Ganit Chamatkar

Author(s): Dhirajlal Tokarshi Shah
Publisher: Pragna Prakashan Mandir
Catalog link: https://jainqq.org/explore/005358/1

Page #1

PLAણC. ધમકા,
|
| ૧૨
),
is & a કા નયા
= == = lark III IIકા ક RESE\[Eવી FILE :
લેખકઃ-શતાવધાની પંડિત
| શ્રી ધીરજલાલ શાહ e lemātionale Roesgnal and Private Use Only કિમી STEELEી || REીકાકી!! | Ea[lઝા?
-ઝા
T

Page #2

-31
વ્યો
Cin
文
ગણિત ચમત્કાર
આંકડાની રમતો. કોયડાઓ ચમત્કારિક પ્રયોગો વગેરે.
*
લેખકઃશતાવધાની પંડિત શ્રી ધીરજલાલ શાહ
વિ.
blo
o

Page #3

નરેન્દ્રકુમાર ડી. શાહ વ્યવસ્થાપક : પ્રજ્ઞા પ્રકાશન મંદિર લધાભાઈ ગણપત બીલ્ડીંગ, ચીંચબંદર, મુંબઈ-૯.
આવૃત્તિ પહેલી : સને ૧૯૬૪ આવૃત્તિ બીજી : સને ૧૯૬૬
ત્તિ ત્રીજી : સને ૧૯૭૩
મૂલ્ય રૂપિયા પાંચ આ પુસ્તકના સર્વ હક્ક લેખકને સ્વાધીન છે.
મણિલાલ છગનલાલ શાહ, નવપ્રભાત પ્રિન્ટીંગ પ્રેસ, ઘીકાંટા રોડ, વેલ્ટી સિનેમા પાસે, અમદાવાદની

Page #4

બીજું ત્રીજું
૨૫
૨૧૭
૪૦
વિષયાનુક્રમ પહેલો ખંડ સિદ્ધાંત અને પ્રયોગો પ્રકરણ વિષય
પૃષ્ઠ સંખ્યા પહેલું આઠ અંકની કરામત
નવ અંકની મરામત સંખ્યાઓનું બંધારણ
ચમત્કારિક સંખ્યાઓ પાંચમું સંખ્યાના પિરામીડ છદ્ધ સરવાળાની કેટલીક રીતે સાતમું બાદબાકીનો તાળો આઠમું ગુણાકાર ની વિરાટે શક્તિ નવમું ગુણાકારની બે અનોખી રીતો દશમું ગુણાકારના કેટલાક પ્રયોગો અઢિયારમું ભાગાકારની વિશેષતા બારમું ભાગાકારની પૂર્તિ
સર્વતોભદ્ર તેમજ બીજાય ચામું મનનો ધારે એક કહેનારાં યંત્રો પંદરમું સિદ્ધાંકના ત્રણ પ્રયોગો સેળયું ગંજીફાના ચાર પ્રયોગો સત્તરમું દશ ચમત્કારિક પ્રયોગો અઢારમું અંક વિનોદ
૧૧૯ બીજો ખંડ ગણિતજ્ઞાનની પૂર્તિ કરનારે સે કેયડાઓ કેયડાઓ
૧૨૯ ઉત્તરો અંકની સંજ્ઞ એ ,
૧૯૮
તેરમું
૩

Page #5

પ્રકાશકીય સને ૧૯૩૪ થી ૧૯૬૪ સુધી ગ્રંથલેખક શતાવધાની પં. શ્રી. ધીરજલાલ શાહે શતાવધાનના પ્રયોગો દરમ્યાન ગણિતના અનેક ચમત્કારિક પ્રયોગો બનાવ્યા હતા. જે જોઈને મોટા મોટા વિદ્વાને પણુ પ્રભાવિત થયા હતા. આ વખતે કેટલાક સહૃદયી સજજનેએ એવી સૂચના કરી હતી કે તમારે આ વિદ્યાનું રહસ્ય જનતાની જાણ માટે પ્રગટ કરવું જોઈએ. પંડિતશ્રીએ તેને સાનંદ સ્વીકાર કરીને
મરણ-કલા” નામનો એક ગ્રંથ લખ્યો. તેમજ “ગણિતચમકાર” “ગણિત-રહસ્ય” તથા “ગણિત-સિદ્ધિ” નામના ત્રણ ગ્રંથની રચના કરી. તેમાંથી સ્મરણશ્લા આજે અપ્રાપ્ય છે જ્યારે ગણિત-ચમત્કાર અને ગણિત-રહસ્ય ત્રીજી આવૃત્તિ સુધી પહોંચ્યા છે. તેમજ ગણિત-સિદ્ધિએ પણ બીજી આવૃત્તિના દર્શન કર્યા છે. એકંદરે આ ત્રણે ગ્રંથે લેકપ્રિય નિવડયા છે અને “ગુજરાતી ભાષામાં ગણિતના ગ્રંથો ચાલતા નથી.” એવો ગ્રંથ વિક્રેતાને શ્રમ ભાંગ્યો છે.
આ ગ્રંથનો આટલો પ્રચાર થવામાં મહારાજા સયાજીરાવ હીરક મહોત્સવ સ્મારક નિધિ” તથા મહારાજા ફતેહસિંહરાવ ચેરીટી ટ્રસ્ટ' સારો સહકાર આપેલ છે તેમજ સન્માનનીય શ્રી મોરારજીભાઈ શ્રીમાન કે. કે. શાહ તથા શ્રીમંત મહારાજા ફત્તેહસિંહરાવ ગાયકવાડ આદિ અનેક મહાનુભાવોએ ઊંડો રસ લીધેલે છે, તે માટે સહુને અંત:કરણથી આભાર માનીએ છીએ. ' કાગળની સખત મોંઘવારી તથા છાપકામના ભાવો ઘણ વધવા છતાં આ ગ્રંથનું મૂલ્ય પૂર્વવત્ રાખ્યું છે તે તરફ પાઠકેનું ધ્યાન ખેંચીએ છીએ.
પ્રકાશક

Page #6

શતાવધાન અંગે કિંચિત્ - લે. પં. શ્રી રુદ્રદેવ ત્રિપાઠી
સાહિત્ય-સાંખ્ય–ગ-દર્શનાચાર્ય, એમ. એ. (સંસ્કૃત–હિન્દી) કાવ્ય-પુરાણ-તીર્થ, હિન્દી
સંસ્કૃત–સાહિત્ય-રત્ન, સાહિત્યાલંકાર આદિ. “શતાવધાન એટલે શું ? આ પ્રશ્ન વારંવાર પૂછાયા કરે છે. જેને સુશિક્ષિત કહીએ તેઓ પણ એમાં અપવાદરૂપ નથી, એટલે તે અંગે અહીં કિંચિત્ લખવું ઉચિત માન્યું છે.
શતાવધાન શબ્દ મૂળ તે સંસ્કૃત ભાષાને છે અને તે તત્સમ તરીકે હિંદી, બંગાળી, મરાઠી તથા ગુજરાતી ભાષામાં ઉતરી આવ્યું છે. તે શત અને અવધાન એ બે પદોના જોડાણથી બનેલું છે. તેમાં શતનો અર્થ સો અને અવધાનને અર્થ ધ્યાન કે લક્ષ્ય છે. તાત્પર્ય કે એકી સાથે જુદી-જુદી સે બાબતે પર લક્ષ્ય (Attention) આપી તેને ગ્રહણ કરવી, ધારી રાખવી અને યથાર્થ કમમાં તેનું ઉ ધન કરવું, તેને શતાવધાન કહે છે.
મને વિજ્ઞાનને એ સિદ્ધાંત છે કે આપણું મન એકી સાથે બે વસ્તુ પર લય આપી શકતું નથી, એટલે અહીં એકી સાથેને અર્થ એક પછી એક સમજવાનું છે. *
સામાન્ય મનુષ્ય બે, ચાર કે પાંચ વસ્તુ યાદ રાખી

Page #7

શકે છે, પણ તેથી અધિક વસ્તુ યાદ રાખવાને પ્રસંગ આવે તે સ્લેટ–પેન કે કાગળ-પેન્સિલ જેવાં સાધનેને. ઉપયોગ કરે છે. આથી તેને એકી સાથે સે જુદી જુદી બાબતે પર ધ્યાન આપી યાદ રાખવાની ક્રિયા ઘણી આશ્ચર્યકારી લાગે છે અને “આ કેવી રીતે બનતું હશે? એવી સહજ જિજ્ઞાસા ઉત્પન્ન કરે છે, પરંતુ નિયમ વિના કેઈ વસ્તુ નિષ્પન્ન થતી નથી, એટલે આમાં ચેકકસ મને વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધતિને જ આશ્રય લેવાય છે.
હું અન્ય શબ્દોમાં કહું તે શતાવધાન એ એક પ્રકારની મનગની જ પ્રક્રિયા છે; પરંતુ આ પ્રક્રિયા કેણે શરૂ કરી? ક્યારે શરૂ કરી? તેની પ્રાચીન પદ્ધતિ. કેવી હતી? વગેરે પ્રશ્નોને ઉત્તર આપવાનું શક્ય નથી, આમ છતાં તે ઘણા પ્રાચીનકાળથી ભારતવર્ષમાં પ્રચલિત હતી અને ગુરુપરંપરા દ્વારા ઉતરી આવી છે, એટલું નિશ્ચિત.
પ્રાચીન કાળમાં આ શક્તિ ધરાવનાર વિદ્વાને મોટા ભાગે કઈ મંત્ર-તંત્રની સાધનાથી અથવા પૂર્વજન્મના સંસ્કારથી માત્ર અવધાનશક્તિ ધારણ કરતા હતા. તેઓ વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિએ અમુક વિષયમાં અમુક સંખ્યામાં અવધાન કરવા, આવી પદ્ધતિ તેમની પાસે ન હતી. મધ્યકાલમાં આ વિદ્યા વિકસિત થઈ અને રાજદરબારમાં કે પંડિતની સભામાં શબ્દ-સૂત્ર-કાવ્યરચનાદિને અનુલક્ષીને શતાવધાનના પ્રયોગ કરી વિદ્વાને શતાવધાનીનું માનવંતુ

Page #8

બિરુદ પામતા. રાજા-મહારાજાઓ-શ્રીમંત વગેરે તેમને કિંમતી ભેટ આપી તેમનું બહુમાન કરતા. આ છેલ્લી સદીમાં પ્રજ્ઞાચક્ષુ પંડિત શ્રી ગઠ્ઠલાલજીનું નામ શતાવધાની તરીકે સારી રીતે પ્રસિદ્ધ થયું હતું. તેઓ મોટા ભાગે મુંબઈમાં જ રહેતા હતા અને હિંદુ પંડિતોમાં અગ્રેસર ગણાતા હતા.
ગુજરાત-સૌરાષ્ટ્રમાં શતાવધાનીઓની પરંપરા ચાલી છે. મેરબીનિવાસી શંકરલાલ માહેશ્વર ભટ્ટ, પંડિત ગટ્ટલાલજીના સમકાલીન હતા. ત્યારબાદ શ્રીમદ્ રાજચંદ્ર, સ્થાનકવાસી મુનિશ્રી રત્નચંદ્રજી, મુનિશ્રી કેવળચંદ્રજી, મુનિશ્રી સૌભાગ્યચંદ્રજી (શ્રી સંતબાળજી) શતાવધાનીની
ખ્યાતિ પામ્યા હતા. ત્યારબાદ સુપ્રસિદ્ધ સાહિત્યકાર શ્રી ધીરજલાલ ટોકરશી શાહે તા. ૨૯–૮–૩૫ ના રોજ વીજાપુર મુકામે શતાવધાનના સફળ પ્રયોગ કરી શતાવધાનીઓની પંક્તિમાં પિતાનું નામ રોશન કર્યું અને તેને અનેરી આભાથી દીપાવ્યું. તેમણે ભારતના ભિન્નભિન્ન ભાગોમાં શતાવધાનના સફળ પ્રયોગ કર્યા છે, એટલું જ નહિ પણ ત્યાગી-ગૃહસ્થ શિષ્ય-શિષ્યાઓને એક સમુદાય ઊભું કરીને “અવધાનગુરુ નું પદ ભાવ્યું છે.
વિશેષમાં તેમણે આ વિષયનું ઊંડું અધ્યયન કરીને તેનું આવશ્યક સંસ્કરણ પણ કર્યું છે અને તેને લેકમેગ્ય છે અને બનાવવામાં ઘણે મેટ હિસે આવે છે. આજના મોટા

