમેાએ નીચેની પ`ક્તિ નિયત
કરેલી છે :

Page #52

મેટી સંખ્યાઓ યાદ રાખવાની રીત
નાગરીજ પ્રેમવશ હે દાસ આને અર્થ એ છે કે –
૧ ની જગાએ ન સ્થાપ.
૨ ૩
૭
૨ ૨
-
, ,
2 *
» 9 *
; ) * » *
ગ જ ૫ મ વ.
» ” ? ”
૮
૨ ૨
-
છે .
A
•
@
” ” દ ” આમાં ગમે તે સ્વરની મદદ લઈ શકાય. દાખલા તરીકે ૧ ૨ ૩ ના સ્થાને ન ૨ ગ એવા વણે લીધા, તે ત્યાં
નારંગી” એ શબ્દ બનાવી શકાય. ૩ ૪ ૫ ના સ્થાને ગ જ પ એવા વર્ણો લીધા, તે “ગંજીપ” કે “ગજપતિ' એ શબ્દ બનાવી શકાય. શબ્દરચના માટે ચે અક્ષર લેવામાં આવે તેને અંકની દષ્ટિએ નિરર્થક સમજ.
આ મૂળભૂત વસ્તુ ધ્યાનમાં રાખ્યા પછી શબ્દરચનાની સરલતા ખાતર અન્ય વર્ગો પણ નીચે મુજબ લઈ શકાય ?.
૧ ન, ણ, ક, ખ ૨ ૨, ટ, ઠ, ડ, ઢ ૩ ગ, ઘ.

Page #53

ગણિત-રહસ્ય
» ૪
- 9
5
૪ જ, ચ, છ, ઝ. ૫ ૫, ફે. ૬ મ, બ, ભ. ૭ વ, ત, થ. ૮ શ, ષ, સ. ૯ હ, લ, ક્ષ.
૦ દ, ધ. દાખલા તરીકે ૨ ૩ ૪ ની સંખ્યાનું શબ્દમાં પરિવર્તન કરવાનું છે, તે ર ગ જ એવા વણે લીધા, પરંતુ તેને જોઈએ તે સાર્થ શબ્દ બનતો નથી, તે આ વર્ણોની મદદથી “ઠગ છે' એ શબ્દ બનાવી શકાય. અથવા ૬ ૭ ૮ ની સંખ્યાનું શબ્દમાં પરિવર્તન કરવાનું છે, ત્યાં મ વ શ એવા વણે લીધા, પણ તેને શબ્દ બનાવતાં ફાવતું નથી, તે બ વ શ લઈ તેને “બાવીશી” એ શબ્દ બનાવી શકાય. આ વસ્તુ કેટલેક અભ્યાસ જરૂર માગે છે.
શબ્દો તૈયાર થયા પછી અવધાનકારે તેને પોતાના મનમાં રહેલા ભૂમિકાચિત્ર સાથે જોડે છે કે જેને કમ તથા સ્વરૂપ નિયત થયેલાં હોય છે અને તેના આધારે શબ્દોનું ઉદ્દબોધન કરી મૂળ અંકે કહી આપે છે.
અહીં દૃષ્ટાંત ખાતર ૧૫ અંકની સંખ્યા લઈશું ૧૫૩૨૬૮૪૧૦૮૩૪૭ર આ સંખ્યાના ત્રણ ત્રણ આંકના ટૂકડા બનાવતાં ૧૫૩ ૨૬૮ ૪૧ ૦૮૩ અને ૪૭૨ એવા પાંચ ટુકડા બને છે. હવે તે દરેક ટુકડાનું શબ્દમાં પરિવર્તન કરવું જોઈએ, તે આ રીતે કરી શકાય?

Page #54

મેટી સંખ્યાઓ યાદ રાખવાની રીત
૩૩ ૧ ૨ ૩ ન પ ગ, નપગે. ૨ ૬ ૮ ૨ મ શ, રમેશ. ૪ ૯ ૧ જ હ ન, જહાન અથવા જહાન. ૦ ૮ ૩ દ શ ગ, દશાંગ (ધૂપની એક જાત). ૪ ૭ ૨ જ વ ૨, જવારા.
હવે ભૂમિકાચિત્રમાં અનુક્રમે નીચેનાં ચિત્રે છે ? પહેલું ચિત્ર-ઊનના દડાનું છે. ત્યાં સંબંધ એમ જોડવામાં
આવે કે નાગો માણસ બેઠો બેઠો ઊનના દડા તૈયાર કરે છે, એટલે જ્યારે પણ ઊનના દડાને વિચાર આવે, ત્યારે નપગે યાદ આવવાને અને તેના આધારે
૧ ૨ ૩ એ અંકેનું ઉ ધન થવાનું. બીજે ચિત્ર-સુર એટલે વાજિંત્રનું છે. ત્યાં સંબંધ એમ
જોડવાનું કે રમેશ હાર્મોનિયમ વગાડે છે. જે વાજિંત્રમાં વાલીન કે બીજા વાજિંત્રની ધારણ કરી હોય તે
ત્યાં એ પ્રમાણે સંબંધ જોડાય કે રમેશ વાલીન
વગાડે છે, વગેરે. ત્રીજું ચિત્રઘઉંના ખેતરનું છે. ત્યાં સંબંધ એમ જોડવાને
કે સારી જહાન ઘઉંના ખેતરો પર નભે છે. અથવા આ ઘઉંનું ખેતર જહનની માલીકીનું છે અને તે
જ ત્યાં આવે છે, વગેરે. ચેથું ચિત્ર-જાઈનાં ફૂલનું છે. ત્યાં સંબંધ એમ જોડવાને
કે એક થાળમાં પૂજા માટે જાઈનાં ફૂલે ભરેલી છે અને તેની પાસે દશાંગ ધૂપ સળગી રહ્યો છે.

Page #55

અગણિત રહસ્ય પાંચમું ચિત્ર-પાઉંનું છે. ત્યાં સંબંધ એમ જોડવાને કે
અમુક વ્યક્તિ પાઉને નાસ્તો કર્યા બાદ જવારા રેપે છે; વગેરે.
ભૂમિકાચિત્ર તે અવધાનકારના મસ્તિષ્કમાં સ્થિર જ હોય છે. તે એક પછી એક યાદ કરતાં અનુક્રમે નપગે, રમેશ, જહાન, દશાંગ અને જવારા શબ્દોનું ઉદ્દધન થાય છે અને તેનું અંકમાં પરિવર્તન કરતાં ૧૫૩, ૨૬૮, ૪૯૧, ૦૮૩ અને ૪૭ર એ અંકે કહી શકાય છે. અમે આ રીતે સે અંક સુધીની રકમનું અવધારણ કરેલું છે.
સામાન્ય રીતે અવધાનકારે સંખ્યાવધારણના પ્રયોગમાં ૨૭, ૩૦, ૩૬ કે ૪૮ અંકની સંખ્યાઓ લે છે, તેના જુદા જુદા ટુકડાઓ વિલે-કમે થોડા થોડા સમયના અંતરે સાંભળે છે અને છેવટે તે બધાનું અનુસંધાન કરીને કલાકે બાદ તેની મૂળ રકમ કહી સંભળાવે છે, જે સાંભળતાં પ્રેક્ષકેના આશ્ચર્યને પાર રહેતા નથી.
પ્રસિદ્ધ ગણિતજ્ઞ શ્રી આર્યભટ્ટે સંખ્યાઓનું શબ્દમાં પરિવર્તન કરવા માટે કટપયાદિપદ્ધતિ જ હતી અને તેના આધારે દક્ષિણમાં કેરલપદ્ધતિ યોજાઈ હતી.
અરબી તથા ફારસી ભાષામાં પણ અંકેનું શબ્દમાં પરિવર્તન કર્યાના કેટલાક દાખલાઓ મળી આવે છે, એટલે અંકનું શબ્દમાં પરિવર્તન કરવાની પદ્ધતિ પરત્વે ઘણું પ્રાચીન કાલથી સુનું ધ્યાન ખેંચાયેલું છે અને તે આજે પણ અંક યાદ રાખવાની બાબતમાં પિતાનું વિશિષ્ટ સ્થાન ધરાવે છે.

Page #56

[ ૬ ] અકસ્મૃતિને એક વિલક્ષણ પ્રયોગ
અંક–જાદુગરો (Mathemagicians) અંકસ્મૃતિને એક વિલક્ષણ પ્રગ કરી બતાવે છે. તેઓ આંકડાથી ઉભરાતું એક બર્ડ પ્રેક્ષકેની સમક્ષ ધરે છે કે જેને “અંકસાગર” કે એવું જ બીજું કઈ નામ આપે છે. અંકસાગર એટલે આંકડાઓને સમુદ્ર. તેમાં દશ-દશ અંકની એક એવી સંખ્યાબંધ રકમે લખેલી હોય છે. આમાંની દરેક સંખ્યાની ઉપર નંબર લખેલે હોય છે. જિજ્ઞાસુ તે અંકની રકમ બલવા કહે તે અંક-જાદુગર આંખ બંધ કરી ધીમે ધીમે તેમાંના બધા અંકે યથાકેમ બેસી જાય છે. આથી પ્રેક્ષકો આશ્ચર્યમાં ડૂબી જાય છે કે આ તે કેવી અજબ સ્મૃતિ !
અહીં અંકસાગરમાં ૪૯ સંખ્યાએ લીધી છે અને તેને આડી-અવળી ગોઠવી છે. જેમકે–
૩૯ ૦૫૫૦૫૫૦૫૫૦
૪૩૭૦૭૭૪૧૫૬

Page #57

ગણિત-રહસ્ય
૩૧૪પ૯૪૩૭૦૭
૪૫ ૬૫૧૬૭૩૦૩૩૬
૩૭ ८४२६८४२६८४
૦૨૨૪૬૦૬૬૨૮
૨૧ ૨૩૫૮૩૧૪૫૯૪
૨૯ ०४४८२०२२४६
૬૧૭૮૫૩૮૧૯૦
૧૨ ૩૨૫૭૬૯૧૦૧૧
૧૪ પ૨૭૯૬૫૧૬૭૩
०६१२८०८८६४
૩૧ ૨૪૬૦૬૬૨૮૦૮
૨૭
૯૨૧૩૪૭૧૮૯૭
૩૦. ૧૪પ૯૪૩૭૦૭૭
૮૩૧૪૫૯૪૩૭૦
૨૨ ૩૩૬૫૪૯૩૨૫
૩૪ ૫૪૯૩૨૫૭૨૯૧
૭૫૨૭૯૬૫૧૬૭
४४ પપ૦૫૫૦૫૫૦૫
૩૩ ૪૪૮૨૦૨૨૪૬૦
૪૧૫૬૧૭૮૫૩૮
૧૧ ૨૨૪૬૦૬૬૨૮૦
૧૩ ૪૨૬૮૪૨૬૮૪૨
४७
૫૩૮૧૯૦૯૯૮૭
૮૫૩૮૧૯૦૯૯૮

Page #58

અંકસ્મૃતિને એક વિલક્ષણ પ્રયોગ
૩૭
૧૫
૪૧
રૂપ
૪૮ ૬૪૦૪૪૮૨૦૨૨
૯૫૪૯૩રપ૭૨૯ ૩૮
૧૬ ૫૧૬૭૩૦૩૩૬૯ ૯૪૩૭૦૭૭૪૧૫ ૭૨૯૧૦૧૧૨૩૫
૨૫ ૬૩૯૨૧૩૪૭૧૮ ૭૧૮૯૭૨૩૯૨૧ ૬૨૮૦૮૮૬૪૦૪
૧૭
૩૨ ૨૧૩૪૭૧૮૯૭૬ ૮૨૦૨૨૪૬૦૬૬ ૩૪૭૧૮૯૭૬૩૯
૧૯ ૨૫૭૨૯૧૦૧૧૨ ૦૩૩૬૯૫૪૯૩૨ ૯૧૦૧૧૨૩૫૮૩ ૪૩
૧૦ - ૪૫૯૪૩૭૦૭૭૪ ૮૧૯૦૯૯૮૭૫૨ ૧૨૩૫૮૩૧૪૫૯
૨૮ ૭૩૦૩૩૬૯૫૪૯ ૧૫૬૧૭૮૫૩૮૧ ૯૩૨૫૭૨૯૧૦૧ ૨૧
૪૨ ૧૩૪૭૧૮૯૭૬૩ ૩૫૮૩૧૪૫૯૪૩ ૭૪૧પ૬૧૭૮૫૩
પરંતુ આ કંઈ ખરેખર અંકમૃતિને પ્રયોગ નથી. જાદુગરે જેમ હસ્તલાઘવ એટલે હાથચાલાકીને પ્રયોગ કરે છે, તેમ અંક–જાદુગરે આમાં એક પ્રકારની યુક્તિને આશ્રય
લે છે. તે યુક્તિ આ પ્રકારની હોય છેઃ - જે કમાંકની રકમ પૂછે તેમાં ૧૧ ઉમેરવા અને તે સંખ્યાને ઉલટાવવી. આ રીતે જે બે અંક આવે તેને પૂછાયેલી રકમના પહેલા બે અંકે સમજવા. પછી તે દરેક

Page #59

ગણિત-રહસ્ય અંકને સરવાળે કરતાં જવું. તેમાં દશક છેડી દેવા અને માત્ર એકમ ગ્રહણ કરવા. આ રીતે બાકીના આઠ અંક બેલી જતાં દશ અંકની રકમ બરાબર બેલી શકાય છે. જેમકે—
જિજ્ઞાસુએ છઠ્ઠી સંખ્યા પૂછી,
તે ૨ + ૧૧ = ૧૭. તેને ઉલટાવતાં ૭૧. આ બે અંકે પ્રથમ લખેલા છે. હવે ૭+ ૧ = ૮ તે ૮ એ ત્રીજો અંક
૧+ ૮= ૯ તે ૯ એ ચે અંક ૮+ ૮ = ૧૭ તે ૭ એ પાંચમે અંક ૯ + ૭ = ૧૬ તે ૬ એ છઠ્ઠો અંક ૭+ ૬ = ૧૩ તે ૩ એ સાતમે અંક ૬ + ૩ = ૯ તે ૯ એ આઠમે અંક ૩ + ૯= ૧૨ તે ર એ નવમે અંક ૯ + ૨ = ૧૧ તે ૧ એ દશમો અંક
આ રીતે ૭૧૮૯૭૬૩૯૨૧ ની આખી રકમ બેલી શકાય છે. આ રકમ આગળ પણ લંબાવી શકાય, પણ આ પ્રયોગની સફલ રજુઆત માટે આટલા અંકે જ લેવામાં આવે છે. કેઈ કે માત્ર છ અંકની સંખ્યાઓ બનાવીને પણ આ પ્રગ કરે છે. તેમાં છેલ્લા ત્રણ આંકડા હોતા નથી.

Page #60

[ ૭ ] સંખ્યાને ચમત્કાર
ગણિત-ચમત્કારના ચેથા પ્રકરણમાં કેટલીક ચમત્કારિક સંખ્યાઓ આપી છે. તે સિવાયની બીજી સંખ્યાઓ અહીં આપવામાં આવી છે.
(૧) જેમાં ગુણ્ય અને ગુણકના અંકે જ ઉત્તરમાં આવે છે:
૨૧ ૪ ૬ = ૧૨૬ ૫૧ ૪ ૩ = ૧પ૩ ૧૫૪ ૯૩ = ૧૩૯૫ ૨૧ ૪ ૮૭ = ૧૮૨૭ ૩૫૪ ૪૧ = ૧૪૩૫ ૩૫૧ ૪ ૯=૩૧૫૯ ૪૭૩ ૪ ૮=૩૭૮૪
(૨) જેમાં ગુણ્ય, ગુણક અને ગુણકારમાં ૧ થી ૯ સુધીના તમામ અંકે ગોઠવાયેલા છે અને એક પણ અંકનું પુનરાવર્તન નથી.

Page #61

o
ગણિત-રહસ્ય
૧૩૮૪૪૨ = પ૭૯૬ ૧૫૭ ૪ ૨૮ = ૪૩૯૬ ૧૫૯ ૪૪૮ = ૭૬૩૨ ૧૮૬ x ૩૯ ૭૨૫૪ ૧૯૮૪ ૨૭ = પ૩૪૬ ૨૯૭૪૧૮ = પ૩૪૬ ૪૮૩ ૪ ૧૨ = પ૭૯૬
(૩) જેમાં ગુણ્ય અને ગુણકમાં ૧ થી ૯ સુધીના અંકે આવેલા છે અને ઉત્તરમાં પણ ૧ થી ૯ સુધીના અંકે હાજર છે.
૧૬૫૮૩૭૪૨ X ૯ = ૧૪૯૨૫૩૬૭૮
૩૨૫૪૭૮૯૧ ૪ ૬ = ૧૯૫૨૮૭૪૩૬ (૪) જેમાં ગુણ્ય, ગુણક અને ગુણાકારમાં ૧ થી ૯ સુધીના અંકે તથા દશમું શૂન્ય ગોઠવાઈ ગયેલ છે.
૭૧૫૪૪૬ = ૩૨૮૯૦ (૫) જે સંખ્યાને ૭૩ ના પાડાથી ગુણતાં બધા જ અંકે સમાન આવે છે :
૧૫૨૨૦૭૪ ૭૩ = ૧૧૧૧૧૧૧૧ : ૧૫૨૨૦૭૪ ૧૪૬ = ૨૨૨૨૨૨૨૨ ૧૫૨૦૭૪ ૨૧ = ૩૩૩૩૩૩૩૩ ૧૫૨૦૭ ૪ ૨૯૨ = ૪૪૪૪૪૪૪૪ ૧૫૨૨૦૭૪ ૩૬૫ = પપપપપપપપ

Page #62

સંખ્યાને ચમત્કાર
૧૫૨૨૦૭ ૪૪૩૮ = ૬૬૬૬૬૬૬૬ ૧૫૨૦૭૪ ૫૧૧ = ૭૭૭૭૭૭૭૭ ૧૫૨૨૦૭ ૪ ૫૮૪ = ૮૮૮૮૮૮૮૮ ૧૫૨૨૦૭ ૪ ૬૫૭ = ૯૯૯
(૬) જે સંખ્યાઓને ૭ થી ગુણતાં ગુણાકારમાં બધા અંકે સમાન આવે છે ?
૧૫૮૭૩ ૪ ૭ = ૧૧૧૧૧૧ ૩૧૭૪૬ X ૭ = ૨૨૨૨૨૨ ૪૭૬૧૯ x ૭ = ૩૩૩૩૩૩ ૬૩૪૯૨ X ૭ = ૪૪૪૪૪૪ ૭૯૩૬૫૪ ૭ = પપપપપપ ૯૫૨૩૮૪ ૭ = ૬૬૬૬૬૬ ૧૧૧૧૧ ૮ ૭ – ૭૭૭૭૭૭
૧૨૬૯૮૪ x ૭ = ૮૮૮૮૮૮ ૧૪૨૮૫૭ x 9 = ૯૯૯૯૯
૧૫૮૭૩ ને ૭ ના પાડાથી ગુણીએ તે પણ આવું જ પરિણામ આવે.
(૭) ૧૪૨૮૫૭ ની સંખ્યાને ચમત્કાર નીચેના ગુણ– છે કારમાં પણ જોઈ શકાશે. તેના ઉત્તરમાં આડી તેમજ ઉભી છે અને પંક્તિઓમાં જવાબ આવે છે?
VWVWW.jainelibrary.org

Page #63

૪૨ -
૧૪૨૮૫૭ ૪ ૧ ૧૪૨૮૫૭ ૨ ૩
૧૪૨૮૫૭ × ૨
૧૪૨૮૫૭ × ૨
૨૮
૧૪૨૮૫૭ ૨૪ ૧૪૨૮૫૭ ૪ ૫
૭ ૧ ૪
૨
૮ ૫
(૮) ૧૯ ના અંક સામાન્ય લાગે છે, પરંતુ તેમાં
૯૧૦૯ × ૧ = ૦૯૧૦૯
૯૧૦૯ ૪ ૨ = ૧૮૨૧૮
૯૧૦૯ × ૩ = ૨૭૩૨૭
૯૧૦૯ × ૪ =
૩૬૪૩૬
૯૧૦૯ ૪ ૫ =
૪૫૫૪૫
૧ ૪ ૨ ૮
૪ ૨ ૮ ૫
૨ ૮ ૫
૮ ૫ ૭
૫ ૭ ૧
""
પણ કેટલીક ચમત્કૃતિ રહેલી છે. જેમકે—
૧૯ ૪૧ =
૧ + ૯ = ૧૦
૧૯ અને ૩૮ અને
૧૯૪૨ =
૩ [ ૮ =૧૧
૧૯૪૩ =
૫૭ અને
૫ + ૭ = ૧૨
૭+ ૬ = ૧૩
૧૯ × ૪ = ૭૬ અને ૧૯૪૫ =
૯૫ અને ૯ + ૫ = ૧૪ ૧૯૪ ૬ = ૧૧૪ અને ૧૧ + ૪ = ૧૫ ૧૯ × ૭ = ૧૩૩ અને ૧૩ + ૩ = ૧૯ ૪૮ = ૧૫૨ અને ૧૫ + ૨ = ૧૭ ૧૯ ૪૯ = ૧૭૧ અને ૧૭ + ૧ = ૧૮ ૧૯ × ૧૦= ૧૯૦ અને ૧૯ + ૦ = ૧૯ તથા ૧૯=૧૦
૧૬ તથા ૧ + ૬ = ૭ તથા ૧ + ૭ = ૮ તથા ૧ + ૮ = ૯
(૯) ૯૧૦૯ ની સંખ્યા પણ ચમત્કૃતિવાળી છે. જેમકે:તથા અકાના સરવાળે ૧૯
૨૦
૨૧
૨૨
39
""
૭
""
૧
ગણિત રહસ્ય
૫ ૭
૭ ૧
૪
તથા ૧ + ૦ = ૧
તથા
૧ + ૧ = ૨
તથા
૧ + ૨ = ૩
તથા ૧+૩=૪ તથા ૧ + ૪=૫ તથા ૧+૫==
૧ ૪
૪ ૨
૨૩

Page #64

૨૫
સંખ્યાને ચમત્કાર ૯૧૦૯ ૪ ૬ = ૫૪૬૫૪ તથા અંકોને સરવાળે ૨૪ ૯૧૦૯ ૪ ૭ = ૬૩૭૬૩ ૯૧૦૯ ૪ ૮ = ૭૨૮૭૨
૨૬ ૯૧૦૯ X ૯ = ૮૧૯૮૧
અહીં ગુણાકારથી આવેલા પરિણામના પાંચ સ્તંભ બને છે, તેના પર નજર નાખે, એટલે તેમાં એકેને ચડતે, ઉતરતચડતે, ચડતે તથા ઉતરતે કમ બરાબર ગોઠવાયેલ નજરે. પડશે. જેમકે ૦-૧-૨-૩, ૯-૮-૭-૬, ૧-૨-૩-૪, ૦-૧-૨-૩ તથા ૮-૮-૭-૬. વળી અંકે સરવાળે પણ. ૧૯ થી ૨૭ સુધીને વ્યવસ્થિત કેમ બતાવે છે. (૧૦) હવે રપર ઉપર પણ એક દષ્ટિપાત કરે -
૨૨૨ ૪ ૫ + ૧ = ૨૨૨ ૪૧૦ + ૨ = ૨૨૨૨ ૨૨૨ ૪૧૫ + ૩ = ૩૩૩૩ ૨૨૨ ૪ ૨૦ + ૪ = ४४४४ ૨૨૨ ૪ ૨૫ + ૫ = પપપપ ૨૨૨ ૪ ૩૦ + ૬ = ૨૨૨ ૪ ૩૫ + ૭ = | 9999 ૨૨૨ ૪૪૦ + ૮ = ૮૮૮૮
૨૨૨ ૪૪૫ + ૯ = ૯૯૯ (૧૧) પપપ ની સંખ્યા પણ આવું જ ચમત્કારિક પરિણામ દેખાડે છે.
II
||
||
||
||
||
||

Page #65

ગણિત-રહસ્ય
૧૧૧૧ ૨૨૨૨
૩૩૩૩
+
પપપ × ૨ + ૧ પપપ x 8 + ૨ પપપ x ૬ + ૩ પપપ X ૮ + ૪ પપપ ૪૧૦ + પ પપપ ૪૧૨ + ૬ પપપ ૪૧૪ + ૭ પપપ ૪૧૬ + ૮ પપપ × ૧૮ + ૯
+
४४४४ પપપપ ૬૬૬૬ ૭૭૭૭ ૮૮૮૮ ૯૯
(૧૨) ૩૭૦૩૭ ની સંખ્યા પણ ગુણનમાં ચમત્કાર બતાવે છે. જેમ કે
૩૭૦૩૭ ૪ ૩ = ૧૧૧૧૧૧ ૩૭૦૩૭૪ ૬ = ૨૨૨૨૨૨ ૩૭૦૩૭ ૮ ૯ = ૩૩૩૩૩૩ ૩૭૦૩૭૪ ૧૨ = ૪૪૪૪૪૪ ૩૭૦૩૭ x ૧૫ = ૫૫૫૫૫૫ ૩૭૦૩૭૪ ૧૮ = ૬૬૬૬૬૬ ૩૭૦૩૭ ૪ ૨૧ = ૭૭૭૭૭૭ ૩૭૦૩૭ X ૨૪ = ૮૮૮૮૮૮ ૩૭૦૩૭ ૪ ૨૭ = ૯૯૯૯૯૯
(૧૩) ૮૫૪૭ને ૧૩ના પાડાંથી ગુણતાં આવું જ ચમત્કારિક પરિણામ આવે છે?

Page #66

સંખ્યાને ચમત્કાર
م
૮૫૪૭૪ ૧૩ = ૧૧૧૧૧૧ ૮૫૪૭ ૪ ૨૬ = ૨૨૨૨૨૨ ૮૫૪૭ ૪ ૩૯ = ૩૩૩૩૩૩ ૮૫૪૭ ૪ ૫૨ = ૪૪૪૪૪૪ ૮૫૪૭ ૪ ૬૫ = પપપપપપ ૮૫૪૭ X ૭૮ = ૬૬૬૬૬૬ ૮૫૪૭૪ ૯૧ = ૭૭૭૭૭૭ ૮૫૪૭ ૪૧૦૪ = ૮૮૮૮૮૮
૮૫૪૭૪૧૧૭ = ૯૯૯૯ (૧૪) આઠના અંકની બે ચમત્કૃતિએ ગણિત-ચમત્કારના પાંચમા પ્રકરણમાં બતાવી છે. વિશેષ આ પ્રમાણે સમજવી ?
૯ - ૧ : ૮ = ૧ ૯૮ – ૨ : ૮ = ૧૨ ૯૮૭ – ૩૮=૧૨૩ ૯૮૭૬ – ૪૮ = ૧૨૩૪ ૯૮૭૬૫ – ૫૯૮ = ૧૨૩૪૫ ૯૮૭૬૫૪ – ૬-૮ = ૧૨૩૪૫૬ ૯૮૭૬૫૪૩ – ૭-૮ = ૧૨૩૪૫૬૭ ૯૮૭૬૫૪૩૨ – ૮-૮ = ૧૨૨૪૫૬૭૮ ૯૮૭૬૫૪૩૨૧ – ૯-૮= ૧૨૩૪૫૬૭૮૯
(૧૫) અહીં નવ અકેની એવી રીતે ગોઠવણ કરેલી. છે કે જેમાં પહેલી સંખ્યા કરતાં બીજી બમણી છે અને ત્રીજી ત્રણગણી છે.
و
نیم
VWVWW.jainelibrary.org

Page #67

ગણિત-રહસ્ય (૩) ર૭૩
૫૪૬
(૧) ૧૯૨
૩૮૪
૫૭૬ (૨) ૨૧૯
४३८
૮૧૯
() ૩૨૭
૩૨૭
૬૫૪
૬પ૭
૯૮૧
RU
L

Page #68

[<]
એકી એકીના આકર્ષક પ્રયાગા
તમારા એક હાથમાં ૩ કાડી તથા ખીજા હાથમાં ૪ કીડી હાય અને તમે કોઈ વ્યક્તિને પ્રશ્ન કરો કે મારા કયા હાથમાં એકી છે અને કયા હાથમાં એકી છે? તે કહી આપા, તે શું એ વ્યક્તિ ખાતરીપૂર્વક જવાબ આપી શકશે ખરી ? સંભવ છે કે તેના જવામ ખરા પડે અને સંભવ છે કે તેના જવાબ ખાટા પણ પડે.
કેટલીક જ્ઞાતિઓમાં લગ્ન થઈ ગયા પછી વર-કન્યાને એકી–એકીની રમત રમાડવામાં આવે છે. તે માટે ગાર મહારાજ એક મોટી થાળીમાં કંકુનુ પાણી ભરે છે, તેમાં કેટલીક સાપારીઓ, કેટલીક ખારેક, રૂપાના એક કરડા તથા કેટલુંક રૂપાનાણું નાખે છે. પછી વરને તેમાંથી મૂઠી ભરવાનું કહે છે અને કન્યાએ આંગળી ઊંચી કરીને તેના જવામ આપવાના હાય છે. જો તે એક આંગળી ઊંચી કરે તેા એકી સમજવાની અને એ આંગળી ઊંચી કરે તેા એકી સમજવાની. આ જ રીતે કન્યા વસ્તુઓની મૂડી ભરે તેને જવાબ વરરાજાએ

Page #69

૪૮
ગણિત રહસ્ય
મુખથી આપવાના હાય છે. પ્રાય: ચાર ચાર વાર આ ક્રિયા કરાવવામાં આવે છે અને તેમાં જે ઉત્તરા પ્રાપ્ત થાય તેના પરથી તેમની બુદ્ધિનુ માપ નક્કી કરવામાં આવે છે!
બુદ્ધિનુ માપ કાઢવા માટે આ રીત સાચી છે કે ખાટી? તેની ચર્ચા અહી નહિ કરીએ, પણ સમાજના એક ભાગમાં એકી-એકીની આ પ્રકારની રમત રમાય છે અને તે અનેક વ્યક્તિએમાં કુતૂહલની વૃત્તિ જગાડે છે, એટલું નિશ્ચિત.
યુરોપ-અમેરિકાની પ્રજામાં ‘The dime and Penny” નામની રમત રમાડવામાં આવે છે, તેમાં પણ એકી–એકીનુ જ તત્ત્વ રહેલુ છે.
આમ તા એકી એકીના નિર્ણય કરવા અઘરો છે; પરંતુ ગણિતજ્ઞ ગણિતના થોડા આધાર લઈ ને તેના ચોક્કસ નિર્ણય કરી આપે છે અને તેના આધારે કેટલાક રમુજી પ્રયાગા યેાજે છે, તેનું વિસ્તારથી વિવેચન કરવું, એ આ પ્રકરણના મુખ્ય હેતુ છે.
જે સંખ્યાના છેડે ૧,૩,૫,૭ કે ૯ ના અંક આવેલે હાય તે એકી કહેવાય છે અને ૨,૪,૬,૮ ૩ ૦ ના અક આવેલા હાય તે એકી કહેવાય છે. દાખલા તરીકે અગિયારના પાડામાં ૧૧, ૧૩, ૧૫, ૧૭ અને ૧૯ની સંખ્યાએ એકી છે; કારણ કે તેના છેડે ૧,૩,૫,૭ તથા ના એક આવેલા છે; અને ૧૨, ૧૪, ૧૬, ૧૮ તથા ૨૦ની સંખ્યા એકી છે, કારણ કે તેના છેડે ૨, ૪, ૬, ૮ તથા ૦ ના અંક
આવેલા છે.

Page #70

એકી-એકીના આકર્ષક પ્રયોગા
રકમ ગમે તેટલી મેાટી હાય તે! પણ ફ્રક પડતો નથી. દાખલા તરીકે ૧૪૯૭ ની છે, કારણ કે તેના છેડે છને અક આવેલા છે અને ૨૦૬૧૪ ની સંખ્યા એકી છે, કારણ કે તેના છેડે ૪ના અંક આવેલે છે.
સંસ્કૃત ભાષામાં એકીને સમસંખ્યા અને એકીને વિષમ સખ્યા કહેવોમાં આવે છે તથા અંગ્રેજી ભાષામાં એકીને ઈવન નંબર (Even number ) અને એકીને ડનખર (Odd number) કહેવામાં આવે છે.
હવે એકી અને એકી સ`ખ્યાના સ્વભાવમાં કેવા તફાવત છે ? તે તરફ નજર કરીએ.
એકી સંખ્યાના બે સરખા ભાગ પાડીએ તે જવાબ અપૂર્ણાંકમાં આવે છે. જેમ કે—
૩ : ૨
૫ : ૨ ક
૭ : ૨ -
૩
૧૧ : ૨ = ૫
૧
ર
૪૯
આ વસ્તુમાં સંખ્યા એકી
વગેરે.
એકી સંખ્યાના બે સરખા ભાગ પાડીએ તા જવામ પૂર્ણાંકમાં આવે છે. જેમ કે –
૪ : ૨- ૨
૬ - ૨=૩
૮ : ૨=૪
૧૦ = ૨ = ૫ વગેરે.

