________________
૧૨૫
(
૧૪૯ ૧૮૬
૬
૭
૧૫થી ગુણે છે. આ પ્રકારે ૮૪ x ૧૫ = ૧૨૬૦ થાય છે. જેમાં ઉક્ત ૫ ઉમેરવાથી ૧૨ઃ૫ થાય છે. અને ૧૮૬ વડે ભાગવાથી આ = ૬+ = પ્રાપ્ત થાય છે. અહીં ૬ લબ્ધ પૂર્ણ થાય છે. છ અન પુરા થઈને સાતમું અયન પ્રવર્તે છે. ધ્રુવ ૧૪૯ને ૪ વડે ગુણવામાં આવે છે. ત્યારે ૧૪૯ × ૪ = પદ પ્રાપ્ત થાય છે. એને ૩૧ વડે ભાગવાથી ૧૯ + = પ્રાપ્ત થાય છે. ૧૯ આંગળમાંથી ૧૨ આંગળનો ૧ પાદ હોવાના કારણે ૧ પાદ લબ્ધ થઈને ૭ આંગળ શેષ રહે છે. આ પ્રકારે ૬ ઉત્તરાયણ નીકળી ગયેલ હોય અને સાતમું દક્ષિણાયન પ્રવર્તે છે. હવે એ ૧ પાદને ૨ પાદ વાળી ધ્રુવરાશિમાં પ્રસિદ્ધ કરવાથી ૩ પાદ થાય છે તથા ૭ આંગળ થાય છે. હવે જે ભાગને યવ બનાવવા માટે ૧ આંગળ = ૮ યવ (ગણત્રીમાં) લઈને ૭ને ૮ વડે ગુણવામાં આવે તો ૭ ૮ ૮ = પ૬ પ્રાપ્ત થાય છે. એટલે = = ૧+ 3 યવ થાય છે. એટલા પ્રમાણની પોરથી પ્રાપ્ત થાય છે.
આ પ્રકારે ઉત્તરાયણની ધ્રુવરાશિ ૪ પાદ લઈને સંબંધિત પ્રશ્ન હલ કરે છે.
૨. પ્રાચીન ગણિતનો આધુનિક ગણિતમાં ક્રમશઃ વિકાસ પ્રાચીન ગણિત વિશ્વની કેટલીક સભ્યતાના કેન્દ્રો પર પોતાના અભિલેખ સુરક્ષિત રહેવાના કારણે પ્રકાશમાં આવ્યું છે. આ કેન્દ્રોમાં ખાસ કરીને બેબિલન, મિશ્ર અને ભારત સુપ્રસિદ્ધ છે.* બીજ, સંખ્યા અને આકૃતિ દ્વારા ગણિતના રૂપમાં વિકાસ હજારો વર્ષો સુધી ચાલ્યો પરંતુ સર્વાધિક ક્રાન્તિ વર્ધમાન મહાવીરના યુગમાં તથા વિગત શતાબ્દીમાં દષ્ટિગત થઈ છે. જેને મહાત્માગાંધી યુગ કહી શકાય છે. અહિંસાનું આંદોલન સર્વવ્યાપી થાય છે અને મહાનું તીર્થનું પ્રવર્તન કરે છે. તીર્થંકર મહાવીરની ક્રાન્તિ આત્મિક હતી અને મહાત્મા ગાંધીની રાજનૈતિક.
પ્રાચીનકાળમાં નદીઓના કિનારે વિકસિત થયા પ્રાયઃ પ000 વર્ષ પૂર્વનાં વિકસિત સભ્યતાઓવાળા ઉક્ત દેશોમાં જ્યોતિષ તેમજ લૌકિક ગણનાઓ માટે રેખાગણિત, અંકગણિત અને બીજગણિતના આદિમ સ્વરૂપને શોધી કાઢવામાં આવ્યું હશે. કૃષિ અંગેની કાળ ગણના માટે પંચાગને વિકસિત કરવામાં આવ્યો હશે અને ભવન અંગેની રચના માટે યાંત્રિકીને વિકસિત કરવામાં આવ્યો હશે. એમાંથી પ્રયુક્ત ગણિતનો વિકાસ થયો હશે.