Page #9

* * * *
*
* *
* *
*
*
ભાગના. અવધાનીઓ-શતાવધાનીઓ તેમની પદ્ધતિએ જ પ્રગો કરે છે, જેમાં સંખ્યાલધારણ, શબ્દાવધારણ, રંગસ્મૃતિ, સ્પર્શ પ્રણિધાન, કાવ્યરચના, વિવિધ ભાષાઓના વાક્યોનું સ્મરણ તથા ગણિતના અનેક પ્રકારના ચમત્કારિક પ્રયે વગેરે સહુને રસ પડે તેવી બાબત હોય છે. *
શતાવધાની પં. શ્રી ધીરજલાલભાઈ લેખક, વિચારક, કવિ, સમાજસેવક, શતાવધાની અને મહાન-ગણિતજ્ઞ હોવા. છતાં બહુ સાદું જીવન જીવે છે. છેલ્લાં દશ-બાર વર્ષથી હું તેમના નિકટ પરિચયમાં આવ્યો છું ને તેમની વિવિધ શક્તિઓ તથા કાર્યપ્રણાલિકાથી અતિ પ્રભાવિત થયે છું.
તેમનું કાયમી સરનામું નીચે મુજબ છે - શતાવધાની પંડિત શ્રી ધીરજલાલ શાહ ૧૧૩–૧૫ કેશવજી નાયક રોડ, લધાભાઈ ગણપત બીલ્ડીંગ, ચીંચબંદર,
સુંબઈ-૯

Page #10

પહેલે ખંડ સિદ્ધાંત અને પ્રયોગ
cocooos

Page #11

Page #12

[ 1 ]
આઠ અંકની કરામત ૧ ૨ ૩ ૪ ૫ ૬ ૭ ૮ આ અંકે આપણે રોજ લખીએ છીએ અને તેમાં કઈ વિશેષતા હોય એવું આપણને લાગતું નથી, પણ તેની વિશિષ્ટ ગોઠવણ કરીએ કે ગણિતનાં ચિહ્નોને ઉપયોગ કરીએ, તે તેની કરામત તરત નજરે પડે છે. જેમ કે
૧ ૨ ૩
હજી આમાં કઈ વિશેષતા છે, એ ખ્યાલ નહિ આવે, પણ વચ્ચે દિશાદર્શક બે ચેકડીઓ મૂકી દે અને પછી જુઓ કે તે કેવું પરિણામ બતાવે છે!
'
હવે દરેક લીટીના છેડે આવેલા અને સરવાળે

Page #13

કરે. ૧ + ૮= ૬ ૨ + ૭ = ૯૬ ૩ + ૬ = ૯૬ ૫ + ૪ = ૯ત્યાર પછી ઉલટો કેમ શરૂ થાય છે, એટલે સરવાળાનું પરિણામ તે સરખું જ આવવાનું. ૮ + ૧ = ૯ + ૨ = ૯ ૬+ ૩ = ૯૬ ૪+ પ = ૯.
બીજી રીતે પણ આમાં કરામત છે, તે જુઓ. ૧૮= ૯૪ ૨
૫૪=૯૪૬ ૨૭ = ૯ ૪૩
૬૩ = ૯૪ ૭ ૯ ૪૪
૭૨ = ૯ ૪૮ ૮૧ = ૯૪૯
X ~
X w
38
||
X w
= ૯૪૫
X w
હજી વિશેષ ! આ આકૃતિમાં ચાર છેડે ચોરસમાં એક લખ્યા છે, તેને સરવાળે કરેઃ ૧ + ૩ +૮+ ૬ = ૧૮ અને બહાર રહ્યા છે, તેને સરવાળે કરેઃ ૨ +૫ + ૭ + ૪= ૧૮. એક સાદી દેખાતી ગોઠવણમાં કેટલી કરામત!
હવે, ૧ થી ૮ સુધીના અંકે નીચે પ્રમાણે બે હારમાં લખે

Page #14

આમાં વિશેષતા ઊભી લીટી દોરી તેના દેખાશે. જેમ કે
"
૧ ૨ ૩ ૪
૫
૬ ७
૮ ૧૦ ૧૨
જો નીચેની હારના ક્રમ ઉલટા કરીએ તે વળી જુદ
--
જ રંગ નજરે પડે છે. જેમ કે
૧
ર
19
૩
૨ ૪
૫ ૬ ૭ ૮
નહિ દેખાય, પર’તુ દરેક અ'ક વચ્ચે સરવાળે કરા, તે તેમાં કરામત
સરવાળાની દરેક રકમ એકી છે અને તેની વચ્ચે એ તુ અંતર રહેલું છે.
४
૫
સરવાળાની દરેક રકમ એકી અને તે પણ એક સરખી. અધા જ નવડા !
૯
જો આ જ અંકાને ઊભા લખીએ તેા તેના સરવાળામાં
વિશેષતા આવે છે. જેમ કે
૩ ૫
સરવાળાની બધી રકમે એકી અને . તે દરેક વચ્ચે ચારનું અ ંતર !
૩ ૭ ૧૧ ૧૫
પૂરી થતી
પરંતુ આઠે અંકની કરામત આટલેથી જ નથી. ચિહ્નો વડે તેમાં જુદી જ કરામત પેદા થાય છે. જેમ કે.
૧૨:૩-૪
૫૬૭ = ૮
તથા

Page #15

૧૨ = ૩ ૪૪
પ૬ = ૭ ૪ ૮ " ભાગાકાર અને ગુણાકારનાં ચિહ્નોની જેમ + અને – નાં ચિહ્નો પણ તેમાં નવી જ રેનક આણે છે. પરંતુ તે માટે આ આઠ અંકને ઉલટા કમથી લખવા ઠીક પડશે.
૮ + ૭ – ૯ + ૫
+ 8 + ૩ = ૨૧ હજી બીજી રીત જુઓ–
૮ + ૭ – ૬ – ૧
– ૪ + ૩ – ૨ = ૧ છેવટે તે બધાનું એકમાં જ પર્યવસાન થવાનું છે અને અહીં તે જ ઘટના જોવામાં આવે છે.
=
=

Page #16

[ 2 ] નવ અંકની કરામત આઠ અંકની જેમ નવા અંકે પણ કેટલીક કરામત બતાવે છે. જરા અહીં નજર કરે–
૧ ૨ ૩ ............ ૪
૫ . ૬ આ તે સ્વાભાવિક કમે લખાયેલા આંકડા છે, એટલે તેમાં કંઈ નવીનતા નહિ લાગે ! પણ બાકી રહેલા ૭, ૮, ૯ને આ અકેની વચ્ચે દાખલ કરી દો અને તે પણ નીચેથી ઊંચેના કેમે, તે જરૂરી તેમાં કરામત નિહાળી શકશે.
૧ - ૯ ૨ ૩ . ૮ - ૪
=
હવે અંકેની આ ત્રણ હારને ત્રણ સંખ્યા સમજી લ્યો. તેમાં પહેલી સંખ્યા કરતાં બીજી સંખ્યા બરાબર બમણી છે. અને ત્રીજી સંખ્યા બરાબર ત્રણ ગણી છેઃ ૧૯૨ ૪૨ = ૩૮૪, ૧૯૨ ૪ ૩ = પ૭૬. હવે પહેલી અને બીજી સંખ્યાને સરવાળે કરે. તેનું પરિણામ ત્રીજી સંખ્યામાં બરાબર જોઈ શકાશે. જેમ કે

Page #17

+ ૩ ૮ ૪
૧ થી ૯ સુધીના અંકને સરવાળે કરે અને તે અકેને પણ સરવાળે કરે તે બરાબર ૯ જ આવશે ! ૧+૨+૩+૪+૫+ ૬ + 9 + ૮+૯=૫=૪+ =૯.
૧ થી ૯ સુધીના અંકે તેરણ કે સપાન આકૃતિએ લખાય તે તેના સરવાળામાં એક જાતને સંવાદ નજરે પડે છે.
તરણ આકૃતિ ૧ ૩ ૫ ૭ ૯
આમાં ૧-૨-૩ થી તેરણનાં પાંદડાંની આકૃતિ બને છે. તે જ રીતે ૩-૪-૫, ૫-૬-૭ અને ૭-૮-@ી પણ તારણના પાંદડાંની આકૃતિ બને છે. હવે દરેક આંકડાને સરવાળો કરીએ તે અનુક્રમે ૧, ૧૨, ૧૮ અને ૨૪ આવે છે, એટલે કે બધા આંકડા બેકી છે અને તે અનુક્રમે ૬ ને તફાવત બતાવે છે.
૧ + ૨ + ૩ = ૬ ૩ +૪+૫ = ૧૨ ૫ + + ૭ = ૧૮ - ૭ + ૮ + ૮ = ૨૪
જે માત્ર ત્રાંસી લીટીઓને સરવાળે કરીએ તો પમિ એકી આંકડામાં આવે છે અને તે ચારને તફાવત બતાવે છે. જેમકે : ૧ + ૨ = ૩.૩ + ૪ = ૭. ૫ + ૬ = ૧૧.

Page #18

૧૭+ ૮ = ૧૫. ૩ + ૨ = ૫. પં+૪= ૯. ૭+ ૬ = ૧૩. ૯ + ૮= ૧૭..
પાન આકૃતિ
- | જ ||
|
|
૧ ૫ ૯ ૧૩ ૧૭ આમાં સરવાળાના બધા જ આંકડા એકી આવે છે અને તે અનુક્રમે ૪ ને વધારે બતાવતા જાય છે. ૧ + = ૫. પ + ૪ = ૯. ૯ + ૪ = ૧૩. ૧૩ +૪= ૧૭.
૧ થી ૯ સુધીના અંકે હારબંધ લખી નાખે અને તેની નીચે તે જ અંકે ઉલટા ક્રમે લખે, પછી તેમાં ૧ ઉમેરે, તે જરૂર ચમત્કારિક પરિણામ આવશે.
૧ ૨ ૩ ૪ ૫ ૬ ૭ ૮ ૯ ( ૯ ૮ ૭ ૬ ૫ ૪ ૩ ૨૧
૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ બધા એકડા જ એકડા ! - હવે આ બે સંખ્યાઓના ગમે ત્યાંથી ઊભા ટુકડા કરી 1 ઉમેરીએ તે પણ પરિણામમાં એકઠા જ આવશે.