Page #71

પ૦
ગણિત-રહસ્ય એકી સંખ્યાને એકીથી ગુણએ તે જવાબ એકીમાં આવે છે અને બેકીથી ગુણએ તે જવાબ બેકીમાં આવે છે, જ્યારે બેકીને એક કે બેકી કેઈ પણ સંખ્યાથી ગુણએ તે પણ જવાબ બેકીમાં જ આવે છે. જેમ કે – એકી ૧૩ ૨૭ ૩૫ ૨૦૯ ૪૫૬૧
૪ ૫ ૮ ૭ ૯ x ૧૧ ૪ ૧૩
૬પ ૧૮૯ ૩૧૫ ૨૨૯૯ ૧૯૨૯૩ એકી ૧૩ ર૭ ૩૫ ૨૦૯ ૫૬૧
x ૬ x ૮ ૮ ૧૦ x ૧૨ x ૧૪ ૭૮ ૨૧૬ ૩૫૦ ૨૫૦૮ ૬૩૮૫૪
૮ ૧૦ ૧૨ ૧૬ ૧૮ એકી ૪ ૭ ૮ ૯ ×૧૧ ૪ ૫ x ૩
૫૬ ૯૦ ૧૩૨ ૮૦ ૫૪
બેકી બેકી
૮ ૧૦ ૧૨ ૪ ૮ x ૧૦ x ૧૨ ૬૪ ૧૦૦ ૧૪૪
૧૬ x ૬ ૯૯
૧૮ ૪ ૪ ૭૨
પ્રગમાં તે મુખ્યત્વે આ જ સિદ્ધાંતને ઉપયોગ થાય છે, એટલે પાઠકે તેના પર બરાબર લક્ષ્ય આપવાની જરૂર છે.
VWVWW.jainelibrary.org

Page #72

એકી-બેકીના આકર્ષક પ્રયોગો
પ્રયોગ પહેલે એક હાથમાં એકી સંખ્યાની કેડી રાખે અને બીજા હાથમાં બેકી સંખ્યાની કેડી રાખે.
ધારો કે તમે જમણે હાથમાં ૩ કોડી લીધી છે અને ડાબા હાથમાં ૪ કેડી લીધી છે.
અહીં ગણિતજ્ઞ સૂચના આપે છે કે તમારા જમણા હાથમાં રહેલી કેડીને ૭ થી ગુણે અને ડાબા હાથમાં રહેલી કેડીને ૧૨ થી ગુણે, તે બંનેને સરવાળે કરે અને જે પરિણામ આવે તે જાહેર કરે.
અહીં જિજ્ઞાસુ નીચે પ્રમાણે ગણિત કરે છે. જમણે ડાબે હાથ ૩ હાથ ૪ Xv
x ૧૨ ૨૧
૨૧ + ૪૮ = ૬૯ ઉત્તર ૬૯ મળતાં જ ગણિતજ્ઞ કહે છે કે તમારા જમણું હાથમાં એકી છે અને ડાબા હાથમાં બેકી છે. જ્યાં બે જે વસ્તુઓને નિર્ણય કરવાનું હોય, તેમાં એકને નિર્ણય કરવાથી બીજાને નિર્ણય આપોઆપ થાય છે એટલે કે જમણા હાથમાં એકી હોય તે ડાબા હાથમાં બેકી હેય અને જમણા હાથમાં એકી હોય તે ડાબા હાથમાં એકી હાય, એ નિશ્ચિત છે.
પરંતુ આ ગુણાકારની રકમ પરથી જમણે હાથમાં એકી છે અને ડાબા હાથમાં બેકી છે, એ નિર્ણય શા

Page #73

પર
ગણિત-રહસ્ય આધારે થાય ? તેને ઉત્તર એ છે કે જમણે હાથમાં રહેલી વસ્તુને ૩-૫૭ આદિ કોઈ પણ એકી અંકથી ગુણાવીએ અને ડાબા હાથમાં રહેલી વસ્તુને ૪-૬-૮-૧૦-૧૨ આદિ કઈ પણ બેકી સંખ્યાથી ગુણાવીએ અને આવેલી રકમને સરવાળે કરાવતાં જે પરિણામ એકી આવે તે જમણું હાથમાં એકી સમજવી અને બેકી આવે તે જમણે હાથમાં બેકી સમજવી. આમાં કદી કોઈ પ્રકારને ફેર પડે જ નહિ. દાખલા તરીકે જિજ્ઞાસુએ પિતાના જમણા હાથમાં ૪ સેપારી અને ડાબા હાથમાં ૩ સેપારી રાખી હોત તે તેનું પરિણામ નીચે મુજબ આવત:–
જમણો ૪ ડાબો ૩. હાથ x ૭ હાથ x ૧૨
૨૮ ૩૬ ૨૮+ ૩૬ = ૬૪ જવાબ બેકી આવ્યો, માટે જમણા હાથમાં બેકી અને જમણા હાથમાં બેકી એટલે ડાબા હાથમાં એકી. - હજી એક વધારે રાખેલે ગણીએ, એટલે આ વસ્તુમાં કઈ શંકા રહેશે નહિ. જમણો ૧૧ ડાબે ૧૬
* ૧૨ ૭૭
૧૯૨ અહીં ૩–૫–૯ વગેરેથી અહીં ૪-૬-૮ વગેરેથી
ગુણતાં એકી જ ગુણતાં બેકી જ પરિણામ આવવાનું. પરિણામ આવવાનું.

Page #74

( ૫૩
એકી-બેકીના આકર્ષક પ્રગ
આ સિદ્ધાંતે જે જમણા હાથમાં એક વસ્તુ હોય અને તેને એકીથી જ ગુણીએ તો પરિણામ એકી આવવાનું અને ડાબા હાથમાં રહેલી બેકીને બેકીથી ગુણતાં પરિણામ બેકી આવવાનું. હવે એકી અને બેકી બેને ભેગાં કરીએ તે જવાબ એકી જ આવવાને, એટલે જમણા હાથમાં એકી હેવાને નિર્ણય થાય છે.
જે જમણે હાથમાં બેકી હોય અને તેને એકીથી ગુણીએ તે જવાબ બેકી આવવાને અને એ વખતે ડાબા હાથમાં બેકી હોય તેને બેકીથી ગુણતાં તેને જવાબ પણ બેકી જ આવવાને. આ બે બેકીને ભેગી કરતાં પરિણામ બેકમાં જ આવવાનું. એટલે જમણા હાથમાં બેકી અને ડાબા હાથમાં એકી હોવાને નિર્ણય થાય છે.
પ્રાગ બીજો એક વાસણમાં ર૫ સેપારી ભરે. પછી એક વિદ્યાથીને લાવીને કહે કે આ બધી સોપારીઓ તારે લઈ લેવાની છે, પણ તેમાંથી કેટલીક જમણું ગજવામાં નાખ અને કેટલીક ડાબા ગજવામાં નાખ.
વિદ્યાથી તે પ્રમાણે કરે છે. અહીં સમજવાનું એટલું જ છે કે ૨૫ સેપારીના ગમે તેવા બે ભાગ કરે તે પણ એકમાં બેકી ને બીજામાં બેકી જ રહેવાની. નીચેની તાલિકા પર નજર કરે, એટલે આ વાત બરાબર સમજાશે –

Page #75

૫૪
૧ + ૨૪ = ૨૫ એકી
૨ + ૨૩ = ૨૫ એકી
૩ + ૨૨ = ૨૫ એકી
૪ + ૨૧ = ૨૫ એકી
૫ + ૨૦ = ૨૫ એકી
૧૧
આ પ્રમાણે ૨૪ + ૧ સુધી સમજવું.
૯
હવે એક ગજવામાં એકી અને બીજા ગજવામાં એકી હાવાથી તેનું ગણિત ઉપર પ્રમાણે જ કરાવવું. જેમકે— તમારા જમણા ગજવામાં જેટલી સેાપારી હેાય તેને ૯ થી ગુણા અને ડામા ગજવામાં જેટલી સોપારી હેાય તેને ૧૪ થી ગુણેા. એ અને રકમનેા જે સરવાળા આવે, તે જાહેર કરે. તે ગણિતવિદ્યાથી નીચે મુજબ કરશે :
જમણુ ગજવુ
ડાબું ગજવુ
X
–
૯૯
ગણિત રહસ્ય
એકી
એકી
એકી
એકી
એકી
૧૯૬
૯૯ + ૧૯૬ = ૨૯૫
એટલે જમણા ગજવામાં એકી સેાપારી અને ડામા ગજવામાં એકી સેપારી.
૧૪
× ૧૪
પ્રયાગ ત્રીજો
આ પ્રયાગમાં આશરે બે ડઝન રકાખીએ અને એ ડઝન ચમચા તથા તે ભરવા માટે એ મેાટી પેટીઓ કે ટમ જેવા વાસણાની જરૂર રહે છે. તેમાં એક પેટીની મહાર

Page #76

એકી-બેકીના આકર્ષક પ્રયોગો
૫૫ ચિકથી જ કે R સંજ્ઞા કરવી અને બીજી પેટીની બહાર ડે કે મેં સંજ્ઞા કરવી. R એટલે રાઈટ–જમણી, L એટલે લેફટ-ડાબી.
પછી જિજ્ઞાસુને કહેવું કે “જુઓ ભાઈ! તમે આ બે પેટીમાંથી કઈ પણ એક પિટીમાં રકાબી અને બીજીમાં ચમચા મૂકી શકે છે, પણ રકાબી બેકી સંખ્યામાં મૂકવાની છે અને ચમચા એકી સંખ્યામાં મૂકવાના છે. તેમાં કંઈ પણ ભૂલ થાય નહિ. - હવે ધારે કે જિજ્ઞાસુ ગુપ્ત રીતે જમણી પેટીમાં ૨૧ ચમચા મૂકે છે અને ડાબી પેટીમાં ૧૨ રકાબી મૂકે છે. તે તેનું ગણિત નીચે પ્રમાણે થશેઃ જમણી પિટી ૨૧ ડાબી પેટી ૧૨
x ૭ (એક) ૧૨ (બેકી) ૧૪૭
૧૪૪ ૧૪૭ + ૧૪૪ = ર૧ એટલે જમણી બાજુ એકી અને ડાબી બાજુ બેકી, તેમાં એકી તે ચમચાની જ હોય, માટે જમણી બાજુની પેટીમાં ચમચા છે અને ડાબી બાજુની પિટીમાં રકાબીઓ છે.
ગણિતજ્ઞ જ્યાં આ નિર્ણય જાહેર કરે છે, ત્યાં પ્રેક્ષકે અજાયબી પામે છે અને તાળીઓને ગડગડાટ કરે છે. - અમે આ ત્રણે ય જાતના પ્રયેગે જુદી જુદી સભામાં કરેલા છે અને તેથી પ્રેક્ષકે ચમત્કાર પામેલા છે.

Page #77

૫૬
ગણિત-રહસ્ય અહીં વિશેષમાં એટલું જણાવવા ઈચ્છીએ છીએ કે કઈ વ્યક્તિના બંને હાથમાં એક કે બંને હાથમાં બેકી હોય તે પણ તેને નિશ્ચયાત્મક ઉત્તર આપી શકાય છે.
પ્રયોગ થે * ગણિતજ્ઞ–તમારા બંને હાથમાં એકી ધારો અથવા બંને હાથમાં બેકી ધારે. આ બંને રકમ બે અંકની હોવી જોઈએ.
જિજ્ઞાસુ-એ પ્રમાણે સંખ્યાઓ ધારી. ગણિતજ્ઞતમારા ડાબા હાથમાં રહેલી સંખ્યાને ૨૦થી ગુણે. જિજ્ઞાસુ-ગુણી. ગણિતજ્ઞતેમાં પાંચ ઉમેરે. જિજ્ઞાસુ-ઉમેર્યા. ગણિતજ્ઞ–આ રીતે આવેલી સંખ્યાને પ થી ગુણે. જિજ્ઞાસુ-ગુણ્યા.
ગણિતજ્ઞ–આ રીતે આવેલી રકમમાં જમણા હાથની સંખ્યા ઉમેરે.
જિજ્ઞાસુ–ઉમેરી. ગણિતજ્ઞ–તેમાં ચાર ઉમેરો. જિજ્ઞાસુ-ઉમેર્યા. ગણિતજ્ઞ–આવેલું પરિણામ કહો. જિજ્ઞાસુ-૧૪૫૪. ગણિતજ્ઞતે તમે બંને હાથમાં એકી સંખ્યાઓ ધારી છે. જિજ્ઞાસુ-ઉત્તર બરાબર છે.

Page #78

એકી-એકીના આકર્ષક પ્રયોગા
જિજ્ઞાસુએ એકી કે એકી કોઈ પણ એ અંકની રકમ ધારી હાય તા ગણિત આ પ્રમાણે જ કરાવવું. જો તેના છેડે એકી અંક આવે તા સમજવુ કે તેણે અને હાથમાં એકી સંખ્યાઓ ધારી છે અને છેડે એકીઅ આવે તે સમજવું કે તેણે બંને હાથમાં એકી સંખ્યા ધારી છે. હવે ઉપરના પ્રયાગની મૂળ રકમે જોઈએ અને તેનુ ગણિત કરીએ, એટલે આ વસ્તુ ખરાખર ધ્યાનમાં આવી જશે. જિજ્ઞાસુએ પેાતાના ડાબા હાથમાં ૧૩ની સંખ્યા ધારી છે અને જમણા હાથમાં ૧૫ની સંખ્યા ધારી છે, તેથી ગણિત નીચે પ્રમાણે થશે :
૧૩ ડાબા હાથની સંખ્યા
× ૨૦
૨૬૦
+ ૫
૨૬૫
× ૫
૧૩૨૫
+ ૧૫ જમણા હાથની સંખ્યા
૧૩૪૦
+ ૪
૧૩૪૪ છેડે એકી આવી છે, માટે અને હાથમાં એકી હાવી જોઇએ.
•

Page #79

૫૮
ગણિત-રહસ્ય - હવે જિજ્ઞાસુએ બંને હાથમાં બેકી એટલે ડાબા હાથમાં ૧૪ અને ૧૬ ની સંખ્યા ધારી હતી, તો શું પરિણામ આવત, તે જોઈએ.
૧૪ ડાબા હાથની સંખ્યા X ૨૦
૨૮૫
૪ ૫ ૧૪૨૫ + ૧૬ જમણુ હાથની સંખ્યા ૧૪૪૧
+ ૪ ૧૪૪૫ છેડે એકી આવી છે, માટે બંને હાથમાં
બેકી હેવી જોઈએ. જિજ્ઞાસુએ બંને હાથમાં માત્ર એક અંકની એકી કે બેકી સંખ્યા ધારી હોય તે પણ આ જ પ્રમાણે ઉત્તર આપી શકાય છે, પણ ત્યાં પ્રથમ પગથિયે ૨૦ ને બદલે માત્ર ૨ થી ગુણાકાર કરાવો. જેમકે
ડાબા હાથમાં ૫ અને જમણે હાથમાં છ ની સંખ્યા ધારી છે, તે તેનું ગણિત નીચે પ્રમાણે થશે –

Page #80

એકી-બેકીના આકર્ષક પ્રગ
- ૫ ડાબા હાથની સંખ્યા x ૨ ૧૦ + ૫
૧૫
*
૫
૭૫ + ૭ જમણા હાથની સંખ્યા
+ ૪. ૮૬ છેડે બેકી અંક આવ્ય, માટે બંને હાથમાં
એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ. હવે ડાબા હાથમાં ૬ અને જમણે હાથમાં ૮ ની સંખ્યા ધારી હતી તે પરિણામ નીચે મુજબ આવત :–
૬ ડાબા હાથની સંખ્યા X ૨ ૧૨
१७
+ ૮ જમણા હાથની સંખ્યા
૯૩
+ ૪ ૯૭ છેડે એકી અંક આવે, માટે બંને હાથમાં
બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
:

Page #81

[૯] સમફરક સંખ્યાઓને સરવાળો
સમફરક સંખ્યાઓ કોને કહેવાય? તેને ઝડપી સરવાળે -ફરવાની રીત કઈ? અને તેને લગતે ચમત્કારિક પ્રયોગ શી રીતે થાય છે? તેનું સ્પષ્ટીકરણ આ પ્રકરણમાં કરવામાં આવ્યું છે.
સમ એટલે સમાન, ફરક એટલે અંતર કે તફાવત. - તાત્પર્ય કે જે સંખ્યાઓની વચ્ચે એક સરખો ફરક, એક
સરખું અંતર કે એક સરખે તફાવત હોય, તેને સમફરક - સંખ્યા કહેવાય છે.
૩, ૪, ૫, ૬, ૭, ૮, ૯ આ બધી સમફરક સંખ્યાઓ છે, કારણ કે તેમની વચ્ચે એકસરખું ૧ નું અંતર છે.
૩+૧=૪. ૪+ ૧ = પ. ૫ + ૧ = ૬. ૬+૧=૭ વગેરે.
૪, ૬, ૮, ૧૦, ૧૨, ૧૪ પણ સમફરક સંખ્યાઓ છે, કારણ કે તેમની વચ્ચે એકસરખું ૨ નું અંતર છે.
૪+ ૨ = ૬. ૬ + ૨ = ૮. ૮ + ૨ = ૧૦ વગેરે.

Page #82

સમક સંખ્યાઓનેા સરવાળા
૬૧.
૫, ૧૦, ૧૫, ૨૦, ૨૫ એ પણ સમફક સંખ્યાઓ છે, કારણ કે તેમની વચ્ચે એકસરખું પાંચનુ અંતર છે અને ૧૦૦, ૨૦૦, ૩૦૦, ૪૦૦, ૫૦૦ એ પણ સમક સ' છે, કારણ કે તેમની વચ્ચે એકસરખુ` ૧૦૦ નું અંતર છે.
આ જ રીતે ૨૦, ૧૯, ૧૮, ૧૭, ૧૬, ૧૫, ૧૪ એ પણ સમફરક સંખ્યાઓ છે, કારણ કે તેમની વચ્ચે એક સરખું ૧ નું અંતર છે.
૨૦ - ૧ = ૧૯, ૧૯-૧=૧૮, ૧૮-૧-૧૭ વગેરે.
અને ૨૭, ૨૪, ૨૧, ૧૮, ૧૫, ૧૨, ૯ વગેરે પણસમક સખ્યાએ છે, કારણ કે તેમની વચ્ચે એક સરખુ ૩ નું અંતર છે.
૨૭-૩=૨૪. ૨૪-૩= ૨૧. ૨૧ - ૩=૧૮ વગેરે.
આ પરથી એમ સમજવાનુ કે સંખ્યાને ક્રમ ચડતા હાય કે ઉતરતા હાય, પણ જો સંખ્યાઓ વચ્ચેના ફક એકસરખા ચાલુ હોય તેા તેને સમફક સંખ્યા કહેવાય.
૩, ૪, ૬, ૯, ૧૬, ૨૭ એ સમફરક સંખ્યાઓ નથી, કારણ કે ૩ અને ૪ ની વચ્ચે ૧ નું અંતર છે; ૪ અને ૬ ની વચ્ચે ૨નું અંતર છે; ૬ અને ૯ ની વચ્ચે ૩ નું અંતર છે; ૯ અને ૧૬ ની વચ્ચે ૭ નું અંતર છે અને ૧૬ તથા ૨૭ની વચ્ચે ૧૧ નુ અંતર છે.

Page #83

ગણિત-રહસ્ય આ રીતે ૩પ, ર૨, ૧૧, ૮, ૫ એ પણ સમફરક સંખ્યાઓ નથી, કારણ કે તેમની વચ્ચે એકસરખું અંતર નથી.
આટલા વિવેચનથી પાઠકને સમફરક સંખ્યાને સ્પષ્ટ ખ્યાલ આવી ગયો હશે. સમફરક સંખ્યાને સમાંતર સંખ્યા પણ કહેવામાં આવે છે.
સમફરક સંખ્યાઓને સરવાળે કરે છે તે ચાલુ રીતથી થઈ શકે છે, પણ આ સંખ્યાઓનું પ્રમાણ ઘણું મોટું હોય ત્યાં આ રીતે કામ આવી શકતી નથી. દાખલા -તરીકે ૧ થી ૯ સુધીને સરવાળે કરવો હોય તો ચાલુ રીત પ્રમાણે નીચે મુજબ થાયઃ
-
જ
»
=
•
=
0
છે
તે પણ
અને ૧૧ થી ૨૫ ને સરવાળો કરે ચાલુ રીત મુજબ નીચે પ્રમાણે થાય? -

Page #84

સમરિક સંખ્યાઓને સરવાળે
૧ પ
૧૬
१७
0.
0
0
૨૪
૨૫
૨૭૦
પર' ૧ થી ૯૯ સુધીને કે ૯૯ સુધીને સરવાળે કરે હોય તે આ રીત ઘણું જ લાંબી પડે અને તેમાં સમય પણ ઘણે જાય; તેથી ગણિતવિશારદોએ સમફરક સંખ્યાઓને સરવાળે કરવાની એક સુંદર રીત શોધી કાઢી છે અને તેથી આપણું કામ સરળ બને છે.
આ રીતના ચાર પગથિયાં નીચે મુજબ છેઃ

Page #85

ગણિત-રહસ્ય (૧) આદિપદ અને અંત્યપદને સરવાળે કરે.
સરવાળે કરવા માટે જે સંખ્યાઓની સ્થાપના કરી હોય તેમાંની પહેલી સંખ્યાને આદિપદ સમજવું અને છેલ્લી સંખ્યાને અંત્યપદ સમજવું. (૨) આ રીતે જે સંખ્યા પ્રાપ્ત થાય તેને ગ૭થી
ગુણવી.
ગચ્છ એટલે સરવાળા માટેની કુલ સંખ્યાઓ. (૩) તેનું જે પરિણામ આવે તેને ૨ થી ભાગવું. (૪) જે ભાગ આવે તેની બરાબર સંખ્યાઓને
સરવાળે સમજે.
પ્રાચીન ગણિતમાં આવા સરવાળાને સંવર્ધન કહેવામાં આવ્યું છે.
હવે આ રીત અજમાવી જોઈએ, એટલે તેની અસરકારકતા ધ્યાનમાં આવશે.
દાખલા (૧) ૧ થી ૯ સુધીના અંકોને સરવાળે શું?
આ સમફરક સંખ્યાને જ દાખલે છે, કારણ કે બધા અંકે વચ્ચે એકસરખું ૧ નું અંતર છે. અહીં ૧ એ આદિપદ છે અને હું એ અંત્યપદ છે, તે બંનેને સરવાળે કરતાં ૧૦ ની સંખ્યા આવે છે. અહીં કુલ નવ રકમેને સરવાળે કરવાનો છે, એટલે ગચ્છની સંખ્યા ૯ છે. તેથી ૧૦ ને ૯ થી ગુણવા.

Page #86

સમરિક સંખ્યાઓને સરવાળે
જોઈએ. તેમ કરતાં પરિણામ ૯૦ આવે છે. તેને રથી ભાગતાં ભાગતાં ૪૫ આવે છે, એટલે ૪૫ એ
તેને સરવાળે છે. (૨) ૧૧ થી ૨૫ સુધીની સંખ્યાઓને સરવાળે શું?
આદિપદ ૧૧ + અંત્યપદ ૨૫ = ૩૬ ૪ ગચ્છ - ૧૫ = ૫૪૦ + ૨ = ૨૭૦.
ચાલુ રીતથી આ દાખલ કરતાં સંખ્યાઓને મોટો સ્તંભ રચે પડ્યો હતો, જ્યારે આ રીતથી
બહુ ટુંકાણમાં જવાબ આવી ગયે. (૩) ૪, ૬, ૮, ૧૦, ૧૨, ૧૪ તથા ૧૬ ને સરવાળે શું? - આદિપદ ૪ + અંત્યપદ ૧૬ = ૨૦ ૮ ગચ્છ ૭ =
૧૪૦ + ૨ = ૭૦. (૪) ૩, ૬, ૯, ૧૨, ૧૫, ૧૮, ૨૧, ૨૪, ૨૭ તથા ૩૦
ને સરવાળે શું ? - આદિપદ ૩ + અંત્યપદ ૩૦ = ૩૩ ૪ ગ૭ ૧૦
= ૩૩૦ - ૨ = ૧૬પ. (૫) ૧ થી ૯૯ સુધીની સંખ્યાઓને સરવાળે શું? - આદિપદ ૧ + અંત્યપદ ૯૯ = ૧૦૦ ૪ ગચ્છ
૯૯ = ૯૦૦ +૨= કલ્પ૦. - (૬) ૧ થી ૯ સુધીની સંખ્યાઓને સરવાળે શું?
' આદિપદ ૧ + અંત્યપદ ૯૯ = ૧૦૦૦ ૪ ગચ્છ - ૯૯ = ૯૯૯૦૦૦ + ૨ = ૪૯૫૦૦.
VWVWW.jainelibrary.org

Page #87

E
ગણિત-રહસ્ય
(૭) એક ગૃહસ્થ દેવમંદિરે જતાં પહેલે પગથિયે ૧ રૂપિયા, ખીજા પગથિયે ૬ રૂપિયા, ત્રીજા પગથિયે ૧૧ રૂપિયા એમ દરેક પગથિયે પાંચ-પાંચ રૂપિયા વધારે મૂકતા જાય છે. હવે એ મંદિરને આઠ પગથિયાં છે, તે તે કુલ કેટલા રૂપિયા મૂકશે ?
અહીં આદિપદ્મ ૧ છે, પણ અત્યપદ શું ? તે સ્પષ્ટ કરેલું નથી, એટલે પ્રથમ તે નક્કી કરી લેવુ જોઈ એ. મદિરને કુલ આઠ પગથિયાં છે. તેમાં પહેલે પગથિયે ૧ રૂપિયા મૂકેલા છે, એટલે બાકી રહ્યાં છ પગથિયાં. તે દરેક પગથિયે પાંચ-પાંચ રૂપિયા વધારે મૂકયા છે, એટલે કુલ ૩૫ રૂપિયા વધારે મૂકાયા છે, તેથી છેલ્લે પગથિયે ૧ + ૩૫ = ૩૬ રૂપિયા મૂકેલા છે.
આદિ ૧ + અંત્યપદ ૩૬
= ૩૫ X ૨૭ ૮
=૨૯૬:૨= ૧૪૮.
એ ગૃહસ્થે કુલ ૧૪૮ રૂપિયા મૂકયા.
(૮) એક ઘેાડી વછેરાને જન્મ આપી દરરેાજ ૧૫ ગાઉની ઝડપે આગળ ચાલતી જાય છે અને વછેરૂ પહેલા દિવસે ૧ ગાઉ, બીજે દિવસે ૨ ગાઉ, ત્રીજે દિવસે ૩ ગાઉ, એમ અનુક્રમે પેાતાની ઝડપ વધારતુ જાય છે, તે એ વછેરૂ કેટલામા દિવસે પેાતાની માતાને
મળશે ?
આ દાખલા કોયડા જેવા છે, પણ તર્કશક્તિના થોડા ઉપયાગ કરીએ તે તેના ઉત્તર સહેલાઈથી મળી જાય છે.

Page #88

સમરિક સંખ્યાઓને સરવાળે
ઘડીની ઝડપ રેજની ૧૫ ગાઉની છે અને વછેરાની ઝડપ ૧ ગાઉથી અનુક્રમે વધતી જાય છે, એટલે પંદરમ દિવસે તેની ઝડપ સરખી થઈ જાય છે. હવે પ્રથમના ૧૪ દિવસમાં તેણે અનુકમે ૧૪, ૧૩, ૧૨ ગાઉ ઓછું અંતર કાપેલું છે, તેટલું અંતર કાપવા માટે તેણે બીજા ચૌદ દિવસને પ્રવાસ કરે જોઈએ. એટલે ૧૫ + ૧૪= ૨૯ મા દિવસે તે વછેરૂં પિતાની માતાને મળશે.
ઘોડીનો પ્રવાસ ૨૯૪૧૫ = ૪૩૫ વછેરાને પ્રવાસ.
આદિપદ ૧ + અંત્યપદ ૨૯ = ૩૦ ૪ ગ૭ ૨૯ = ૮૭૦ - ૨ = ૪૩૫.
ટૂંકી રીત સમફરક સંખ્યાને સરવાળે કરવાનું હોય અને તેમાં ગછની સંખ્યા એકી હેય તે આ રીતને હજી ટુંકી કરી શકાય છે. તે આ પ્રમાણે –
મધ્ય સંખ્યા ૮ ગચ્છ = ઉત્તર. દાખલા તરીકે ૧ થી ૯ અંકને સરવાળે કરે છે. ૧, ૨, ૩, ૪, ૫, ૬, ૭, ૮, ૯
અહીં પ એ મધ્ય સંખ્યા છે અને ગચ્છની સંખ્યા ૯ છે, તેથી ૫૪૯= ૪૫, એ તેને ઉત્તર છે.

Page #89

ગણિત-રહસ્ય ૧૧ થી ૨૫ સુધીની સંખ્યાને સરવાળે કરવાને છે, તેમાં પણ ગચ્છની સંખ્યા ૧૫ એટલે એકી છે, તે ત્યાં આ રીત અજમાવી શકાય. - કુલ સંખ્યા ૧૫ છે, તેથી આઠમી સંખ્યા એ મધ્ય સંખ્યા છે. અહીં આઠમી સંખ્યા ૧૮ છે, તેથી ૧૮ * ૧૫ = ૨૭૦ એ તેને જવાબ છે.
આ રીત મોટા દાખલાઓમાં ઘણું સુંદર કામ આપે છે. જેમ કે નીચેની નવ સમફરક સંખ્યાને સરવાળે કરવાને છે ?
૧૦૧ ૧૧૪ ૧૨૭ ૧૪૦ ૧૫૩> ૧૬૭ ૧૭૯૯ ૧૯૨ ૨૦૫ તે આ રીત મુજબ અહીં નીચે પ્રમાણે ગણિત કરવું પડેઃ
આદિપદ ૧૦૧ + અંત્યપદ ૨૦૫ = ૩૦૬ ૮ ગરછ ૯ = ૨૭૫૪ - ૨ = ૧૩૭૭.
પણ ટૂંકી રીત અજમાવીએ તે ૧૫૩ X ૯ = ૧૩૭૭ આ રીતે તેને જવાબ આવી જાય છે. . હવે ગણિત સમફરક સંખ્યાઓને એક ચમત્કારિક પ્રાગ શી રીતે કરે છે? તે જોઈએ.

Page #90

સમરિક સંખ્યાઓને સરવાળે અગિયાર સમફરક રકમને મૌખિક સરવાળે
ગણિતજ્ઞ–સજજને અને સન્નારીએ! સરવાળાનું કામ કેવું માથાકુટિયું છે, તે તમે બધા જાણે છે. તેમાં ચાર-ચાર કે પાંચ-પાંચ અંકની સંખ્યા હોય અને એવી અગિયાર સંખ્યાઓને સરવાળો કરે હેય ? હું માનું છું કે તમારામાંથી કઈ પણ એ માટે હિંમત કરી શકશે નહિ, પરંતુ હું તમને એ પ્રયોગ અબઘડી જ કરી બતાવું છું.
કોઈ પણ એક મહાશય બહાર આવે અને તે કાગળ પર સમફરક અગિયાર સંખ્યાઓ એકની નીચે બીજી, બીજીની નીચે ત્રીજી એમ લખી નાખે. આ સંખ્યા ચાર અંકની લખવી.
એક ગૃહસ્થ બહાર આવે છે અને તે કાગળ પર ચાર અંકની અગિયાર સમફરક સંખ્યાઓ લખે છે.
• ગણિતજ્ઞ–આ બધી સંખ્યાઓને સરવાળો કરી રાખે, જેથી મારા જવાબ સાથે તેની સરખામણી થઈ શકે. - જિજ્ઞાસુ–તે પ્રમાણે સરવાળો તૈયાર કરે છે. :
ગણિતજ્ઞ-હવે લખેલી સંખ્યાઓ એક પછી એક સંભળાવી દે.
એટલે જિજ્ઞાસુ નીચે પ્રમાણે અગિયાર સંખ્યાઓ સંભળાવે છે :
પહેલી સંખ્યા ૨૫૪૧ બીજી સંખ્યા ૨૫૩૦
સંખ્યા ૨૫૧૯
ત્રીજી

Page #91

:
છઠ્ઠી
ગણિત-રહસ્ય ચેથી સંખ્યા ૨૫૦૮ પાંચમી સંખ્યા ૨૪૯૭
સંખ્યા ૨૪૮૬ સાતમી સંખ્યા ૨૪૫ આઠમી સંખ્યા ૨૪૬૪ નવમી સંખ્યા ૨૫૩ દશમી સંખ્યા ૨૪૪૨ અગિયારમી સંખ્યા ૨૪૩૧
આ રકમ સાંભળી લીધા પછી તરત જ ગણિત એક કાગળની કાપલી માગે છે અને તેના પર નીચે મુજબ ઉત્તર લખી આપે છે :
२ ७ 3 ४६
આથી પ્રેક્ષકો આશ્ચર્યમાં ડૂબી જાય છે. પ્રથમ તે તેમને એ વિચાર આવે છે કે આટલી બધી સંખ્યાઓ યાદ શી રીતે રહે? બીજે વિચાર એ આવે છે કે કદાચ આ સંખ્યાઓ યાદ રહી જાય તે પણ તેને ક્રમશઃ સરવાળે શી રીતે થતું જાય? અને કદાચ કોઈ રીતથી થતું હોય તે પણ તેને માટે સમય જોઈએ, જ્યારે ગણિતજ્ઞ તે આંખના પલકારામાં જવાબ આપી દે છે !!
પરંતુ તેમને શી ખબર કે ગણિતજ્ઞ તે અગિયાર પૈકી માત્ર એક છઠ્ઠી સંખ્યા જ યાદ રાખે છે અને તેને ૧૧ થી ગુણીને તેને જવાબ લખાવી દે છે.
૨૪૮૬ ૪ ૧૧ = ૨૭૩૪૬.

Page #92

સમફરક સંખ્યાઓને સરવાળે
-
૭
અહીં એ પણ સ્પષ્ટ કરવું જોઈએ કે કઈ પણ સંખ્યાને ૧૧ થી ગુણવી હોય તે બહુ સહેલાઈથી ગુણી શકાય છે. તેમાં માત્ર ગુણ્ય રકમ ઉપર જ ધ્યાન આપવાનું હોય છે. ગુણુક રકમ લખવાની જરૂર રહેતી નથી.
અગિયારને ગુણાકાર કરતાં છેલે અંક તે એને એ જ આવે છે. તેની જમણી બાજુ સ્થાપન કરવામાં આવે છે અને ત્યાર પછી પાછળ-પાછળના અંકેને સરવાળે કરતાં જે અંકે આવે તે એમાં જોડતા જાય છે. છેવટે જે અંક વધે તે એમને એમ મૂકવામાં આવે છે. તે આ પ્રમાણે
૨ ૪ ૮ ૬ ને ૧૧ થી ગુણવા છે, તે એકમના સ્થાને દશકના સ્થાને ૬ + ૮ = ૧૪ તેમને
વૃદ્ધિ ૧ પાસે રાખી. શતકના સ્થાને ૮૪=૧૨+૧ વૃદ્ધિ = ૧૩ તેમાંને ૩
વૃદ્ધિ ૧ પાસે રાખી. હજારના સ્થાને ૪+૨=૬+૧ વૃદ્ધિ = ૭ છેલ્લે વચ્ચે ૨
આ રીતે નીચેથી ઊંચે ગણતાં ૨૭૩૪૬ ની સંખ્યા આવી જાય છે. - ગણિતજ્ઞો ૧૧ ના ગુણાકારથી ટેવાયેલા હોય છે, એટલે તેઓ સંખ્યા સામે નજર રાખીને જ તેને જવાબ લખી નાખે છે. - આ રીતે પાંચ, છ કે સાત અંકની સમરિક સંખ્યા* ઓના સરવાળા પણ ઝડપથી કરી શકાય છે.