ગણિતમાં મુખ્યત: પાંચ ધારાઓ ગતિશીલ રહી છે. પ્રાચીનતમ કાળમાં સંખ્યા અને આકૃતિથી કામ ચાલતું રહ્યું. પછીથી સંખ્યાઓ અને આકૃતિઓ વચ્ચે સંબંધ સ્થાપિત કરવામાં આવ્યો. આ સંબંધોની સહાય વડે અને પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ સિવાય ઋણાત્મક, ભિન્નાત્મક અને વર્ગાત્મક, વર્ગમૂળાત્મક સંખ્યાઓને રેખાકૃતિઓ વડે નિરૂપિત કરવામાં આવ્યો. અખંડતા અથવા સંલગ્નતાના પ્રસંગને ગણિતીય વિધિઓ દ્વારા નિરૂપિત કરવાનો પ્રયાસ કરવામાં આવ્યો.
આ પ્રમાણે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ સાથે સંબંધિત સમસ્યાઓમાં રૂચિ રાખનારા ગણિતજ્ઞ સંખ્યાસિધ્ધાંત આધુનિક બીજગણિત અને ગણિતીય તર્કની તરફ આગળ વધી ગયા. અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓની સમસ્યાઓમાં રુચિ રાખનારા ગણિતજ્ઞ
જ્યોમેટ્રી, વિશ્લેષણ - ગણિત અને પ્રયુક્ત ગણિતને ધ્યાનમાં લઈ વિજ્ઞાન તથા મંત્રાદિકલાની તરફ વધુ ઝૂક્યા છે. (રસ લેવા લાગ્યા છે).
ઉપર્યુક્ત ચાર પ્રકારની ધારાઓ સિવાય એક બીજી મહત્ત્વપૂર્ણ ધારા ગતિશીલ થઈ. જયોતિષ તેમજ યાંત્રિકીથી આરંભી જીવશાસ્ત્ર, મનોવિજ્ઞાન, સમાજવિજ્ઞાન આદિમાં જેમાં - જેમાં ઊંડાણમાં જવાની આવશ્યકતા પ્રતીત થઈ ત્યાંત્યાં ગણિતનું અવલંબન લેવાવવા માંડ્યું. આ પ્રકારે પ્રાય: સત્તરમી સદીના પ્રારંભ પછી કેટલાક વર્ષો બાદ ગણિત તેમજ વિજ્ઞાન અગમ્ય અને અપાર રૂપમાં વિકસિત થવા લાગ્યું. ઉદ્યોગ અને શોધકાર્યમાં પ્રાય: અઢારમી સદીના અંત અને ઓગણીસમી સદીના પ્રારંભમાં ક્રાન્તિનો પ્રારંભ થયો. આ ક્રાન્તિથી ગણિતીય ક્ષેત્રમાં જે ગતિ આવી એને ગણિતને અનેક નવા રૂપો આપ્યા. આ પ્રકારે શુદ્ધ ગણિતને વધુ વિસ્તૃત થવાનો અવસર નિત્ય પ્રાપ્ત થવા માંડ્યો. પ્રાચીનકાળમાં થઈ ગયેલા પ્રમુખ (મુખ્ય) ગણિતજ્ઞોને આંગળીના વેઠ પર ગણી શકાય (એટલાજ) છે. પરંતુ વીતેલી બે, ત્રણ તેમજ આધુનિક શતાબ્દીમાં એની સંખ્યામાં વિશેષ વૃદ્ધિ અવલોકિત જોઈ શકાય છે. * વિસ્તારપૂર્વકના વર્ણન માટે જુઓ મહાવીરાચાર્યનો ગણિતસાર સંગ્રહ, પ્રસ્તાવના, શોલાપુર, ૧૯૬૩ BakÚç} É} } } } } } } $ 47 98 98
Jain Education International
For Private & Personal Use Only
www.jainelibrary.org