Page #19

૧૨ ૩૪૫
૬૭
૮૯
૯૮
૭૬૫
૪૩
૨૧
+ ૧ + ૧
+ ૧ + ૧
૧૧૧ | ૧૧૧૧ ૧૧૧ | ૧૧૧
૧૦
હવે આ એ રકમાને ઉલટી કરીને એટલે કે નીચેની રકમને ઉપર લખીને અને ઉપરની રકમને નીચે લખીને માનુબાકી કરીએ તે તેમાં પણ કંઈક કરામત જોવામાં આવશે !
૯ ૮ ૭ ૬ ૫ ૪ ૩ ૨ ૧
૧ ૨ ૩ ૪ ૫ ૬ ૭ ૮ ૯
૮ ૬ ૪ ૧ ૯ ૭ ૧ ૩ ૨
પરિણામમાં નવે નવ આંકડા હાજર છે. નથી તેમાં કેાઈ વચ્ચે કે કોઈ ઘટચો!
૧ થી ૯ સુધીના અકે ક્રમશઃ લખે અને તેમાં ગણિતની સંજ્ઞાએ ચતુરાઈથી વાપરે તે અનેક રીતે ૧૦૦ પરિણામ લાવી શકાય છે. જેમ કે—
(૧) ૧ + ૨ + ૩ +૪+૫+૬+૭+(૮×૯)=૧૦૦ (ર) (૧+ ૨ – ૩-૪) (૧ - ૬ - ૭-૮-૯)=૧૦૦ (૩) ૧+(૨૪૩)+૪+૫+૬૭+ ૮ +૯=૧૦૦
(૪) ૧૨ + ૩ ૪+૫+ ૬૭ + ૮ +૯ = ૧૦૦
-
-
(૫) (૧૪ ૨ ) + ૩૪ + ૫૬ + ૭ - ૮ + ૯ = ૧૦૦ (૬) – (૧ × ૨)- ૩-૪ --૫ + (૬ x ૭) + (૮ ૪ ૯) =૧૦૦
૭+ -
=૧૦૦
(૭) ૧૨૩ - ૪ - ૫ - ૬ (૮) ૧૨૩ + ૪૫ – ૬૭ + ૮
www
= ૧૦૦

Page #20

[ ૩] સંખ્યાઓનું બંધારણ
માં 1 ઉમેરા અને ૧૦ની સંખ્યા બની. પછી તે અનુક્રમે સંખ્યાઓ વધતી જ ચાલી. ગણિતજ્ઞોએ તેને સે (૧૦૦), હજાર (૧,૦૦૦), દશ હજાર (૧૦,૦૦૦), લાખ (૧૦૦,૦૦૦), દશ લાખ (૧,૦૦૦,૦૦૦), કેડ (૧૦,૦૦૦,૦૦૦), દશ કેડ (૧૦૦,૦૦૦,૦૦૦), અબજ (૧,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦)અને તેથી પણ આગળ સંજ્ઞાઓ આપી. જૈન શાસ્ત્રોએ તેનું માપ શીર્ષપ્રહેલિકા એટલે ૧૯૪ અંક સુધી પહોંચાડ્યું, પણ સામાન્ય વ્યવહારમાં તે અબજની સંખ્યાને જ બહુ મોટી ગણીને ચાલવામાં આવે છે.
આ બધી સંખ્યાઓનું બંધારણ એવું છે કે એના કેને સરવાળો કરીએ અને એ સરવાળાની સંખ્યાને મૂળ સંખ્યામાંથી બાદ કરીએ તો શેષ રહેનારી સંખ્યાને
થી નિઃશેષ ભાગી શકાય. તેમાં ક્યારેય કશો ફેર પડે નહિ. દાખલા તરીકે–
૧૦ ૧ + ૦ = ૧ ૧૦ – ૧ – ૯ ૧૧ : ૧ + ૧ = ૨ ૧૧ – ૨ = ૯ ૧૨ ૧ + ૨ = ૩ ૧૨ – ૩ = ૯ ૧ + ૩ = ૪
૧૩ – ૪ ૧ + ૪ = ૫ ૧૪ – ૧ – ૯ ૧૫ ૧ + ૫ = ૬ ૧૫ – ૬ = ૯
૧ + ૬ = ૭ ૧૬ – ૭ ૧ + ૭
૧૭ – ૮ ૧ + ૮= ૯ ૧૮– ૯= ૯ ૧ + ૬ = ૧૦ ૧૯-૧૦=૯ ૨ + ૦ = ૨ ૨૦ - ૨ = ૧૮
| 0
-+
જ
+
ર
જ
+
| | | 0 0
| | | 0 0 0
| |
0
દ
+
ત
-
+
+
૨૦

Page #21

બીજી પણ કેટલીક સંખ્યાઓ જુઓ ૩૫. ૩+૫ = ૮, ૩પ – ૮ = ૨૭
૯ | ૨૭ ૩
૨૭
૮૬. ૮+ ૬ = ૧૪. ૮૬ – ૧૪ = ૭ર
૯ | ૭૨ | ૮
૭૨
૧૩૭. ૧ +૩+ ૭ = ૧૧. ૧૩૭ – ૧૧ = ૧૨૬
૯ ! ૧૨૬ ૧૪
૧૨૬
,
૦૦૦
૨૫૪૩. ૨ +૫+૪+ ૩ =૧૪. ૨૫૪૩ – ૧૪ = ૨૫૨૯
૯ | ૨૧ર૯ | ૨૮૧ - ૨૫૨૯
૦ ૦ ૦ ૦
૧૨૬૫૮. ૧+૨ + ૬ + પ + ૮ = ૨૨ . ૧૨૬૫૮ – ૨૨ = ૧૨૬૩૬
૯ | ૧૨૬૩૬ / ૧૪૦૪
૧૨૬૩૬
૦૦૦૦૧.

Page #22

સંખ્યાનું આ બધારણ ખ્યાલમાં રાખીને ગણિતજ્ઞો. નીચે પ્રગ કરી બતાવે છે ?' (૧) કોઈ પણ સંખ્યા લખો. '
એક વ્યક્તિ સંખ્યા લખે છેઃ ૨૬૫૩૪ (૨) તેના આંકડાને સરવાળો કરો.
તે વ્યક્તિ આંકડાને સરવાળો કરે છે : , , ૨ + ૬ + ૫ + ૩ +૪= ૨૦. (૩) આ સંખ્યાને બાજુએ રાખે અને લખેલી સંખ્યા માંથી એક આંકડે ચેકી નાખે. .
તે વ્યક્તિ ૨ ૬પ૩ ૪ માંથી ૬ ચેકી નાખે છે. (૪) બાકી રહેલી સંખ્યામાંથી સરવાળાની રકમ બાદ કરે.
તે વ્યક્તિ ૨પ૩૪ માંથી ૨૦ બાદ કરે છે, એટલે
૨૫૧૪ની સંખ્યા શેષ રહે છે. (૫) જે સંખ્યા શેષ રહી તેના આંકડાને સરવાળે કરે.
તે વ્યક્તિ સરવાળો કરે છે. ૨+૫ +૧+ ૪ = ૧૨. (૬) શું પરિણામ આવ્યું ?
}' ઉત્તરમાં તે વ્યક્તિ ૧રની સંખ્યાં રજૂ કરે છે, એટલે ગણિતજ્ઞ કહે છે કે તમે ૬ ના આકડે ચેક છે. એ સાંભળી પેલી વ્યક્તિ આશ્ચર્ય પામે છે. પરંતુ અહીં ગણિતજ્ઞ તે એટલું જ કરે છે કે સાંભળેલી રકમમાં કઈ સંખ્યા ઉમેરીએ તે પરિણામ ૯ કે ૧૮

Page #23

સા.
' (૧)
(૪)
- આવે. અહીં સંખ્યા ૧૨ હતી, એટલે તેણે જવાબમાં દ કહ્યો, કારણ કે ૧૨ માં ૬ ઉમેરવાથી જ ૧૮ આવે છે.
આ પ્રયોગ છેડા ફેરફાર સાથે નીચે પ્રમાણે પણ કરી શકાય છેઃ
પ્રવેગ કરનારે કહેવું કેસભામાંથી ચાર જણ ઊભા થાઓ અને એક કાગળની કાપલી પર ઠીક લાગે તે સંખ્યા લખો. એ ચારે કાપલી એક જણને આપે અને તેને
સરવાળો કરે. (૩) તેમાં મારા તરફથી ૧૦૭ની સંખ્યા ઊમેરે.
જે પરિણામ આવ્યું તેને આંકડાને સરવાળો કરો અને તેને બાજુએ રહેવા દે. હવે પરિણામની સંખ્યામાંથી કઈ પણ એક આંકડે ચેકી નાખો. જે સંખ્યા બાકી રહી તેમાંથી સરવાળાની રકમ
બાદ કરે. (૭) હવે જે સંખ્યા રહી તેના આંકડાને સરવાળો કરે.
જે જવાબ મળે તેમાં કેટલા ઉમેરીએ તે ૯ કે ૧૮ આવે, એટલું જ જોવાનું એ સંખ્યા બરાબર ચૂિકેલે આંકડો સમજ.
દાખલા તરીકે ચાર વ્યક્તિઓએ નીચે પ્રમાણે ગણિત કર્યું

Page #24

૧૮૭ ૧
૨૭૪ ૩ ૧૦૯૨ જ ૨૧૬૩ ૩૭૧૬ + ૧૦૭ પ્રવેગકર્તા તરફથી લખાવાયેલી.
૩૮૨૩
અંકને સરવાળે ૩ + ૮ + ૨ + ૩ = ૧૬. ૩૮૨૩ માંથી ૮ ચેક, બાકી રહ્યા ૩૨૩. તેમાંથી ૧૬ બાદ થયા, એટલે રહ્યા ૩૦૭. તેના અંકને સરવાળે ૩ + ૦ + ૭ = ૧૦. હવે ૧૦માં ૮ ઉમેરીએ તે જ ૧૮ આવે, એટલે ચુકેલે આંકડો ૮ છે.
જે રકમમાંથી ૭ કે ૯ ચૂક્યા હોય તે જવાબમાં છે કે એ વિકલિપક જવાબ આપવાનું રહે છે, કારણ કે તેમાં ૦ ચેકયું હશે કે ૯, એ ખાતરીપૂર્વક કહી શકાતું નથી.
દાખલા તરીકે ચાર વ્યક્તિઓએ નીચે પ્રમાણે ગણિત કર્યું :
૨૫૩ ૪ ૧૮૪ ८८७ ग ३०६ घ ૧૭૩૦ -+૨૦૦ મગર્તા તરફથી.
૧૯૩૦

Page #25

આ રકમના અંકને સરવાળે ૧+૯+૩+૦=૧૩ છે. હવે ૧૯૩૦ માંથી ૩ ચેકયું છે, તો બાકી રહ્યા ૧૯૩.. તેમાંથી ૧૩ બાદ થયા, એટલે રહ્યા ૧૮૦: તેના અંકે. સરવાળે ૧ + ૮+ ૦ =૯ છે. હવે ૯ માં ૦ ઉમેરીએ તે ૯ આવે અને ૯ ઉમેરીએ તો ૧૮ આવે; એટલે ચુકેલે આંકડે ૮ કે ૯ છે.
માની લે કે ૧૯૩૦ માંથી ૯ ચૂક્યો હોત તે. પરિણામ કેવું આવત? એ પણ જોઈએ. ' " આ રકમને સરવાળે ૧+૯+૩=૧૩ છે. હવે ૧૯૩૦ માંથી ૯ ચૂક્યો છે, તે બાકી રહ્યા ૧૩૦. તેમાંથી ૧૩ બાદ, કર્યા તે રહ્યા ૧૧૭. તેના અંકને સરવાળે ૧ + + ૭=૯ છે. હવે ૯ માં ૦ ઉમેરીએ તે ૯ આવે અને ૯ ઉમેરીએ તે ૧૮ આવે, એટલે ચુકેલે આંકડો ૮ કે ૯ છે. - આ સંખ્યાઓના બંધારણની બીજી વિશેષતા એ છે કે તે જે આંકડાઓથી બનેલી હોય, તે આંકડાને ઉપગ કરીને કેઈ પણ સંખ્યા બનાવીએ અને મેટીમાંથી નાની બાદ કરીએ તે શેષસંખ્યા એવી જ રહેવાની કે જેને ૯ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય. દાખલા તરીકે ૨૬. અહીં ૨ અને ૬ માંથી ૬૨ એવી બીજી સંખ્યા બની શકે છે. તેમાં ૨૬ કરતાં ૬૨ મોટી છે, એટલે દ૨ માંથી ૨૬ બાદ, કરવા જોઈએ.
૩૬ આ રીતે ૩૬ ની સંખ્યા શેષ રહી તો તે
૯ થી નિઃશેષ ભાગી શકાય એવી છે.