Page #93

[૧૦] ત્રણ ક્રમિક સંખ્યાઓનું શોધન
મંડળી કે મિજલસ જામી હોય અને ગણિતના આઠ– દશ ચમત્કારિક પ્રયોગ કરી બતાવવાને પ્રસંગ આવે તે
આ પ્રયોગ જરૂર કરવા જેવું છે. તેમાં કાગળ તથા પેન્સીલ સિવાય અન્ય સાધનની જરૂર પડતી નથી. તેની રજૂઆત સામાન્ય રીતે આ પ્રમાણે થાય છે?
ગણિતજ્ઞ મંડળી કે મિજલસને ઉદ્દેશીને કહે છે : “સગૃહસ્થ તથા સન્નારીઓ ! કેઈ ત્રણ વ્યક્તિ જંગલમાં ભૂલી પડી હોય કે ગૂમ થઈ ગઈ હોય તે તેને શોધવાનું કામ કેટલું અઘરું છે, તે તમે બધાં જાણો છો. આવું જ અઘરૂં કામ ત્રણ ક્રમિક સંખ્યાઓને શેધવાનું છે કે જે લખાયા પછી અનેક જાતના આંકડાઓના સરવાળા તથા ગુણાકારમાં ગુમ થઈ જાય છે. પરંતુ એ અઘરું કામ આંખના પલકારા માત્રમાં સિદ્ધ કરી બતાવવા માટે હું તમારી સમક્ષ ઊભું થયે છું. હવે તમે બધા તમારું ધ્યાન મારા પર કેન્દ્રિત કરશે અને હું જે કંઈ કહું તે પર બરાબર ધ્યાન આપશે.

Page #94

ત્રણ ક્રમિક સંખ્યાઓનું શાધન
આપનામાંથી કોઈ પણ ભાઈ કે બહેન ઉભા થાય.' એક ભાઈ ઊભા થાય છે.
ગણિતજ્ઞ—તમે એક કાગળ પર ૧ થી ૯૯ સુધીમાં આવતી કાઈ પણ ત્રણ ક્રમિક સખ્યાએ લખા. જે સંખ્યાએ ક્રમ પ્રમાણે લખાય, તે ક્રમિક કહેવાય. દાખલા તરીકે ૧-૨-૩ એ ક્રમિક સંખ્યા છે; ૯-૧૦-૧૧ એ પણ ક્રમિક સાંખ્યા છે; ૩૫-૩૬-૩૭ એ પણ ક્રમિક સંખ્યા છે. આ પ્રમાણે તમારે ત્રણ ક્રમિક સંખ્યા લખવાની છે.
જિજ્ઞાસુ—આવી સંખ્યાને અંગ્રેજીમાં શું કહે છે?
ગણિતજ્ઞ—આવા પ્રશ્ન કેમ પૂછવા પડ્યો ? આપણી ભાષામાં ગણિત માટે પૂરતા શબ્દો છે. છતાં તમારે જાણવું જ હાય તા કહું છે કે અંગ્રેજી ભાષામાં એને કેન્ઝીકયુટીવ નખસ ( Consecutive numbers) કહે છે.
વારુ, તમે ત્રણ ક્રમિક સખ્યાએ લખી ?
જિજ્ઞાસુ—હા જી.
ગણિતજ્ઞ—હવે એ ત્રણ રક્રમેાને સરવાળે કરો. જિજ્ઞાસુ——કર્યાં.
૭૩
ગણિત—હવે પછી તમને કેટલીક સ ંખ્યાઓ લખાવવામાં આવશે, તેને પણ તમારે સરવાળા જ કરવાના છે, એટલે એકની નીચે ખીજી, ખીજીની નીચે ત્રીજી એમ જ લખવાનુ રાખશે.

Page #95

ગણિત-રહસ્ય જિજ્ઞાસુ—ભલે.
ગણિતજ્ઞ–સજજને અને સન્નારીઓ ! હવે તમારામાંથી પાંચ વ્યક્તિઓ ઊભી થઈ જાય. તેમણે ગણિત કરવાનું નથી, પણ માત્ર સંખ્યાઓ જ બલવાની છે અને તે એક કે બે આંકડાની જ બલવાની છે.
મિજલસમાંથી પાંચ વ્યક્તિએ ઊભી થાય છે. એક પ્રશ્ન—આમાં કઈ છઠ્ઠી વ્યક્તિ મળે તે ચાલે?
ગણિતજ્ઞ–જરૂર. આપ છઠ્ઠા. હજી પણ કેઈને ઊભા થવાની ઈચ્છા હોય તે થઈ શકે છે. હું બીજી બે વ્યક્તિએને મંજૂર રાખીશ.
છઠ્ઠી, સાતમી તથા આઠમી વ્યક્તિ ઊભી થાય છે, ગણિતજ્ઞ તેમને સંખ્યા લખવાનું કહે છે અને તેઓ એક કે બે આંકની સંખ્યા લખાવી દે છે. ગણિતજ્ઞ તે બધી સંખ્યામાં એક કાગળ પર લખી લે છે અને છેવટે પિતાના તરફથી ૧, ૨ કે ૩ ને આંક જિજ્ઞાસુને લખાવે છે. આ રીતે કુલ ૯ સંખ્યાઓ થઈ તેને જિજ્ઞાસુએ સરવાળે કરવાનો હોય છે, જે બે કે ત્રણ મીનીટમાં તે કરી લે છે.
ગણિતજ્ઞ–કેમ સરવાળે થઈ ગયે? તેમાં કઈ ભૂલ તે નથી રહી ગઈ, તે બરાબર જોશે.
જિજ્ઞાસુ ફરી એક વાર તેને સરવાળે કરી જવાબ આપે છે કે સરવાળે બરાબર છે.
ગણિતજ્ઞ–ઘાણું સારું, ગણિતમાં આવી જ એકસાઈ જોઈએ. હવે તમારા સરવાળાને ૬૭ થી ગુણે.
જિજ્ઞાસુ ગુણાકાર કરે છે.

Page #96

ત્રણ કમિક સંખ્યાઓનું ધન
ગણિતજ્ઞ–આવેલું પરિણામ જણાવો.
જિજ્ઞાસુ પરિણામ જણાવે છે, એટલે ગણિતજ્ઞ તરત જ કહી આપે છે કે તમે કાગળ પર લખેલી ત્રણ કમિક સંખ્યાઓ અમુક છે. આથી સભામાં આશ્ચર્ય ફેલાય છે અને બધા તાળીઓ પાડે છે.
હવે આ પ્રગનું રહસ્ય સમજીએ. તે એક-બે દાખલા ગણવાથી જ બરાબર સમજાશે.
ધારે કે મુમુક્ષુએ નીચે પ્રમાણે ત્રણ કમિક સંખ્યાઓલખી છે:
૩૨
૩૩ તેને સરવાળે આવશે– ૯ ધારે કે સભાજનોએ તેમાં નીચે પ્રમાણે રકમ ઉમેરાવી છે.
૩૫.
૭૨.
પ
.
૮૩
આ રકમોને સરવાળો થશે— ૩૪૧ - આ રકમ ત્રણે ભાજ્ય બને તેમ કરવાની જરૂર છે. તે માટે ગણિતજ્ઞ તેમાં ઉમેરાવશે
એટલે તેને સરવાળે થશે– ૩૪૨

Page #97

ગણિત-રહસ્ય આ પ્રયોગમાં આ વસ્તુ ઘણું મહત્વની છે. ગણિતજ્ઞ તેને તરતજ ૩ થી ભાગશે કે જેને ઉત્તર ૧૧૪ આવશે. પછી તેને કાગળના છેડે લખી રાખશે.
હવે જિજ્ઞાસુની રકમ છે ૯૬
તેમાં ઉમેરાશે ૩૪૨ તેનું પરિણામ આવશે
૪૬૭
૪૩૮
3०६६ ૨૬૨૮૪
પરિણામ આવશે– ૨૩૪૬ હવે ગણિતજ્ઞ એટલી ખાતરી કરી લેશે કે આ ગુણાકાર બરાબર છે કે નહિ? તેને શંકા હશે તે આ ગુણકાર ફરી એક વાર તપાસી જવાનું જણાવશે. તે બરાબર લાગતાં પેલી - ૧૧૪ ની રકમ તરત જ તેમાંથી બાદ કરશે.
૨૯૩૪૬
– ૧૧૪ પરિણામ આવશે– ૨૨૩૨ તેમાં છેલ્લા બે આંકડા એટલે દશક તથા એકમને -આંકડો મહત્ત્વનું છે. તે જ કમિક સંખ્યાઓમાંની વચલી સંખ્યા છે. એટલે ગણિતજ્ઞ તરત જ કહેશે કે તમારી લખેલી સંખ્યાએ ૩૧, ૩૨ અને ૩૩ છે.

Page #98

GS 2
ત્રણ કમિક સંખ્યાઓનું શોધન - હવે બીજો એક દાખલે. જિજ્ઞાસુએ લખી છે– પ૬ .
પ૭*
તેને સરવાળે આ ૧૭૧ હવે જુદી જુદી આઠ સંખ્યાઓનો સરવાળે છે ૨૪૭. તે ગણિતજ્ઞ તેને ત્રણે ભાજ્ય બનાવવા માટે પિતાના તરફથી ૨ ઉમેરાવી ૨૪ત્ની બનાવશે.
૧૭૧
+ ૨૪૯
પરિણામ આવશે– ૪૨૦ ૨૪૯ ને ત્રણે ભાગતાં ૮૩ આવે છે, તે હાલ બાજુએ. રાખીએ અને આવેલી સંખ્યાને ૬૭ થી ગુણએ.
૪૨૦ ૪ ૬૭ ૨૯૪૦
૨૫૨૦૪ પરિણામ આવશે– ૨૮૧૪૦ તેમાંથી બાદ – ૮૩
- ૨૮૦પ૭ છેલા બે અંકમાંની સંખ્યા છે ૫૭, એટલે ઉત્તર આવશે પ૬, ૨૭, અને ૮.

Page #99

ગણિત-રહસ્ય અગત્યની સૂચનાઓ (૧) જિજ્ઞાસુને ૧ થી ૯ સુધીની સંખ્યાઓ પૈકી ત્રણ કમિક સંખ્યાઓ લખવાનું કહેવું, તેથી વધારે નહિ. કદાચ તે આગ્રહ કરે તે જણાવવું કે દરેક કામ નિયમ પ્રમાણે થાય છે, માટે હાલ તે હું કહું તે પ્રમાણે જ કરે.
(૨) કમિક સંખ્યાના સરવાળામાં એકથી માંડીને ગમે તેટલી સંખ્યામાં ઉમેરી શકાય, પણ ભૂલે નિવારવા માટે તથા વધારે સમય ન જાય તે માટે એકથી બે અંકની એવી વધારેમાં વધારે આઠ સંખ્યાઓ જ ઉમેરાવવી.
(૩) તેને સરવાળે તરત જ કરી લે અને જેવું કે તે ત્રણથી ભાજ્ય છે કે નહિ? જે ત્રણે ભાજ્ય હેય તે તેમાં ત્રણ ઉમેરવા. જે ત્રણે ભાજ્ય થવામાં ૧ ખૂટતે હેય તે ૧ ઉમેર અને ૨ ખૂટતા હોય તે ર ઉમેરવા. આ રીતે જે રકમ તૈયાર થાય, તેને ત્રણથી ભાગી લેવી અને જવાબ તૈયાર રાખવે.
. (૪) કુલ નવ રકમ ઉમેરાવતાં જે સંખ્યા આવે તેને ૬૭ થી જ ગુણવવી. આ ગુણાકારમાં ચમત્કાર રહે છે, એટલે તેમાં ફેરફાર કરે નહિ.
(૫) જે જવાબ આવે, તેમાંથી બાજુએ રાખેલી રકમ આદ કરવી. તેને જે જવાબ આવે તેના છેલ્લા બે અંકે ત્રણ કમિક સંખ્યાની વચલી સંખ્યાની બરાબર સમજવા.
VWVWW.jainelibrary.org

Page #100

ત્રણ ક્રમિક સંખ્યાઓનું ધન
ધારે કે જિજ્ઞાસુએ લખેલી છે
તેને સરવાળે થયે ૬ હવે તેમાં માત્ર બે જ વ્યક્તિએ રકમે
ઉમેરાવી છે, તે આ પ્રમાણે- ૧ તે તેમાં ગણિત ઉમેરવાની રહેશે ૩
- કુલ ઉમેરાશે ૬ બધાને સરવાળે થશે ૧૨
૪૬૭
८४
૭૨૪ પરિણામ આવશે– ૮૦૪ હવે ૬ ને ૩ થી ભાગતાં ભાગાકાર ૨ આવે છે, એટલે આ રકમમાંથી ૨ બાદ કરવાના રહેશે.
પરિણામ આવશે– ૮૦૨ અહીં ૦૨ છે, એટલે ર જ સમજવા. તે વચલી રકમ છે, માટે જવાબ ૧, ૨ અને ૩. - હવે તમે પ્રયોગ કરી જુઓ. જવાબ બરાબર આપી શકશે.

Page #101

[ ૧૧ ] અજ્ઞાત સંખ્યાનું જ્ઞાત સંખ્યામાં પરિણમન
“એક અજ્ઞાત સંખ્યાનું જ્ઞાત સંખ્યામાં પરિણમન થઈ શકે ખરૂં? ” પ્રથમ ક્ષણે તે એમ જ લાગે છે કે થઈ શકે નહિ, પરંતુ ગણિતને પ્રગ એ હકીક્ત સિદ્ધ કરી આપે છે, એટલે આપણે એ ધારણું સુધારવી ઘટે છે.
સામાન્ય રીતે આ પ્રયોગ સે, બસે કે તેથી વધુ વ્યક્તિઓની બનેલી મંડળી કે મિજલસ સમક્ષ કરી બતાવવામાં આવે છે, કારણ કે તેમાં રસની-કુતૂહલની જે જમાવટ થાય છે, તે તદ્દન નાની મંડળી કે મિજલસમાં થતી નથી. આમ છતાં કુશલ ગણિતજ્ઞ નાની મંડળી કે મિજલસ સમક્ષ પણ આ પ્રયોગ કરવા ધારે તે કરીને. પ્રિક્ષકવર્ગને આશ્ચર્યમુગ્ધ બનાવી શકે છે.
આ પ્રેમ કરવા માટે નીચેની વસ્તુઓની જરૂર પડે છે (૧) કુલકેપ કેરે કાગળ. (૨) કોરા કાગળની નાની ચાર-પાંચ કાપલીઓ. (૩) લાલ-વાદળી પેનસીલ.

Page #102

અજ્ઞાત સંખ્યાનું જ્ઞાત સંખ્યામાં પરિણમન ૮૧
કરા કુશ્કેપ કાગળમાં નીચે પ્રમાણે આંકડા મોટા કદમાં લખી રાખવા જરૂરી છે. પ્રેક્ષકવર્ગ વિવિધ ભાષાભાષી હોય તે આ આંકડા અંગ્રેજીમાં લખવા જોઈએ.
છે
6
૩
૦
-
0
જે
હ
જ
0
-
»
જ
-
=
1
m
6
6
૧
*
આ કાગળ પ્રકારે પોતાની પાસે રાખવાને હોય છે. સામાન્ય રીતે આવા પ્રયોગ વખતે પ્રવેગકાર પિતાની પાસે એક મોટું ટેબલ મૂકાવે છે અને તેના પર એક કલીપ-બેડ કે એવું જ કંઈ રખાવે છે, તેમાં આ કાગળ ભેરવી રાખવામાં આવે છે.
આ પ્રયોગની શરૂઆત કરતાં પ્રયોગકારે મિજલસમાંથી કેઈપણ એક વ્યક્તિને ઊભા થવાનું આમંત્રણ આપવું જોઈએ અને તેના હાથમાં કોરા કાગળની કાપલી આપી તેને ૫૦૧ થી ૯ સુધીની કઈ પણ એક સંખ્યા લખવાનું જણાવવું જોઈએ.

Page #103

ગણિત-રહસ્ય . જિજ્ઞાસુએ કઈ સંખ્યા લખી છે, તે પ્રકાર જાણ નથી, એટલે તેને માટે એ સંખ્યા અજ્ઞાત છે. અજ્ઞાત એટલે નહિ જાણેલી (unknown).
અહીં પ્રયોગકાર રંગ જમાવવા માટે અજ્ઞાત અને જ્ઞાત વિષે થોડું વિવેચન કરે તે ઠીક રહે છે. જેમકેઆ વિશ્વ વિરાટુ છે. તેમાં આપણે ન જાણતા હોઈએ તેવું ઘણું છે અને જાણતા હોઈએ તેવું બહુ ઓછું છે. આપણે જેને વિદ્વાન્ કે પંડિત તરીકે ઓળખતા હોઈએ છીએ, તે પણ વાસ્તવમાં જ્ઞાન–મહાસાગરનાં શેડાં બિંદુઓ જ પામેલા હોય છે. ગુરુવાકર્ષણના નિયમની શોધ કરનાર સર આઈઝેક
ન્યુટને કહ્યું હતું કે આપણી સ્થિતિ તે જ્ઞાનરૂપી મહાસાગરના કિનારે શંખલા-છીપલા વીણવા જેવી છે. એટલે કે હજી આપણે વાસ્તવિક્તાના સમુદ્રમાં પ્રવેશ કર્યો નથી. આજના અન્ય વૈજ્ઞાનિકો પણ. આવી જ વા વદે છે. તેઓ કહે છે F-“ We are beginning to appreciate better and more throughly, how great is the range of our ignorance.” અર્થાત્ આપણા અજ્ઞાનને વિસ્તાર કેટલે મોટો છે, તે આપણે વધુ સારી અને સ્પષ્ટ રીતે સમજવા લાગ્યા છીએ.
પરંતુ મિત્રે ! પ્રયત્ન કરીએ–પુરુષાર્થ આદરીએ તે અરાતને જ્ઞાત બનાવી શકાય છે. ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણ-- શાસ્ત્ર, વૈદ્યક, શિલ્પ, તિષ વગેરેનું જ્ઞાન આપણે શી

Page #104

અજ્ઞાત સંખ્યાનું જ્ઞાત સંખ્યામાં પરિણમન રીતે મેળવ્યું ? હવે તે ચંદ્રમાં પહોંચવાની તૈયારી છે અને તે સંબંધી ખરૂં જ્ઞાન આપણે જરૂર મેળવી શકીશું.
આ તે પ્રાસંગિક કહેવાયું. હવે સભામાંથી ત્રણ મહાનુભાવો ઊભા થાય. જો આ મંડળી કે મિજલસમાં વિદ્યાર્થીઓ બેઠેલા હોય તે પ્રાયઃ તેમને જ ઊભા કરવા.
આ રીતે ત્રણ મહાનુભાવે કે વિદ્યાથીએ ઊભા થયા પછી પ્રથમ મહાનુભાવ કે વિદ્યાથીને પોતાની પાસે બોલાવીને કહેવું કે જુઓ આ કાગળ પર , 4 અને 7 નામની ત્રણ પંક્તિઓ છે. તેમાંથી તમારે જ પંક્તિને કઈ પણ અંક લાલ પેનસીલથી ચેકવાનો છે. એટલે તે લાલ પિનસીલથી અંક ચેકશે. પછી તેને કેરા કાગળની કાપલી આપી તેના મથાળે ૪ ની સંજ્ઞા કરાવવી અને તેમાં જે અંક ચેક્યો હોય તે વાદળી પેનલથી લખી લેવા જણાવવું. એ વિધિ થઈ જાય, એટલે તેને એ કાપલી પિતાના ગજવામાં મૂકી રાખવાની સૂચના આપી પોતાના સ્થાને બેસાડ.
બીજા મહાશય કે વિદ્યાર્થીને 4 પંક્તિમાં અંક ચેકાવ અને ત્રીજા મહાશય કે વિદ્યાર્થીને જ પંક્તિમાંને અંક ચેકાવો. બાકી બધા વિધિ ૪ મુજબ કરાવ.
આ રીતે ત્રણ મહાનુભાવેએ જે અંકે રોક્યા, તે પ્રવેગકાર જાણે છે, એટલે તેનાથી બનતી ત્રણ અંકની સંખ્યા જ્ઞાત છે, જાણેલી છે. હવે જિજ્ઞાસુએ લખેલી અજ્ઞાત સંખ્યાને આ જ્ઞાત સંખ્યાની ભૂમિકાએ લાવવાની છે, તે

Page #105

८४
ગણિત-રહસ્ય પ્રયોગકાર નીચેની પ્રક્રિયાથી લાવી આપે છે અને સહુને આશ્ચર્યમાં ડૂબાડી દે છે.
ધારો કે જિજ્ઞાસુએ ૮૧રની સંખ્યા લખી છે અને થા; રવ તથા 7 એ ચેકેલા અંકમાંથી ૨૫૭ની સંખ્યા બની છે, તે પ્રેગકારે જિજ્ઞાસુને ગણિત કરાવી ઉત્તરમાં ૨૫૭ની સંખ્યા લાવવી જોઈએ, તે નીચે પ્રમાણે લાવવામાં આવે છે -
પ્રવેગકાર-(જિજ્ઞાસુને) જુએ મહાશય, તમે પ૦૧ થી ૯૯૯ સુધીમાં એક સંખ્યા લખેલી છે. તેની નીચે ૭૪ર લખે અને તે બંને રકમને સરવાળે કરે.
અહીં પ્રવેગકાર જે રકમ ઉમેરવાનું કહે છે, તે જ ખરી મહત્વની છે. આ રકમને નિર્ણય ૯૯૯ ના આધારે થાય છે, એટલે ૯૯૯માંથી જ્ઞાત સંખ્યા ૨૫૭ બાદ કરવામાં આવે છે અને તેનું પરિણામ ૭૪ર જિજ્ઞાસુને લખાવવામાં આવે છે. અહીં એટલું ધ્યાનમાં રાખવાનું કે
––ા એ અંકે એકવાથી જે જ્ઞાત સંખ્યા અને તે ૯૯ માંથી બાદ કરવી અને બાકી રહેલી સંખ્યા જિજ્ઞાસુને લખાવવી. તેમાં જરાપણ ભૂલચૂક થઈ તે ઉત્તર ખોટો આવવાને, માટે બાદબાકી કરાવવામાં ખાસ સાવધાની રાખવી. પછીની પ્રક્રિયા તે દરેક હિસાબમાં સરખી જ છે. તે આ પ્રમાણે કરાવવામાં આવે છે –
જિજ્ઞાસુએ લખેલી ૮૧૨ પ્રવેગકારે લખાવેલી + ૭૪૨
૧૫૫૪
VWVWW.jainelibrary.org

Page #106

અજ્ઞાત સંખ્યાનું જ્ઞાત સંખ્યામાં પરિણમન
૮૫
જે રકમ આવી તેના ચતુર્થાં સ્થાને એટલે કે હજારના સ્થાને રહેલા આંકડા ચેકી નાખે અને તે રકમની નીચે લખી તેના સરવાળે કરે.
એમ કરતાં આવેલું પરિણામ—
= ૫૫૫
હવે પ્રયાગકારે જિજ્ઞાસુને કહેવાનું કે તમે જે રકમ મૂળ લખેલી છે, તેમાંથી આ રકમ બાદ કરો. એટલે પરિણામ નીચે મુજબ આવવાનુ :
૫૫૪
+ ૧
૮૧૨
-૫૫૫
=૨૫૭
હવે પ્રયાગકાર પ્રથમ મહાશયને કહે છે કે આપ આપના આંકડા બોલા. તે કહે છે કે ૨. એટલે પ્રયાગકાર જિજ્ઞાસુને કહે છે કે તમારા પહેલા અંક ૨ છે ?
જિજ્ઞાસુ હા પાડે છે.
આ જ રીતે બીજાને પૂછતાં તે પ કહે છે અને ત્રીજાને પૂછતાં ૭ કહે છે, જે જિજ્ઞાસુની રકમના બીજા અને ત્રીજા અક બરાબર છે.
પરિણામ બરાબર આવી જતાં પ્રેક્ષકોમાં આશ્ચર્ય નુ `માજુ ફેલાય છે અને ગણિત એક રહસ્યમય વિષય હાવા અંગે તેમની શ્રદ્ધા મજબૂત છે.

Page #107

ગણિત રહસ્ય
એક બીજો દાખલો આ જ રીતે કરીએ, જેથી રીતની સ્પષ્ટતા થશે અને તેમાં કેાઈ સશય રહેવા પામશે નહિ.
૬૫૯
જિજ્ઞાસુએ ધારેલી રકમ વિદ્યાથીએ ચેકેલા આંક ૩૪૫. એટલે.
૯૯૯ - ૩૪૫ = ૬૫૪
ચેાથા સ્થાને રહેલા આંકડા ચેકતાં ચેકેલા આંકડે! નીચે ઉમેરતાં
મૂળ ધારેલી રકમ તેમાંથી ખાદ
-૬૫૪
૧૩૧૩
૩૧૩
+ ૧
૩૧૪
૫૯
૩૧૪
--
આ ઉત્તર ખરાખર છે.
ગણિત-ચમત્કાર ભાગ પહેલાના પંદરમા પ્રકરણમાં સિદ્ધાંકના ત્રણ પ્રયાગ આપવામાં આવ્યા છે. તેમાંના પહેલા પ્રયાગની રીતિ જ આમાં કામે લગાડવામાં આવી છે; એટલે પાઠકોએ એક વાર એ પ્રકરણ પર નજર નાખી જવાની જર છે.
WE ARE
આ પ્રયોગ ચાર અંકના કરવા હાય તેા કાગળ પર ૬ નામની ચેાથી પક્તિ લખવી અને તેની નીચે ૧ થી ૯ સુધીના અંકો લખવા તથા જિજ્ઞાસુને ૫૦૦૧ થી ૯૯૯૯ સુધીમાં કોઈ પણ એક સંખ્યા લખવાનું કહેવું. બાકીની અધી રીતિ ઉપર મુજબ સમજવી. દાખલા તરીકે—
=૩૪૫

Page #108

અજ્ઞાત સંખ્યાનું જ્ઞાત સંખ્યામાં પરિણમને
જિજ્ઞાસુએ ધારેલી રકમ ૭ર૭૯ મહાનુભાએ ચેકેલી રકમ ૪૩૫૧ એટલે ૯૯૯૯
- ૪૩૫૧
પ૬૪૮
+૫૬૪૮
૧૨૭
અહીં ચેથાને બદલે પાંચમે અંક રોકવા કહેવું અને તે અંક નીચે ઉમેરવા જણાવવું. પરિણામ–
૨૯૨૭ + ૧
=૨૯૨૮ ધારેલી મૂળ રકમ ૭ર૭૯
- ૨૯૨૮
૪૩૫૧
ઉત્તર જ્ઞાત સંખ્યા બરાબર છે. *
* હૈદરાબાદમાં ગુજરાતી પ્રગતિ સમાજના ઉપક્રમે તા. ૧૯-૯ ૬૫ના રોજ અને સિકંદરાબાદમાં ગુજરાતી સેવામંડળના ઉપક્રમે, તા. ૨૧–૯-૬૫ના રોજ અમે ગણિત–ચમત્કારના પ્રયોગો બતાવ્યા હતા. તેમાં આ પ્રયોગ રજૂ થયેલ હતો અને તે ખૂબ પ્રશંસા પામ્યો હતે.

Page #109

[ ૧૨ ] ઉત્તરની અચૂક આગાહી
વાયુશાસ્ત્રીઓ ઘણું વાર આગાહી કરે છે કે આવતી કાલે વરસાદનાં ભારે ઝાપટાં પડશે અને પવન જેરથી કુંકાશે, પણ કેટલીક વાર એવું બને છે કે બીજા દિવસે આકાશમાં વાદળું દેખાતું નથી અને પવન મંદ મંદ વાતે હેય છે. તાત્પર્ય કે તેમની આગાહીઓ જોઈએ તેવી અચૂક હેાતી નથી.
ઘણા મુસદ્દીઓ રાજદ્વારી ઘટના વિષે અમુક આગાહી કરે છે, પણ છેલ્લી ઘડીએ એવા બનાવો બની જાય છે કે એ આગાહી કરતાં કંઈ જુદું જ દશ્ય જોવામાં આવે છે, એટલે કે તે આગાહી પણ અચૂક હોતી નથી.
જ્યોતિષશાસ્ત્રીઓ આગાહી કરવા માટે પંકાયેલા હોય છે, પરંતુ તેમાં પણ ઘણી વાર છબરડા વળે છે. રાજગાદીએ બેસવાનું મુહૂર્ત હોય અને જવું પડે વનવાસમાં; એ છબરડો નહિ તે બીજું શું ?
પરંતુ ગણિતવિદ્યા એવી ગહન અને અભુત છે કે

Page #110

ઉત્તરની અચૂક આગાહી તેના આધારે ઉત્તરની અચૂક આગાહી કરી શકાય છે, પછી પ્રશ્ન કરનારાઓ ગમે તેવી મનસ્વી સંખ્યાઓ ભલે લખે !
આ પ્રગ કેવી રીતે થાય છે, તેનું વર્ણન કરવાથી પાઠકને બધો ખ્યાલ આવી જશે.
ગણિતજ્ઞ–સજ્જનો અને સન્નારીઓ! તમે બધા ગણિતના પ્રયોગોમાં જે રસ દાખવી રહ્યા છે, તે જોઈને મને ઘણું ખુશી ઉપજે છે. આ પ્રગાનું સૂક્ષ્મ નિરીક્ષણ કરવા માટે અહીં પરીક્ષક–સમિતિના માનવંતા સભ્યો હાજર છે અને સભાપતિ મહોદય પણ ખૂબ ઉત્સુકતાથી આ પ્રયોગ તરફ મીટ માંડી રહ્યા છે.
હું તમને જણાવવાની રજા લઉં છું કે હવે પછી તમારી સમક્ષ જે પ્રવેગ કરવાનું છે, તેના ઉત્તરની મેં અચૂક આગાહી કરેલી છે અને તે મારા હાથમાં રહેલા બે સીલબંધ પરબીડિયામાં મૂકેલી છે. આમાંના એક પરબીડિયા પર મેં ની સંજ્ઞા કરી છે અને બીજા પરબીડિયા પર ર ની સંજ્ઞા કરી છે. આ બંને પરબીડિયા હે સભાપતિ મહેદયને સુપ્રત કરું છું.
અહીં ગણિતજ્ઞ પિતાના સ્થાનેથી આગળ વધીને સભાપતિ મહોદય પાસે જાય છે અને સહજ નમન કરીને તેમને બે પરબીડિયાં સુપ્રત કરે છે. પ્રેક્ષકોમાં કુતૂહલનું વાતાવરણ જામે છે.
ગણિતજ્ઞ–ગૃહસ્થ અને સન્નારીઓ ! હમણાં તમને સ્વયંસેવક ભાઈએ કેરા પરબીડિયાં વહેંચશે. આ પરબી

Page #111

૯૦.
ગણિત-રહસ્ય ડિયામાં કાગળની કાપલીઓ મૂકેલી છે. તેમાં તમે ૧ થી ૯૯૯ સુધીની સંખ્યા લખી શકે છે. સંખ્યા લખ્યા પછી તમારે એ કાપલી પાછી પરબીડિયામાં મૂકી દેવાની છે અને એ પરબીડિયા પર શું અથવા ર પૈકી તમારી મુનસફી અનુસાર કોઈપણ એક અક્ષર લખવાનું છે. - હવે સ્વયંસેવકભાઈઓ પંદર વ્યક્તિને પરબીડિયાં વહેંચી દે. ગણિતના ચમત્કારિક પ્રયોગોમાં થોડા સ્વયંસેવક ભાઈઓને શરૂઆતથી જ રાખવામાં આવે છે અને તેમને
આ પ્રકારની કેટલીક કામગીરી બજાવવાની હોય છે. - ત્યાર બાદ સ્વયંસેવકો નજીક તથા દૂર બેઠેલી
વ્યક્તિઓને તૈયાર રાખેલા પરબીડિયા વહેંચી દે છે અને એક કે બે મીનીટ પછી પાછા તેને એકઠાં કરી લે છે. - ગણિતજ્ઞ–હવે સભામાંથી બે એવી વ્યક્તિઓ બહાર આવે કે જેમનું ગણિત સારું હોય.
બે વ્યક્તિઓ ઊભી થાય છે અને નજીક આવે છે. તેમને થોડે દૂર ગોઠવેલા બે ખાલી ટેબલ પર બેસાડવામાં આવે છે. તેમાંથી એકને ૪ ની સંજ્ઞા આપવામાં આવે છે અને બીજાને ર ની સંજ્ઞા આપવામાં આવે છે. - ગણિતજ્ઞ– અને ર મહાશય ! તમારી પ્રથમ કામગીરી એ છે કે હમણું સ્વયંસેવક ભાઈઓએ જે ૧૫ પરબીડિયાં એકત્ર કર્યા છે, તે તમારે લઈ લેવાં અને તેમાંથી જેના પર જ સંજ્ઞા કરી હોય, તે જ મહાશયે લેવાં અને ૨૨ સંજ્ઞા કરી હોય, તે જ મહાશયે લેવાં.
VWVWW.jainelibrary.org

Page #112

ઉત્તરની અચૂક આગાહી
બંને મહાશયે તે પ્રમાણે કરે છે.
ગણિતજ્ઞ– મહાશય! તમારી પાસે જે પરબીડિયાં આવ્યાં છે, તેમાંથી કાગળની કાપલીઓ કાપી લો અને તેમાં. જે સંખ્યાઓ લખી છે, તેને એક કાગળ પર સરવાળે. કરે. મહાશય! તમે પણ તમારા પરબીડિયામાંની કાપલીઓ કાઢી, આ જ રીતે તેને સરવાળે કરે. એ સરવાળે. તમારે મનમાં રાખવાને છે, જાહેર કરવાનું નથી.
બંને મહાશયે સરવાળે કરે છે. - ગણિતજ્ઞ– મહાશય ! તમને પ્રાપ્ત થયેલી સંખ્યાઓને સરવાળે કરી લીધો?
જ મહાશય–હા જી ! ગણિતજ્ઞ–તમારા સરવાળાની રકમને ૧૫૪થી ગુણે૪ મહાશય–ગુણ્યા. ગણિતજ્ઞ–આવેલી સંખ્યામાં ૨પ ઉમેરે. # મહાશય–ઉમેર્યા. ગણિતજ્ઞ–આવેલી સંખ્યાને ૧૪ થી ભાગેઆ હસાહસ. જ મહાશય–ભાગ્યા. ગણિતજ્ઞ–કંઈ શેષ વધે છે? જ મહાશય—હા જી. ગણિતજ્ઞ–શેષ સંખ્યામાં ૮ ઉમેરે. વ મહાશય–ઉમેર્યા. ગણિતજ્ઞ–આવેલી સંખ્યાને ૩૬ થી ગુણે
VWVWW.jainelibrary.org

Page #113

૯૨
ગણિત રહસ્ય
મહાશય ગુણ્યા. ગણિતજ્ઞ—બસ, હવે તમને અધિક ગણિત કરાવ
વાનુ નથી.
TM મહાશય છૂટકારાના દમ ખેંચે છે. ગણિતજ્ઞ—વ મહાશય ! તમને પ્રાપ્ત થયેલી સંખ્યાને
સરવાળા કરી લીધે ?
લ મહાશય—હા જી.
ગણિતન—એ સંખ્યાને ૧૯૮ થી ગુણા. પ્રેક્ષકામાં હસાહસ
૬. મહાશય—ગુણ્યા.
તેા
ગણિતજ્ઞ—કંઈ ભૂલ તો નથીને ? ફરી એક વાર નજર નાખી જુવા.
વ મહાશય ફી નજર નાખી, એક ભૂલ હતી તે સુધારીને કહે છે કે હવે ગુણાકાર ખરાખર છે.
ગણિતજ્ઞ આવેલી સંખ્યામાં ૩૧ ઉમેરો. વ મહાશય-ઉમેર્યા.
ગણિતજ્ઞ આવેલી રકમને ૧૮ થી ભાગેા.
ક્ષ મહાશય-ભાગ્યા.
ગણિતજ્ઞ-કઈ શેષ વધે છે?
વ મહાશય-હા જી.
ગણિતજ્ઞ—તેમાં ૧૨ ઉમેશ વ મહાશય-ઉમેર્યાં.
ગણિતજ્ઞ-હવે તેને ૫૬ થી ગુણા.