Page #26

૯૦૩૬(૪
૩૬
બીજો દાખલ ૧૫૬. આમાંથી નીચે મુજબ સંખ્યાઓ બની શકે
છેઃ ૧૬૫, ૫૧૬, ૫૬૧, ૬૧૫, ૬૫૧. હવે આ બધી રકમે ૧૫૬ કરતાં મોટી છે, એટલે તેમાંથી ૧૫૬ બાદ કરવા જોઈએ.
૧૬૫ -૧પ૬
૦૦૯ અહીં ૯ પોતે જ હાજર છે. ૫૧૬ -૧પ
૩૬૦ આ સંખ્યાને ૯ થી નિઃશેષ ભાગી
શકાય છે.
૯ ! ૩૬૦ | ૪૦
૦૦ ૦.
પ૬૧ –૧૫૬
૪૦૫ આ સંખ્યાને ૯ થી નિઃશેષ ભાગી
શકાય છે.

Page #27

૯) ૪૦૫ ૪૫ | ૪૦૫ !
૬૧૫ –૧૫૬ ૪૫૯ આ સંખ્યાને પણ ૯ થી નિઃશેષ ભાગી
શકાય છે. ૯ ( ૪૫૯ | પ૧
૪૫૯
૦૦૦
૬પ૧ –૧પ૬
૪૫ આ સંખ્યાને પણ ૯ થી નિઃશેષ ભાગી શકાય છે. ૯ | જલ્પ | પપ
૪૯૫
આ સિદ્ધાંતને ઉપગ કરીને ગણિત નીચે પ્રાગ રજૂ કરે છે (૧) તમારે ટેલીફોન નંબર લખો, અથવા મોટર નંબર
લખે, અથવા કઈ પણ એક સંખ્યા લખે. મિત્ર ટેલીફોન નંબર લખે છે.
૩૨૪૭૬.

Page #28

(૨) હવે તે નંબરમાંથી ગમે તે એક સંખ્યા બનાવે. - મિત્ર તેમાંથી ૨૪૭૬૩ એવી સંખ્યા બનાવે છે. (૩) મોટી સંખ્યામાંથી નાની સંખ્યા બાદ કરે. મિત્ર તેમ કરે છેઃ ૩૨૪૭૬
–૨૪૭૬૩
૭૭૧૩ (૪) આવેલી સંખ્યાને સરવાળે કરે. પરિણામમાં બે અંક આવે તે તેને ફરી સરવાળે કરે.
મિત્ર તેને સરવાળો કરે છેઃ
૭ + ૭ + ૧ + ૩ = ૧૮ = ૧ + ૮= ૯. (૫) તેમાં છ ઉમેરે.
મિત્ર તેમાં છ ઉમેરે છેઃ ૯ + ૭ = ૧૬ (૬) આ રકમમાં તમારે જન્મ થયો હોય એ સાલના પાછલા બે આંકડા ઉમેરો.
મિત્રને જન્મ સને ૧૯૬રમાં છે, એટલે
તે ૧૨ ઉમેરે છે : ૧૬ + ૧૨ = ૨૮ (૭) પરિણામ શું આવ્યું?
મિત્ર કહે છે ઃ ૨૮. એટલે ગણિતજ્ઞ કહે છેઃ “તે તમને હાલ (સને ૧૯૯૪માં) પર વર્ષ થયા છે, ખરું ને?”
અને મિત્રના આશ્ચર્યને પાર રહેતું નથી. આ

Page #29

- કેવી રીતે શોધી કાઢયું?” એ પ્રશ્ન તેના મનમાં ઘેળાયા છે, પરંતુ ગણિતજ્ઞ તે આ વસ્તુ બહુ સરળતાથી શોધી. કાઢે છે. તેને એ ખબર છે કે ગમે તે રકમ ધારી હશે પણ તેને આખરી અંજામ લ્માં આવશે અને તેમાં ૭ ઉમેરવાથી એ સંખ્યા ૧દની બનશે. હવે મિત્રે ૨૮ કહ્યા, એટલે તેણે ૧૨ ઉમેર્યા હશે, એ નક્કી થયું. આ ૧૨ એટલે ૧૯૧૨, તે કંઈ ૧૮૧૨ સંભવે નહિ. હવે જે મનુષ્ય ૧૯૧૨માં જન્મ્યો હોય, તેને ૧૯૯૪ની સાલમાં પર વર્ષ થાય, એ દેખીતું છે, પણ આ રીતે તેની રજૂઆત કરવાથી વિસ્મયનું વાતાવરણ જામે છે અને ગણિતનું ગૌરવ વધે છે.
છે.
કરજ s
vir :
#

Page #30

[૪] ચમત્કારિક સંખ્યાઓ જે સંખ્યા ગુણન આદિમાં ચમત્કારિક પરિણામ બતાવે તેને ચમત્કારિક સંખ્યા સમજવાની છે. આવી કેટલીક સંખ્યાઓની અહીં રજૂઆત કરી છે.
ત્ની સંખ્યાનું ગુણન કરીએ તે તેમાં એક પ્રકારને ચમત્કાર દેખાય છે. જેમકે –
0 x
+ +
+
0 0 I || || || |
0 0 0
+
= +
- +
\ 0
5 +
0
0 x
|| 0
૯ × ૨ = ૧૮ = ૧ + ૮ = ૯ ૯ X ૩ = ૨૭ = ૨ + ૭ = ૯ ૯ ૪૪ = ૩૬ = ૩ + ૬ = ૯ ૪ ૫ = ૪૫ = ૪+ ૫ = ૯ × ૬ = ૫૪ = ૫ + ૪ = ૯ ૯ × ૭ = ૬૩ = ૬ + ૩ = ૯ ૯ X ૮ = ૭૨ = ૭ + ૨ = ૯ ૯ X ૯ = ૮૧ = ૮ + ૧ = ૯ ૯૪ ૧૦ = ૯૦ = ૯ + ૦ = ૯ ૯૪૧૧ = ૯ = ૯ + ૬ = ૧૮ = ૧ + ૮= ૯
૯૪૧૨ = ૧૦૮ = ૧ + ૦ + ૮= ૯
આ રીતે ૯ને કેઈ પણ સંખ્યાથી ગુણીએ તે પણ તેના આંકડાને સરવાળો ૯ જ આવશે. જેમકે
૯૪ ૧૩૭ = ૧૨૩૩ = ૧ + ૨ + ૩ + ૩ = ૯ ૯ × ૨૫૮ = ૨૩૨૨ = ૨ + ૩ + ૨ + ૨ = ૯

Page #31

I
|
ع
I
ه
X
GU
» لمی
J
X
૯૧ની સંખ્યા પણ ગુણનમાં પિતાની ચમત્કૃતિ બતાવે છે. જેમ કે
૧ ૪ ૯૧ = ૦૯૧ ૨ X ૯૧ = ૧૮૨ ૩ ૪ ૯૧ = ૨૭૩ ૪ ૪ ૯૧ = ૩૬૪ ૫ X ૯૧ = ૪પપ ૬ X ૯૧ = પ૪૬ ૭ X ૯૧ = ૩૭ ૮ ૪ ૯૧ = ૭ર૮
૯ X ૯૧ = ૮૧૯ આ પરિણામની ઊભી હાર જુઓ તે પ્રથમ હારમાં ૦થી ૮ સુધીના અંકે કમશઃ ગોઠવાયેલા છે, બીજી હારમાં ૯ થી ૧ સુધીના અંકે અનુક્રમે ઉતરતા ક્રમે ગોઠવાયેલા છે અને ત્રીજી હારમાં ૧ થી ૯ સુધીના અંકો ચડતા કામે ગોઠવાયેલા છે.
૧૦૮૯ની સંખ્યા પણ ચમત્કારિક છે. ગુણનમાં તે નીચેનું પરિણામ દર્શાવે છે ?
૧ ૪ ૧૦૮૯ = ૧૦૮૯ ૨ ૪ ૧૦૮૯૯ = ૨૧૭૮ ૩ ૪ ૧૦૮૯ = ૩ર૬૭ ૪ x ૧૦૮૯ = ૪૩પદ ૫ x ૧૦૮૯ = પ૪૪પ ૬ ૪ ૧૦૮૯ = ૬પ૩૪ ૭ ૪ ૧૦૮૯ = ૭૬૨૩ ૮ ૮ ૧૦૮૯ = ૮૭૧૨. ૯ X ૧૦૮૯ = ૯૮૦૧

Page #32

આના પરિણામમાં એ ખૂબી છે કે પહેલે તથા ત્રીજે આંકડે અને બીજો તથા ચોથો આંકડો ૯ ને સરવાળે દર્શાવે છે. જેમ કે ૧ + ૮ = ૬ ૦ + ૯ = ૯; ૨ + ૭ = ૬ ૧ + ૮= ૯ વગેરે.
વળી ઊભી હારમાં પહેલી બે હારો ચડતે ક્રમ અને બીજી બે હાર ઉતરતે કમ બતાવે છે,
૩૩૬૭ની સંખ્યા પણ ચમત્કારિક છે. તેનું ગુણનફલ જુઓ –
૩૩૬૭ ૪ ૩૩ = ૧૧૧૧૧૧ ૩૩૬૭ ૪ ૬૬ = ૨૨૨૨૨૨ ૩૩૬૭ X ૯૯ = ૩૩૩૩૩૩ ૩૩૬૭ ૪ ૧૩૨ = ૪૪૪૪૪૪ ૩૩૬૭ X ૧૬૫ = ૨૫૫૫૫૫ ૩૩૬૭૪ ૧૯૮= ૬૬૬૬૬૬ ૩૩૬૭ X ૨૩૧ = 999999 ૩૩૬૭ X ૨૬૪ = ૮૮૮૮૮૮
૩૩૬૭ X ૨૯૭ = ૯૯૯૯૯૯ ૭૬૯૨૩માં પણ ઘણો ચમત્કાર છૂપાયેલું છે. જેમ કે
૭૬૯૨૩ ૪ ૧ = ૦ ૭ ૮ ૯ ૨ ૩ ૭૬૯૨૩ x ૧૦ = ૭ ૬ ૯ ૨ ૩ ૦ ૭૬૯૨૩ X ૯ = ૬ ૯ ૨ ૩ ૦ ૭. ૭૬૯ર૩ ૪ ૧૨ = ૯ ૨ ૩ ૦ ૭ ૬ ૭૬૯૨૩ X ૩ = ૨ ૩ ૦ ૭ ૬ ૯.
૭૬૯૨૩ ૪ ૪ = ૩ ૦ ૭ ૬ ૯ ૨ પરિણામની સંખ્યાઓ આડી વાંચે કે ઊભી વાંચો પણ સરખી જ જણાશે. તેની બીજી રચના આ પ્રમાણે થાય છે ?