Page #114

ઉત્તરની અચૂક આગાહી
હેસાસ.
સ્વ. મહાશય-ગુણ્યા. ગણિતજ્ઞ-તેમાં ૩ ઉમેરો.
વ મહાશય–ઉમેર્યાં.
ગણિતજ્ઞ-બસ હવે તમને અધિક ગણિત કરાવવાનુ’ નથી. (પ્રેક્ષકોને ઉદ્દેશીને) સગૃહસ્થા અને સન્નારીએ ! તમે જે વસ્તુ જાણવા ઇંતેજાર છે તેની ઘેાડી જ વારમાં તમને જાણ થશે. હવે હું ઃ મહાશયને સૂચના કરું છું... કે તે સભાપતિ મહેાયની પાસે જાય અને તેમને જે ગણિત કરાવવામાં આવ્યું છે, તેનું આખરી પરિણામ તેમની સામે ધરે,
૯૩.
. મહાશય સભાપતિ મહોદય આગળ જાય છે અને તેમને પિરણામ બતાવે છે.
ગણિતજ્ઞ-સભાપતિ મહેાઢય ! આપને અગાઉથી જે એ સીલબંધ પરબીડિયાં આપવામાં આવ્યાં છે, તેમાંનું જ સંજ્ઞાવાળું પરબીડિયું ખાલા અને હ્ર મહાશયના પરિણામ સાથે તે ખરાખર મળતુ છે કે કેમ ? તેની જાહેરાત કરે..
સભાપતિ મહેાય તે પરબીડિયું ખેલે છે અને જુએ છે તે તેમાં ૬૮૪ ની સંખ્યા લખેલી છે કે જે ખરાખર મહાશયના પરિણામ જેટલી જ છે. તેમાં કઈ પણ ફેરફાર નથી.
સભાપતિ મહેાય-(સભાને ઉદ્દેશીને) જ પરબીડિયામાં પ્રથમથી ૬૮૪ ને આંક લખાયેલા હતા અને ઃ મહાશયના

Page #115

ગણિત-રહસ્ય ગણિતનું પરિણામ પણ બરાબર ૬૮૪ છે. પછી તે મૂળ ' ઉત્તર પ્રેક્ષકોને બતાવે છે.
ગણિતજ્ઞ-હવે રવ મહાશયને વિનંતિ છે કે તેઓ સભાપતિ મહદય પાસે જઈને પિતાના ગણિતનું પરિણામ બતાવે.
ર મહાશય સભાપતિ મહેાદયને પિતાના ગણિતનું પરિણામ બતાવે છે.
ગણિતજ્ઞ–સભાપતિ મહોદય ! આપ હવે બીજું પરબીડિયું ખોલીને જુઓ કે તેમાં શું લખેલું છે? ' સભાપતિ મહોદય તે પરબીડિયું ખેલે છે અને જુએ છે તે તેમાં ૧૪૦૩ ની સંખ્યા લખેલી છે, જે બરાબર ૨૦ મહાશયના પરિણામ જેટલી જ છે. બાદ ગણિતજ્ઞની સૂચાનાથી તે જાહેર કરે છે કે પરમડિયામાં પ્રથમથી ૧૪૦૩ ને આંક લખાયેલું હતું અને મા મહાશયનું પરિણામ પણ ૧૪૦૩ ની જ સંખ્યા બતાવે છે. પછી તે મૂળ ઉત્તર પ્રેક્ષકોને બતાવે છે. . આ વખતે તાળીઓના ગડગડાટ થાય છે અને આનંદ - તથા આશ્ચર્યનું ભેજું ફરી વળે છે. * આપણો સામાન્ય વ્યવહાર એ છે કે પ્રથથ પ્રશ્ન પૂછાય છે અને પછી તેના ઉત્તર અપાય છે, જ્યારે આ પ્રયોગોમાં તેથી ઉલટું છે. આમાં ઉત્તર પહેલે લખાય છે અને પ્રશ્નરૂપે લખવાની સંખ્યાઓ પછી લખાય છે, એ આશ્ચર્યનું પ્રથમ કારણ છે.
વળી એ સંખ્યા લખનાર માત્ર એક વ્યક્તિ હોય તે

Page #116

ઉત્તરની અચૂક આગાહી
૯૫
કદાચ શંકા આવે કે આગળથી કઈ ગાઠવણ થઈ હશે, પણ સ્વયં સેવકે પેાતાને ઠીક લાગે તે ૧૫ વ્યક્તિઓને પરખીડિયાં વહેંચે છે અને તે ૧૫ વ્યક્તિએ ૧ થી ૯૯૯ સુધીની સખ્યાએ પોતાની ઇચ્છા મુજબ લખે છે, એ આશ્ચયનુ ખીજું કારણ છે.
વિશેષમાં એ પરખીડિયા પર જ કે વુ જેસંજ્ઞા લખવાની છે, તે પણ લખનારની મુનસફી મુજબ લખવાની છે, એટલે કેટલાં પરખીડિયાં સંજ્ઞાવાળાં થાય અને કેટલાં સ્વ સ`જ્ઞાવાળાં થાય, એ પણ અનિશ્ચિત છે. આશ્ચર્ય નુ ત્રીજી કારણુ આને પણ કહી શકાય.
'
આ સ્થિતિમાં લખાયેલી રકમેાના ઉત્તર પહેલેથી શી રીતે લખી શકાય ? ' આવા પ્રશ્ન કોઈ પણ પ્રેક્ષકને ઉઠે, એ સ્વાભાવિક છે અને તેના કોઈ બુદ્ધિગમ્ય ખુલાસા તેની પાસે નહિ હાવાથી તે આશ્ચર્ય અનુભવે, એ પણ એટલું જ સ્વાભાવિક છે.
હવે આ પ્રયાગનું રહસ્ય ખોલીએ. એક માણસને પેાતાની ઈચ્છામાં આવે એવી એક, બે કે ત્રણ અંકની રકમ લખવાની હાય, પાંચ માણસને પાતાની ઇચ્છામાં આવે એવી એક, બે કે ત્રણ અંકની રકમ લખવાની હોય, અથવા પંદર વીસ કે પચીસ માણસને પોતાની ઇચ્છામાં આવે એવી એક, બે કે ત્રણ અંકની રકમ લખવાની હોય અને તેના સરવાળા કરવાના હાય, તેને આપણે એક અજ્ઞાત સંખ્યા સમજવાની છે.

Page #117

ગણિત-રહસ્ય દાખલા તરીકે– એક માણસે લખ્યું પાંચમાણસેએ લખ્યું પંદર માણસોએ લખ્યું ७१३
૧૭
૧૩૯
૨૭૩
૧૩૪ अ६७
૧૦૯
ام
८८७ ૧૦૦
६६६
२६८६ આ રીતે પરિણામના હજારે વિકલ્પ સંભવે છે, પણ તે બધા “અજ્ઞાત” સંજ્ઞામાં અંતર્ગત થઈ જાય છે.
આ પરથી એટલું સમજવાનું કે પ્રક્ષકારે ગમે તે સંખ્યા લખે અને તેને સરવાળે ગમે તે આવે ત્યાં સુધીની કિયા અંગે ગણિતને ખાસ વિચારવાનું હોતું નથી. વધારે

Page #118

ઉત્તરની અચૂક આગાહી
સ્પષ્ટ કહીએ તે। આ વસ્તુ મિજલસના મનાર’જન માટે જ ગેાઠવાયેલી એક પ્રકારની માજી છે.
આમાં ખરુ' મહત્ત્વ જે ગણિત કરાવવામાં આવે છે, તેનું જ છે. તેમાં ગણિતજ્ઞ એક પણ ડગલું ચૂકયા તા સમજવું કે ઉત્તરની જે આગાહી કરી છે, તે ખોટી પડવાની અને તેનું મ્હાં દીવેલ પીધા જેવુ' થઈ જવાનું, એટલે તેની જે પ્રક્રિયા નક્કી થયેલી છે, તે ખરાખર ખ્યાલમાં રાખવાની અને તે ખૂબ જ સ્વસ્થ ચિત્ત તથા રણ મહાશયે પાસે કરાવવાની.
وی
હવે જ કે ઘુ મહાશય ગણિતમાં ભૂલ કરે તે પણુ પરિણામ ધાર્યાં કરતાં જુદું જ આવવાનું, એટલે તે ગણિતની ક્રિયા બરાબર કરે તે માટે ચોગ્ય સૂચના આપતા રહેવું અને બીજા પણ એક મહાશયને તેમની સાથે બેસાડી દેવા કે જે ગણિત સારું જાણતા હાય. એક ગણુના કરે અને બીજો તેના પર દેખરેખ રાખે તેા ભૂલ થવા સંભવ નથી, અથવા ભૂલ થાય તે તે જ વખતે સુધરી જાય છે.
હવે કઈ પણ અજ્ઞાત સંખ્યાને ૧૫૪ થી ગુણાવીએ, તેમાં ૨૫ ઉમેરાવીએ અને તેને ૧૪ થી ભાગીએ તે શેષ ૧૧ જ વધવાના. ૧૪ એ ૧૫૪ ની સંખ્યાના અવયવ છે, એટલે ૧૫૪ થી ગુણેલી સંખ્યાને ૧૪ થી ભાગતાં કંઈજ શેષ વધે નહિ. તેમાં ૨૫ ની સખ્યા ઉમેરી છે, તેમાંથી ૧૪ બાદ જાય, એટલે આકી ૧૧ જ રહે. નીચેના બે-ત્રણ દાખલાઓ જુઓ, એટલે આ વાત બરાબર ખ્યાલમાં આવી જશે.
७

Page #119

૯૮
૨૨
ગણિત-રહસ્ય ૧૦૬ ૪૧૫૪
૪૧૫૪
૪૧૫૪
૧૦૭૮ +૨૫
૧૪)૧૧૦૩(૭૮
૪૨૪ ૧૧૦૪
૫૩૦૪ ૨૨૪
૧૦૬૪ ૩૩૮૮
૧૬૩૨૪ -૨૫
+૨૫ ૧૪)૩૪૧૩(૨૪૩ ૧૪)૧૬૩૪૯(૧૧૬૭
૧૪
૧૨૩ ૧૧૨
૨૮
૨૩
૫૬
૧૪
૫૩
૧૧ શેષ
૧૦૯
૧૧ શેષ આ વસ્તુ ગણિતજ્ઞ બરાબર જાણે છે. હવે તે શેષમાં ૮ ઉમેરાવે છે, એટલે સંખ્યા ૧ત્ની બને છે અને તેને ૩૬થી ગુણતાં ૬૮૪ની સંખ્યા આવે છે.
૧૧૪ ૫૭૪

Page #120

ઉત્તરની અચૂક આગાહી
૯૯
પરિણામ આ સિવાય ખીજું કઈ આવવાનું જ નહિ, એટલે કે ગણિતને જે પિરણામ નક્કી કરી રાખેલું છે અને પરખીડિયામાં મૂકેલું છે, તે જ
જેને
આવવાનું ૧૯૮ થી ગુણીએ
આ જ રીતે કોઈ અજ્ઞાત સંખ્યાને અને આવેલી સખ્યામાં ૩૧ ઉમેરીને તેને ૧૮ થી ભાગીએ તે ૧૯૮ વાળા આખા ગુણાકાર ઉડી જવાના, કારણ કે ૧૮ એ ૧૯૮ ના અવયવ છે અને ૩૧ ઉમેરેલી સ ંખ્યામાંથી ૧૮ ખાઇ જતાં શેષ ૧૩ વધવાના. અજ્ઞાત સંખ્યા ગમે તે હાય, પણ પરિણામ તે! આ જ આવવાનું. દાખલા તરીકે—
૧
૫
× ૧૯૮
× ૧૯૮
૧૯૮
+ ૩૧
૧૮) ૨૨૯ (૧૨ ૧૮) ૧૦૨૧ (૫૬
૧૮
૯૦
૪૯
૩૬
૧૩ શેષ
૯૯૦
+ ૩૧
૧૨૧
૧૦૮
૪૬
× ૧૯૮
૧૩ શેષ
૯૧૦૮
+ ૩૧
૧૮) ૯૧૩૯ (૫૦૭
૯૦
૩૬૮
૪૧૪૪
૪×
૧૩૯
૧૨૬
૧૩ શેષ
૧૩ શેષમાં ૧૨ ઉમેરતાં ૨૫ આવે, તેને પ૬ થી

Page #121

૧oo
ગણિત-રહ ગુણતાં ૧૪૦૦ આવે અને તેમાં ૩ ઉમેતાં ૧૪૩ આવે. તેને બીજો ઉત્તર સંભવે જ નહિ.
આ પ્રેગ સામાન્ય રીતે બે ચમત્કારિક પરબીડિયાના નામથી થાય છે, પણ તેનું સ્વરૂપ સમજવા માટે અહીં ઉત્તરની અચૂક આગાહી” તરીકે રજૂ કરવામાં આવ્યું છે. ઉત્તર પહેલો, પ્રશ્ન પછી” એ નામથી પણ તેને રજૂ કરી શકાય.
ગણિતજ્ઞ દરેક મિજલસ માટે જુદી સંખ્યાઓ નક્કી. કરે છે અને ગુણકાર, સરવાળે તથા ભાજક સંખ્યા કે જે મૂળ ગુણાકારને અવયવ છે, તેમાં પણ પરિવર્તન કરે છે, જેથી આ પ્રયોગ વધારે વાર જોનારને તેનું સાચું રહસ્ય હાથ લાગતું નથી.

Page #122

[૧૩] હજાર વિકલ્પનો એક જ ઉત્તર
જે પ્રશ્ન એ ઉત્તર, એ તે આપણે સહુ કઈ જાણીએ છીએ. કેટલીક વાર એવું બને છે કે ત્રણ, ચાર કે પાંચ પ્રશ્નને એક જ ઉત્તર અપાય છે. જેમકે –
એક ભીલ રાજા પિતાની ત્રણ રાણીઓને સાથે લઈને કિઈ ગામ તરફ જઈ રહ્યો હતો. તે વખતે એક રાણીએ કહ્યું: “હે નાથ ! મને બહુ તરસ લાગી છે. માટે પાણી લાવી આપે.” બીજી રાણીએ કહ્યું: “હે સ્વામી! મારાથી હવે ભૂખ્યા રહેવાતું નથી, માટે કઈ પ્રાણુને શિકાર કરે” અને ત્રીજી રાણીએ કહ્યું: “હે પતિદેવ ! આ માર્ગ બહુ કંટાળા ભરેલ લાગે છે, માટે આપ એવું સુંદર ગીત ગાઓ કે જેથી મારું મન પ્રસન્ન થાય.” - તેના જવાબમાં ભીલ રાજાએ માત્ર એટલું જ જણાવ્યું કે “સો નથિ.” આ વાત પ્રાચીન કાળની છે અને જે વખ બેલાયા તે પ્રાકૃત ભાષાના છે.

Page #123

૧૦૨
ગણિત-રહસ્ય તેને અર્થ પહેલી રાણી એમ સમજી કે સો નાસ્તિ નજીક કેઈ સરઃ સરેવર નથી, તે પાણી ક્યાંથી લાવું? બીજી રાણી એમ સમજી કે રાતે નાસ્તિ-ભાથામાં શારઃ એટલે બાણ નથી, તે શિકાર શી રીતે કરું? અને ત્રીજી રાણું એમ સમજી કે જે નાતિએટલે ગળામાં ઘર નથી, અર્થાત્ ગળું બેસી ગયું છે, તે શી રીતે ગાઉં?
આપણુ દેશમાં ગુરુ-ચેલાની પ્રશ્નોત્તરી પ્રસિદ્ધ છે. જેમાં ચાર-ચાર પ્રશ્નોને એક જ ઉત્તર અપાય છે. જેમકે –
પાન સડે, ઘેડા હટે, વિદ્યા વિસર જાય;
તવા ઉપર રોટી જલે, કહો ચેલા કર્યું થાય? (૧) પાન સડી રહ્યા છે, તેનું કારણ શું? (૨) ઘેડે હઠી રહ્યું છે, તેનું કારણ શું? (૩) વિદ્યા વિસરાઈ જાય છે, તેનું કારણ શું ? (૪) તવા ઉપર રોટલી દાઝી રહી છે, તેનું કારણ શું ?
ચેલે ઉત્તરમાં કહે છે કે “ગુરુજી! ફેરવ્યા વિના.” આમાં ચારેય પ્રશ્નના ઉત્તર આવી જાય છે. પાન એટલે નાગરવેલનાં પાનને ફેરવ્યાં નથી અને એમને એમ પડ્યા રહેવા દીધા છે, માટે તે સડી રહ્યાં છે. ઘોડાને પણ ફેર નથી, એટલે કે રજ છેડે થોડે દેડાવવું જોઈએ, તે રીતે દેડા નથી, માટે તે હઠ કરી રહ્યો છે. વિદ્યાને રાજ ફેરવવી જોઈએ, એટલે કે તેનું પરાવર્તન કરવું જોઈએ,

Page #124

હજારો વિકલ્પને એક જ ઉત્તર
૧૦૩ તેમ કર્યું નથી, એટલે વિદ્યા વિસરાઈ રહી છે અને તેવા પર રોટલી નાખ્યા પછી તેને ડી ડી વારે ફેરવવી જોઈએ તેમ ફેરવી નથી, તેથી તે દાઝી રહી છે.
ચેલાના આ ઉત્તરથી ગુરુ ખુશ થયા.
એક વાર એક પટેલને પાંચ માણસેએ જુદા જુદા પ્રશ્નો પૂછયા :
પહેલે પ્રશ્ન-બેડૂત કયે સારે? બીજે પ્રશ્ન–ડે કિયે શેલે? ત્રીજો પ્રશ્ન–ખાટલે કે જોઈએ ? ચોથો પ્રશ્ન—નિશાળીયે કેવું હોય? પાંચમે પ્રશ્ન–કે સરદાર માન પામે?
પટેલ ઘણું હોશિયાર હતા, એટલે તેમણે એ પાંચેય પ્રશ્નને એક જ ઉત્તર આપે કે “પાટીદાર મતલબ કે ખેડૂતમાં પાટીદાર સારે હોય છે, કારણ કે તેના જેવી સારી ખેતી બીજે કઈ કરી શકતો નથી. ઘોડે પાટીદાર હોય તે જ શોભે છે, કારણ કે તેથી રસ્તે જલ્દી કપાય છે. ખાટલે પાટીદાર હોય તે જ શેભે છે, કારણ કે તેથી સૂવા ટાણે આરામ મળે છે. નિશાળીયે પાટીદાર એટલે હાથમાં પાટીવાળો હોય તે જ શેભે છે. અને સરદાર પાટીદાર હોય એટલે કે જમીનને માલીક હોય તે જ માન પામે છે, અન્યથા માન પામતે નથી. આ શબ્દનું અર્થગૌરવ સમજાવવા માટે સાહિત્યમાં આવાં

Page #125

૧૦૪
ગણિત રહસ્ય
અનેક દૃષ્ટાંતા આપેલાં છે, પરંતુ ગણિતશાસ્ત્રની એ અલિ હારી છે કે તે ત્રણ-ચાર-પાંચ નહિ, પચીસ-પચાસ કે સા નહિ, પરંતુ હજારા પ્રશ્નના એક જ ઉત્તર આપી શકે છે અને તે ખરે હાય છે.
આ પ્રયાગ નીચેની રીતે થાય છે ઃ
ગણિતજ્ઞ—સભાજને ! તમારા દરેકની પાસે કાગળ અને પેનસીલ હશે, એમ માનું છું. ન હેાય તેા સ્વયંસેવક તમને હમણાં જ વહેંચી દેશે.
સ્વયંસેવકે કાગળની કાપલીઓ વહેંચી દે છે.
ગણિતજ્ઞ—તમે દરેક તમારી મરજીમાં આવે એવી એક પાંચ આંકડાની. સંખ્યા લખા. ૧૦૦૦૦ દશ હજારથી માંડીને ૯૯૯૯૯ નવાણું હજાર નવસે ને નવાણું સુધી પાંચ અંકની સંખ્યા હાય છે, એટલે કે તેના ૮૯૯૯૯ નેવાશી હજાર નવસો ને નવાણુ વિકલ્પા છે. તેમાંથી ગમે તે એક વિકલ્પ ગ્રહણ કરે., પણ તેમાં એટલું ધ્યાનમાં રાખવાનુ છે કે સખ્યાના પહેલા અંક છેલ્લા એક કરતાં (એકમ કરતાં) માટો હાવા જોઈએ. દાખલા તરીકે પર૪૩૧ ની રકમમાં પહેલા પાંચડા છે અને છેલ્લે એકડા છે, એટલે તે સખ્યા મારા કહ્યા મુજબની છે. અહીં ૧ના સ્થાને ૨, ૩ કે ૪ હાય તા ચાલી શકે, પણ ૬, ૭, ૮ કે ૯ ચાલી શકે નહિ, કારણ કે તે પહેલા એક કરતાં મોટા છે. બસ, આટલું ધ્યાનમાં રાખી હવે પાંચ અંકની કોઈ પશુ સંખ્યા લખેા.

Page #126

૧૦૫
હજાર વિકલ્પને એક જ ઉત્તર
ડી વાર રહીને આપ બધાએ સંખ્યા લખી લીધી? હવે એ જ સંખ્યાની નીચે તમારે બીજી સંખ્યા લખવાની છે અને તે ઉપરની રકમમાંથી બાદ કરવાની છે. ' આ સંખ્યામાં તમારી ઉપરની સંખ્યાના વચલા ત્રણ અંકે એના એજ રાખો અને જે પહેલે અંક છે, તેને છેલ્લે અંક કરે અને જે છેલ્લે અંક છે, તેને પહેલે કરે. દાખલા તરીકે પર૪૩૧ની સંખ્યા છે, તે ૨૪૩ ને વચ્ચે રહેવા દો અને ૫ ની જગાએ ૧ લખે અને ૧ની જગાએ ૫ લખે, એટલે તે સંખ્યા ૧૨૪૩પ બાર હજાર ચાર ને પાંત્રીશની બનશે. આ સંખ્યા ઉપરની સંખ્યામાંથી આદ કરવાની છે.
બધા એ પ્રમાણે બીજી સંખ્યા તૈયાર કરે છે અને મૂળ રકમમાંથી બાદ કરે છે.
ગણિતજ્ઞ–હવે આ સંખ્યાની નીચે તમારે એક સંખ્યા લખવાની છે અને તેને સરવાળે કરવાનું છે. આ સંખ્યામાં પણ ઉપરની સંખ્યાના ત્રણ અંકે એને એ જ રહેવા દેવાના છે અને પહેલા અંકને છેલ્લે બનાવવાને છે તથા છેલ્લા અંકને પહેલો બનાવવાનું છે.
બધા એ પ્રમાણે સંખ્યા લખી સરવાળો કરે છે.
ગણિતજ્ઞ– હવે તમારી આવેલી રકમને ૧૪ થી ગુણી નાખે. ગુણકાર મેટો છે, એટલે તેમાં ભૂલ ન થાય, તેનું ધ્યાન રાખશે.
બધા ગુણાકાર તૈયાર કરે છે.

Page #127

૧૦૬
ગણિત-રહસ્ય ગણિતજ્ઞ–હવે હું તમારા બધાને એક જ જવાબ આપું છું, તે સાંભળી લે. તમારી સંખ્યાને પહેલે અંક ૧ છે કે જે એક્તાનું સૂચન કરે છે. તમે ગમે તે ધર્મ પાળતા હે, ગમે તે જાતિના હે, દેશની બાબતમાં સહુએ એક થઈને રહેવું ઘટે છે. તે જ આપણે આઝાદી સાચવી શકીશું અને આ દુનિયામાં આપણું મસ્તક ઊંચું રાખી શકીશું. '
તમારી સંખ્યાને બીજો અંક પ છે, જે પંચવર્ષીય જનાને ખૂબ કુનેહથી પાર પાડવાનું સૂચન કરે છે. આ જનાઓ પાર પડે તે દેશને સર્વાગી વિકાસ થાય અને ગરીબાઈ તથા બેકારીને પિતાનું મહે છૂપાવવું પડે.
તમારી સંખ્યાને ત્રીજો અંક ૩ છે, જે ત્રણ વસ્તુઓ પર કાબૂ રાખવાનું સૂચન કરે છેઃ (૧) મન પર કાબૂ રાખે, (૨) વચન પર કાબૂ રાખે અને (૩) કાયા પર કાબૂ રાખો. આમાંથી એકના ઉપર કાબૂ ગુમાવ્યું તે અનેકવિધ દુઃખેને સામને કરવો પડશે અને જીવન બરબાદ થઈ જશે.
તમારી સંખ્યાને અંક ૯ છે, તે બરાબર છે? સભાજનો-હાજી.
ગણિતજ્ઞ–આ ૯ ને અંક પૂર્ણ થવાનું સૂચન કરે છે, એટલે કે તમે તમારા જીવનને એવા ગુણોથી ભરી દો કે તેમાં ક્યાંઈ અધૂરાપણું લાગે નહિ. ૯ ને ગમે તે અંકથી ગુણે તે પણ હું જ રહે છે, તેમ તમે પણ જીવનની ગમે તે અવસ્થામાં શાંત-સ્થિર–સ્વસ્થ રહે.

Page #128

હજાર વિકલ્પને એક જ ઉત્તર
૧૦૭ - તમારી સંખ્યાને પાંચમે અંક ૮ છે, જે અષ્ટાક્ષરી પવિત્ર મંત્રનું સૂચન કરે છે.
સભાજને–એ મંત્ર કર્યો?
ગણિતજ્ઞ–“શ્રી કૃષ્ણ શરણં મમ” જૈનધર્મમાં છે. નમે અરિહંતાણું” એ અષ્ટાક્ષરી મંત્ર પણ ખૂબ જ પવિત્ર. મનાયેલું છે. હવે આગળ ચાલીએ.
તમારી સંખ્યાને છઠ્ઠો અંક જ છે, જે ચાર પ્રકારના માનવધર્મનું સૂચન કરે છે. પહેલે માનવધર્મ છે દાન, બીજે માનવધર્મ છે શીલ એટલે ઉત્તમ પ્રકારનું ચારિત્ર, ત્રીજો માનવધર્મ છે તપ એટલે સહનશીલતા-તિતિક્ષા અને ચોથે માનવધર્મ છે ભાવ એટલે ઉત્તમ પ્રકારના વિચારે. આ ચતુવિધ માનવધર્મનું શરણ લેનાર અવશ્ય પરમપદને. પામે છે.
- હવે તમારી સંખ્યાને છેલ્લે અંક કહું છું. તે છે છગડે. તેનું મુખ્ય સૂચન એ છે કે વાતવાતમાં મત બગડો અને ટાળે આપસને ઝઘડે. વાત-વાતમાં ઝગડનારે કદી કાર્યની સિદ્ધિ કરી શકતું નથી અને આપસને ઝઘડો કોઈ પણ ઉપાયે ટાળ્યા વિના સુખ-શાંતિની પ્રાપ્તિ થતી નથી.
સભાજને! તમારી હજારો વિકલ્પવાળી સંખ્યાઓને મારે આ એક ઉત્તર છે અને તેમાં જે સાર છૂપાયેલે છે તે તમને કહી સંભળાવ્યું છે.

Page #129

૧૦૮
ગણિત-રહસ્ય અહીં બધા સમાજને આશ્ચર્ય અનુભવે છે કે આ શી રીતે બન્યું? તેની સ્પષ્ટતા ખાતર જુદી જુદી ત્રણ -સંખ્યાઓની ગણના કરી છે. ૬૨૬૭૪ પ૯૩૧૨
૯૮૨૭૧
૪૨૬૭૬
૨૯૩૧૫
૧૮૨૭૯
-
--
----
-
૧૯૯૯૮ ૨૯૯૯૭
૭૯૯૨ + ૮૯૯૧ + ૧૯૯૨
+ ૨૯૯૯૭ ૧૦૯૯૮૯ ૧૦૯૯૮૯
૧૦૯૯૮૯ ૪ ૧૪ ૪ ૧૪
૪ ૧૪ ૧૫૩૯૮૪૬ ૧૫૩૯૮૪૬
૧૫૩૯૮૪૬ આ રીતે પાંચ અંકની ગમે તે સંખ્યા લખે કે જેને પ્રથમ અંક છેલ્લા કરતાં મોટો હોય તે બધાને જવાબ સરખે જ આવશે. આને અંગ્રેજી ભાષામાં સ્થિર સંખ્યા (Constant number) કહે છે.
અહીં ૧૪ ને ગુણાકાર કરાવ્યા પહેલાં જ બધાનું પરિણામ સરખું આવી જાય છે, પણ અંકમાં વિવિધતા લાવવાની ખાતર તેને ૧૪ થી ગુણવવામાં આવ્યા છે.
ઉત્તરમાં ક્યા અંકે આવવાના છે, તે ગણિતજ્ઞ જાણે છે, એટલે તે તે સંખ્યાની વસ્તુઓ કઈ પણ ટોપલી, - ડબ્બા કે થેલીમાંથી કાઢીને પણ પ્રેક્ષકેને આશ્ચર્યમાં ડૂબાડી દે છે. આવા વખતે આ પ્રયોગ માત્ર એક જ વ્યક્તિને કરાવવામાં આવે છે. અમે આની રજૂઆત ઘણી જુદી જુદી રીતે કરી છે અને તે પ્રેક્ષકોને મુગ્ધ કર્નારી બની છે.

Page #130

|[ ૧૪] ધારેલો પ્રશ્ન કહેવાની રીત
આપણે એક ભક્તકવિએ ગાયું છે કે “તરણે એથે. ડુંગર રે! ડુંગર કઈ દેખે નહિ.”
જેઓ આ પંક્તિ સંભળીને ઉપલક વિચાર કરે છે, તેમને તે એમ જ લાગે છે કે આ કથન અતિશક્તિભરેલું છે અથવા તે અસંભવિત દોષવાળું છે! તરણું કેટલું નાનું હોય છે? તેની પાછળ એક કાંકરે કે પત્થરને. નાને ટુકડો પડ્યો હોય તે પણ છૂપાઈ શકતો નથી, તે. ડુંગર જેવડી મહાન વસ્તુ કેમ છૂપાઈ શકે ?
પરંતુ જેઓ આ પંક્તિ સાંભળીને ઊંડે વિચાર કરે. છે અને શબ્દના વાસ્તવિક ભાવ સુધી પહોંચે છે, તેમને. ખાતરી થાય છે કે અહીં થોડા શબ્દોમાં ઘણું કહેવાયું છે. તરણું એટલે તરણું જે એક નાનકડો સિદ્ધાંત, તેની પાછળ ડુંગર એટલે મહાન ઘટનાઓ છૂપાયેલી હોય છેપરંતુ અફસેસ કે મનુષ્યના લક્ષ્યમાં તે આવતી નથી.

Page #131

૧૦
ગણિત-રહસ્ય અંકગણિતમાં માત્ર ૧૦ અંકે છે : ૧, ૨, ૩, ૪, ૫, ૬, ૭, ૮, ૯ અને ૦. તે કેટલે ચમત્કાર કરી બતાવે છે? વળી તેના નાના નાના સિદ્ધાંતને લક્ષ્યમાં રાખીએ
અને તેને યુક્તિથી ઉપગ કરીએ તે ઘણાં આશ્ચર્યજનક . પરિણામે લાવી શકાય છે. આ પ્રકરણમાં અમે એક એવા
જ સિદ્ધાંત અને તેના યુક્તિભર્યા ઉપગ વિષે વિવેચન કિરવા ધાર્યું છે.
૧, ૨, ૪, ૮ અને ૧૬ આ પાંચ સંખ્યાની અહીં સ્થાપના કરીએ છીએ, તેમાં તમને શી વિશેષતા લાગે છે? ઉત્તરમાં તમે કદાચ એમ કહેશે કે “આમાં પહેલાં કરતાં બીજી સંખ્યા બમણી છે.”
. અલબત્ત, તમારે આ ઉત્તર સાચે છે અને તેને -એક પ્રકારની વિશેષતા કહી શકાય, પણ તેમાં જે અસાધારણ વિશેષતા છે, તે તમારા ધ્યાનમાં આવી નથી. આ પાંચ સંખ્યાઓ એવી છે કે જેના સજનવડે ૧ થી માંડીને ૩૧ સુધીની કેઈ પણ સંખ્યા પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. જેમકે– ઈષ્ટ સંખ્યા
સાજન
;
૧ + ૨
૧ + ૪.

Page #132

ધારેલા પ્રશ્ન કહેવાની રીત
૭ ૩
૧૦
૧૧
૧૨
૧૩
૧૪
૧૫
૧૬
૧૭
૧૮
૧૯
૨૦
૨૧
૨૨
૨૩
૨૪
૨૫
૨૬
२७
૨૮
૨૯
૨+૪
૧ + ૨ + ૪
૧ + ૮
૨+૮
૧+૨ • ૮
૪ + ૮
૧+૪+ ૮
૨+૪+૪
૧ + ૨ + ૪ + ૮
૧૬
૧ + ૧૬
૨+૧૬
૧ + ૨ + ૧૬
૪૫૧૬
૧ +૪+ ૧૬
૨+૪+ ૧૬
૧+૨+૪+ ૧૬
૮ + ૧૬
૧ + ૮ + ૧૬
૨+૮+૧૬
૧+૨+૮+ ૧૬
૪+૮+૧૬
૧+૪+૮+૧૬
૧૧૧

Page #133

૧૧૨
૩૦
૩૧
આ વિશેષતાના આધારે કાયડાએ ચેાજાએલા છે. જેમકે—
ગણિત રહસ્ય
૨ +૪+ ૮ + ૧૬
૧ l ૨ + ૪ + ૮ + ૧૬
જુદી જુદી જાતના અનેક
દા. એક વેપારીએ એવાં પાંચ કાટલાં મનાવ્યાં હતાં કે જેથી તે ૧ થી ૩૧ શેર સુધીની કોઈ પણ વસ્તુ એક ધારણે જ જોખી આપે, તેા તમે કહી શકશેા ખરા કે તેણે એ કાટલાં કેટલાં વજનનાં બનાવ્યાં હશે?
ઉત્તર—૧ શેર, ૨ શેર, ૪ શેર, ૮ શેર અને ૧૬ શેર વજનનાં.
દા. એક હાટેલમાં માણસોને રાજને પગાર ચૂકવાતે હતા. તેમાં ૧ થી માંડીને ૩૧ રૂપિયા સુધીના પગારદારો હતા. હવે તેના માલીકે એવા પાંચ કુપના બનાવ્યાં કે જેથી કોઈ પણ માણસના પગાર ચૂકવી શકે, તે તેણે એ કુપના કેટ–કેટલી કિંમતનાં બનાવ્યાં હશે?
ઉત્તર-૧ રૂપિયાનું, ૨ રૂપિયાનું, ૪ રૂપિયાનું, ૮ રૂપિયાનું તથા ૧૬ રૂપિયાનું
6
ગણિત–ચમત્કારના ચૌદમા પ્રકરણમાં મનનેા ધારેલે આંક કહેનારાં યા ' આપવામાં આવ્યાં છે, તેમાં પણ આ જ સિદ્ધાંતના ઉપયોગ થયેલા છે. તેમાં પાંચ સ્તભા અનાવવામાં આવ્યા છે અને તે દરેક સ્તંભના મથાળે અનુક્રમે ૧, ૨, ૪, ૮ અને ૧૬ ની સંખ્યાએ લખવામાં આવી છે અને તે દરેક સ્તંભની નીચે તે તે અ'કના સ'ચેાજન

Page #134

ધારે પ્રશ્ન કહેવાની રીત
૧૧૩ વડે તૈયાર થતી સંખ્યાઓ લખવામાં આવી છે. જેમકે ૧ ના સંયેજનથી ૧, ૩, ૫, ૭, ૯, ૧૧, ૧૩, ૧૫, ૧૭, ૧૯, ૨૧, ૨૩, ૨૫, ૨૭, ૨૯ અને ૩૧ એ સેળ સંખ્યાઓ બને છે, તે એ બધી સંખ્યાઓને ક્રમશઃ ૧ ની નીચે લખવામાં આવી છે. - ૨ ના સંયેજનથી ૨, ૩, ૬, ૭, ૧૦, ૧૧, ૧૪, ૧૫, ૧૮, ૧૯, ૨૨, ૨૩, ૨૬, ૨૭, ૩૦ અને ૩૧ એ સેળ સંખ્યાઓ બને છે, તે એ બધી સંખ્યાઓને ક્રમશઃ ૨ ની નીચે લખવામાં આવી છે.
૪ ના સાજનથી ૪, ૫, ૬, ૭, ૧૨, ૧૩, ૧૪, ૧૫, ૨૦, ૨૧, ૨૨, ૨૩, ૨૮, ૨૯, ૩૦ અને ૩૧ એ સેળ સંખ્યાઓ બને છે, તે એ બધી સંખ્યાઓને કમશઃ ૪ ની નીચે લખવામાં આવી છે.
૮ ના સંજનથી ૮, ૯, ૧૦, ૧૧, ૧૨, ૧૩, ૧૪, ૧૫, ૨૪, ૨૫, ૨૬, ૨૭, ૨૮, ૨૯, ૩૦ અને ૩૧ એ સેળ સંખ્યાએ બને છે, તે એ બધી સંખ્યાઓને ક્રમશઃ ૮ ની નીચે લખવામાં આવી છે.
અને ૧૬ ના સજનથી ૧૬, ૧૭, ૧૮, ૧૯, ૨૦, : ૨૧, ૨૨, ૨૩, ૨૪, ૨૫, ૨૬, ૨૭, ૨૮, ૨૯, ૩૦ અને
૩૧ એ સોળ સંખ્યાઓ બને છે, તે એ બધી સંખ્યાઓને ક્રમશઃ ૧૬ ની નીચે લખવામાં આવી છે.
સમજવાની સરલતા ખાતર એ આખે યંત્ર અહીં આપવામાં આવ્યું છે.

Page #135

૧૧૪
ગણિત-રહસ્ય મનને ધારેલો આંક કહેનારે યંત્ર
કોઠાને
નંબર.

Page #136

કારેલે પ્રશ્ન કહેવાની રીત
૧૧૫ આ યંત્ર જિજ્ઞાસુ આગળ ધરીને એમ કહેવામાં આવે છે કે તમે આમાંને કેઈપણુ આંક (સંખ્યા) ધારે અને તે કયા સ્તંભમાં છે? એટલું જ કહે, એટલે તમારે ધારેલો આંક કહી આપવામાં આવશે.
જિજ્ઞાસુ અમુક આંક ધારે છે અને બધા સ્તંભે જઈને કહે છે કે મારે ધારેલો આંક અમુક અમુક સ્તંભમાં છે, એટલે ગણિતજ્ઞ તેના મથાળે રહેલા આંકને સરવાળે કરીને કહે છે કે તમારે ધારેલે આંક અમુક છે. દાખલા તરીકે જિજ્ઞાસુએ ૩ ને આંક ધાર્યો છે, તે તે એમ કહેશે કે મારે ધારેલો આંક પહેલા અને બીજા સ્તંભમાં છે. તે પહેલા સ્તંભના મથાળે ૧ છે અને બીજા સ્તંભના મથાળે ૨ છે. તેને સરવાળો કરતાં ૩ ને આંક આવે છે, માટે તેણે ધારેલે અંક ૩ જ છે.
૧ + ૨ ના સજનથી ૩ ને આંક બને છે, એટલે તે ૧ અને ૨ સંખ્યાવાળા સ્તંભમાં લખેલું છે. તે સિવાય અન્ય કેઈ સ્તંભમાં લખેલ નથી. ધારેલે આંક પહેલા તથા બીજા સ્તંભમાં છે, તેને અર્થ જ એ કે ૧૨ ના સંયેજનથી જે આંક થાય, તે ધારવામાં આવ્યું છે.
સામાન્ય માણસને પાંચ સંખ્યાના આ સંજનને ખ્યાલ આવતું નથી, એટલે તેઓ આશ્ચર્ય પામે છે, પરંતુ આ બધું ગણિતની પ્રક્રિયા અનુસાર બને છે. અહીં એટલું ચાદ રાખવું ઘટે કે આ જગતમાં જે જે ક્રિયાઓ કે ઘટનાઓ બને છે, તે ચોક્કસ નિયમના આધારે જ બને છે; નિયમ વિના કેઈ પણ ઘટના બનતી નથી, પરંતુ આપણે

Page #137

૧૧૬
ગણિત-રહસ્ય તે નિયમે જાણતા નથી, એટલે આશ્ચર્ય અનુભવીએ છીએ.
જ્યાં એ નિયમનું ભાન થયું કે આશ્ચર્ય ઊડી જાય છે અને ચમત્કાર જેવી કઈ વસ્તુ આ જગતમાં વિદ્યમાન નથી, એમ કહેવાની હિંમત આવી જાય છે.
અહીં અમારે જે પ્રગ અંગે વિવેચન કરવાનું છે, તે હજી ડી ભૂમિકા માગે છે, એટલે તેની તૈયારી કરીએ.
આ તૈયારીમાં બીજું કંઈ કરવાનું નથી, પણ અહીં જે યંત્ર આપવામાં આવ્યું છે, તેના પાંચેય સ્તંભને જુદા પાડી દેવાના છે અને તે દરેક સ્તંભને એક જુદો યંત્ર બનાવવાનું છે. એમાં તાત્વિક તફાવત કંઈ નથી, પણ પ્રયોગ કરવા માટે તેની આવશ્યક્તા રહે છે. તે યંત્રે આ પ્રમાણે બનશે :– યંત્ર પહેલો
યંત્ર બીજે
યંત્ર ત્રીજે.
યંત્ર ચેાથે
1
જાન. તાવ
*
*

Page #138

૧૧૭
ધારેલે પ્રશ્ન કહેવાની રીત
- યંત્ર પાંચ
| ૨૯ | ૩૦
હવે કઈ જિજ્ઞાસુને એમ કહેવામાં આવે કે તમે આ ચંગેમને કોઈ પણ આંક ધારે અને એ આંક જે જે યંત્રમાં હોય તે તે યંત્ર તમારી પાસે રાખી ત્યે અને બાકીના યંત્રે પાછાં આપે, તે તેના આધારે જિજ્ઞાસુએ કર્યો આંક ધાર્યો છે, તે કહી શકાશે.
આમાં રહસ્ય એટલું જ છે કે પાંચેય યંત્રને સરવાળે ૩૧ થાય છે. તેમાંથી પાછા વાળેલાં યંત્રોની સંખ્યા આદ કરીએ તે જિજ્ઞાસુએ ધારેલી સંખ્યા આવી જાય છે. દાખલા તરીકે જિજ્ઞાસુએ ૧૩ ની સંખ્યા ધારી તે તે ૧, ૩ અને ૪ કમાંકવાળા યંત્રે પોતાની પાસે રાખશે અને ૨ તથા ૫ કમાંકવાળા યંત્રો પાછા આપશે. અહીં ગણના એમ કરવાની કે –
યંત્રસંખ્યા.
મથાળે લખેલે પહેલે આંક.
મ
* | ૧૬
૨ + ૧૬ = ૧૮. ૩૧ માંથી ૧૮ ગયા, બાકી રહ્યા ૧૩. આ ૧૩ ને આંક તેણે ધારેલે છે. હવે તેની પાસેના

Page #139

૧૧૮
ગણિત રહસ્ય
યંત્રોને સરવાળા કરી જુઓ, એટલે વસ્તુ ખરાખર ખ્યાલમાં
આવી જશે.
૧ ૨ ૩
૧ ૪
૧ + ૨ + ૨ = ૧૩.
આ રીતે જે યંત્રો પાછા ફરે તેના પરથી આપણે જિજ્ઞાસુના ધારેલા આંક કહી શકીએ છીએ. તે માટે માત્ર ઘેાડા અભ્યાસની જરૂર છે. અહીં એ પણ સ્પષ્ટ કરી દઈએ કે આ પ્રયાગને વધારે રહસ્યમય બનાવવા માટે પાંચ કા ખાના ટુકડા લઈ તેની એક બાજુ કાગળ ચેાડી તેના પર આ ય ંત્રા લખવામાં આવે છે અને તેની બીજી બાજુએ કાળી છી’ટ લગાડી દેવામાં આવે છે, જેથી એ ટુકડા લાંબા વખત સુધી સચવાઇ રહે અને દેખાવમાં પણ સારા લાગે. પર ંતુ તેમાં એક યુક્તિ એ કરવામાં આવે છે કે છી’ટવાળા ભાગના ચારે છેડાએ જુદી જુદી ાતની છીટના નાનકડા ત્રિકોણીયા ચાડી દેવામાં આવે છે, જેથી પાછાં વાળેલાં યંત્રાને હાથમાં લીધા વિના દૂરથી જોઈ ને જ જિજ્ઞાસુના ધારેલા અક કહી શકાય. તે માટે અમારી પદ્ધતિ નીચે મુજબ છે
પ્રથમ તે યગીર’ એ શબ્દ યાદ રાખવા. આ
6
યંત્રસખ્યા.
મથાળે લખેલા પહેલેા આંક.
<
"
યગીર ” શબ્દ અંગ્રેજી ભાષાના YGBIR એ પાંચ અક્ષરાના બનેલા છે, તેમાં Y થી yellow એટલે પીળે રંગ સમજવેા, G થી green એટલે લીલા રંગ સમજવે.

Page #140

ધારેલા પ્રશ્ન કહેવાની રીત
૧૧૯
B થી blue એટલે આસમાની કે આછે વાદળી રંગ સમજવા, I થી indigo એટલે નીલ કે ઘેરા વાદળી રંગ સમજવા અને R થી red એટલે લાલ કે રાતા રંગ સમજવા.
આ રંગે! અનુક્રમે ગાઠવેલા છે, એટલે કે પહેલા યંત્રની પાછળ પીળા ટુકડા ચાડવાના હાય છે કે જેની સંખ્યાનુ મૂલ્ય ૧ છે. બીજા યંત્રની પાછળ લીલા ટુકડો ચેાટાડવાને હાય છે કે જેની સંખ્યાનું મૂલ્ય ૨ છે. ત્રીજા યંત્રની પાછળ આછા વાદળી રંગના ટુકડા ચાડવાના હાય છે કે જેની સંખ્યાનું મૂલ્ય ૪ છે. ચોથા યંત્રની પાછળ ઘેરા વાદળી રંગના ટુકડા ચોડવાના હેાય છે કે જેની સંખ્યાનું મૂલ્ય ૮ છે અને પાંચમા યંત્રની પાછળ રાતા રંગના ટુકડા ચોડવાના હાય છે કે જેની સંખ્યાનું મૂલ્ય ૧૬ છે.
સજ્ઞા
રંગ
Y
G
B
I
R
yellow-પીળા green-લીલે
blue-વાદળી
indigo-નીલ red–રાતા
યંત્રના
ક્રમાંક
૧
૨
૩
४
૫
સંખ્યાનું
મૂલ્ય
૧
ર
૪
८
હવે એમ માના કે જિજ્ઞાસુએ પેાતાના ધારેલા આંક પ્રમાણે યંત્રા લઈ લીધા અને બાકીનાં બે યંત્રેા પાછા વાળ્યા કે જેને થાડે દૂર ટેખલ પર અવળા મૂકવામાં આવ્યા છે, તેા છીટવાળા ભાગ ઉપર રહેવાના અને તેના છેડા
૧૬

Page #141

૧૨૦
ગણિત-રહસ્ય બરાબર નજરે પડવાના. આ પરથી એ નિર્ણય થવાને કે પીળા તથા રાતા રંગના યંત્રે પાછા ફરેલા છે કે જેમનું મૂલ્ય અનુક્રમે ૧ + ૧૬ = ૧૭ છે. એટલે ૩૧ – ૧૭= ૧૪ એ જિજ્ઞાસુએ ધારેલો આંક છે. - જિજ્ઞાસુ પાસે લીલા, વાદળી અને નીલ રંગના ત્રિકેણિયાવાળા યંત્રે છે, તેનું મૂલ્ય અનુક્રમે ૨ + 4 + ૮ = ૧૪ છે.
અથવા એમ માને કે પાછાં ફરેલાં યંત્રને રંગ લીલે, વાદળી અને તે છે, તે તેમનું મૂલ્ય અનુક્રમે ૨+૪+ ૧૬ = ૨૨ થયું. એટલે ૩૧ – ૨૨ = ૯ ને આંક જિજ્ઞાસુએ ધારેલે છે. જિજ્ઞાસુ પાસે પળે અને નીલ એવા બે યંત્રે છે, તે અનુક્રમે ૧ + ૮= ૯ નું મૂલ્ય દર્શાવે છે.
કેટલાક કાર્ડની પાછળ કાળી છીંટ અને રંગીન ખૂણિયા ન ચોડતાં ચીકણે પીળા રંગને આર્ટ પેપર કે એ જ બીજે કઈ કાગળ ચડે છે અને તેના પર રંગીન પિનસીલનું ચિત્રામણ કરે છે. તેમાં તેમના સંકેત પ્રમાણે ૧, ૨, ૩, ૪ અને ૫ ની સંજ્ઞાઓ ગોઠવાયેલી હોય છે. | મુખ્ય મુદ્દો એ છે કે કયા ક્રમનાં યંત્રે પાછા ફર્યા તે ગણિતશે બરાબર જાણી લેવું જોઈએ. પછી તેને માર્ગ ઘણે સરલ છે.
પરંતુ આટલે વિધિ તો ધારેલા આંક અંગે થયે. જે ધારેલો પ્રશ્ન કહે છે, તે તે માટે ૩૧ પ્રશ્નોની એક યાદી તૈયાર કરવામાં આવે છે અને તેની આગળ કમાંક

Page #142

ધારે પ્રશ્ન કહેવાની રીત
૧૨૧ લખવાને બદલે મુકરર કરેલી પશુ, પક્ષી કે દેવ-દેવી આદિની સંજ્ઞા લખવામાં આવે છે. પછી જિજ્ઞાસુને કહેવામાં આવે છે કે તમે આમાંથી કેઈ પણ પ્રશ્ન ધારે. તે એક પ્રશ્ન ધારે છે. પછી તેને કહેવામાં આવે છે કે “એ પ્રશ્નની આગળ પશુ-પક્ષીઓની સંજ્ઞા છે, તે બરાબર જોઈ લ્ય.” તે જોઈ લે છે. પછી તેને કહેવામાં આવે છે કે “આ સંજ્ઞાવાળાં જે જે યંત્રે હય, તેને તમે પાસે રાખી લે ને બાકીનાં યંત્રે પાછાં વાળે. એ યંત્રે ટેબલ પર પાછાં મૂકાય છે કે ગણિતજ્ઞ તરત જ જાહેર કરે છે કે જિજ્ઞાસુએ અમુક પ્રશ્ન થાય છે.
અહીં એટલું સ્પષ્ટ કરી દઈએ કે પાંચ યંત્રમાં અંકના સ્થાને મુકરર કરેલી સંજ્ઞાઓ ગોઠવાઈ ગયેલી હોય છે, એટલે આ બધું શું છે? તેની જિજ્ઞાસુને કંઈ જ ખબર પડતી નથી.
ગણિતના પ્રયોગો વખતે જુદા જુદા પ્રાંતના લેકે બેઠેલા હોય છે, એટલે સંજ્ઞાઓ તથા પ્રશ્નાવલી હિંદીમાં તૈયાર કરવાનું ઠીક રહે છે. તે અમે એ નીચે પ્રમાણે કરેલ છેઃ
સંજ્ઞા ૩ हाथी
અંક ૫
૧ २
સંજ્ઞા बिल्ली चूहा
सर्प . नकुल
श्वान
८

Page #143

૧૧
અક
v
૧૦
૧૧
૧૨
૧૩
૧૪
૧૫
૧૬
१७
૧૮
૧૯
२०
સજ્ઞા
सियार
व्याघ्र
सिंह
गाय
भैंस
बकरी
भेड़
अज़गर
कांगारू
गरुड
गिदड़
मयूर
અંક
૨૧
૨૨
२३
૨૪
શ્ય
૨૬
२७
૨૮
૨૯
३०
૩૧
યંત્ર પહેલા
अश्व ऊंट बिल्ली सियार सिंह भैंस
कांगारू गिदड तोता
चक्रवाक
हंस
नीलकंठ
ગણિત રહસ્ય
સત્તા
तोता
मैना
कौआ
कबूतर
चक्रवाक
આ સજ્ઞા અનુસાર અંકાનું પરિવર્તન કરીએ તેટ ત્રા નીચે મુજામ અને :
सारस
हंस
बगुला
नीलकंठ
चिडिया
कोकिल
सर्प
भेड़
कौआ
कोकिल

Page #144

हाथी
ઘારેલો પ્રશ્ન કહેવાની રીત
१२३ યંત્ર બીજે ___ऊंट | चूहा सर्प व्याघ्र सिंह | बकरी भेड़ गरुड गिदड
मैना कौआ सारस हंस चिड़िया कोकिल
યંત્ર ત્રીજો श्वान बिल्ली | चूहा | सर्प गाय भैंस | बकरी | भेड़ मयूर तोता | मैना | कौआ तोता | नीलकंठ / चिडिया | कोकिल
યંત્ર ચેાથો नकुल सियार व्याघ्र | सिंह गाय
भैंस | बकरी कबूतर | चक्रवाक | सारस
हस बगुला | नीलकंठ | चिडिया | कोकिल
યંત્ર પાંચમે अजगर कांगारू गरुड
मयूर । तोता मैना कबूतर | चक्रवाक | सारस बगुला | नीलकंठ | चिडिया | कोकिल
गीदड
कौआ हंस

Page #145

૧૨૪
ગણિત-રહસ્ય ધારે કે જિજ્ઞાસુએ ૭ કમકવાળો પ્રશ્ન ધાર્યું છે, તે તેની આગળ સર્પની સંજ્ઞા હોવાની અને સર્ષની સંજ્ઞાવાળાં યંત્રે ૧ (પીળે), ૨ (લીલા) અને ૩ (વાદળી પટ્ટીવાળા) ક્રમાંકવાળા છે કે જેનું મૂલ્ય અનુક્રમે ૧ + ૨ - + ૪ = ૭ છે. એટલે જિજ્ઞાસુએ ૭ ક્રમાંકવાળે પ્રશ્ન ધાર્યો છે, એમ સહેલાઈથી સમજી શકાય છે.
આ ૩૧ પ્રશ્નો કંઠસ્થ કરવા જોઈએ. અલબત્ત, તે કંઠસ્થ કરવામાં અવધાનકારેને ભૂમિકા ચિત્રોની સહાય મળે છે, પણ અન્ય ગણિતને તેવી સહાય મળતી નથી, એટલે તેમણે એકાગ્રતાપૂર્વક પ્રશ્નની ધારણ કરી તેનું ડું પરાવર્તન કરી લેવું જોઈએ.
અમેએ તે અંગે નિમ્ન પ્રશ્નાવલી નક્કી કરેલી છે?
संज्ञा
प्रश्नावलि અa –ા વચ્ચે વાર સુધા? ઘાથી –ૌના વાઘ પુર હૈ? ऊंट:-गेहूं की उत्पति किस प्रान्त में अधिक होती है ? ધ્યાનઃ-મુફ્લે ન પૂરું પ્રિય હૈ? बिल्ली:-उपहार के लिये आप किस वस्तु को पसन्द
તે હૈં? જૂદ –માત ની સર્વશ્રેટ અભિનેત્રી કૌન? सर्प:-सीताजी के जीवन का सार क्या है ? 'नकुल : -शिक्षण में शारीरिक शिक्षा का स्थान हो सकता है! 'सियार:-यह वर्ष व्यापार के लिये कैसा रहेगा?

Page #146

ધારેલે પ્રશ્ન કહેવાની રીત
१२५. व्याघ्र : नर्स कब आयेगी ? सिंह :-गृहस्थ का धर्म क्या है ? गाय :- नारी की शोभा किस में हैं ? भैंस:-दुनिया में सबसे बड़ी नदी कौन सी है? बकरी:-चतुरंगी मेच कब खेला जायगा? भेड़ :-भारत का भावी कैसा है ? अजगर :-मत्स्ययुगल किसका प्रतीक है? कांगारू :-मानसिक शक्ति का विकास किस तरह हो
सकता है ? गरुड़:-द्विजेन्द्रलाल राय के नाटक तुमने देखें हैं ? गिदड:-सट्टे और जूए में अन्तर क्या है ? मयूर :-सबसे मजबूत बन्धन किस का? तोता:-मरु भूमि में कृषि हो सकती है ? मैना:-सच्चा गुरु किस को मानना! कौआ:-सब से बलवान् शस्त्र कौन सा है ? कबूतर :-श्वेत हाथी कहाँ होता है? . चक्रवाक:-मुझे ईश्वर का साक्षात्कार कब होगा? सारस:-भारत का श्रेष्ठ फल कौन सा है? हंस-मध्यरात्रि में क्या होगा? बगुला :-भाग्य का खेल कौन जान सकता है ? नीलकण्ठ:-रुई के भाव में भारी घट-बढ़ कब होगी? चिडिया:-मेरा वतन कब बढ़ेगा? कोकिल :-श्रेष्ठ दान कौनसा!
- હવે સુજ્ઞ પાઠકે બે-ત્રણ પ્રયોગ કરી જુએ, જેથી બધું બરાબર સમજાઈ જશે. __ भान है 'भारत का भावी कैसा है ? ' से प्रश्न

Page #147

૧૨૬
ગણિત-રહસ્ય
ધારવામાં આવ્યા છે, તેા તેની આગળ મેની સંજ્ઞા મૂકાયેલી છે. હવે મેટ્ટની સંજ્ઞાવાળા કાર્ડ ૧, ૨, ૩, ૪ છે કે જેનુ મૂલ્ય અનુક્રમે ૧ + ૨ + ૪ + ૮ = ૧૫ છે. એટલે જિજ્ઞાસુએ પંદરમે પ્રશ્ન ધારેલા છે. અહી' ગણિતને પંદરમે પ્રશ્ન યાદ કરીને કહેવાના રહે છે. તે પ્રશ્ન ‘મારત જા માની પૈસા હૈ' એ જ છે, અન્ય નહિ.
'
માના કે ધૃતરાથી હાં હોતા હૈ ?' એવા પ્રશ્ન ધારવામાં આવ્યે છે, તે તેની આગળ દ્યૂતર સંજ્ઞા છે. -હવે વૃત્ત સંજ્ઞાવાળાં કારી ૪ અને ૫ છે કે જેનું મૂલ્ય ૮ + ૧૬ = ૨૪ છે. એટલે જિજ્ઞાસુએ ૨૪ મે પ્રશ્ન ધાä છે. તેને ગણિતને યાદ કરીને કહેવાના રહે છે. તે પ્રશ્ન હું શ્વેત હાથીદાં હોતા હૈ ?' એ જ છે, અન્ય નહિ.
આ પ્રયાગ ૧, ૨, ૪, ૮, ૧૬ એ પાંચ સંખ્યાના આધારે થાય છે, પણ આ સંખ્યામાં આગળ ૩૨ ઉમેરીએ તા કાર્ડની સંખ્યા ૬ થાય અને પ્રશ્નો ૬૩ સુધી ગાઠવી શકાય અને તેની આગળ ૬૪ ઉમેરીએ તા કાર્ડની સંખ્યા ૭ થાય અને પ્રશ્નો ૧૨૭ સુધી ગોઠવી શકાય કે જેના પ્રયાગ અમે એકથી વધારે વાર સફલતાપૂર્વક કરેલા છે.
સુજ્ઞ પાઠક) આ પ્રયોગ કરીને પેાતાના મિત્રાનુ' તેમજ 'મિજલસનું ઉત્તમ પ્રકારનુ` મનાર'જન કરી શકે છે અને ગણિતવિદ્યા કૈવી ચમત્કારિક છે, તેની ખાતરી કરાવી શકે છે.

Page #148

[ ૧૫] પ્રકીર્ણ પાંચ પ્રયોગો
૧–ધારેલી રકમ કહેવાની રીત
ગણિતજ્ઞ–તમે ભારતના ઈતિહાસના કેઈ પણ મહત્વના વર્ષની સાલ લખો અથવા ચાર અંકની રકમ લખે.
જિજ્ઞાસુ—લખી.
ગણિતજ્ઞ–હવે તે રકમમાંથી ડાબી બાજુના બે અંક એક બાજુએ લખે.
જિજ્ઞાસુ–લખ્યા.
ગણિતજ્ઞ–તમે જે બે અંકે લખ્યા, તેનાથી તરત જ ચડિયાતી સંખ્યા લખે. દાખલા તરીકે ૧૨ હોય તે ૧૩ લખવા, ૨૭ હોય તે ૨૮ લખવા વગેરે.
જિજ્ઞાસુ–ચડિયાતી સંખ્યા લખી. ગણિતજ્ઞ–તે બંનેને સરવાળે કરે. જિજ્ઞાસુ–કર્યો. ગણિતજ્ઞ–તેને ૫ થી ગુણે.

Page #149

૧૨૮
ગણિત-રહસ્ય જિજ્ઞાસુ–ગુણ્યા. ગણિતજ્ઞ–તેની જમણી બાજુ શૂન્ય ઉમેરે, જિજ્ઞાસુ–ઉમેર્યું.
ગણિતજ્ઞ–હવે ૧૦ થી ૯૯ સુધીની કેઈ પણ સંખ્યા બેલે.
જિજ્ઞાસુ–૩૮.
ગણિતજ્ઞ–આ સંખ્યા તમારા આવેલા પરિણામમાં ઉમેરી દે.
જિજ્ઞાસુ–ઉમેરી દીધી. - ગણિતજ્ઞ-હવે તમારી મૂળ સંખ્યાની જમણી બાજુના બે અંકો તેમાં ઉમેરે.
જિજ્ઞાસુ–ઉમેર્યા.
ગણિતજ્ઞ–હવે તેનું જે પરિણામ આવ્યું હોય, તે મને જણાવે.
જિજ્ઞાસુ-૨૨૫. ગણિતજ્ઞ–તમારી મૂળ ધારેલી સંખ્યા ૨૮૩૭ છે. જિજ્ઞાસુ–બરાબર છે.
આમાં ચાવી એટલી જ છે કે જે છેલ્લું પરિણામ આવે તેમાંથી ૫૦ + તેણે ૧૦ થી ૯ ની અંદર કહેલી રકમને સરવાળો કરી તે રકમ બાદ કરવી, એટલે ધારેલી રકમ આવી જાય.

Page #150

પ્રકીર્ણ પાંચ પ્રાગે
૧૨૯ અહીં જિજ્ઞાસુઓ કેવી રીતે દાખલે ગયે હતો, તે જુઓ.
૫૭
૪૫
ધારેલી રકમ ૨૮૩૭
ડાબી બાજુના બે અંકે ૨૮ તેનાથી તરત ચડિયાતી રકમ ૨૯ બંનેને સરવાળો તેને ગુણ્યા
૨૮૫ પરિણામની જમણી બાજુ ૦ ઉમેરતાં ૨૮૫૦. ૧૦ થી ૯૯ સુધીની રકમ
૩૮
૨૮૮૮ જમણે હાથના બે આંકડા
૩૭
૨૯૨૫ આમાંથી ૫૦ + ૩૮ = ૮૮ બાદ કરતાં બ –––
૮૮
ઉત્તર
૨૮૩૭
૨-એ ધારેલી રકમ કહેવાની રીત
ગણિતજ્ઞ–તમારા ડાબા હાથમાં ત્રણ અંકની સંખ્યા ધારે અને જમણે હાથમાં પણ ત્રણ અંકની સંખ્યા ધારે.
જિજ્ઞાસુ-આમાં એક કે બેકી ગમે તે ધારી શકાય?

Page #151

૧૩૦
ગણિત-રહસ્ય ગણિતજ્ઞ-હો. તમારી ઈચ્છામાં આવે તે ધારી શકો છે. જિજ્ઞાસુ-ધારી.
ગણિતજ્ઞ–તમારા ડાબા હાથમાં રહેલી સંખ્યાને ૨૦૦ થી ગુણે.
જિજ્ઞાસુ-ગુણી. ગણિતજ્ઞ–તેમાં પ ઉમેરે. જિજ્ઞાસુ-ઉમેર્યા. ગણિતજ્ઞ-આવેલી સંખ્યાને ૫ થી ગુણો. જિજ્ઞાસુ–ગુણ્યા.
ગણિતજ્ઞ–આવેલી સંખ્યામાં જમણા હાથની સંખ્યા ઉમેરે.
જિજ્ઞાસુ-ઉમેરી. ગણિતજ્ઞ–તેને ચારથી ગુણ. જિજ્ઞાસુ-ગુણી. ગણિતજ્ઞ–આવેલું પરિણામ જણાવે. જિજ્ઞાસુ-૧૧૦૫૪૯૬.
ગણિત –તમે ડાબા હાથમાં ર૭૬ અને જમણા હાથમાં ૩૪૯ ની સંખ્યા ધારી છે.
આ ઉત્તર ખરેખર આશ્ચર્યજનક છે, કારણ કે સંખ્યાઓ પણ મોટી ધારવામાં આવી છે અને તેનું પરિણામ સાત અંકનું આવ્યું છે.

Page #152

પ્રકીર્ણ પાંચ પ્રયોગ
૧૩ - આ પરિણામ પરથી ગણિતજ્ઞ કેવી રીતે ઉત્તર તૈયાર કરે છે, તે પ્રથમ જોઈ લઈએ.
આવેલું પરિણામ ૧૧૦૫૪૯૬ તેને ૪થી ભાગતાં ૨૭૬૩૭૪ તેમાંથી બાદ
– ૨૫
૨૭૬ ૩૪૯ આમાં ડાબી તરફની રકમ ડાબા હાથમાં અને જમણું હાથની રકમ જમણા હાથમાં છે.
જિજ્ઞાસુએ ગણિત નીચે મુજબ તૈયાર કર્યું હતું – ર૭૬ ડાબા હાથમાં રહેલી સંખ્યા
૪૨૦૦
પપ૨૦૦
૧૫
૫૫૨૦૫
૪પ
ન
૨૭૬૦૨૫
+૩૪૯
જમણા હાથમાં રહેલી સંખ્યા.
૨૭૬૩૭૪
૧૧૦૫૪૯૬
આ સંખ્યા તેણે પરિણામ તરીકે જાહેર કરી હતી.