Page #33

૧૪
૭૬૯૨૩ x ૨- ૧ ૨ ૩ ૮૪ ૬ ૭૬૯૨૩ × ૭ = ૫૩ ૮ ૪૬ ૧ ૭૬૯૨૩ x ૫-૩ ૮૪ ૬ ૧ ૫ ૭૬૯૨૩ x ૧૧ =૮ ૪ ૬ ૧ ૫ ૩ ૭૬૯૨૩ ૪
= ૪ ૬ ૧ ૫ ૩ ૮
૭૬૯૨૩ ૪ .
૬ ૧ ૫ ૩૮ ૪
આમાં પણ પરિણામની સંખ્યાએ આડી અને ઊભી સરખી જ વહેંચાય છે.
પ૨૬, ૩૧૫, ૭૮૯, ૪૭૩, ૬૮૪, ૨૧૦ આ અઢાર અંકની સંખ્યામાં મોટા ચમત્કાર રહેલા છે. તેને ગમે તે અંકથી ગુણા પણ તેના બધા જ આંકડાએ ઉત્તરમાં આવ્યા કરે છે. દાખલા તરીકે
પ૨૬ ૩૧૫ ૭૮૯ ૪૭૩ ૬૮૪ ૨૧૦ × ૩
૧ ૫૭૮ ૯૪૭ ૩૬૮ ૪૨૧ ૦૫૨ ૬૩૦ આમાં ઉપરની સખ્યાના પાંચમા અંકથી બધા જ આંકડા ક્રમશ ઉત્તરમાં આવ્યા છે અને આગળના ૪ આંકડા ખાકી રહ્યા, તે પણ ત્યાર પછી ક્રમશઃ ગેાડવાયેલા છે.
જે દાખલો :
પ૨૬ ૩૧૫ ૭૮૯ ૪૭૩ ૬૮૪ ૨૧૦
× ૫ ૨ ૬૩૧ ૫૭૮ ૯૪૭ ૩૬૮ ૪૨૧ ૦૫૦
આમાં ઉપરની રકમના બીજા અંકથી જ પુનરાવન શરૂ થયું છે. અને ત્યારબાદ બાકી રહેલા આગળને એક અંક પણ ગોઠવાઇ ગયેલા છે.
* ગણિત-રહસ્યના સાતમા પ્રકરણમાં બીજી ઘણી ચમત્કારિક સખ્યાઓ આપેલી છે.

Page #34

[૫] સંખ્યાના પિરામીડ
ગુણાકાર તથા સરવાળાના વેગથી સંખ્યાના પીરામીડ બને છે. એવા ચાર પીરામીડ અહીં આપવામાં આવ્યા છે ?
II
X
II
X
II I
૦ X ૯ + ૧ = ૧ ૧ X ૯ + ૨ = ૧૧ ૧૨ X ૯ + ૩ = ૧૧૧ ૧૨૩ X ૯ + ૪ = ૧૧૧૧ ૧૨૩૪ X ૯ + ૫ = ૧૧૧૧૧ ૧૨૩૪૫ X ૯ ૬ = ૧૧૧૧૧૧ ૧૨૩૪૫૬ X ૯ + ૭ = ૧૧૧૧૧૧૧ ૧૨૩૪૫૬૭ X ૯ + ૮ = ૧૧૧૧૧૧૧૧ ૧૨૩૪૫૬૭૮ X ૯ + ૬ = ૧૧૧૧૧૧૧૧૧ ૧૨૩૪૫૬૭૮૯ = ૯ + ૧ = ૧૧૧૧૧૧૧૧૧૧
+
II I
II II
w
(૨)
૧૧ ૪ ૧૧
= ૧૨૧ ૧૧૧ ૪ ૧૧૧
= ૧૨૩૨૧ ૧૧૧૧ ૪ ૧૧૧૧ = ૧૨૩૪૩૨૧. ૧૧૧૧૧ ૪ ૧૧૧૧૧ = ૧૨૩૪૫૪૩૨૧ ૧૧૧૧૧૧ ૪ ૧૧૧૧૧૧ = ૧૨૩૪૫૬૫૪૩૨૧ ૧૧૧૧૧૧૧ ૪ ૧૧૧૧૧૧૧ = ૧૨૩૪૫૬૭૬૫૪૩૨૧ ૧૧૧૧૧૧૧૧ ૪ ૧૧૧૧૧૧૧૧ = ૧૨૩૪૫૬૭૮૭૬૫૪૩ ૨૧ ૧૧૧૧૧૧૧૧૧ ૪ ૧૧૧૧૧૧૧૧૧ = ૧૨૩૪૫૬૭૮૯૮૭૬૫૪૩૨૧
II

Page #35

૯X ૯ + ૭ = ૮૮ ૯ X ૯૮+ ૬ = ૮૮૮ ૯ X ૯૮૭+ પ = ૮૮૮૮ ૯૪ ૯૮૭૬ +૪=૮૮૮૮૮ ૯૮૯૮૭૬૫ + ૩ = ૮૮૮૮૮૮ ૯ × ૯૮૭૬૫૪ + ૨ = ૮૮૮૮૮૮૮ ૯ X ૯૮૭૬૫૪૩ + ૧ = ૮૮૮૮૮૮૮૮ ૯ X ૯૮૭૬૫૪૩૨ + ૦ = ૮૮૮૮૮૮૮૮૮ ૯૪ ૯૮૭૬૫૪૩૨૧ + ૧ = ૮૮૮૮૮૮૮૮૮૮
II
૧ X ૮ + ૧ = ૯ ૧૨ X ૮+ ૨ = ૯૮ ૧૨૩ ૪૮+ ૩ = ૯૮૭ ૧૨૩૪ X ૮ + ૪ = ૯૮૭૬ ૧૨૩૪૫ X ૮ + ૫ = ૯૮૭૬૫ ૧૨૩૪૫૬ X ૮ + ૬ = ૯૮૭૬૫૪ ૧૨૩૪૫૬૭ X ૮ + ૭ = ૯૮૭૬૫૪૩ ૧૨૩૪૫૬૭૮ X ૮ + ૮ = ૯૮૭૬૫૪૩૨ ૧૨૩૪૫૬૭૮૯ X ૮ + ૮ = ૯૮૭૬૫૪૩૨૧

Page #36

[$]
સરવાળાની કેટલીક રીતેા
૧ થી માંડીને અનુક્રમે લખાયેલા કાઇ પણ અંક સુધીના સરવાળા કરવા હાય તે તે નીચેની રીતે કરી શકાય છેઃ
જે અંક સુધીના સરવાળે કરવા હોય તે અંક લખેા. તેને આગળના અંકથી ગુણા અને પિરણામને ૨ થી ભાગે. જે સંખ્યા આવે તે ખરાખર સરવાળે સમજવા. દાખલા તરીકે
૧ થી ૫ સુધીના સરવાળા કેટલે ?
૫ x ૬ = ૩૦ : ૨ = ૧૫
૧ થી ૧૦ સુધીના સરવાળા કેટલા ?
૧૦ × ૧૧ – ૧૧૦ : ૨ = ૫૫
૧ થી ૨૦ સુધીનેા સરવાળેા કેટલા ?
૨૦ x ૨૧ = ૪૨૦ + ૨ = ૨૧૦
એક બગીચામાં પહેલા દિવસે ૧ વૃક્ષ ઉગ્યું, બીજા દિવસે ૨ વૃક્ષ ઉગ્યાં, ત્રીજા દિવસે ૩ વૃક્ષ ઉગ્યાં, આ ક્રમ ૧૫૦ દિવસ સુધી ચાલુ રહ્યો, તે ત્યાં તે બધાં મળીને કેટલાં વ્રુક્ષા ઉગ્યાં?

Page #37

૧૫૦ X ૧૫૧
૧૫૦ ૭૫૦૪ ૧૫૦ ૪
૨૨૬૫૦ + ૨ = ૧૧૩રપ વૃક્ષે. એક મનુષ્ય પહેલા દિવસે ૧ રૂપિયાનું દાન કરે છે, બીજા દિવસે ૨ રૂપિયાનું, ત્રીજા દિવસે ૩ રૂપિયાનું તો વર્ષમાં કેટલું દાન કરે છે?
• ૩૬૦ ૪ ૩૬૧
-
3६० ૨૧૬૦૪ ૧૦૮૦૪
--
-
૧૨૯૬૦ + ૨ = ૬૪૯૮૦ રૂપિયાનું. ચાલુ રીતે સરવાળા કર્યા હોત તે કેટલી સંખ્યાઓ લખવી પડત? અને તેમાં સમય તથા શકિતને કેટલે વ્યય થાત?
૧ થી શરૂ થઈને જે રકમ બેવડી થતી હોય તેને સરવાળે નીચેની રીતે કરી શકાય છે
જે સંખ્યા સુધીને સરવાળે કરે છે તેને ર થી ગુણે અને તેમાંથી ૧ ઓછો કરે. જે પરિણામ આવે, તે બરાબર સરવાળો સમજ.

Page #38

૧૮
.: અહીં બેવડાતા કમે કેટલીક સંખ્યાઓ લખી છે, તેને સરવાળે કરી જેવાથી ખાતરી થશે.
૧૬ અહીં સુધીને સરવાળો ૩૧ થાય છે. હવે ઉપરની
રીતે તેનું ગણિત કરીએ તે– ૧૬ ૨ = ૩૨ – ૧ = ૩૧ એ રીતે જવાબ મળે છે..
૩૨
૧૨૮ ૨૫૬ ૫૧૨ અહીં સુધી સરવાળે ૧૦૨૩ થાય છે. હવે.
ઉપરની રીતે તેનું ગણિત કરીએ તે– પ૧૨ ૪૨ = ૧૦૨૪– ૧= ૧૦૨૩ જવાબ મળે છે.
જ્યાં વધારે સંખ્યા હોય ત્યાં તે આ રીત જ ઉપગી નીવડે છે.
૫ ૯ ૧૩ ૧૭ ૨૧ ૨૨ ૨૯ આ સમાંતર ૭ રકમે છે. (દરેક સંખ્યાની વચ્ચે. ૪નું અંતર છે, માટે સમાંતર)
તેને સરવાળે કરવો હોય તે માત્ર આટલું જ કરવાનું ૧૭ મધ્ય સંખ્યા ૪૭ = ૧૧૯.
૧૧ ૧૯ ર૭ ૩૫ ૪૩ ૫૧ ૫૯ ૬૭ ૭૫

Page #39

આ ૯ સમાંતર સંખ્યા છે. તેને સરવાળે કર હેય તે માત્ર આટલું જ કરવાનુંઃ ૪૩ મધ્ય સંખ્યા ૪ ૯ = ૩૮૭.
- જ્યાં સંખ્યાઓ બેકી હોય ત્યાં મધ્ય સંખ્યા હતી નથી. આવા પ્રસંગે છેલ્લી સંખ્યા છેડી દઈને સંખ્યાને એકી બનાવવી અને ઉપરની રીતે જ કામ લેવું. પછી તેમાં છેલ્લી સંખ્યા ઉમેરી દેવી, જેમ કે
૨૧૬ ૨૨૦ ૨૨૪ ૨૨૮ ૨૩૨ ૨૩૬ આ છ સંખ્યાને સરવાળો કરે છે, તે ર૩૬ ને બાજુએ રાખવી. બાકી રહી પ સંખ્યાઓ. તેની મધ્ય સંખ્યા ૨૨૪ છે, માટે ૨૨૪ ૪ ૫ = ૧૧૨૦ + ૨૩૬ =૧૩પ૬. આ તેને ઉત્તર છે.
જે કૃમિક સંખ્યાઓ નાગગતિએ લખાય તો તેની ઊભી પંકિતઓના સરવાળા એક સરખા આવે છે અને ભારે રમૂજ પેદા કરે છે. જેમકે – ૧ ૨ ૩ ૧ ૨ ૩ ૪
૮ ૭ ૬ ૫
૯ ૧૦ ૧૧ ૧૨ ૧૨ ૧૧ ૧૦ ૧૬ ૧૫ ૧૪ ૧૩ ૨૬ ૨૬ ૨૬ ૩૪ ૩૪ ૩૪ ૩૪ આ રીતે લખાતી સંખ્યાઓની શરૂઆત ૧ થી જ