Page #153

ગણિત-રહસ્ય
આ પ્રયાગમાં જિજ્ઞાસુ પેાતાના એક હાથમાં એકી ને એક હાથમાં એકી ધારે, અથવા બંને હાથમાં એકી ધારે અથવા અંને હાથમાં એકી ધારે તે પણ ઉપરની પ્રક્રિયાથી તેના યથાર્થ ઉત્તર આપી શકાશે.
૧૩૨
માદ
આવેલા પિરણામને ૪થી ભાગવાનુ કારણ એ છે કે છેલ્લા ગુણાકાર ૪થી કરાયેલે છે, અને તેથી જે રકમ આવે તેમાં પ્રક્રિયાના નિયમ અનુસાર ૨૫ની સંખ્યા જ કરવાની હાય છે. આ રીતે ૨૫ બાદ કરતાં છ અંકની જ સંખ્યા આવવાની. તેમાં ડાખી તરફના ત્રણ આંકડા ડાબા હાથમાં રહેલી સંખ્યાના સમજવા અને જમણી તરફના ત્રણ આંકડા જમણા હાથમાં રહેલી સંખ્યાના સમજવા.
હજી એક વધારે દાખલા ગણીએ, એટલે વસ્તુ ખૂબ જ સ્પષ્ટ થઈ જશે.
ધારો કે જિજ્ઞાસુએ ડાબા હાથમાં ૭૧૨ અને જમણા હાથમાં ૧૨૭ ની સંખ્યા ધારી છે. તેા તેનું ગણિત નીચે મુજબ થશે :
૭૧૨ ડાબા હાથની સંખ્યા
૨૦૦
૧૪૨૪૦૦
+ પ
૧૪૨૪૦૫
× ૫

Page #154

પ્રકીર્ણ પાંચ પ્રયોગ
૭૧૨૦૨૫ +૧૨૭
જમણા હાથની સંખ્યા
૭૧૨૧૫૨
૨૮૪૮૬૦૮ છેવટનું પરિણામ
આવેલું પરિણામ ૨૮૪૮૬ ૦૮ તેને થી ભાગતાં ૭૧૨૧૫૨ તેમાંથી બાદ
- ૨૫
૭૧૨ ૧૨૭ એટલે ૭૧૨ ડાબા હાથની અને ૧૨૭ જમણા હાથની સંખ્યા હેવી જોઈએ.
આ પ્રયોગને ઈષ્ઠસંખ્યાકથનને પ્રવેગ પણ કહેવામાં આવે છે.
૩-વિભુની વ્યાપક્તા ગણિતજ્ઞ-સજ્જને અને સન્નારીઓ ! અખિલ વિશ્વમાં વિભુ વ્યાપી રહેલે છે, પછી તેને ગમે તે નામે ઓળખવામાં આવે. આ વસ્તુ કૃતિ, યુક્તિ અને અનુભૂતિથી સિદ્ધ થઈ શકે છે, તેમ ગણિતથી પણ સિદ્ધ થઈ શકે છે. તેને એક ચમત્કારિક પ્રગ તમને બતાવવા ઈચ્છું છું. તે માટે એક મહાશય આગળ આવે.
અહીં એક મહાશય આગળ આવે છે અને તે પિતાના હાથમાં કાગળ તથા પેનસીલ લઈ થડે દૂર ઉભા રહે છે, અથવા થોડે દૂર ગોઠવેલા ટેબલ ઉપર પોતાની બેઠક લે છે.

Page #155

ગણિત રહસ્ય
ગણિત–મહાનુભાવ ! આપ આ અખિલ વિશ્વમાંથી
કોઈ વસ્તુ, પદાથ કે પ્રાણીનું નામ લખે. પ્રાણીમાં પશુ, પક્ષી, જળચર તથા મનુષ્યાને પણ સમજી લેવા.
૧૩૪
લખેા.
જિજ્ઞાસુ-નામ લખ્યું.
ગણિતજ્ઞ—આ નામમાં જેટલા અક્ષરો હોય તેની સખ્યા
જિજ્ઞાસુ-જોડાક્ષર હાય તા ?
ગણિતજ્ઞ-તે તેને દોઢ અક્ષર નહિ; પણ એક જ અક્ષર ગણવા.
જિજ્ઞાસુ–સંખ્યા લખી.
ગણિતજ્ઞ—તમારી સંખ્યાને વેદની સંખ્યાથી ગુણા. વેદે ચાર છે, એ તેા જાણા છે ને ?
જિજ્ઞાસુ-હા જી. ચારથી ગુણ્યા.
ગણિતજ્ઞ--તેમાં મહાભૂતની સખ્યા ઉમેરો. મહાભૂતની સખ્યા પાંચ છે, એ તમારા ખ્યાલ બહાર નહિ જ હાય.
જિજ્ઞાસુ–ઉમેરી.
ગણિતજ્ઞ-જે સંખ્યા આવી, તેને નર–નારાયણુરૂપ
એથી ગુણા.
જિજ્ઞાસુ–ગુણી.
ગણિતજ્ઞ આવેલી સંખ્યાને વસુદેવની સખ્યાથી ભાગે વસુદેવની સખ્યા આઠ છે. જિજ્ઞાસુ–ભાગ્યા.

Page #156

૧૩૫
પ્રકીર્ણ પાંચ પ્રયોગ
ગણિતજ્ઞ-કંઈ શેષ વધે છે? જિજ્ઞાસુ-હાજી. ગણિતજ્ઞ–કેટલી. જિજ્ઞાસુ-૨,
ગણિતજ્ઞ–આ બેની સંખ્યા બે અક્ષરનું સૂચન કરે છે. એ બે અક્ષરે છેઃ “વિભુ.આપને પહેલેથી જ કહ્યું હતું કે વિભુ સર્વવ્યાપક છે. તમે ગમે તે વસ્તુ, પદાર્થ કે પ્રાણીને વિચાર કરે, તે વિભુની સત્તા બહાર નથી.
હવે જિજ્ઞાસુએ શું નામ ધર્યું હશે, તે ગણિતજ્ઞ જાણતા નથી અને તે જાણવાની જરૂર પણ નથી, કારણ કે તેણે ગમે તેટલા અક્ષરનું નામ ધાર્યું હતું તે પણ પરિ ણામ આ જ આવત. દાખલા તરીકે તેણે પૃથ્વીપતિ એવું ચાર અક્ષરનું નામ ધાર્યું હોત, તે ગણિત નીચે પ્રમાણે થાત –
૪૪ વેદની સંખ્યા
+૫ મહાભૂતની સંખ્યા
૨૧
* ૨ નરનારાયણની સંખ્યા ૮) ૪ર (૫ વસુદેવની સંખ્યા
૨ શેષ વધ્યા ધારે કે તેણે “તિરુણામલાઈ” એવું સાત અક્ષરનું

Page #157

ગણિત-રહસ્ય નામ ધર્યું હત, (શ્રી રમણ મહર્ષિ જે ગામમાં રહેતા હતા, તેનું આ નામ છે. તે તેનું ગણિત નીચે પ્રમાણે થાત –
* ૪ વેદની સંખ્યા - ૨૮ + પ મહાભૂતની સંખ્યા ૩૩ ૪ ૨ નરનારાયણની સંખ્યા ૮) ૬૬ (૮ વસુદેવની સંખ્યા
-
-
૨ શેષ વધ્યા.
આ રીતે કઈ પણ નામની સંખ્યા લખીએ તે પણ આ પ્રક્રિયાથી ૨ જ શેષ વધે, કારણ કે તેમાં મૂળ સંખ્યા આઠ ગણી + ૨ થાય છે અને તેને આઠથી ભાગવામાં આવે છે. ૪-ગમે તે રકમને નિઃશેષ ભાગી આપવી.
ગણિતજ્ઞ–મહાશ! એ તે તમે જાણે છે કે કેટલીક સંખ્યાઓને અમુક સંખ્યાથી ભાગી શકાય છે અને કેટલીક સંખ્યાઓને ભાગી શકાતી નથી. જેમકે ૭, ૧૧, ૧૩, ૧૯ વગેરે. પરંતુ તમારી લખેલી કોઈ પણ રકમને હું આજે નિશેષ ભાગી બતાવીશ. નિઃશેષ એટલે જેને ભાગાકાર કરતાં નીચે માત્ર શૂન્ય વધે પણ ૧ થી ૯ સુધીને કઈ પણ અંક કે તેનાથી બનતી સંખ્યા ન વધે તે.

Page #158

પ્રકીર્ણ પાંચ પ્રાગે
૧૩૭ જિજ્ઞાસુ–પરંતુ જે રકમ ભાગી જ ન શકાતી હોય તેને શી રીતે ભાગી શકાય ?
ગણિત –એનું જ નામ ચમત્કાર. તમે હમણાં જ જેશે કે તમારી લખેલી કઈ પણ રકમને હું નિઃશેષ ભાગી અતાવીશ; એટલું જ નહિ, પણ તેના ભાગને અને તેના ભાગને પણ નિઃશેષ ભાગી બતાવીશ. ચાલ હવે તમે ત્રણ અંકની કેઈપણ રકમ કાગળ પર લખે.
જિજ્ઞાસુ–લખી. ગણિતજ્ઞ–તેની પાસે તે જ રકમ ફરી લો. જિજ્ઞાસુ–લખી. ગણિતજ્ઞ–હવે તમારે આ કાગળ 3 મહાશયને આપો.
અહીં બીજા કોઈ પણ મહાનુભાવને ઊભા કરવામાં આવે તેમને ૩ સમજવા.
૩ મહાશય પેલે કાગળ ગ્રહણ કરે છે.
ગણિતજ્ઞ–મહાશય ! તમારી પાસેના કાગળમાં જે રકમ લખી છે, તેને ૭ થી ભાગ.
જ મહાશય–ભાગી. ગણિતજ્ઞ–કંઈ શેષ વધે છે? ત્ર મહાશય–ના જી.
આ સાંભળી જિજ્ઞાસુ તથા બીજાઓ આશ્ચર્ય પામે છે. પછી ગણિતજ્ઞ = મહાશયને ઊભા કરે છે અને તેમને પેલો કાગળ ગ્રહણ કરવા કહે છે. તે પ્રમાણે જ મહાશય કાગળ ગ્રહણ કરે છે.

Page #159

૧૩૮
ગણિત-રહસ્ય ગણિતજ્ઞ–જુઓ મહાશય, તમારા હાથમાં એક ભાગાકાર મૂકાયેલ છે. તેના ભાગમાં જે સંખ્યા આવી હોય તેને એ ભાગાકારની નીચે લખે અને તેને ૧૧ થી ભાગે.
વર મહાશય–ભાગી. ગણિતજ્ઞ–કંઈ શેષ વધી? ૨ મહાશય–ના છે, માત્ર શૂન્ય વધી છે.
આ સાંભળી બધા પ્રેક્ષકે વધારે આશ્ચર્ય પામે છે. હજી ગણિતજ્ઞ આગળ વધીને કહે છે કે તમારે ભાગાકાર # મહાશયને આપે. તે પ્રમાણે એ ભાગાકાર # મહાશયને અપાય છે.
ગણિતજ્ઞ–જુઓ મહાશય, તમારા હાથમાં જે ભાગાકાર મૂકાયે છે, તેમાં છેલ્લા ભાગાકારને જે ભાગ આવ્યું છે, તેને છેલ્લા ભાગાકારની નીચે લખે અને તેને ૧૩ થી ભાગે.
જ મહાશય–ભાગ્યા. ગણિતજ્ઞ-કંઈ શેષ વધે છે? વ મહાશય-ના છે. માત્ર શૂન્ય વધે છે.
અહીં તે આશ્ચર્યની પરાકાષ્ટા જ થાય છે અને પ્રેક્ષકે તાલીઓને ગડગડાટ કરે છે. - આ પ્રગ કેવી રીતે થયે, તે પ્રથમ જોઈ લઈએ. માને કે જિજ્ઞાસુએ ૧૧૭ની સંખ્યાને અવિભાજ્ય માની તેની પસંદગી કરી છે, તે એ પ્રથમ ૧૧૭ લખી ફરી તેની પાસે ૧૧૭ લખશે, એટલે એ રકમ ૧૧૭૧૧૭ની બનશે.

Page #160

૧૩૯:
પ્રકીર્ણ પાંચ પ્રયોગ (૧) ૭) ૧૧૭૧૧૭ (૧૬૭૩૧ ભાગ
હર મહાશય
४७ ૪૨
પ૧
૦ ૦૭
૦ શેષ
(૨)
૧૧) ૧૬૭૩૧ (૧૫૨૧ ભાગ
૧૧
= મહાશય
૫૫
૨૩
૨૨
૦૦ શેષ

Page #161

૧૪૦
ગણિત-રહસ્ય
(૩)
૧૩) ૧૫૨૧ (૧૧૭ ભાગ
- ૨ મહાશય
૦૦ શેષ.
આમ બનવાનું કારણ શું ? કારણ જાણ્યા પછી તે તમને એમ જ લાગશે કે આ તે સાવ સહેલું છે. તે એ કારણ
જાણી . કઈ પણ ત્રણ અંકની રકમની બાજુમાં એ જ - ત્રણ અંકે લખીએ તેનો અર્થ એ થયે કે તેને ૧૦૦૦ થી ગુણીને તેમાં તે જ સંખ્યા ઉમેરી. એટલે કે તેને ૧૦૦૧ થી ગુણી. વાત સમજમાં આવી? ન આવી હોય તે નીચેના દાખલાઓ જુઓ.
૬૨૯
૨૫૩ ૪૧૦૦૧
૭૭૧ ૪૧૦૦૧
૪૧૦૦૧
૬૨૯
૭૭૧
૨૫૩ ૦૦૦૪
૦૦૦૪
૦૦૦૪ ૦૦૦૪
૦૦૦૪ :
OOOX
૨૫૩૪
૭૭૧૪
૨૫૩૨૫૩
૬૨૯૬૨૯
૭૭૧૭૭૧

Page #162

પ્રકીર્ણ પાંચ પ્રયોગો
૧૪૧. હવે ૧૦૦૧ના ત્રણ અવયવે નીચે મુજબ પડી શકે છે :૭૪૧૧ ૪ ૧૩ = ૧૦૦૧. તેથી આ દરેક સંખ્યાએ તેને. નિઃશેષ ભાગી શકાય. પડી જ ક્ષણમાં સરવાળો કરી આપવો.
ગણિતજ્ઞ–સજ્જને અને સન્નારીઓ ! મોટી સંખ્યાએને સરવાળો કરવાનું કામ કેટલું અઘરું હોય છે, તે તમે જાણે છે. પણ હું તે કામ તમને થોડી જ ક્ષણમાં કરી આપીશ. આપનામાંથી એક મહાનુભાવ અહીં આવે.
એક મહાનુભાવ આવે છે.
ગણિતજ્ઞ–આપ આ કાગળ પર છ-છ અંકની ત્રણ રકમ લખે. તે એકની નીચે બીજી લખવાની છે.
જિજ્ઞાસુ તે પ્રમાણે લખે છે. " ગણિતજ્ઞ-હવે તેની નીચે ચોથી પણ છ અંકની રકમ લખો, પણ તેમને કોઈ અંક પની ઉપરને ન હૈ જોઈએ.
જિજ્ઞાસુ ચેથી રકમ એ પ્રમાણે લખે છે. ત્યાર પછી. ગણિતજ્ઞ પોતે તેની નીચે પિતાને તરફથી છ છ અંકની ત્રણ રકમ લખે છે. તે બાદ જિજ્ઞાસુને કહે છે કે હજી છ અંકની એક રકમ લખવાની છે, તે તમેજ લખો, પણ. તેમને કેઈ અંક ૪ થી વધારે ન હૈ જોઈએ.
જિજ્ઞાસુ એ પ્રમાણે રકમ લખે છે કે ગણિતજ્ઞ થેડી. સેકન્ડમાં જ તેને જવાબ નીચે લખી આપે છે.
દાખલા તરીકે –

Page #163

ગણિત-રહસ્ય ૮૨૪૬પ૧ + જિજ્ઞાસુએ લખી ૭૧૫૨૪૩ ૨૧૯૦૧૬ ૩૨૫૧૪૧ પાંચથી ઓછી છ અંકની રકમ ૧૭૫૩૪૯ ગણિત લખી ૨૮૪૭પ૭ ૭૮૦૯૮૪ ૨૧૩૦૪૨ જિજ્ઞાસુએ લખી ચાર અંકની ઓછી ૩૫૩૮૧૮૩ સરવાળે બેથી ત્રણ સેકંડમાં જ
ગણિત મૂકી આપે. તેનું રહસ્ય આ પ્રમાણે સમજવું. જિજ્ઞાસુએ પહેલી રકમ લખી તેની પૂર્તિ ગણિતશે એવી રીતે કહી કે જેને સરવાળે ૧૦૦૦૦૦૦ લાખ આવે. આ રીતે સંખ્યા લખવા માટે માત્ર નીચે એવી રીતે અંક લખતા જ કે જે મળીને સરવાળે ૯ થાય અને છેલ્લા અંકને ૧૦ થાય, એ રીતે
૮૨૪૬૫૧ જિજ્ઞાસુએ લખેલી પહેલી રકમ ૧૫૩૪૯ ગણિતશે લખેલી રકમ
૧૦૦૦૦૦૦
આમાં ઝડપથી લખવા માટે નીચેની રીતિ અખત્યાર કરવામાં આવી છે.'
+
+9
+૫
+૩
૧૪
૧૯

Page #164

પ્રકીર્ણ પાંચ પ્રાગે
૧૪૩ છેડે દશ લાવતાં આખી સંખ્યા ૧૦૦૦૦૦૦ની બની જાય છે.
આ રીતે જિજ્ઞાસુએ લખેલી બીજી રકમની પૂર્તિમાં ગણિત છઠ્ઠી રકમ લખી અને ત્રીજી રકમની પૂર્તિમાં સાતમી રકમ લખી.
ત્યાર બાદ જિજ્ઞાસુએ આઠમી રકમ લખી, હવેગણિતશે આમાં એટલું જ કરવાનું છે કે ડાબી બાજુ પહેલે અંક ૩ મૂકી દે, કારણ કે છ સંખ્યાઓ મળીને ૩૦૦૦૦૦૦ વીશ લાખ થાય છે. સાતમા અંકસ્થાનમાં રહેલો ૩ ત્રીશ લાખનું મૂલ્ય બતાવે છે. પછી ડાબી બાજુથી ચોથી તથા આઠમી સંખ્યાને જ સરવાળો મૂકતા જવું જેમકે—
૩૨૫૧૪૧ ચેથી રકમ ૨૧૩૦૪૨
આઠમી રકમ
પ૩૮૧૮૩ આ રકમની આગળ ૩ ઉમેરતાં
૩૫૩૮૧૮૩ બને છે, જે સરવાળાને ઉત્તર છે. પગ કરી જુઓ, એટલે આ પ્રગમાં ખૂબ જ મજા પડશે.

Page #165

Page #166

ગણિતજ્ઞાન તેમજ બુદ્ધિની કસાટી કરનારા
કોયડાઓ
ரெத்தகதிர்

Page #167

ખાસ સૂચના
ગણિત-ચમત્કારમાં ચૂંટી કાઢેલા ૧૦૦ કોયડાઓ આપવામાં આવ્યા હતા અને તેણે પાઠકેની બુદ્ધિની બરાબર કસોટી કરી હતી. તેવા જ બીજા ૮૦ કેયડાઓ અહીં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. તેના પહેલા વર્ગમાં ૩૦ કેયડાઓ છે, તેને જવાબ કાગળ-પેનસીલની મદદ વિના મૌખિક જ આપવાનું છે. બીજા અને ત્રીજા વર્ગમાં કાગળ અને પેનસીલને ઉપગ કરવાની છૂટ છે.
કેયડો વાંચીને તેને અર્થ સમજ અને તેને ઉકેલ કરવા પ્રયત્ન કર, એમાં જ ખરી મજા છે. વિવિધ રીતે પ્રયત્ન કરવા છતાં ઉકેલ ન સૂઝે ત્યારે જ તેને ઉત્તર જે જોઈએ.
બસ, આટલી સૂચના ધ્યાનમાં રાખીને હવે કેયડાઓ વાંચવાની શરૂઆત કરે અને તેને ઉકેલ પણ શેધતા જાઓ.

Page #168

પહેલો વર્ગ
[૧]
સાવ સહેલું! જે પાંચ વખત ચારની કિંમત તેત્રીશ થાય તે ચાલીશના ચોથા ભાગની કિંમત શું થાય ?
[૨] વરસાદની સરેરાશ એક પ્રદેશમાં લાગેલા ટ દોઢ અઠવાડિયા સુધી વરસાદ છે. તેમાં ૩૧ ઈંચ પાણી પડ્યું તે વરસાદની રાજની સરેરાશ કેટલી?
[૩].
તફાવત બે પાંત્રીશ અને બે પાંચ અને ત્રીશ વચ્ચેનો તફાવત કેટલે ?
[૪] દશ અંકના ગુણકાર ૧ ૪૨ ૪૩ ૪૪૪૫ ૪૬ ૪૭ ૪૮૪૯૪ ૦ =?

Page #169

૧૪૮
ગણિત-રહસ્ય
કાનપી અને કુમતાં યશદાએ પોતાના નાના બાબા માટે ફૂમતાવાળી ઊનની કાનટોપી રૂા. ૭-૫૦ પૈસામાં ખરીદી. તેમાં ફૂમતાં કરતાં ટોપીની કિંમત રૂા. ૬-૦ વધારે છે, તે ફૂમતાંની કિંમત કેટલી ?
[૬]
કેટલી બેઠકે હશે? મનુ કેલેજમાં ભણવા જાય છે. ત્યાં પહેલેથી ત્રીજી હારમાં અને છેલ્લેથી સાતમી હારમાં જમણી બાજુ બેસે છે. હવે જમણી અને ડાબી બંને બાજુઓના બાંકડામાં છ-છ બેઠકે છે, તે એ વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓને માટે કુલ કેટલી બેઠક હશે?
[૭] ઘેડાઓની સંખ્યા બે હારમાં સરખા ઘડા ઊભા છે. તેમાંથી પહેલી હારમાંથી ૭ ઘોડા વેચી નાખવામાં આવ્યા અને બીજી હારમાંથી ૧૩ ઘોડા વેચી નાખવામાં આવ્યા. હવે પહેલી હારમાં જે ઘડાઓ રહ્યા, તે બીજી હારના ઘડા કરતાં ચાર ગણું છે, તે બંને હારમાં કેટલા ઘેડા ઊભા હશે ?
ચેસઠના ચાર ભાગ - ૬૪ ના ચાર ભાગ એવી રીતે કરે કે તેના પહેલા

Page #170

પહેલે વર્ગ
૧૪૯ ભાગમાં ૩ ઉમેરીએ, બીજા ભાગમાંથી ૩ બાદ કરીએ, ત્રીજા ભાગને ૩ થી ગુણએ અને ચોથા ભાગને ૩ થી ભાગીએ તે પરિણામ સરખું આવે.
કારીગરના રોજ એક કારીગર રાજના સાડા ત્રણ રૂપિયા કમાતા હતા, પણ જે દિવસે કામ પર જઈ શકતા ન હતા, તે દિવસે પિતાની બદલીમાં બીજા માણસને એકલતું હતું અને તેનું મહેનતાણું પણ ત્રણ રૂપિયા આપવું પડતું હતું. હવે એક મહિના પછી હિસાબ ગણતાં તેને ભાગે ૪રા રૂપિયા રહ્યા, તે તેણે પોતે કેટલા રોજ કામ કર્યું હશે ?
[ ૧૦ ]
સાયકલવાળા બે સાયકલવાળા વર્તુલ (ગોળાકાર) રસ્તામાં સાયકલ ફેરવે છે. તેમાં પહેલો સાયકલવાળા છ મિનિટમાં વર્લ્ડલ પૂરું કરે છે અને બીજો ચાર મિનિટમાં વર્તુલ પૂરું કરે છે, તે પહેલે સાયકલવાળે બીજાને કેટલી મીનીટમાં પકડી પાડશે?
[ ૧૧ ].
ક્રિકેટને કેય - એ તે સહુ કઈ જાણે છે કે ક્રિકેટ મેચમાં દરેક પક્ષમાં અગિયાર-અગિયાર માણસ રમે છે. અમે એક વખત ક્રિકેટ મેચ જેવા ગયા, ત્યારે એવું બન્યું કે નવમે માણસ રમતમાં ખલ થયે, છતાં ત્રણ વિકેટો પડી, તે તે કેમ બન્યું હશે?

Page #171

૧૫૦
ગણિત-રહસ્ય [ ૧૨ ]
વેપાર " એક ફળવાળાએ ૧ રૂપિયાના ૧૨ દાડમ લઈ ૧૯ના ભાવે વેચી નાખ્યા અને ૧ રૂપિયાના ૧૬ દાડમ લઈ ૧૨ ના ભાવે વેચી નાખ્યા. એ પ્રમાણે તેણે કેટલી વાર વેપાર કર્યો હશે, જેથી તેને ૧ રૂપિયાને ફાયદો થયે?
[ ૧૩ ]
જન્મતિથિ વિદ અને રસિક જોડિયા ભાઈ છે. તેમાં વિનેદની ચેથી જન્મતિથિ આજ ઉજવાય છે અને રસિકની પહેલી જન્મતિથિ કાલે ઉજવાશે. આ કેવી રીતે બને?
[ ૧૮ ] .
ત્રાજવાં અને કાટલાં - ૧ થી ૪૦ શેરનું વજન કરવા માટે કાંટો તૈયાર છે હવે જે એક જ તરફના છાબડામાં કાટલાં મૂકવાનાં હોય તે ઓછામાં ઓછાં કેટલાં કાટલાં જોઈએ ? અને બંને તરફના. છાબડામાં કાટલાં મૂકવાનાં હોય તે ઓછામાં ઓછાં કેટલાં જોઈએ ?
[ ૧૫ ],
ધૂમ્રપાન ધૂમ્રપાનમાં અનેક જાતના નુકશાને રહેલાં છે, આમ છતાં મનુષ્ય લતની ખાતર તેનું સેવન કરે છે અને તે માટે દર વર્ષે અબજો રૂપિયા ખર્ચી નાખે છે. કેટલાક માણસે

Page #172

પહેલે વર્ગ
૧૫ર પાસે ધૂમ્રપાન કરવા જેટલા પૈસા હોતા નથી, તેઓ બીડી કે સિગારેટનાં ઠુંઠા ભેગા કરીને તેમાંથી બીડી કે સીગારેટ બનાવે છે અને પિતાની તલપ પૂરી કરે છે. કચરાદાસને આવી જ ટેવ હતી. તે જ બીડીનાં ઠુંઠ એકઠાં કરતે અને છ ઠુંઠાંમાંથી ૧ બીડી બનાવો. હવે એક દિવસ તેણે ૪૯ - ઠુંઠાં ભેગા કર્યા, તે તેમાંથી કુલ કેટલી બીડીઓ બનશે?
. ડેકટરની વીઝીટ એક ડોકટર એક વાર વીઝીટે જવાની ફી પાંચ રૂપિયા લે છે, પરંતુ રાત્રે વીઝીટે જવું પડે તે સાડા સાત રૂપિયા લે છે. હવે એક દરદીને કુલ ૧૨ દિવસ સુધી તપાસીને તેણે ૭૫ રૂપિયાનું બીલ બનાવ્યું, તે તેણે રાત્રે કેટલી વાર વિઝીટ કરી હશે?
[ ૧૭ ] પાટિયું કાપવાની મજૂરી મારી પાસે સમરસ પાટિયું છે. તેને એથે ભાગ કાપવા માટે એક સુથારે ચાર આના કહ્યા, પણ મારે તેના ચાર સરખા કકડા કરાવવા હોય તે તે જ ભાવે કુલ કેટલી મજૂરી આપવી પડે?
[૧૮]
ચાર પંચા સેળ! ચાર પંચા વીશ” એ તે તમે સહુ જાણે છે, પણ

Page #173

૧૫૨
ગણિત રહસ્ય વિનેદે “ચાર પંચા સોળ” કરી બતાવ્યા, તો તેણે શું કર્યું હશે?
[ ૧૮ ].
ફાળાની રકમ એક વખત સાત માણસેએ અમુક ફાળામાં રકમ ભરવાનું નકકી કર્યું. તેમાં પહેલા છ પૈકી દરેકે ૧૦ રૂપિયા ભર્યા ને છેલ્લા માણસે સાતેય જણની સરેરાશ કરતાં ૩ રૂપિયા વધારે ભર્યા, તે તેણે શું ભર્યું હશે?
* છાજલી પરના ગ્રંથ
એક છાજલી પર ત્રણ ગ્રંથે પડેલા છે. હવે એક કીડે તેનાં પાનાં કરવા માંડે છે. તેમાં પહેલા ગ્રંથના પહેલા પાનાથી છેલ્લા ગ્રંથના છેલ્લા પાન સુધી જાય છે. જે આ દરેક ગ્રંથના પાનાનું કદ ૧ ઈચ અને પૂંઠાનું કદ ઈંચ હોય, તે એ કીડાએ કુલ કેટલું અંતર કાપ્યું હશે?
[૨૧].
ટેકરીને નંબર એક વાર ટેસીમાં પ્રવાસ કરી રહેલ એક ગૃહસ્થ ટેકસી-ડ્રાઈવરને પૂછયું કે તારી ટેકસીને નંબર શું છે? ત્યારે ટેકસી–પ્રાઈવરે સીધો જવાબ ન આપતાં જણાવ્યું કે મારી ટેકસને નંબર એ છે કે જેને ૨, ૩, ૪, પ કે ૬ થી ભાગો તે દરેક વખતે ૧ વધે, પણ ૧૧ થી ભાગે.

Page #174

પહેલે વર્ગ
૧૫૩ તે કંઈ ન વધે. મારા જેટલા નાના નંબરવાળી ટેકસી ભાગ્યે જ બીજા કેઈની હશે, તે એ ટેકસને નંબર શું?
[ રર .
પાણું અને દૂધ જ કૂજામાં ૧ શેર પાણી છે અને વ કુજામાં ૧ શેર દુધ છે. હવે જ કૂજામાંથી ૧ હાલે પાણુને ભરીને ૨ પૂજામાં નાખ્યું હોય અને પછી ૨ કૂજામાંથી તે જ પ્યાલે દૂધને ભરીને 1 કૂજામાં ના હોય તે ૩ કૂજામાંનું દૂધ અને ૪ કૂજામાંનું પાણી સરખા જ રહે કે ઓછા–વધારે?
[૨૩] રૂપિયા અને નેકરે એક સેદાગરે પિતાના નોકરને વહેંચવા માટે રૂપિયા કાઢયા. જે તે નેકરેને ત્રણ-ત્રણ રૂપિયા આપે છે, તે ૧ રૂપિયે વધે છે અને ચાર-ચાર રૂપિયા આપે છે તે ૯ રૂપિયા ઘટે છે, તે તે સોદાગરે વહેંચવા માટે કેટલા રૂપિયા કાવ્યા હશે અને તેને કેટલા નેકરે હશે ?
કાઠીને છેડે | કાઠી લેકો ઘેડાને ઉછેરીને તૈયાર કરે છે અને તેની પાસેથી મનગમતું કામ લે છે. ખાસ કરીને સૌરાષ્ટ્રના કાઠી લોકે તે માટે વખણાય છે.

Page #175

૧૫૪
ગણિત-રહસ્ય એક વાર એક કાઠીએ એક વછેરે ૧૫૦ રૂપિયામાં ખરીદ્યો, ત્યાર બાદ કેટલાક વખતે તેને ૩૦૦ રૂપિયામાં વેચી નાખે. આથી તેના મિત્રે કહ્યું કે “તમને આ ઘેડે વેચતાં સારે નફે થયે હશે. પરંતુ કાઠીએ જણાવ્યું કે “ભાઈ! વખતને માન આપીને મારે આ ઘેડે વેચી નાખવે પડ્યો છે. બાકી આ સેદામાં ઘોડાની મૂળ કિંમતના અર્ધા તથા આજ સુધી કરેલા ખર્ચને ચોથે ભાગ મેં ગુમાવ્યો છે.” ત્યારે એ કાઠીએ વેચાણમાં કુલ કેટલા રૂપિયા ગુમાવ્યા હશે?
[૨૫]
ચાલવાને પ્રશ્ન એક માણસ રોજ પ્રાતઃકાળમાં ફરવા જતો હતો. તેણે ફરતાં ફરતાં પાછું જોયું તે ૪૦૦ હાથના છે. પિતાના એક મિત્રને જે, એટલે તેણે મિત્ર ભણી ચાલવા માંડ્યું. બંનેને મુખ સામસામા હતાં, છતાં ૨૦૦ હાથ છેટા ચાલ્યા પછી પણ તેમની વચ્ચે ૪૦૦ હાથનું જ છેટું રહ્યું, તે તે કેમ બન્યું હશે?
[૨૬]
વાડના થાંભલા એક મકાનના રસ્તા પરના ભાગ પર ૧૦૦ ફૂટની વાડ કરવી પડે એમ છે. તેમાં તાર અને થાંભલાઓને ઉપયોગ કરવાનું છે. હવે થાંભલા ૧૦-૧૦ ફૂટના છે. મૂકવા હોય તે કુલ કેટલા થાંભલા જોઈએ?

Page #176

પહેલે વર્ગ
[ ૧૭ ] " કળિયા અને વંદા એ તે તમે જાણતા જ હશે કે કરોળિયાને ૮ પગ હોય છે અને વંદાને ૬. હવે એક વખત એક છોકરાએ લાકડાની નાની પેટમાં કરેળિયા અને વંદા મળી ૯ જંતુઓ એકઠા કર્યા અને તેમના પગ ગણ્યા તે ૬૦ થયા, તે તેમાં કળિયા કેટલા હશે અને વંદા કેટલા હશે?
[૨૮]
ટીકીટને પ્રકાર એક રેલ્વે લાઈન પર ૨૦ સ્ટેશને છે. તે દરેક સ્ટેશન પર ટીકીટો વેચવાની વ્યવસ્થા છે, તે એ રેલ્વે લાઈન પર બધી મળીને કેટલા પ્રકારની કીકીટો વેચાતી હશે?
[૨૯]
વિમાની સફર એક વિમાનને ૩ થી ૨ સુધી જતાં એક કલાક અને. ૨૦ મીનીટ લાગે છે, પરંતુ પાછા ફરતાં ૮૦ મીનીટ લાગે છે, તેનું કારણ સમજાવશે?
[૩૦] એકમાંથી એક બાદ જ ન થાય! ૧ માંથી ૧ બાદ જાય તે બાકી . રહે, એટલે કે કંઈ ન રહે એવી આપણી સામાન્ય સમજ છે, પણ ૧ માંથી. ૧ બાદ જ ન થઈ શકે, એ કેમ બને ?

Page #177

બીજો વર્ગ
[૩૧] લગ્ન માટે સામાન એક ખેડૂત લગ્ન માટે કેટલીક સામાન ખરીદવા પાસેના શહેરમાં ગયે. ત્યાં એક મણિયારની દુકાનેથી ૮ રૂપિયામાં ૨ વીંઝણ, ૪ દર્પણ અને ૬ કંકાવટીઓ લઈ આવ્યું. ઘેર આવતાં પાડોશીઓએ પૂછયું કે-“તમે દરેક વસ્તુ શા ભાવે લાવ્યા?” ખેડૂતે કહ્યું કે “એવી તે ખબર - નથી, પણ એક વીંઝણાની કિંમત ૨ દર્પણ અને ૩ કંકાવટી -જેટલી છે અને ૨ દર્પણની કિંમત ૩ કંકાવટી જેટલી છે.”
આ જવાબ સાંભળીને પાડોશીઓએ દરેક વસ્તુની કિંમત જાણી લીધી. તમે જાણી શક્યા?
માલની અદલાબદલી ચાર મિત્રે વેપાર કરતા હતા. તેમાં એકની પાસે કેટલાક ચપુ, બીજાની પાસે કેટલીક સૂડીએ, ત્રીજાની પાસે

Page #178

બીજે વર્ગ
૧૫૭ કેટલીક કાતર અને ચોથાની પાસે કેટલાંક પાકીટ હતાં. હવે જેની પાસે ચપ્પ હતાં, તેણે દરેક મિત્રને એકેક ચપુ. આપ્યું; જેની પાસે સૂડીઓ હતી, તેણે દરેક મિત્રને એકેક સૂડી આપી, જેની પાસે કાતર હતી, તેણે દરેક મિત્રને એકેક કાતર આપી અને જેની પાસે પાકીટો હતાં, તેણે દરેક મિત્રને એકેક પાકીટ આપ્યું. - હવે તેમણે સરખે ભાવે વસ્તુઓ વેચી તે દરેકને. ૪-૪ રૂપિયા મળ્યા, તે તે દરેક કેટકેટલી વસ્તુઓ લઈને વેચવા નીકળ્યા હશે અને દરેક વસ્તુ શા ભાવે વેચી હશે?
[૩૩] કેટલા રૂપિયાને માલ? એક વખત કમુ અને રમુ નામની બે બહેનપણીઓ. વાતે ચડી. પહેલીએ બીજને કહ્યું કે મારા પતિ કેટલીક ખાંડ ૫૦ પૈસાની ૫૦૦ ગ્રામ લેખે લાવ્યા અને એટલે જ ગોળ ૪૦ પૈસાના ૫૦૦ ગ્રામ લેખે લાવ્યા. મેં તેમને કહ્યું કે “જો તમે અરધે અરધ પૈસાના ખાંડ-ગોળ લાવ્યા હતા તે ૧૦૦ ગ્રામ માલ વધારે આવત, તે બહેન! તેઓ કેટલા રૂપિયાને માલ લાવ્યા હશે ?”
બીજીએ કહ્યું : “આમાં મને તે કંઈ સમજ પડતી. નથી, પણ મારી ભારતી તમને કહી આપશે.” એવામાં રમતી રમતી ભારતી ત્યાં આવી પહોંચી અને તેણે તરત. હિસાબ ગણી આપે. તમે કહી શકશે કે કમુને પતિ. કેટલા રૂપિયાને માલ લાવ્યું હશે?

Page #179

૧૫૮
[ ૭૪ ] બ્રહ્મભાજનના હીસાબ
રઘુ પટેલે એક વખત બ્રહ્મભાજન આપ્યું. તેમાં ૨૫ નાગર, ૨૦ ઔદિચ્ય, ૧૮ શ્રીમાળી ને ૧૨ મેવાડા બ્રાહ્મણુ આવ્યા. હવે તે કોઈ કોઈની સાથે જમે નહિ, એટલે દરેકે જુદો પઠો લગાન્યેા. ભગા પટેલે પેાતાના મેાદી ચુનીલાલ શેઠને જણાવી દીધુ હતુ કે ચારે પઠાને તેમણે સીધું પૂરું પાડવું. બધા બ્રાહ્મણા જમી રહ્યા ત્યારે ચુનીલાલ શેઠને ત્યાંથી રૂપિયા ૯૫-૦-૦ ના સામાન ખરીદાયા. પણ રઘુ પટેલને દરેક પંઠા દીઠ કેટલું ખર્ચ થયું તે જાણવું હતુ, એટલે તેમણે ચારે પઢાવાળાને મેલાવીને પૂછ્યું કે ‘તમે દરેક કેટકેટલું સીધું લાવ્યા ? ' બ્રાહ્મણ્ણાએ કહ્યું: ‘અમે બીજે કંઈ હિંસા રાખ્યા નથી, પણ પ નાગરોએ ૪ ઔદિચ્ય જેટલું સીધુ વાપર્યું છે; અને ૧૨ ઔદિચ્યાએ ૯ શ્રીમાળી જેટલું સીધુ વાપર્યું છે; જ્યારે ૬ શ્રીમાળીએએ ૮ મેવાડા જેટલું વાપર્યું છે.' એ પરથી રઘુ પટેલે અરાબર હિસાબ મેળવ્યેા. તમે કહી શકશે કે બ્રાહ્મણના દરેક પ ́ઠા દીઠ કેટલું ખર્ચ આવ્યુ હશે?
[ ૩૫ ] ચલણી સિક્કાના કોયડા
ગણિત રહસ્ય
નવ આંકડાના ઉપયાગ કરતાં રૂપિયા તથા પૈસામાં લખી શકાય તેવી મોટામાં મેાટી કમ રૂા. ૯૮૭૬૫૪૩૨-૧

Page #180

૧૫૮
બીજો વર્ગ પૈસે છે. બરાબર આ જ રીતે આંકડાને ઉપયોગ કરતાં રૂપિયા તથા પૈસામાં નાનામાં નાની કઈ રકમ લખી શકાય?
[૩૬]
અજાયબ થેલીઓ ભગાજી મારવાડીને ધંધો શરાફીને હતું, પરંતુ રૂપિયા ગણવાને તેને બહુ કંટાળે હતું. તેથી તેણે પિતાની દુકાનમાં ૧૦ કેથળીઓમાં એવી રીતે નાણું ભરી રાખ્યું હતું કે ૧ રૂપિયાથી માંડી ૧૦૦૦ રૂપિયા સુધીમાં કોઈ ગમે તેટલી રકમ માગવા આવતું તે તે અકબંધ કેથળીઓ જ આપી દેતે, પણ કદાપિ તે છેડીને તેમાંથી રૂપિયા કાઢતે નહિ. તમે કહી શકશે કે તેણે દરેક કોથળીમાં કેટલું નાણું ભર્યું હશે?
[૩૭] ભૂલેશ્વરમાં વસ્તુની ખરીદી નીલા અને કુસુમ નામની બે બહેન હતી. તે એક વખત ભૂલેશ્વરમાં કેટલીક વસ્તુઓ ખરીદવા ગઈ તેમાં બંને બહેનેએ ૧૨-૧૨ રૂપિયામાં ૨૦ વસ્તુઓ ખરીદી. પાછળથી નીલાને વધારે વસ્તુઓ લેવાને વિચાર આવ્યો, એટલે તેણે ૪ રૂપિયામાં ૭ વસ્તુઓ ખરીદી અને કુસુમને પણ વધારે વસ્તુઓ લેવાને વિચાર આવ્યું, એટલે તેણે
* મુંબઈને જાતે લત્તો કે જ્યાં મહિલાઓ વિશેષ ખરીદી કરે છે.

Page #181

૧૬૦
ગણિત-રહસ્ય ૩ રૂપિયામાં ૫ વસ્તુઓ ખરીદી. હવે આ પાછલી વસ્તુઓ ખરીદવામાં કોણે ભાવ વધારે આ?
ક્યારે ટ્રેન પકડી શકે? સુરેન્દ્ર ૩૦ માઈલની ઝડપે મોટર હંકારે છે અને ૧૨ માઈલ દૂર આવેલા સ્ટેશને પહોંચી ટ્રેન પકડે છે કે જે ત્યાં માત્ર બે મિનિટ જ થોભે છે. એક દિવસ વાહનવ્યવહાર ઘણે હતું એટલે તે અર્ધા માગે આવ્યું, ત્યાં સુધી મેટરની ઝડપ માત્ર ૧૫ માઈલ સુધીની રહી શકી. હવે તે બાકીનું અંતર કેટલી ઝડપે કાપે તે સ્ટેશને પહોંચી ટ્રેન પકડી શકે ?
[૨૯]
કાગળને ઢગલે મનુને કાગળને એક ઢગલે કરે છે. હવે જે કાગળ ઢગલામાં મૂકવાના છે, તે ૦૧ ઇંચ જેટલા જાડા છે, તે પહેલે એક કાગળ મૂકે છે, બીજી વાર બે કાગળ મૂકે છે, ત્રીજી વાર ચાર કાગળ મૂકે છે. આમ ૩૦ વાર બમણું– બમણું કાગળ મૂકે તે એ ઢગલો કેટલે ઊંચો થાય? ૧૦૦ ઇંચ, ૧૦૦ ઇંચ, ૧૦૦૦ ઇંચ, ૧૦૦૦૦ ઈંચ કે તેથી પણ વધારે ?
[૪૦]
પુસ્તકની સંખ્યા વિનેદે ગણિત અને વિજ્ઞાનને લગતું એક પુસ્તકાલ

Page #182

બીજો વર્ગ
૧૬૨ તૈયાર કર્યું છે. તેમાંનાં ૬૦ ટકા પુસ્તક એક્લા ગણિતને લગતાં છે, ૨ જીવશાસ્ત્રને લગતાં છે. બાકી રહ્યાં તેમાંના ૩ પદાર્થશાસ્ત્રનાં અને રસાયણશાસ્ત્રનાં છે. તે એ પુસ્તકાલયમાં તેણે ઓછામાં ઓછાં કેટલાં પુસ્તકો એકઠાં કર્યા હશે?
[ 1 ]
જમરૂખને ભાવ જમરૂખ કેમ ખરીદ્યાં?” એક વખત ભગવાન પટેલે તેમના મિત્ર નાગજી ઠક્કરને સવાલ કર્યો.
નાગજી ઠક્કરે કહ્યું: “ભાવ તમને કહેવાનું નથી. પણ વેચનારે કહ્યું હતું તેથી ૧૦ પૈસા ઓછા ભાવ આપે છે.”
તેથી કેટલે ફાયદો થયે?”
ફાયદો તે થાય જ ને? સાત રૂપિયાની ખરીદીમાં ૪ જમરૂખ વધારે આવ્યા.”
તમે કહી શકશે કે નાગજી ઠક્કરે શું ભાવે જમરૂખ ખરીદ્યા હશે?
[૪૨]
હીરાની વહેંચણી એક ઝવેરી પાસે હીરાના ૪૯ પડીકાં હતાં. તે દરેક પર તેણે કમસર નંબરે લખેલા હતા અને પિતાને સરળતાથી યાદ રહે તે માટે દરેક પડીકામાં તેના નંબર જેટલા.

Page #183

૧૬૨
ગણિત રહસ્ય
જ ... હીરા મૂકયા હતા. તે અવેરીને છ પુત્રી હતા. હવે વૃદ્ધાવસ્થા આવતાં તે ઝવેરીએ પેાતાની મિલકત છેાકરાઓને વહેંચી આપી અને પેલાં પડીકાં પણ વહેંચી આપ્યાં, પરંતુ તેની વહેંચણી એવી રીતે કરી કે જેથી દરેકના “ ભાગમાં છ પડીકાં જ આવ્યાં અને હીરાની સંખ્યા પણ સરખી જ આવી. ત્યારે તે હીરાનાં પડીકાંઓની વહેંચણી કેવી રીતે કરી હશે ?
[૪૩] વસ્તીવધારા
વસ્તીવધારાના પ્રશ્ન દરેક દેશને મૂ ંઝવી રહ્યો છે. એક પ્રસિદ્ધ વિદ્વાને હમણાં જ કહ્યું હતું કે દુનિયાની વસ્તીમાં થઈ રહેલા ચાલુ વધારાના પ્રશ્ન મનુષ્યોને બીજા ગ્રહમાં મેાકલી દેવાથી ઉકેલાશે નહિ. તે સંભાળભરી વિચારણા અને હિંમતભરેલા ઉકેલ માગે છે. આપણા ભારત દેશમાં તે માટે કુટુંબનિયોજનની યાજના અમલમાં છે.
અહીં પ્રશ્ન એવા છે કે દર અઠવાડિયે વસ્તીમાં ૧ ટકાના વધારા થાય, તે ઝડપી છે કે વર્ષે દહાડે ૬૦ ટકાના વધારા થાય તે ઝડપી છે?
[ ૪૪ ]
વાઘ, મરી અને ઘાસના પૂળા
નદીના એક કાંઠે એક વાઘ, એક અકરી અને એક ઘાસના પૂળા છે. એ ત્રણેયને સામે કાંઠે લઈ જવાનાં છે.

Page #184

૧૬૩.
બીજો વર્ગ નદીમાં જે મછવે છે, તેમાં ખલાસી એક વખતે એક જ ચીજ લઈ જઈ શકે છે. જે એક કાંઠે વાઘ અને બકરી રહી જાય તે વાઘ બકરીને ખાઈ જાય અને બકરી તથા પૂળે રહી જાય તે બકરી પૂળ ખાઈ જાય. વાઘ ઘાસ ન ખાય, તેમ જ માણસની હાજરીમાં કઈકેઈનું નામ લઈ શકે નહીં. હવે એ ત્રણેયને સામે કાંઠે શી રીતે લઈ જવા, તે બતાવશે?
[૪૫]
વસ્તીપત્રક . રાવલ મહાશયને-કરાં કરી મળી એક ડઝન ને ત્રણ સંતાન હતાં. હવે સહુથી મોટી બેકરીનું નામ નાનાબાઈ હતું. સહુથી નાના છોકરાને બચુ કહેતા. એક વખત વસ્તીપત્રકવાળાએ રાવલ મહાશયને ત્યાં આવી નાનબાઈને પૂછ્યું કે “બહેન! તમારી ઉમર શું છે?” નાનબાઈએ કહ્યું: “એ માથાકુટમાં હું ઉતરીશ નહિ. પણ જુઓ અમે પંદર ભાંડુએ છીએ. દરેક દેઢ દોઢ વર્ષના અંતરે જન્મેલા છીએ ને નાના બચુ કરતાં હું આઠ ગણી મોટી છું.” આ પરથી વસ્તીપત્રકવાળાએ તેની ઉમ્મર કેટલી સમજવી?
[૪૬]
વર્ષની કમાણી એક વખત શ્રીમતી કબાડીએ આવીને મને કહ્યું કે એક સવાલ થડા દિવસથી મારા મનમાં ઘળાયા કરે છે, માટે તેનું નિરાકરણ કરી આપ. પરણીને સ્વતંત્ર ઘર ચલાવતાં અમને એક વર્ષ થયું. હવે તમારા ભાઈ કહે છે

Page #185

ગણિત-રહસ્ય, કે એટલા સમયમાં આવકને ત્રીજો ભાગ ભાડું અને ટેક્ષ ભરવામાં ખરચાઈ ગયે; અર્ધો ભાગ અનાજ, ફળ, શાક વગેરેમાં ખરચા અને એક નવમાંશ કપડાં–લત્તાં તથા પરચુરણું ખર્ચમાં ગયે. તેઓ બેંકની પાસબુક પરમ દિવસે ભૂલી ગયા હતા, તે મેં સ્વાભાવિક કુતુહલથી ઉઘાડીને જોઈ તે ૧૦૦ રૂપિયા સિલકે છે. હવે તેઓ પિતાની ખરી. કમાણુ શું છે? તે કહેતા નથી, પરંતુ તમે આ આંકડાઓ પરથી ગણી આપશે ખરા?
[૪૭]
એક ગૃહસ્થને ૪ માઈલ દૂર આવેલા સ્ટેશને જવું હતું. હવે તેની પાસે સરખા વજનની બે ટૂંકે હતી, પણ તે પિતે બંને ટૂંકે ઉપાડી શકે તેમ ન હતું, તેથી તેના બે નકરે તે ટૂંકે લઈ ચાલ્યા. પણ પિલા ગૃહસ્થની એવી ઈચ્છા હતી કે પોતે પણ તેમાં સરખી જ મહેનત ઉઠાવવી, તે એ માટે તેણે કેવી રીતે ગોઠવણ કરવી?
[૪૮] બે ગામ વચ્ચેનું અંતર ગોવિંદ ઠક્કર પાસેના ગામમાં ઉઘરાણુએ જાય છે– ત્યારે કલાકના પાંચ માઈલની ઝડપે ચાલે છે, પણ વળતી વખતે થાકી જવાથી ત્રણ માઈલની ઝડપે જ પાછા ફરે છે. હવે તેમને એક ગામ જઈને આવતાં ૭ કલાક થાય છે, તે તે ગામ કેટલે દૂર હશે ?

Page #186

બીજો વ
[ ૪૯ ] ત્રણ મિત્રોની મુસાફરી
ત્રણ મિત્રો મુસાફીએ નીકળ્યા. તેમાં પહેલાએ પહેલી તારીખે સવારે છ વાગ્યે મુસાફરી શરૂ કરી, ખીજાએ ત્રીજી તારીખે છ વાગ્યે મુસાફરી શરૂ કરી અને ત્રીજાએ ચેાથી તારીખે છ વાગ્યે મુસાફરી શરૂ કરી. દરેક જણ સવારના ૬ થી ૧૦ અને સાંજના ૪ થી ૭ વાગ્યા સુધી મુસાફરી કરતા હતા, પણ એમાં પહેલા રાજના ૭ માઈલ, બીજો રાજના ૧૦ના માઈલ અને ૩જો રાજના ૧૪ માઈલ, એ પ્રમાણે મુસાફરી કરતા હતા. આ પ્રમાણે ચાલતાં ત્રણેય મિત્રા એક જ દિવસે અને એકી વખતે ભેગા થઈ ગયા, ત્યારે તે કઈ તારીખે ને કેટલા વાગે અને કેટલા માઈલ પર મળ્યા હશે ?
૧૬૫
[ ૫૦ ] બાજરીનુ વેચાણ
એક અનાજના વેપારીએ તેના વાણેાતરને ૧૦૦ મણુ આજરી આપી અને કહ્યું કે એ ખાજરી સવારે ૧ રૂપિયાની ૩ મણુ લેખે વેચવી અને સાંજના ૩ રૂપિયાની ૧ મણુ લેખે વેચવી અને ૧૦૦ રૂપિયા ખરાખર લાવવા. ત્યારે એ વાણેાતરે સવારે કેટલા મણુ વેચવી અને સાંજે કેટલા મણુ વેચવી ?
[ í ] ખેાટી નોટ
એક શરાફ બગીચામાં ફરવા ગયા, ત્યાં તેને ૧જી રૂા.

Page #187

ગણિત-રહસ્ય ની એક નોટ જડી. તેણે પિતાની ડાયરીમાં તેને નંબર નોંધીને પિતાની પત્નીને ઘેર મૂકવા આપી. તેની પત્નીને યાદ આવ્યું કે આજે દૂધવાળાને રૂા. ૧૦ આપવાના છે, એટલે તે નેટ દૂધવાળાને આપી. દૂધવાળાએ તેને ઉપગ એક ખેડૂત પાસેથી ગાય ખરીદવામાં કર્યો. તે ખેડૂતે પિતાના લેણદાર વેપારીને તે નેટ આપી અને તે વેપારીએ સુથારને આપી. સુથારને તે દિવસે શરાફને ત્યાં પૈસા ભરવાના હોવાથી પેલા શરાફને ત્યાં જ ભરી. હવે શરાફે ઝીણવટથી જોયું તે તે નેટ બેટી નીકળી. ત્યારે આ બધી વાતમાં કેની શું સ્થિતિ રહે? અને કેણ શું ગુમાવે?
[૫૨] કેટલી ગાડીઓ મળે? ઝમકુમાએ સુરતના સ્ટેશન પરગાર્ડને પૂછયું કે “અહીંથી મુંબઈ પહોંચતાં કેટલો સમય લાગશે?” ગાડે કહ્યું : “પાંચ કલાક.” ડેસીએ તે સાંભળીને બીજે પ્રશ્ન પૂછે: “અને રસ્તામાં કેટલી ગાડીઓ મળશે?” ગાર્ડ આ વિચિત્ર પ્રશ્ન. સાંભળીને જરા ખચકા, પણ હાજર-જવાબી હેવાથી તેણે એ ઉત્તર આપ્યું કે “સુરતથી મુંબઈ અને મુંબઈથી સુરત એકી સાથે ગાડી ઉપડે છે ને ત્યાર પછી દર એક કલાક ને પાંચ મિનિટે બીજી ગાડી ઉપડે છે. સમજ્યા ?”
ડોસીએ પાસે બેઠેલા એક ઉતારુને કહ્યું: “ભાઈ ! આ ગાર્ડ સાહેબ કહે છે તે મુજબ કેટલી ગાડીઓ મળશે? ઉતારુએ શું જવાબ આપો?

Page #188

બીજો વર્ગ
[ ૫૩ ] પેકીંગ કરનાર મજૂરે એક વેપારીને કેટલેક માલ સ્ટીમરમાં ચડાવ હતે. તેને એક મજૂર એ મળે કે જે બધે માલ ૬ દિવસમાં પિક કરી આપે. બીજે મજૂર એ મળે કે જે બધે માલ ૩ દિવસમાં પિક કરી આપે. પણ તે વેપારીને તે બધા માલ એક જ દિવસમાં પિક કરાવે હતું, તે તેણે ત્રીજો મજૂર કે શોધવે જોઈએ કે જેથી ત્રણે મળીને એક દિવસમાં બધું કામ પૂરું કરે ?
[ ૫૪ ]. આગગાડીના ઉતારુઓ આગગાડીના એક ડબ્બાનાં ૪ ખાના ખાલી હતાં. તેમાં પૂના જનારા ઉતારુઓ બેઠા. હવે જે પહેલા ખાનામાને એક ઉતારુ બીજા ખાનામાં જાય છે ત્યાં પહેલા ખાનાથી ત્રણ ગણા માણસો થાય. જે બીજા ખાનાને એક માણસ ત્રીજામાં જાય તો ત્યાં બીજા ખાના કરતાં ત્રણ ગણું થાય, પરંતુ જે બીજા ખાનામાંને એક ચોથામાં જાય છે તે ખાનામાં બીજથી બમણું રહે અને જે ચોથા ખાનાને એક ઉતારુ પહેલામાં જાય છે ત્યાં (થા ખાનામાં) દોઢગણું રહે, તે દરેક ખાનામાં કેટલા ઉતારુઓ બેઠા હશે?
[ પ પ ]
બે શિલ્પીઓ એક ગામમાં બે શિલ્પીઓ રહેતા હતા. બંને જણા
ખાનામાં જ
અા મા

Page #189

૧૬૮
ગણિત-સહાય પિતાની કળામાં કુશળ હતા, પરંતુ એક ખૂબ ખરચાળ હવે અને બીજે બહુ કરકસરિયે હતું. આથી પહેલાના માથે રૂપિયા ૫૦૦) દેવું થયું અને બીજાની પાસે રૂપિયા ૫૦૦) ની મૂડી થઈ. હવે એક વખત તે ગામના એક કલાપ્રેમી સદ્દગૃહસ્થ બંનેની કલાઓ ખરીદી અને તે બદલ રેકડા પૈસા ન આપતાં પહેલાને ૪ ઘેડા અને બીજાને ૨ ઘોડા આપ્યા. હવે તે શિલ્પીઓએ સરખા ભાવે જ એ ઘોડાઓ વેચી નાખ્યા. તેથી બંનેની સ્થિતિ સરખી થઈ ગઈ તે બંનેએ કેટકેટલા રૂપિયે ઘડા વેચા હશે?
[ ૫૬ ]
પિસાની પેટીઓ ત્રેવડ એ ત્રીજો ભાઈ છે. થેડી થોડી રકમ બચાવતાં પણ સરવાળે મોટી રકમ ભેગી થાય છે અને તે ખરા વખતે ખપ લાગે છે. કરુણશંકર ત્રિવેદીએ આ વાત મનુ, મુગટ, નાનુ અને નવીન નામના પોતાના ચારેય પુત્રોને બરાબર સમજાવી હતી, એટલે તેઓ પિતાના ખિસ્સાખર્ચ માંથી ડી ડી રકમ બચાવતા હતા. એક દિવસ કરુણાશંકરે ચારેય જણને પૈસા રાખવાની પિટીઓ આપી, એટલે તેમણે પિતાની બચાવેલી રકમ તે પિટીઓમાં મૂકી. પછી તેની ગણતરી કરી તે જણાયું કે મનુ પાસે જે ૨ રૂપિયા વધારે હોત, મુગટ પાસે જે ૨ રૂપિયા ઓછા હતા, નાનુ પાસે જે બમણા રૂપિયા હતા અને નવીન પાસે અર્ધા રૂપિયા હોત તે મધા પાસે સરખી રકમ થાત. હવે બધા

Page #190

બીજે વર્ગ
ભાઈઓએ બચાવેલી કુલ રકમ રૂ. ૪૫ છે, તે દરેક ભાઈએ કેટલી રકમ બચાવી હશે?
ધીમી અને ઉતાવળી ઝડપ એક વખત પ્રાણજીવન ભાઈ કામ-પ્રસંગે મુંબઈથી સુરત ગયા. તે વખતે આગગાડી ધીમી ચાલે એક કલાકના ૨૦ માઈલ ચાલી હતી અને ઝડપી ચાલે એક કલાકના ૩૦ માઈલ ચાલી હતી. મુંબઈથી સુરત વચ્ચે ૧૭૦ માઈલનું અંતર હતું અને ૩૦ સ્ટેશને થયા હતા તથા દરેક સ્ટેશને ગાડી બબ્બે મીનીટ ભી હતી. હવે તેમને મુંબઈથી સુરત પહોંચતાં ૭ કલાક લાગ્યા, તે આગગાડી ધીમી ચાલે કેટલે વખત ચાલી હશે અને ઉતાવળી ચાલે કેટલે વખત ચાલી હશે?
[ ૧૮ ] પૂજારી-સેવકની વહેંચણી ૯ પૂજારીઓએ અને ૩ સેવકોએ પિતાની પાસેના પસા સરખા ભાગે વહેંચી લેવાને નિશ્ચય કર્યો. દરેક પૂજારીએ એક સરખી અમુક રકમ ૩ સેવકને આપી અને ૩ સેવકોએ એક સરખી અમુક રકમ ૯ પૂજારીઓને આપી. એથી દરેકની પાસે સરખી રકમ થઈ ગઈ, તે દરેક પાસે ઓછામાં ઓછા કેટલા પૈસા હશે?
[ ૧૮ ]
ટેપલામાં કેરીઓ અમારા ખેતરને રોકીદાર એક વખત અમારા આંબા

Page #191

૧eo
ગણિત-રહસ્ય પરથી ૧૦૦ કેરીઓ લઈ આવ્યું. તેમાં કેટલીક કેરીઓ તરત ખાવા ગ્ય ન હતી, એટલે તેના ભાગ પાડયા અને - જુદા જુદા પાંચ ટોપલામાં તે કેરીઓ મૂકી દીધી. હવે પહેલા અને બીજા ટોપલાની કેરીઓ ગણી તે ૫૫ થઈ બીજા ને ત્રીજા ટોપલાની કેરીઓ ગણી તે ૩૪ થઈ અને ચોથા ને પાંચમા ટોપલાની કેરીઓ ગણી તે ૩૦ થઈ, તે દરેક ટોપલામાં કેટકેટલી કેરીઓ મૂકી હશે?
[ ૬૦].
અવિભાજ્ય સંખ્યા નવ આંકને એકજ વખત ઉપગ કરીને તમે એવી અવિભાજ્ય સંખ્યા બનાવો કે જેને સરવાળે ઓછામાં ઓછો આવે.
દાખલા તરીકે નીચે ચાર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, આપી છે, જેમાં ફક્ત એક જ વાર એક આંકડાને ઉપગ કર્યો છે અને તેને સરવાળે ૪૫૦ થાય છે, પરંતુ નવી ગોઠવણુધી આ સરવાળે હજી ઘણો ઓછો થઈ શકે તેમ છે.
૬૧
૨૮૩
४७
પ૯
૪૫૦

Page #192

ત્રીજો વર્ગ
[ 1 ] બે મિત્રોની તકરાર
કલુ અને મલુ જંગલમાં મુસાફરી કરતા હતા. તેઓe. ખૂબ થાકી ગયા ત્યારે એક ઝાડ નીચે આરામ લેવા બેઠા. થોડી વારે તેમણે પિતાની પાસેનું ભાતું કાઢ્યું. તેમાં કલું પાસે પાંચ ભાખરી હતી ને મલુ પાસે ત્રણ ભાખરી હતી. તેઓ પિતાની ભાખરી ભેગી કરી ખાવાની શરૂઆત કરે છે,
ત્યાં કોઈ લથપથ થઈ ગયેલે મુસાફર આવ્યું. - ભૂખ્યાને ભેજન દેવું એ મનુષ્ય માત્રને ધર્મ છે,
એમ માની તેમણે એ મુસાફરને પિતાની સાથે બેસીને ખાવાનું આમંત્રણ આપ્યું. આ ત્રણેય જણાએ સરખા ભાગે ખાધું. હવે તે મુસાફર ૮ પૈસા આપીને ચાલતે થયે. તેમાંથી કલુએ પાંચ પૈસા લીધા ને મલુને ત્રણ પૈસા આપ્યા.. પરંતુ મલુએ તકરાર કરી કે મને અર્ધા પૈસા મળવા જોઈએ. કલુએ આ વાત માની નહિ. આથી તકરાર વધી. છેવટે

Page #193

-૧૭૨
ગણિત-રહસ્ય તેઓ પાસેના ગામમાં ગયા ને એક ડાહ્યા માણસ આગળ પોતાની તકરાર મૂકી. તેણે ફેંસલે આપ્યું કે કલુને ૭ પૈસા અને મલુને ૧ પૈસે આપે. આ સાંભળી બંને જણને લાગ્યું કે શેઠે ન્યાય આપવામાં ભૂલ કરી છે, એટલે શેઠને પૂછ્યું: “આમાં કંઈ ભૂલ તે થતી નથી ને?” પણ શેઠ પોતાની વાતમાં મક્કમ રહ્યા. તે શું શેઠ સાચા હશે? કેવી રીતે?
[ ૬૨ ]
માટીખાણું એક વખત ભગા કાકા ફરતાં ફરતાં માટીખાણે જઈ જડ્યા. ત્યાં જવા કુંભારને પૂછયું કે “ખાણ કેટલી • ઊંડી ખેદી?”
જીવાએ કહ્યું કે “હું ૫ ફુટને ૧૦ ઇંચ ઉંચે છું, તેના પરથી કલ્પના કરો.”
તું કેટલે અંદર ઉતર્યો છે?” ભગા કાકાએ ફરી પૂછ્યું.
હું ઉતર્યો છું, તેથી બમણો ઊંડે જઈશ એટલે મારું શરીર જેટલું બહાર દેખાય છે, તેથી બમણું અંદર જશે.”
હવે કહ્યા પ્રમાણે છે ખાણ ખેદી રહે, ત્યારે તે ખાણ કેટલી ઊંડી ખેદાઈ હોય?
૬૩ ] કે અજબ મેળ! રાત્રે બધા કુટુંબીજને એકઠા થયા હતા અને વિવિધ

Page #194

ત્રીજો વર્ગ
૧૭૩પ્રકારને વાર્તાલાપ ચાલી રહ્યો હતો. તે વખતે વિનેદે કહ્યું કે મારા જન્મવર્ષના છેલ્લા બે આંકડા જેટલી જ મારી. ઉમર ૧૯૯રમાં હતી. એ સાંભળી દાદાએ કહ્યું કે “કે અજબ મેળ! આ વસ્તુ મને પણ બરાબર લાગુ પડે છે.” તે બંનેની જન્મસાલ કઈ?
[ ૬૪ ] દાડમ અને સફરજન એક ફળ વેચનારાએ કેટલીક ટોપલીઓમાં દાડમ અને કેટલીક ટોપલીઓમાં સફરજન ભર્યા હતાં અને તે દરેક ટોપલી પર ફળની સંખ્યા નીચે મુજબ લખી હતીઃ
૬ ૫ ૧૨ ૨૯ ૧૪ ૨૩
હવે એક વાર તેણે એક ગ્રાહકને કહ્યું કે હું અમુક ટોપલી વેચું તે મારી પાસે જેટલાં દાડમ બાકી રહે તેનાથી બમણું સફરજન રહે, તે તેણે કઈ ટોપલી વેચવા ધારી. હશે? અને કઈ ટોપલીમાં દાડમ તથા કઈ ટોપલીમાં સફરજન હશે?
પ્રવાસને સમય આજે પ્રવાસ કરવા માટે મેટર, આગગાડી અને વિમાન જેવા ઝડપી સાધને ઉપયોગમાં લેવાય છે. જૂના વખતમાં આપણું દેશમાં ઝડપી મુસાફરી કરવા માટે સાંઢઈને ઉપગ . એક વાર એક મુસાફર એ રીતે સાંઢણી. પર પ્રવાસે નીક. તેણે પ્રથમ દિવસે સાંઢાણીને ૧ માઈલ

Page #195

૧૭૪
ગણિત-રહસ્ય ચલાવી, બીજા દિવસે ૪ માઈલ ચલાવી, ત્રીજા દિવસે ૭ માઈલ ચલાવી. પછી પણ દરરોજ ત્રણ ત્રણ માઈલ વધારે ચલાવતે જ ગયે. એ રીતે ૫૩૭૦ માઈલને પ્રવાસ કરી તે પિતાના ધારેલા સ્થળે પહોંચી ગયે, તે તે પ્રવાસમાં તેને કેટલા દિવસ લાગ્યા હશે?
[ ૬૬]
સંતાનની ઉમર એક માણસને નવ સંતાન હતાં. દરેક સરખા અંતરે જ -જન્મ્યા હતાં ને દરેક સંતાનની ઉમરના વર્ગને સરવાળે તેની પિતાની ઉમરના વર્ગ જેટલું થતું હતું, તે દરેક સંતાનની ઉમર કેટલો હશે? દરેકની ઉમર પૂરા વર્ષની જ છે.
[ ૬૭] :
ઘડિયાળને સમય એક વખત એક માણસ પ્રાતઃકાળના ૮ અને ૯ ની -વચ્ચે મુંબઈને રાજાબાઈ ટાવર પાસેથી પસાર થયું. તે વખતે તેણે કેટલે સમય થયે છે, તે જોઈ લીધું. હવે સાંજના ૪ થી ૫ ની અંદર જ્યારે ફરીને તે જ સ્થળ પાસે આવ્યું ત્યારે જોયું તે બંને કાંટા સવાર કરતાં બરાબર ઉલટા જ થઈ ગયા હતા. તે સવારે અને સાંજે તે માણસ કયા ક્યા સમયે પસાર થયે હશે?
[ ૬૮ ] લેમ્પ અને ટેપીને બદલે - એક વેપારી લેમ્પને વેપાર કરતું હતું અને બીજે
જાર થી સવારે કાર કે
VWVWW.jainelibrary.org

Page #196

ત્રીજો વર્ગ
. ૧૭૫ ટેપીને વેપાર કરતે હતો. હવે એક વખત બંનેએ વિચાર કર્યો કે આપણે માલને બદલે કરીએ. મતલબ કે માલને બદલે માલ આપ, રેકડ કંઈ લેવું દેવું નહિ. એ વખતે લેમ્પને ભાવ દર અંગે ૧-૨-૩ એક રૂપિયે-બે આનાત્રણ પાઈ ચાલતો હતો અને ટેપીને ભાવ ૦–૧૪–ચૌદ આન-છ પાઈ ચાલતું હતું. તે ઓછામાં ઓછા કેટલા લેમ્પ દેવાથી કેટલી ટોપીએ આવે? આ ચલણમાં ૧૨ પાઈને આને અને ૧૬ આનાને રૂપિયે ગણાતે, એ રીતે હિસાબ ગણવાને છે.
[ ૬૯]
ચેરને દરે એક વખત સાંજના એક કાછિયણ પિતાના ટોપલામાં કેટલી નારંગીઓ લઈને પાસેના ગામમાં જતી હતી. તેવામાં નદી કિનારે ત્રણ ભૂખ્યા રેએ હુમલો કર્યો. તેમને ખાવાની વસ્તુ સિવાય બીજું કંઈ જોઈતું ન હતું, એટલે પહેલા ચેરે અધી નારંગીઓ લઈ લીધી, પણ ૧૦ પાછી આપી. બીજાએ બાકી રહેલાને ત્રીજો ભાગ લીધે, પણ બે નારંગી પસંદ ન પડી, તેથી પાછી મૂકી. ત્રીજાએ બાકી રહેલાની અધી લીધી પણ ૧ નારંગી કેહી ગયેલી હતી તે પાછી આપી. હવે તે કાછિયણ માંડ માંડ નાસી છૂટી. તેણે દૂર જઈને પિતાના ટોપલામાંની નારંગીઓ ગણી તે ૧૨ થઈ, તે ઘેરથી નીકળતી વખતે તેની પાસે કેટલી નારંગીઓ હશે ?