Page #40

૧
કરવી જોઇએ, એવુ નથી. તેની શરૂઆત ગમે તે અંકથી
કરી શકાય છે. જેમ કે
.
૯ ૧૦
૧૧
૧૨
૧૮ ૧૭
૧૬
૧૫
૧૪
૧૩
૧૯ ૨૦
૨૧
૨૨
૨૩
૨૪
૩૦
૨૯
૨૮
२७
૨૬
૨૫
૩૧
૩૨ 33
૩૪
૩૫ ૩૬
૪૨ ૪૧ ૪૦ ૩૯ ૩૮ ૩૭
૧૪૭ ૧૪૭ ૧૪૭ ૧૪૭ ૧૪૭ ૧૪૭
७
એટલું ખ્યાલમાં રાખવાનુ કે નાગગતિએ લખાતી સંખ્યા એક પકિતમાં ગમે તેટલી હાય, પણ તેની હાર તે ૪-૬-૮--૧૦ એ રીતે બેકી જ હાવી જોઈ એ; અન્યથા આવું પરિણામ આવી શકતું નથી.
સરવાળાને ચકાસવાની રીત છે, તે પણ અહી” જણાવી દઇએ. સરવાળાએની સંખ્યાઓના આંકડાને સરવાળા કરે અને તેને ૯ થી ભાગેા. જે શેષ વધે તે માજીએ રાખેા. પછી પરિણામના આંકડાના સરવાળા કરી અને તેને ૯ થી ભાગેા. જે શેષ વધે તે ઉપરના શેષ જેટલા જ હેાવા જોઇએ. જો ફેરફાર દેખાય તે સમજવું કે સરવાળા ખરાખર નથી, અન્યથા ખરાખર છે.

Page #41

દાખલો :
૧૩૮૭ ૪૫૨૯ ૮૦૫૪ ૩૧૯૬
૧ + ૩ +૮+ ૭ = ૧૧ ૪+૫ + ૨ + ૯ = ૨૦ ૮ + ૦ + ૫ + ૪ = ૧૭ ૩ +૧+૯+ ૬ = ૧૯
૯) ૭૫ (૮
૭૨ ૦૩ શેષ
૧૭૧૬૬
પરિણામ ૧ + ૭ + ૧ + ૬૦ + ૬ = ૨૧
૯) ૨૧ (૨
૧૮
૦૩ આ સરવાળે બરાબર છે. સરવાળાની ચકાસણીનું વિશેષ વિવેચન ગણિત-સિદ્ધિના છઠ્ઠા પ્રકરણમાં આપેલું છે.

Page #42

[ ૭ ] બાદબાકીનો તાળ બાદબાકીને તાળો મેળવવાની ખાસ જરૂર પડતી નથી, પણ મેળવવા ધારીએ તે મેળવવાની રીત છે.
ઉપરની સંખ્યાના આંકડાને સરવાળો કરે. પછી નીચેની એટલે બાદ કરવાની સંખ્યાના આંકડાનો સરવાળો કરો. પ્રથમના સરવાળામાંથી એ બાદ કરે. કદાચ નીચેની સંખ્યાના આંકડાને સરવાળો મેટો હોય તો ઉપરની સંખ્યામાં ૯ કે ૧૮ ઉમેરી પછી તેમાંથી બાદ કરે. તે સંખ્યાને ૯ થી ભાગો. જે શેષ વધે તે બાજુએ રાખે. - હવે બાદબાકીનું જે પરિણામ આવ્યું હોય તેના આંકડાને સરવાળે કરો અને તેને ૯ થી ભાગે. તેના જે શેષ વધે તે ઉપર પ્રમાણે જ હવા જોઈએ. ન હોય તે બાદબાકી નથી, એમ સમજવું. દાખલા તરીકે –
૮ ૯ + ૭ ૪૩ ૯ ૦ ૧
૬ ૫ ૪ ૧ ૯ ૨ ૦ ૦ ૭
૨ ૪ ૧ ૫ ૫ ૧ ૮ ૯ ૪ અહીં ઉપરની સંખ્યાના આંકડાને સરવાળે ૮+ ૯ + ૫ + ૭ + ૪ + ૩ ૯ + ૦ + ૧ = ૪૬ છે અને બાદ

Page #43

2૪
કરવાની સંખ્યાના આંકડાનો સરવાળે દ+૫ + ૪+ ૧+૯+ ૨ + ૦ + ૦ + ૭ = ૩૪ છે. તે ૪૬ – ૩૪ = ૧૨ સંખ્યા આવી. તેને ૯ થી ભાગતાં ૧ ભાગફળ આવ્યું અને ૩ શેષ રહ્યા.
હવે પરિણામની સંખ્યાના આંકડાને સરવાળે કરે. ૨+ ૪૦ + ૧ + ૫ + ૫ + ૧ + ૮ + ૯ + ૪ = ૩૯ છે. તેને ૯ થી ભાગતાં ૪ ભાગફળી આવ્યું અને ૩ શેષ રહ્યા, એટલે આ બાદબાકી છે.

Page #44

[ ૮ ] ગુણાકારની વિરાટ શક્તિ ગણિતમાં સહુથી અધિક ચમત્કાર લાવનાર ગુણાકાર છે. તે સંખ્યાને વિસ્તાર ઘણી ઝડપથી કરે છે અને પ્રકૃતિનાં અનેક અણઉકેલ્યાં રહો આપણી સામે ખુલ્લાં કરે છે.
એક વસ્તુની સામાન્ય ક્રમે વૃદ્ધિ થાય અને બીજી વસ્તુની ગુણાનુક્રમે વૃદ્ધિ થાય, તે બે વચ્ચે કેટલું મેટું અંતર પડી જાય છે? એ નીચેની તાલિકા જેવાથી સમજી શકાશે : સામાન્ય કામે વૃદ્ધિ
ગુણાનુક્રમે વૃદ્ધિ (૧) ૧ + ૨ = ૩ (૨) ૩ + ૨ = પ (૩) ૫ - ૨ = ૭
૪ ૪૨ = () ૭ + ૨ = ૯
૮ ૪ ૨ = ૧૬ (૫) ૯ + ૨ = ૧૧ ૧૬ ૪૨ = ૩૨ (૬) ૧૧ + ૨ = ૧૩
૨ = (૭) ૧૩ + ૨ = ૧૫
૬૪ ૪૨ = ૧૨૮ (૮) ૧૫ + ૨ = ૧૭ ૧૨૮ ૪ ૨ = ૨૫૬ (૯) ૧૭ + ૨ = ૧૯
૨૫૬ ૪ ૨ = ૫૧૨ (૧૦) ૧૯ + ૨ = ૨૧
પ૧૨ ૪ ૨ = ૧૦૨૪ (૧૧) ૨૧ + ૨ = ૨૩ ૧૦૨૪ x ૨ = ૨૦૪૮
જ
૧ X ૨ =
૨ =
x
||
x
||
ક
|
||

Page #45

૩૬
(૧૨) ર૩ + ૨ = ૨૫ ૨૦૪૮ ૮ ૨ = ૪૦૯૬ (૧૩) ૨૫ + ૨ = ૨૭ ૪૦૯૬ ૪૨ = ૮૧૯૨ (૧૪) ૨૭ + ૨ = ૨૯ ૮૧૯૨ ૪ ૨ = ૧૬૩૮૪ (૧૫) ૨૯ + ૨ = ૩૧ ૧૬૩૮૪૪ ૨ = ૩ર૭૬૮ (૧૬) ૩૧ + ર = ૩૩ ૩ર૭૬૮ ૪૨ = ૬૫૫૩૬
૧ માં રેજ બેની વૃદ્ધિ | ૧ રોજ બેવડા જાય તે થાય તે મા દિવસે ૩૩ | સેળમા દિવસે પપ૩૬ થાય.
થાય. સામાન્ય વૃદ્ધિ અને ગુણનને આ તફાવત સમજાવવા માટે જુદા જુદા દેશમાં જુદી જુદી કથાઓ પ્રચલિત છે. તે માટે આપણે ત્યાં “ભાટના ચેખા”ની કથા કહેવાય છે.
એક વાર કઈ ભાટે રાજસભામાં જઈ ઘણાં જ સુંદર, કવિતે લલકાર્યા. આથી રાજા ખુશ થયે અને તેણે ભાટને ઈનામ માગવા કહ્યું. ભાટ ઘણો ચતુર હતું. તે હાથ આવેલી તક કેમ જવા દે? પરંતુ તેણે અત્યંત નમ્રતા ધારણ કરીને કહ્યું. “મહારાજ! મારે વિશેષ જોઈતું નથી, માત્ર છ માસ સુધી ચોખાને બમણે દાણ આપે. એટલે આજે ૧, આવતી કાલે ૨, ત્રીજા દિવસે જ, એમ રોજ બમણા.”
રાજાએ કહ્યું : “આમાં શી મેટી વાત છે? જે તારી ઈચ્છા આવી જ હોય તે તને એ પ્રમાણે ચેખા આપીશ.” . રાજાએ કોઠારીને હુકમ કર્યો કે તમારે “આ ભાટને
જ ચેખાને બમણે દાણે આપ.”

Page #46

-
૭
આ તે રાજાને હુકમ, એટલે તેનું ઉલ્લંઘન થઈ શકે નહિ. બીજા દિવસથી જ તેને અમલ થયે અને તે ભાટને ચેખાને બમણો દાણે અપાવા લાગ્યું. પરંતુ આ રીતે ૪૦ દિવસે વ્યતીત થયા કે કેઠારીએ મહારાજની મુલાકાત લીધી અને જાહેર કર્યું કે “મહારાજ ! આપના હુકમ મુજબ ભાટને રોજ ચોખાને બમણે દાણ અપાય છે, પણ આવતી કાલથી...”
મહારાજાએ કહ્યું : “અચકાઓ છો કેમ ! જે કહેવાનું હોય તે સ્પષ્ટ કહી દે.”
કોઠારીએ કહ્યું : “આવતી કાલથી એ પ્રમાણે દાણે આપી શકાય એમ નથી.”
મહારાજાએ કહ્યું : “એનું કંઈ કારણ? મારી આજ્ઞાને અનાદર કરવાનું શું પરિણામ આવશે, તે જાણે છે ને?”
કેડારીએ કહ્યું: “મહારાજ! આપની આજ્ઞા મારે શિરસાવંધ છે, પણ આપણા કેડાર તદ્દન ખાલી થઈ ગયા છે, એટલે ચોખા આપી શકાય એવી સ્થિતિ નથી.”
મહારાજાએ કહ્યું: “મારા ચોખાના ભંડારે તે ઘણું જ વિશાલ છે. તેમાં લાખો મણ ચોખા પડેલા છે, તે આટલી વારમાં ખાલી થાય શી રીતે?
કેડારીએ કહ્યું : “મહારાજ! અત્યાર સુધીને હિસાબ તૈયાર છે. તે પર નજર નાખવાની કૃપા કરે, એટલે બધી વાત સમજાઈ જશે.”

Page #47

પછી તેણે ચાખાને હિસાબ આ પ્રમાણે રજૂ કર્યો : પહેલે દિવસે
૧ દ ”
૨ દાણુ ત્રીજા ચોથા પાંચમા
બીજા
સાતમાં આઠમાં નવમાં દશમાં અગિયારમાં
૨પદ ;
૫૧૨ ૧૦૨૪ २०४८
બારમાં તેરમા
૮૧૮ર ૧૬૩૮૪
૩૨૭૬૮
ચૌદમાં પંદરમાં સેળમાં સત્તરમાં. અઢારમાં ઓગણીસમાં વીસમાં એકવીસમાં બાવીસમાં
૬૫૫૩૬ ૧૩૧૦૭૨ ૨૬૨૧૪૪ પર૪૨૮૮ , ૧૦૪૮૫૭૬ ૨૦૯૭૧પર ,

Page #48

દિવસે
તેવીસમાં ચાવીસમાં પચીશમા છવીશમા સત્તાવીસમા અઠ્ઠાવીસમા ઓગણત્રીસમાં ત્રીસમાં એકત્રીસમા બત્રીસમાં તેત્રીસમાં ચૈત્રીશમાં પાંત્રીસમાં છત્રીસમાં સાડત્રીશમાં આડત્રીસમાં ઓગણચાલીસમાં ચાલીસમાં
૪૧૯૪૩૦૪ દાણા ૮૩૮૮૬૦૮ , ૧૬૭૭૭ર૧૬ ) ૩૩૫૫૪૪૩૨ ) ૬૭૧૦૮૮૬૪ ) ૧૩૪૨૧૭૭૨૮ ર૬૮૪૩૫૪પ૬ ૫૩૬૮૭૦૯૧૨ >> ૧૦૩૩૭૪૧૮૨૪ ૨૧૪૭૪૮૩૬૪૮ ) ४२८४८६७२८६ ૮૫૮૯૯૩૪પ૯૨ ૧૭૧૭૯૮૬૯૧૮૪ ૩૪૩૫૯૭૩૮૩૬૮ ૬૮૭૧૯૪૭૬૭૩ ૧૩૭૪૩૮૯૫૩૪૭૨ ૨૭૪૮૭૭૯૦૬૯૪૪ ) ૫૪૯૭પપ૮૧૩૮૮૮ )
કોઠારીએ તેનું વજન પણ લખ્યું હતું. ૧ તોલાના ૨૫૦-અઢીસે દાણા, ૧ શેરને ૧૦૦૦૦-દશ હજાર દાણા અને ૧ મણના ૪૦૦,૦૦૦-ચાર લાખ દાણા. આ હિસાબે કુલ ૨,૭૪૮,૭૭૯ મણ, ર૭ શેર અને ૩ તોલા દાણા

Page #49

ga
અપાયા હતા. ( ઉપર થાડા દાણા વધે તેના હિસાબ
ગણ્યા ન હતેા).
-
મહારાજા તો આ સાંભળીને આભા જ બની ગયા. પોતે ભાટની માગણીના સ્વીકાર કરી લેવામાં ગંભીર ભૂલ કરી હતી, એ વાત તેમના સમજવામાં આવી. પછી તેમણે ભાટને મેલાવી કેટલાંક ગામે ઈનામમાં આપ્યાં અને પેાતે વચનમુક્ત થયા. ભાટ પણ ‘ઘણું મળ્યું છે' એમ માની રાજી થયા અને પેતાને રસ્તે પડ્યો.
કદાચ આ કથા કલ્પિત હશે, પણ જગતમાં આવા અનાવે। અને છે અને ગુણાકારની વિરાટ્ શક્તિથી અનભિજ્ઞ મનુષ્ય તેના શિકાર અની જાય છે.
એક વાર ફાઈ આપકસાઈવાળા શ્રીમંત આગળ ચાલાક મનુષ્ય આવ્યા, તેણે એ શ્રીમતને કહ્યું કે શેઠજી! ચાલા આપણે એક વેપાર કરીએ. તમારે મને એક મહિના સુધી રેજ કેવડાતા રૂપિયા આપવે અને હું તમને રાજના ૧૦૦૦ રૂપિયા આપીશ.’
પેલા શ્રીમંત સમજ્યા કે આ તે ખરેખર લાભના સાદે છે, એને જતા કેમ કરાય ? એટલે એ સાક્ષી રાખીને એ સાદો કબૂલ કર્યો.
બીજા દિવસે પેલા માણસ હજાર રૂપિયા લઇને હાજર થયા અને બદલામાં ૧ રૂપિયા લઈ, નમન કરી ચાલતા થયા. પેલા શ્રીમતે કહ્યું કે કેવા બેવકૂફ છે? જો એનામાં કંઈ પણ અક્કલ હાત તે આવા સાદે ન કરત.’

Page #50

બીજે દિવસે પણ પેલે માણસ હજાર રૂપિયા લઈને હાજર થયે અને બદલામાં બે રૂપિયા લઈને ચાલતો થયો.
પરંતુ અગિયારમા દિવસે પેલાએ હજાર રૂપિયા આપ્યા અને શ્રીમંતને ૧૦૨૪ રૂપિયા આપવા પડ્યા, ત્યારે ખ્યાલ આવ્યો કે આ તે વધારે આપવું પડે છે. પરંતુ તેણે એ વિચાર કર્યો કે તેના ઘણા રૂપિયા ઘરમાં આવેલા છે, એટલે થોડા વધારે જાય તેથી શું?”
- તેણે બારમા દિવસે ૨૦૪૮, તેરમા દિવસે ૪૦લ્ડ અને ચૌદમા દિવસે ૮૧૨ રૂપિયા ચૂકવ્યા, એટલે આવેલા બધા પિસા (૧૪૦૦૦ રૂપિયા) ચાલ્યા ગયા અને ઉપરથી ૨૩૮૪ રૂપિયા વધારાના આપવા પડ્યા !
હજી તે સેળ દિવસ બાકી હતા. તેમાં આ પ્રમાણે રૂપિયા આપવાનું ચાલુ રાખે તે આંકડે ક્યાં પહોંચે?ગણતરી કરીને હિસાબ કાઢ્યો તો કુલ રકમ ૧,૦૭,૩૭,૪૧,૮૨૪ એક અબજ, સાત કોડ ને સાડત્રીસ લાખ ઉપર થઈ!
આથી બીજા દિવસે તે પેલાને પગે પડ્યો, આજીજી કરી ને ૧૦ લાખ રૂપિયામાં સમાધાન કર્યું!
જ્યાં બેવડાની આ સ્થિતિ છે, ત્યાં એગણાનું તે કહેવું જ શું? તેની તાકાતને ખ્યાલ આપવા માટે તેમાં એક ઉક્તિ પ્રસિદ્ધ છે, તે અહીં રજૂ કરવી રસપ્રદ થઈ પડશે.

Page #51

૪૨
બાપ બેટી લાડકી, ફેફળ માગે ચાર; હાટે હાટે ચંગણા, સોળે હાટ અપાવ.
એક શ્રીમંતની પુત્રી ઘણી લાડકી હતી. તેણે એક વખત પિતાને કહ્યું: “હે પિતાજી! મારી એક નાની માગણને સ્વીકાર કરે.
પિતાએ કહ્યું : “એવી માગણ શી છે?” પુત્રીએ કહ્યું: “મારે ફેફળ (પારી) જોઈએ છે.” પિતાએ કહ્યું: “કેટલાં?”
પુત્રીએ કહ્યું: “આપણા બજારમાં ૧૬ હાટ છે, તે દરેક હાટેથી ચગણ અપાવો.”
પિતાએ કહ્યું: “એમાં શી મોટી વાત છે? હમણાં જ મુનીમને હુકમ કરું છું કે તે તારી સાથે ચાલશે અને. તારી માગણી મુજબ ફેફળ અપાવી દેશે.”
શેઠને હુકમ થયે, એટલે મુનીમ શેઠની પુત્રીને સાથે લઈ બજારમાં ચાલ્યો. સાથે ફેફળ લેવા માટે ખાદીની એક મજબૂત કથળી લીધી.
પહેલી દુકાનેથી ૧, બીજી દુકાનેથી જ, ત્રીજી દુકાનેથી ૧૬, ચેથી દુકાનેથી ૬૪, પાંચમી દુકાનેથી ૨૫૬ અને છઠ્ઠી દુકાનેથી ૧૦૨૪ ફેફળ લીધાં કે કેથળી ભરાઈ ગઈ. તેમાં (નીચે જણાવ્યા મુજબ) ૧૩૬પ ફેરફળ ભેગાં થયાં હતાં ?

Page #52

-
૧ ૪
'જ
૨૫૬ ૧૦૨૪
૧૩૬૫ અને પ૦-પર ફેફળનું ૧ રતલ વજન ગણીએ તે લગભગ ૨૭ રતલ વજન થયું હતું.
આથી મુનીમને ખ્યાલ આવ્યો કે આ કામ તે જબરું છે. તેના માટે શણનો મેટે કોથળે લેવું પડશે. પછી તેણે શણને માટે કોથળે લીધા અને કામ આગળ ચલાવ્યું.
સાતમી દુકાનેથી ૪૦૯૬ અને આઠમી દુકાનેથી ૧૬૩૮૪ ફેફળ લીધાં કે ૨૧૮૪૫ ફેફળ થયાં અને તેનું વજન ૪૦૦ રતલ થયું, એટલે બે કોથળા પૂરા ભરાયાં.
હવે તેણે કેટલા કોથળા જોઈશે, તેને હિસાબ ગણે. નવમી દુકાને દશમી દુકાને
- ૩૨ અગિયારમી દુકાને બારમી દુકાને
૫૧૨ તેરમી દુકાને
२०४८ ચૌદમી દુકાને
૮૧૯૨ પંદરમી દુકાને
૩૨૭૬૮ સેળમી દુકાને
૧૩૧૦૭૨ १७४७१०
૧૨૮

Page #53

એટલે લગભગ પણ બે લાખ કેથળા જોઈએ અને એક કેથળા માલના આશરે ૫૦ રૂપિયા ગણીએ તે તેને માટે ૮૭ લાખ રૂપિયા ચૂકવવા પડે!
મુનમના તે રામ રમી ગયા. તેણે કહ્યું: “બેન બા! તમે તે ગજબ કર્યો. આપણે બધી મિલકત વેચાઈ જાય તે પણ આટલા ફેરફળ ખરીદી શકાય નહિ. વળી આપણા શહેરમાંથી તે શું, આપણા આખા દેશમાંથી ભેગા કરીએ તે પણ આટલાં ફોફળ ક્યાંથી થાય? માટે આપને બે હાથ જોડીને વિનંતિ કરું છું કે ઘરે પાછા ચાલે અને બાપુજી પાસેથી બીજી કોઈ વસ્તુ માગી લે !”
આપણે કહીએ છીએ કે “વાતને તે વા લઈ જાય.” તેનો સ્ફટ ગુણાકાર કરી આપે છે. એક માણસ નવીન સમાચાર લઈને સવારના ૮ વાગતાં શહેરમાં આવ્યું અને તેણે જ માણસને વાત કરી. હવે તે દરેક માણસ ૧૫ મીનીટમાં બીજા ૪ માણસને વાત કરે તે પરિણામ નીચે મુજબ આવે :
પહેલી પંદર મીનીટ
બીજી ત્રીજી છે
૧૬
? ?
ક
, અહીં ૯ વાગે.
ચોથી ,, પાંચમી છઠ્ઠી સાતમી ,,
૨૫૬ ૧૦૨૪
४०८६ ૧૬૩૮૪

Page #54

૪૫
આઠમી પંદર મીનીટ. અહીં ૧૦ વાગે. ૬પ૩૩૬ નવમી છે ?
૨૬૧૩૪૪ દશમી ,, ,
૧૦૪૫૩૭૬ અગિયારમી ,
૪૧૮૧૫૦૪ બારમી , , અહીં ૧૧ વાગે. ૧૬૭૨૬૦૧૬
એટલે માત્ર ૩ કલાકમાં જ એ સમાચાર 1 કેડ ૬૭ લાખ માણસને પહોંચી જાય!
આ જ હિસાબ પ્રજનનની ક્રિયાને લાગુ કરે. એક માણસને ૪ પુત્ર થાય અને તે દરેકને ૪ પુત્રે થતાં રહે તે માત્ર આઠમી પેઢીએ જ તેમાં ૬પ૩૩૬ પુત્રો હોય !
જમૈકા ટાપુમાં ઊંદરે શેરડીના વાઢને ઘણું નુકશાન કરતા હતા, એટલે એમના દુશમન ગણાતા નોળિયાની ૪ જેડ ભારતમાંથી લાવવામાં આવી. એની વંશવૃદ્ધિ છૂટથી થવા લાગી, એટલે ચેડા જ વખતમાં આખે બેટ નેળિયાથી ભરાઈ ગયે. આ નેળિયાઓએ દશ વર્ષમાં બધા ઊંદરનો નાશ કરી નાખે, પણ પછી તેઓ સર્વભક્ષી બન્યા અને ચારે તરફ ભારે રંજાડ કરવા લાગ્યા. આ ત્રાસમાંથી કેમ બચવું? એ એક મોટો પ્રશ્ન થઈ પડયો.
સૂક્ષ્મ જંતુઓ કે જે ઘણું ઇંડાં મૂકે છે અને થોડા જ સમયમાં તેમાંથી બીજા જંતુઓ પેદા થાય છે, તેની સંખ્યા અપ્રતિહત રીતે વધતી રહે તે ક્યાં પહોંચે?