Page #197

૧૭૬
[ so ] એ કમા
એવી એ રકમ કઈ છે કે જેના સરવાળા કરીએ તે. ૧૦૧ થાય અને બાદબાકી કરીએ તેા ૨૫ રહે ?
[ ૭૧ ] ભ્રમરના સમુદાય
એક બગીચામાં ભ્રમરનેા સમુદાય ગુજારવ કરી રહ્યો. હતા. તેમાંના પાંચમા ભાગના ભ્રમરો કંબવૃક્ષ પર ખેડા, ત્રીજા ભાગના ભ્રમરા આંબા પર બેઠા અને આ એના તફાવતના ત્રણ ગણા ભ્રમરા જુદાં જુદાં વૃક્ષ ઉપર ગુંજારવ કરવા લાગ્યા. હવે એક ભ્રમર બાકી રહ્યો, તે કેતકી અને માલતી વચ્ચે છે. સ્ત્રીના પતિની પેઠે—અથડાતા રહ્યો. ત્યારે ભ્રમરાની સ ંખ્યા કેટલી ?”
ગણિત રહસ્ય
[ ૭૨ ] કેરીઓ કેટલી ?
ત્રણ છેકરા બજારમાંથી કેટલીક પાકી કેરીઓ લઈ આવ્યા. ત્યાર બાદ કામપ્રસંગે તે ત્રણેયને બહાર જવું પડયું'. હવે પ્રથમ અ આવ્યા. તેણે જેટલી કેરીએ હતી, તેમાંથી ત્રીજા ભાગની કેરીઓ લઈ લીધી. ત્યાર પછી વ આન્યા. તેણે પણ જેટલી કેરીઓ હતી, તેમાંથી ત્રીજા ભાગની લઈ લીધી. ત્યાર પછી જ આવ્યું. તેણે પણ જેટલી કેરીએ હતી, તેમાંથી ત્રીજા ભાગની લઈ લીધી. છેલ્લે ત્રણેય જણુ સાથે આવ્યા અને જેટલી કેરીઓ હતી, તેટલી સમભાગે

Page #198

ત્રીજો વર્ગ
૧૭૭ વહેંચી લીધી, તે તેઓ ઓછામાં ઓછી કેટલી કેરીઓ લાવ્યા હશે અને છેવટેભાગે વહેંચતા દરેકને કેટલી મળી હશે?
[૩]
ચાર ચાર ચાર ચાર એક શ્રીમંતના ઘરમાંથી રૂપિયા ચોરી લાવ્યા અને એક નિર્ભય સ્થળે રોકાયા. તેમાંથી ત્રણ જણ સૂતા અને ચે ચકી કરવા રેકાયો. હવે તેણે જેટલા રૂપિયા હતા, તેમાંથી ચોથા ભાગના પિતાના સમજીને લઈ લીધા. પછી ચેકીને વારે આવતાં બીજે ચિર ઉર્યો, તેણે પણ પડેલ રકમમાંથી ચેથા ભાગની રકમ પિતાની સમજીને લઈ લીધી. ત્રીજા અને ચેથાનો વારો આવતાં તેમણે પણ એમ જ કર્યું. હવે દરેકના મનમાં કપટ હતું, એટલે ઉઠયા પછી જાણે કંઈ બન્યું નથી, એમ માનીને વધેલા રૂપિયાના ચાર ભાગ પાડીને લઈ લીધા. તે ઓછામાં ઓછા કેટલા રૂપિયા હશે અને દરેકના ભાગમાં કેટલા આવ્યા હશે ?
૭૪ ]
બાર કેટલાં ? ચાર એકરાઓ બરડી પરથી બાર પાડી લાવ્યાં અને તેને એક વાસણમાં મૂકી રમવા ચાલવા લાગ્યા. હવે પહેલા
કરાએ આવીને તેમાંનાં ચેથા ભાગનાં બેર પિતાનાં સમજીને લઈ લીધાં. ત્યાર પછી તે ચાલ્યો ગયો અને બીજે છેક આવ્યો. તેણે જેટલાં બેર હતાં, તેના ચાર ભાગ કર્યા તે ૧ બેર વધ્યું, એટલે પાડેલે ભાગ તથા વધેલું બેર લઈ લીધું. ત્યાર પછી ત્રીજે છેક આવ્યું. તેણે બેરનાં

Page #199

૧૭૮
ગણિત રહસ્ય
ચાર ભાગ પાડયા તે ૨ એર વધ્યાં. તેણે પાડેલા ભાગ તથા વધેલાં એ ખેર લઈ લીધાં. છેવટે ચેાથેા છોકરા આવ્યા, તેણે જેટલાં બાર વધ્યાં હતાં, તેટલાં રાખી લીધાં. પછી સહુએ જોયુ' તેા તેમની પાસે સરખાં એર હતાં, તા ઓછામાં ઓછાં. કેટલાં ખેર હશે ?
[ ૭૫ ] ગાડાંની સંખ્યા
શહેરની બહાર બજાર ભરાયું હતુ, ત્યાં લોકો ગાડાં ભરીને પેાતાના માલ વેચવા આવ્યા હતાં. હવે તે ગાડાં ત્રણ જથ્થામાં ઊભા હતાં. તેમાં પહેલી અને ખીજી બાજુનાં ગાડાંના ગુણાકાર કરીએ તે ૨૦૨૧ થતા હતા અને બીજી તથા ત્રીજી બાજુનાં ગાડાંના ગુણાકાર કરીએ તે ૨૪૯૧ થતા હતા, ત્યારે દરેક બાજુમાં કેટલાં ગાડાં ઊભાં હશે ? [ ૭૬ ] મેાતી અને સેરા
એક ઝવેરી પાસે ૩૭૧ મેાતી છે. તેમાંથી દારા પાવી સેશ બનાવવી છે, તે એવી રીતે કે દરેક સેરમાં મેતીની સંખ્યા એકી આવે અને સેરાની સખ્યા પણ એકી આવે. તા તેણે કેટલા મેાતીની સેર બનાવવી?
[ ૭૭ ] ધાનની ગુણી
એક વખારમાં ૮૫૧ ધાનની ગુણીએ પડેલી છે. ત્યાંથી તે બીજી વખારમાં લઈ જવી છે, પણ દરેક ગાડામાં ગુણીની સખ્યા એકી આવવી જોઈએ અને બાડાની સખ્યા પશુ એકી હાવી જોઈએ. કહેા એવી વ્યવસ્થા શી ીતે કરશેા?

Page #200

ત્રીજો વર્ગ
૧૭e
[ ૭૪ ]
બદામ એક ડબ્બામાં બદામે પડેલી છે. તેમાંથી બબ્બે લઈએ તે ૧ વધે છે, ત્રણ-ત્રણ લઈએ તે પણ ૧ વધે છે, ચારચાર, પાંચ-પાંચ કે છ-છ લઈએ તે પણ ૧ વધે છે, પરંતુ સાત-સાત લઈએ તે કંઈ પણ વધતું નથી, તે એ ડબ્બામાં અદામે કેટલી ?
[૭] નાણુની કથળીઓ એક વેપારીને ચાર પુત્રો હતા. તે ચારે પુત્રને આપવા માટે તેણે નાણાંની કેટલીક કેથળીઓ તૈયાર કરી હતી. તેમાં પહેલાને ૩ કેથળી આપી, બીજાને પકેથળી આપી, ત્રીજાને ૭ કેથળી આપી અને ચોથાને ૯ કથળી આપી. આ જોઈ તેની પત્નીએ ઈશારતમાં કહ્યું કે “આમ કેમ કરે છે? સહને સરખી કોથળી આપો!” ત્યારે વેપારીએ કહ્યું કે મેં કોથળીની ગોઠવણ એવી રીતે કરી છે કે જેથી દરેકને સરખા રૂપિયા મળશે, તે તેણે દરેક કેથળીમાં ઓછામાં ઓછા કેટલા રૂપિયા મૂક્યા હશે?
[ ૮૦ ]
કેઠાની પૂર્તિ એક કાગળ પર નીચે પ્રમાણે કેડે ચીતરેલે છેઃ
હવે તેના દરેક કઠામાં એવી રીતે આંક ભરી આપો કે જેથી તેને આડે કે ઊભે સરવાળે ૨૭ થાય. તેમાં કઈ પણ આંક બે વાર આવા જોઈએ નહિ.

Page #201

ઉત્તરે
પહેલે વર્ગ [૧] ૧દો. [૨] ૩ ઈચ. [૩] ૩૦. બે પાંત્રીસ એટલે ૭૦, બે પાંચ એટલે દશ
અને ત્રીશ મળી કુલ ૪૦. ૭૦ – ૪૦ = ૩૦. [૪] ૧. શૂન્યથી ગુણતાં શુન્ય જ જવાબ આવે. છતાં
ઘણું માણસો આ ગુણાકારને શરૂઆતથી પ્રારંભ કરીને ૯ સુધી આવશે. પછી જ તેમને શૂન્યની
કલ્પના આવશે. [૫] ૭૫ પૈસા.
૦ – ૭૫ પૈસાનાં ફુમતાં - ૬ - ૭૫ ટોપી
રૂ. ૭ = ૫૦ પૈસા કુલ કિંમત. [૬] ૧૦૮. એ વર્ગમાં બાંકડાની કુલ ૯ હારે છે, કારણ
કે પહેલેથી ગણીએ તે ત્રીજી હાર આવે છે, તે

Page #202

ઉત્તરે
૧૮૧ છેલ્લેથી ગણતાં સાતમી હાર આવે છે. તે આ પ્રમાણે પહેલી
બીજી ત્રીજી
સાતમી
-
૪
(છઠ્ઠી
પાંચમી ચેથી ત્રીજી બીજી
પહેલી ડાબી અને જમણી બાજુના બાંકડાઓમાં છ-છ બેઠકે છે, એટલે એક હારમાં ૧૨ બેઠકે છે. તેથી ૯૪ ૧૨ = ૧૦૮. [૭] ૧૫.
૧૫ – ૭ = ૮ ૧૫ – ૧૩ = ૨
આઠ એ બે કરતાં ચાર ગણી મોટી સંખ્યા છે. [૮] તેના પહેલા ભાગમાં ૯, બીજામાં ૧૫, ત્રીજામાં ૪
અને ચેથામાં ૩૬ એ રીતે ચાર ભાગ પાડવા.
૯ + ૧પ +૪+ ૩૬ = ૬૪ ૯ + ૩ = ૧૨ ૧૫ – ૩ = ૧૨
૪૪ ૩ = ૧૨ ૩૬ - ૩ = ૧૨

Page #203

૧૮૨
ગણિત-રહસ્ય [૯] ૨૦ રેજ. ૨૦ રોજના તેને ૨૦ x ૩ = ૭૦ રૂપિયા
મળ્યા અને ૧૦ રોજના તેને ૧૦ xરા = ૨૭ રૂપિયા આપવા પડ્યા. આ રીતે તેની પાસે ૭૦ – ૨
= ૪રા રૂપિયા રહ્યા. | [૧૦] ૧૨ મિનિટમાં. પહેલે સાયકલવાળે ૧૨ મિનિટમાં બે
વર્તુલ પૂરાં કરે અને બીજો સાયકલવાળે ૧૨ મિનિટમાં ત્રણ વર્તુળ પૂરાં કરે. આ રીતે પહેલો સાયકલવાળે
૧૨ મિનિટમાં બીજા સાયકલવાળાને પકડી પાડે. [૧૧] નવમે માણસ રમતમાં દાખલ થયા ત્યારે આઠમે
માણસ રમતું હતું. હવે નવમે માણસ રમતમાં આખર સુધી રયે, એટલે તેણે ૮, ૧૦ અને ૧૨ નંબરના
ખેલાડીઓની વિકેટ પડતી જોઈ [૧૨] ૧૨ વાર. તે આ પ્રમાણે ૧ રૂપિયાના ૧૨ દાડમ
લઈને ૧૬ ના ભાવે વેચ્યા એટલે તેને ૧૨ દાડમના ૧૨ આના (૦–૭૫ પૈસા) ઉપજ્યા અને ૧ રૂપિયાના ૧૬ લઈ ૧૨ ના ભાવે વેચા, તેમાં ૧-૩૩ પૈસા ઉપજ્યા. આ રીતે એક વાર વેપાર કરતાં ૦-૭૫ પૈ. + રૂ ૧-૩૩ મળી કુલ રૂ. ૨-૮ પૈસા ઉપજ્યા. તેમાંથી મૂળ કિંમતના રૂ. ૨-૦૦ બાદ જતાં એક વારના વેપારમાં ૮૩ પૈસાને ફાયદો થશે. હવે ૮ ૮ ૧૨ = ૧૦૦
પૈસા થાય, તેથી તેણે ૧૨ વાર વેપાર કર્યો હશે. ( [૧૩] વિનેદ ફેબ્રુઆરી માસની ૨૮મી તારીખે મધ્યરાત્રિ
પહેલાં જન્મ્યા હોય અને રસિક ત્યાર બાદ ડી જ મિનિટે ૨૯ મી તારીખના પ્રારંભમાં જન્મ્ય હેય તે

Page #204

ઉત્તરે
૧૮૩ આમ બની શકે. ફેબ્રુઆરી માસમાં ૨૯મી તારીખ દર ચોથા વર્ષે આવે છે કે જે વર્ષને લીપઇયર કહે વામાં આવે છે ઈ. સ.ની જે સાલના છેલ્લા બે આંકડાને ૪ થી ભાગતાં કંઈ શેષ ન વધે તે સાલને લીપઈયર જાણવી. દાખલા તરીકે સને ૧૯૬૪ની સાલમાં ૬૪ ને ૪ થી ભાગતાં કંઈ શેષ વધતી ન હતી, તેથી તે લીપઈયર હતું. એ રીતે હવે પછી ૧૯૬૮, ૧૯૭૨,
૧૯૭૬ વગેરેની સાલે લીપઈયર ગણાશે. [૧૪] એક જ તરફ કાટલાં મૂકવાનાં હોય તે નીચે મુજબનાં
૬ કાટલાં વડે ૧થી ૪૦ શેર સુધીનું વજન થઈ શકે? ૧,૨,૪,૮,૧૨ અને ૩૨ શેર. અને બંને તરફ કાટલાં મૂકવાનાં હોય તે નીચે મુજબનાં ૪ કાટલાં વડે જ ૧ થી ૪૦ શેર સુધીનું વજન થઈ શકે; ૧, ૩, ૯, ૨૭ શેર.
દાખલા તરીકે ૨૩ શેર જખી આપવાનું છે, તે પ્રથમની શરતે ૧ + ૨૪+ ૧૬ એમ ચાર કાટલાં મૂકવાં પડે અને બીજી રીતે જોખી આપવું હોય તે એક બાજુ ૨૭ શેરનું કાંટલું મૂકી સામી બાજુએ ૧ અને ૩ શેરનાં કાટલાં મૂક્તાં ૨૩ શેરનું વજન બરાબર જેખી શકાય.
આ રીતે કોઈ પણ વજનનું સમજવું. બીજા દાખલા ગણી જેવાથી તેની ખાતરી થશે. [૧૫] અહીં ઘણાખરા ૭ કહેશે, પણ છ પૂંઠામાંથી ૧ બીડી

Page #205

ગણિત-રહસ્ય બને છે, એટલે પ્રથમ ૭ બીડી તથા ત્યાર પછી ૧ બીડી
એમ કુલ આઠ બીડીઓ બનશે. [૧૬] ૬ વાર. બાર
દિવસમાં ૬ દિવસની વીઝીટ તેના ૬ ૪ ૫ = ૩૦ રૂપિયા. અને ૬ રાત્રિની વીઝીટ તેના ૬૮૭=૪૫ રૂપિયા. ૩૦ રૂ. + ૪૫ રૂ.= ૭૫
રૂપિયા. [૧૭] આઠ આના.
ઉ ૫ ૨ નું ચિત્ર જુઓ. તેમાં દર્શા. વેલી લંબાઈ કાપવાના ચાર આના. હવે તેટલી જ લંબાઈ બાજુની બીજી આકૃતિ મુજબ કાપવાથી ચાર ટુકડા થઈ જાય, તેથી મજૂરી
આઠ આના આપવી પડે. [૧૮] ગંજીફાના ચાર-પંજા લઈ તેને નીચે મુજબ
શેઠવ્યા હશે ?

Page #206

ઉત્તરે ,
[૧૯] ૧૩ રૂપિયા. ૬ જણના ૬૦ અને સાતમા જણના
૧૩ મળી ૭૩ રૂપિયા થાય, તેને ૭ થી ભાગતાં સરેરાશ ૧૦ રૂપિયા આવે. તેના કરતાં ૩ રૂપિયા
વધારે, એટલે તેણે ૧૩ રૂપિયા ભર્યા હશે. [૨૦] ૧૩ ઇચ. પહેલે ગ્રંથ ઉલટો પડેલે હોય તે તેનું
પાનું છેલ્લું આવે. ત્યાંથી પૂંઠું કેરે. બીજા ગ્રંથનું

Page #207

૧૮૬
ગણિત-રહસ્ય | \ઠું + ૧ ઇંચ પાનાં + કે પૂંઠું કરે અને ત્રીજા ગ્રંથનું પૂંઠું કેરે. જે ત્રીજે ગ્રંથ અવળે પડેલ હેય તે તેનું છેલ્લું પાનું પહેલું આવી જાય. એટલે ટુકામાં ટુંકા રસ્તે + 1 + 2 + + = ૧ ઇંચનું અંતર
કાપવું પડે [૨૧] ૧૨૧.
૨, ૩,૪,૫ અને ૬થી ભાગી શકાય એવી નાનામાં નાની રકમ ૬૦ છે. તેમાં 1 ઉમેરીએ તો ૬૧ થાય. પણ તેને ૧૧ થી ભાગતાં ૬ શેષ વધે છે, એટલે તે હેઈ શકે નહિ. હવે ૬૦ x ૨ = ૧૨૦ + ૧ = ૧૨૧ની રકમ પણ એવી છે કે જેને ૨, ૩, ૪, ૫ કે ૬ થી ભાગતાં ૧ વધે છે અને તેને ૧૧ થી ભાગતાં કંઈ શેષ
વધતી નથી, તેથી ૧૨૧ એ તેને ખરે જવાબ છે. [૨૨] સરખા જ રહે. ધારો કે માલે પાશેરને છે, તે
સ્થિતિ નીચે મુજબ થાય? ૧. ૧ શેર પાણી . ૧ શેર દૂધ – વા શેર પાણી + Oા શેર પાણી ના શેર પાણી બાકી ૧ શેર દૂધ + શેર પાણી
આ મિશ્રણમાં ચાર ભાગ દૂધ છે અને એક ભાગ પાણી છે. હવે આમાંથી પાશેરને ખ્યાલે ભરીએ તે ૮તેલા દૂધ આવે અને ૨

Page #208

ઉત્તર
૧૮૭ તેલા પાણી આવે. તેને ૨ કૂજામાંથી બાદ કરીએ તે ૩૨ તોલા દૂધ અને ૮ તેલા
પાણું રહે. અને તે મિશ્રણ જ કૂજામાં ઉમેરતાં
શેર પાણી + ૨ તેલા પાણી + ૮ તેલા દૂધ ૩ર તેલા પાણી + ૮ તેલા દૂધ રહે.
કુલ ૧ શેર. [૨૩] ૩૧ રૂપિયા અને ૧૦ કરે. દરેકને ૩ રૂપિયા આપે
તે ૧ વધે અને ૪ આપે તે ૯ ઘટે. [૨૪] ૧૫૦ રૂપિયા. ઘડાની મૂળ કિંમત ૧૫૦ રૂપિયા હતી
અને આજ સુધીનું ખર્ચ ૩૦૦ રૂપિયા થયું હતું, એટલે તેને એ ઘડાનું બધું મળીને ૪૫૦ રૂપિયા ખર્ચ થયું હતું, પણ ઉપજ્યા તો માત્ર ૩૦૦ રૂપિયા, એટલે ૧૫૦ રૂપિયા ઓછા ઉપજ્યા. ૧૫૦ રૂા. એ મૂળ કિંમત ૧૫૦ને અરધો ભાગ (૫ રૂપિયા) તથા
ખર્ચના ૩૦૦ રૂપિયાને ચે ભાગ (૭૫ રૂપિયા) છે. [૨૫તેને મિત્ર તેને જોઈને પાછલા પગે ૨૦૦ હાથ ચાલે
તે ૪૦૦ હાથનું છેટું કાયમ રહે. આ સિવાય બીજે. કેઈ વિકલ્પ નથી.

Page #209

-૧૮૮
ગણિત-રહસ્ય [૨૬] ૧૧. શરૂઆતમાં થાંભલે મૂક્યા વિના વાડ બની
શકે નહિ. [૨૭] ૩ કરોળિયા અને ૬ વંદા.
૩ કરોળિયા ૪ ૮ પગ = ૨૪ પગ ૬ વાંદા ૪ ૬ પગ = ૩૬ પગ
કુલ ૬૦ પગ. [૨૮] દરેક સ્ટેશન પર બાકીના રેલ્વે સ્ટેશનની ટીકીટ મળે,
એટલે ૧૯ પ્રકારની ટીકીટ મળે. હવે સ્ટેશને ૨૦ છે, તેથી ૧૯ X ૨૦ = ૩૮૦ પ્રકારની ટીકીટો
વેચાતી હશે. [૨૯] આમાં સમજાવવા જેવું કંઈજ નથી. ૧ કલાકને ૨૦
મીનીટ તથા ૮૦ મીનીટ એ સરખે જ સમય છે, આમ છતાં ઘણુ વિચારમાં પડી જાય છે. તેમને તરત
જ આ વસ્તુ ખ્યાલમાં આવતી નથી. [૩૦] વિશ્વ એક છે. તેમાં ગમે તેવું પરિવર્તન થાય તે
પણ તે એક જ રહે છે, એટલે વિશ્વ એ એવું એક છે કે જેમાંથી એક બાદ થઈ શકતું નથી.
બીજો વર્ગ [૩૧] આ કેયડે સહેલાઈથી ઉકેલી શકાય તેવું છે. ૧
વીંઝણુની કિંમત ૨ દર્પણ અને ૩ કંકાવટી જેટલી

Page #210

ઉત્તરે
૧૮૯છે, એટલે ર વીંઝણાની કિંમત ૪ દર્પણ અને ૬ કંકાવટી જેટલી થઈ. આને અર્થ એ થયે કે ૪ રૂપિયામાં ૨ વીંઝણ આવ્યા અને ૪ રૂપિયામાં બાકીની વસ્તુઓ આવી. ૪ રૂપિયામાં ૨ વીંઝણા આવ્યા. એટલે ૧ વીંઝણાની કિંમત ૨ રૂપિયા થઈ. હવે ૨ દર્પણની કિંમત ૩ કંકાવટી જેટલી છે, એટલે જ દર્પણની કિંમત ૬ કંકાવટી જેટલી થઈ આ રીતે અધી કિંમતમાં દર્પણ આવ્યાં અને અધી કિંમતમાં કંકાવટીઓ આવી. અધી કિંમત એટલે ૨ રૂપિયામાં ૪ દર્પણ આવ્યાં, તેથી દર્પણને ભાવ ૦-૫૦ પૈસા થયે અને ૨ રૂપિયામાં ૬ દર્પણ આવ્યાં, તેથી દર્પણને.
ભાવ ૩૩રુ પૈસા થે. [૩૨] પહેલા પાસે ૪ ચપુ, બીજા પાસે ૪ સૂડી, ત્રીજા
પાસે ૪ કાતર અને ચેથા પાસે ૪ પાકીટો હતા.. તેમણે અકેક નંગની ફેરબદલી કરી, એટલે દરેક પાસે, ૧ ચપુ, ૧ સૂડી, ૧ કાતર અને ૧ પાકીટ થયું. તે દરેક નંગ ૧ રૂપિયા લેખે વેચતાં દરેકને ૪-૪
રૂપિયા મળ્યા. [૩૩] રૂા. ૭-૨૦ પૈસાનો. તે આ રીતે ?
૫૦ પૈસા ૫૦૦ ગ્રામ ખાંડ ૪૦ પિસા ૫૦૦ ગ્રામ ગોળ
૦ પૈસામાં ૧૦૦૦ ગ્રામ માલ આવે છે.

Page #211

ગણિત-રહસ્ય હવે સરખા પૈસાને માલ લે તે નીચે પ્રમાણે આવે ? ૪૫ પૈસા ૪૫૦ ગ્રામ ખાંડ ૪૫ પૈસા પદરા ગ્રામ ગોળ ૯૦ પૈસા ૧૦૧રા ગ્રામ માલ આ રીતે ૯૦ પૈસામાં ૧૨ ગ્રામ માલ વધારે આવે. પણ અહીં ૧૦૦ ગ્રામ માલ વધારે આવ્યો છે, એટલે તેણે ૯૦ ૪૮ = ૭૨૦ પૈસાને માલ ખરીદ્યો હશે.
૭૨૦ પૈસા = રૂા. ૭-૨૦ પૈસા. [૩૪] દેખીતે આ હિસાબ અટપટે લાગે છે, પણ ક્રમશઃ
વિચાર કરીએ તે તેને ઉકેલ સહેલે છે. ૫ નાગર ૪ ઔદિચ્ચ જેટલું સીધું વાપરે છે, એટલે ૨૫ નાગર ૨૦ ઔદિચ્ય જેટલું સીધું વાપરે છે. આને અર્થ એ થયે કે જેટલું ખર્ચ નાગરના પંઠાનું આવ્યું, તેટલું જ ખર્ચ ઔદિચ્યના પંઠાનું આવ્યું.
હવે ૧૨ ઔદિચ્ચ અને ૯ શ્રીમાળીના સીધાનું પ્રમાણ સરખું છે, એટલે ૧૮ શ્રીમાળીના પંઠાનું ખર્ચ ૨૪ ઔદિચ્ચ જેટલું આવે. આને અર્થ એ થયે કે નાગર અને ઔદિચ્ચન પઠા કરતાં શ્રીમાળીના પઠાનું ખર્ચ ૨૦ ટકા વધારે આવ્યું. ૨૦ને પાંચમે ભાગ ૪ છે, એટલે કને વધારે ૨૦ ટકા સૂચવે છે.
હવે ૬ શ્રીમાળી અને ૮ મેવાડાનું ખર્ચ સરખું આવે છે. પરંતુ અહીં ૧૨ મેવાડા જમવા આવ્યા છે, એટલે તેમના પિંઠનું ખર્ચ ૯ શ્રીમાળી જેટલું થયું.

Page #212

ઉત્તરે
૧૯૧ શ્રીમાળીના પંઠામાં ૧૮ શ્રીમાળી હતા, એટલે એ પંઠાનું જે ખર્ચ આવ્યું તેના કરતાં મેવાડાના પંઠાનું ખર્ચ અધું આવ્યું.
આ રીતે ૧ + 1 + 1 + ૨ = મળી કુલ ૧૬ નું ખર્ચ ૫ રૂપિયા આવ્યું, એટલે ૧ બરાબર ર૫ રૂપિયા ખર્ચ આવ્યું. આથી કુલ હિસાબ નીચે મુજબ થયેઃ નાગરના પંઠાનું ખર્ચ રૂા. ૨૫-૦ ઔદિચ્ચના પંઠાનું ખર્ચ રૂ. ૨૫-૦ શ્રીમાળીના પંઠાનું ખર્ચ રૂ. ૩૦-૦ મેવાડાના પંઠાનું ખર્ચ રૂ. ૧૫-૦
૯૫-૦ [૩૫] રૂા. ૧૨૩૪૫૬૭૮-૯ પૈસા. [૩૬] ભગાજી મારવાડીએ દરેક કોથળીમાં નીચેના કમ મુજબ
રૂપિયા ભરેલા હતા ?
૧, ૨, ૪, ૮, ૧૬, ૩૨, ૬૪, ૧૨૮, ૨૫૬, ૫૧૨. [૩૭] કુસુમે. નીલાએ ૭ વસ્તુ ૪ રૂપિયામાં ખરીદી એટલે
દરેક વસ્તુ રૂા. ૐ = પર્ફે પૈસામાં પડી અને કુસુમે ૩ વસ્તુ ૫ રૂપિયામાં ખરીદી એટલે દરેક વસ્તુ રૂા.
૨ = ૬૦ પૈસામાં પડી, તેથી કુસુમે ભાવ વધારે આપે. ૧૩૮] અર્ધો માર્ગ એટલે ૬ માઈલ. ત્યાં સુધી આવતાં ૧૫
માઈલની ઝડપે ૨૪ મિનિટ લાગે. આને અર્થ એ

Page #213

૧૯૨
ગણિત-રહસ્ય થયે કે તે અધે રસ્તે આવ્યું, ત્યારે જ ટ્રેઈન સ્ટેશનમાં આવી જાય. હવે તે ટેઈન ૨ મિનિટ ત્યાં થેલે છે, તેમાં ૧ મિનિટ પહેલાં તો પહોંચવું જ જોઈએ, એટલે તેની પાસે ૧ મિનિટનો સમય રહે. આ ૧ મિનિટમાં ૬ માઈલ જવું હોય તે ૩૬૦ માઈલની ઝડપ કરવી પડે, પણ તે મેટર માટે અશક્ય છે,
એટલે આ સંગમાં તે ટ્રેઈન પકડી શકે નહિ. [૨૯] તેથી પણ વધારે.
ગણિત ચમત્કારમાં “ગુણાકારની વિરાટુ શક્તિ” નામનું એક પ્રકરણ લખાયેલું છે. તેમાં એક વસ્તુની બમણુ ક્રમે વૃદ્ધિ થાય તે કેવું વિરાટું પરિણામ આવે? તે જણાવેલું છે. (જુઓ પૃ. ૩૮-૩૯) તે અનુસાર ત્રીસમા દિવસે પ૩૬૮૭૦૯૧૨ કાગળ ચડે. અને ત્રીસ દિવસના કુલ કાગળ
૫૩૬૮૭૦૯૧૨
X ૨ ૧૦૭૩૭૪૧૮૨૪
– ૧ કુલ કાગળે ૧૦૭૩૭૪૧૮૨૩ ચડે.
- હવે એક કાગળની જાડાઈ ૦૧ છે, એટલે આ કાગળનું પ્રમાણ ૧૦૭૩૭૪૧૮૨૩ ઇંચ જેટલું થાય. એટલે કે ૧ કોડ ઈંચ કરતાં પણ વધારે થાય. હવે
૬૩૩૬૦ ઇંચને ૧ માઈલ ગણતાં આ ઊંચાઈ ૧૬૯ જ આવૃત્તિ બીજી.

Page #214
ગુજરાત ગૌરવ લેવા જેવા ગણિત સંબંધી ત્રણ સુંદર ગ્રંથા | 1 ગણિત-ચમત્કાર, 2 ગણિત-રહસ્ય, 3 ગણિત સિદ્ધિ; જેમાં ગણિતની ગેબી સૃષ્ટિના ભેદ સુંદર રીતે ખેલવામાં આવ્યા છે તથા અનેક પ્રકારના ચમત્કારિક પ્રયોગો અને ઉપયોગી બાબતોને સંગ્રહ આપવામાં આવ્યો છે. વિશેષમાં બુદ્ધિને કસે તેવા વિશ્વભરના ચૂદી ( કાઢેલા કોયડાઓને ઉત્તમ સંગ્રહ રજા કરવામાં આવ્યા છે. ભારતભરમાં (આ જાતના પુસ્તકોનું પ્રકાશનું પહેલું જ છે. પત્રાએ તથા વિદ્વાનોએ (તેની મુક્ત કરે પ્રશંસા કરેલી છે. આ ગ્રંથની રચના (જાણીતા લેખક તથા સુપ્રસિદ્ધ ગણિતજ્ઞ શતાવધાની પંડિત (શ્રી ધીરજલાલ ટોકરશી શાહે (ધણા અનુભવ પછી સુગમ શૈલિમાં કરેલી છે, ( આખો સેટ રૂપિયા પંદરમાં જ મળે છે. Serving Jin Shasan 125168 gyanmandir@kobatirth.org obatirth.org લધાભાઇ ગુણપત બીલ્ડીંગ, ચીંચબંદર, મુંબઈ-૯ જાણીતા ગ્રંથવિક્રેતાઓ પાસેથી પણ મળી શકશે. L a TTL-la LD | Emersonal and private ટા . ટીપ. પરરી , અમદાવાદ