Page #55

-એટલે કુદરતે સંહારનું શસ્ત્ર પોતાના હાથમાં રાખ્યું છે અને તે એને બરાબર ઉપગ કરે છે.
આકાશી ગણિતમાં ગુણકારની આ વિરાટ શક્તિ ખૂબ જ કામ લાગી છે અને આજે પણ લાગી રહી છે.
આ પ્રકરણ પૂરું કરતાં પહેલાં એટલું જણાવી દઈએ કે ગુણાકાર ગમે તેટલે મોટો હોય તે પણ એ
ની મર્યાદા છોડતો નથી. વધારે સ્પષ્ટ કહીએ તો ગુણ્યના આંકડાને સરવાળે કરીએ, તેને ગુણકના આંકડાના સરવાળાથી ગુણીએ અને જે રકમ આવે તેને ૯ થી ભાણતાં જેટલા શેષ વધે તેટલા જ ગુણાકારના પરિણામના આંકડાનો સરવાળો કરીને ૯- થી ભાગતાં શેષ વધે. એમાં જરા પણ ફેર પડે નહિ. ફેર પડે તે જાણવું કે ગુણાકારમાં
ક્યાંક ભૂલ છે. દાખલો : ૧૨૪૭
ગુણ્ય. ૧ + ૨ + ૪ + ૭ = ૧૪ ૪૩૬૫
ગુણાંક ૩ + $ + પ = ૧૪ ૬૨૩૫
૧૪ x ૧૪ = ૧૯૬ - ૯ ૭૪૮૨૪
૨૧ ભાગફળ, છ શેષ. ૩૭૪૧૪ ૪૫૫૧૫૫
પરિણામ : ૪ + ૫ +૫ + ૧ +
૫ + ૫ = ૨૫ ૨૫ = ૯, ૨ ભાગફળ, ૭ શેષ. બંને શેષ સરખા છે, તેથી ગુણાકાર બરાબર છે.

Page #56

[ ૯ ]
ગુણાકારની બે અને ખી રીતે
અવધાનકારો ગુણાકારની બે સખ્યાએ જોઇ તેની નીચે આંકડા લખવા માંડે છે. તેમાં પ્રાયઃ નીચે જણાવેલી રીતના ઉપયેગ કરે છે.
૨૯
× ૪૭
૧૩૬૩
(૧) પ્રથમ એકમના બે આંકડાને ગુણવા અને તેના ઈંડેના આંકડાને જાખમાં લખવા. વૃદ્ધિ વેઢ રાખવી.
આ રીતે ૯ × ૭ – ૬૩ માંથી ૩ જવામમાં લખ્યા અને ૬ વૃદ્ધિ વેઢે રાખી.
(૨) પછી એકમના આંકડાથી ખીજી રકમના દશકના અને દશકના આંકડાથી ખીજી રકમના એકમને ગુણી, તેના સરવાળેા કરી, વૃદ્ધિ ઉમેરવી. તેમ કરતાં જે સખ્યા આવે તેના છેલ્લા આંકડા દશકના સ્થાને લખવે અને વૃદ્ધિ વેઢે રાખવી.
આ રીતે ૯ × ૪ = ૩૬ ૨૭ = ૧૪

Page #57

૪૮
૩૬ + ૧૪ + ૬ વૃદ્ધિ = ૫૬
જવામાં દશકના વેઢ રાખી.
(૩) આ રીતે અને આંકડાનું સામસામ ગુણન થઈ રહે એટલે પ્રથમના બે આંકડા છેડી દેવા અને બાકી રહેલા આંકડાનું ગુણુન કરવું. તેમાં જે સંખ્યા આવે તેમાં વૃદ્ધિ ઉમેરવી અને જવાબ શતક તથા હજારના સ્થાને લખવા. આ રીતે ૨ ૪ ૪ = ૮
થયા. તેમાંથી દ સ્થાનેા લખ્યા અને પ વૃદ્ધિ
૮ + ૫ વૃદ્ધિ = ૧૩. અહીં ૩ શતકનાં સ્થાના અને ૧ હજારના સ્થાને લખાયેા છે.
જ્યારે ત્રણ આંકડાનેા ગુણાકાર હાય ત્યારે ક્રિયા નીચે મુજબ થાય છે ઃ
૩૪૨
૪૧૨૩
૪૨૦૬૬
૨ X ૩ = ૬
૬ એકમના સ્થાને મૂકો. વૃદ્ધિ કંઇ નથી.
૨ X ૨=૪
૪૪૩=૧૨. ૪+ ૧૨
H
૧૬. ૬ દશકનાં સ્થાને
મૂકયેા, ૧ વૃદ્ધિ વેઢે રાખી.
હવ એકમના આંકડાને શતકથી અને શતકના

Page #58

૪૯
આંકડાને એકમથી ગુણ્યા અને વચ્ચે રહેલા દશકના આંકડાને સામસામા ગુણ્યા. એ બધાને સરવાળે કરી જે સંખ્યા આવી, તેમાંથી છેલ્લે આંકડે જવાબમાં લખ્યું ને વૃદ્ધિ વેઢે રાખી.
૨ x ૧ = ૨ ૩ * ૩ = ૯ ૨ + ૦ = ૧૧
૪૪૨ = ૮ ૧૧ +૮+ ૧ = ૨૦ તેમાંથી ૦ શતકના સ્થાને લખ્યું ને ૨ વૃદ્ધિ વેઢે રાખી.
હવે સામસામા બધાના ગુણાકાર થઈ ગયા છે, એટલે છેલા આંકડા ૨ અને ૩ છોડી દીધા. બાકી રહેલા આંકડાને સામસામે ગુણાકાર કર્યો.
૪૪૧=૪, ૩ ૪ ૨ = ૬,૪+ ૬ = ૧૦ + ૨ વૃદ્ધિ = ૧૨, તેમાંથી ૨ હજારનાં સ્થાને લખે ને ?
વૃદ્ધિ વેઢે રાખી.
હવે દશકના સ્થાનમાં રહેલા ૪ અને ૨ ને પણ છેડી દીધા, એટલે ૩ તથા ૧ બાકી રહ્યા. તેને ગુણાકાર કર્યો ૩ ૪૧ = ૩ + ૧ વૃદ્ધિ= ૪. તે જવાબમાં દશ હજારના સ્થાને લખે. આ રીતે આખે જવાબ ૪૨૦૬૬ લખે.
ચાર કે તેથી અધિક આંકડાના ગુણાકારમાં પણ આ જ રીતને ઉપગ થાય છે. માત્ર સામસામા કયા આંકડાની ચેકડી લેવી અને કેને સીધો ગુણાકાર કરે? તે લક્ષમાં રાખવાનું હોય છે. આ

Page #59

દાખલા તરીકે
૪૧૨૬ ૪ ૧૨૩૫
૫૦૯૫૬૧૦ ૬ ૪ ૫ = ૩૦ ૦ જવાબમાં, વૃદ્ધિ ૩ ૬૪ ૩ = ૧૮ ૨ ૪ ૫ = ૧૦ ૧૮ + ૧૦ + ૩ વૃદ્ધિ = ૩૧
૧ જવાબમાં, વૃદ્ધિ ૩ ૬ ૪૨ = ૧૨ ૧ ૪ ૫ = ૫ ૨ ૪૩ = ૬ ૧૨ +૫ + ૬ + ૩ વૃદ્ધિ = ૨૬
૬ જવાબમાં, વૃદ્ધિ ૨ ૬ ૪૧= ૬. ૪ ૪૫ = ૨૦ ૨ x ૨ = ૪ ૧૪ ૩ = ૩ ૯ + ૨૦+૪+ ૩ + ૨ વૃદ્ધિ =
૩પ. ૫ જવાબમાં, વૃદ્ધિ ૩ હવે એકમના સ્થાને રહેલા ૬-પ છેડ્યા. બાકીના આંકડાને ચેકડીથી ગુણાકાર કર્યો. તે આ રીતે ? * ૨ x ૧ = ૨ , ૪૪ ૩ = ૧ર
! ૧ ૪ ૨ = ૨ ૨ + ૧૨ + ૨ + ૩ વૃદ્ધિ = ૧૯.
૯ જવાબમાં, ૧ વૃદ્ધિ,
;

Page #60

હવે દશકના સ્થાને રહેલા ૨-૩ પણ છેડડ્યા. બાકીના આંકડાને ચેકડીથી ગુણાકાર કર્યો. તે આ રીતે ?
X
૨
૧ X ૧ = ૧ ૪૪૨ = ૮ ૧ + ૮ + ૧ વૃદ્ધિ = ૧૦.
૦ જવાબમાં, ૧ વૃદ્ધિ. હવે સોના સ્થાને રહેલા ૧-૨ પણ છેડડ્યા અને છેવટના ૪૪૧ = ૪ + ૧ વૃદ્ધિ = ૫. તે જવાબમાં લખ્યા.
આ રીતે ૫૦૯૫૧૦ જવાબ આભે. મહાવરો પડ્યા પછી આ રીતે મૌખિક ગુણાકાર કરી શકાય છે. તેમાં આંકડાની ધારણું બરાબર રહેવી જોઈએ.
બીજી રીત (૧) ડાબી તરફ ગુણ્ય લખવે અને જમણી તરફ ગુણાંક
લખવે. વચ્ચે ગુણકારનું નિશાન મૂકવું. ગુષ્યના આંકડાને અર્ધા કરતાં જવું ને અપૂર્ણાંક
છોડી દેવો. (૩) ગુણકને બમણે કરતાં જવું. (૪) ગુણ્યને અર્ધા કરતાં જે બેકી આંકડા આવે તેની
સામેના પરિણામને ચેકડી મારવી, એટલે કે તેના
સરવાળાને કામમાં લેવા નહિ. (૫) બાકીની રકમને સરવાળો કરવો.

Page #61

પર
ધારો કે ૩૯ ને ૪ર થી ગુણુવા છે, તેા તેનું ગણિત નીચે પ્રમાણે થશે :~
ગુણ્ય ગુણાંક
૩૯ × ૪૨
૧૯ × ૮૪
૯ ×
૪ ×
૨ x
૧ ૪
૧૬૩૮
ધારો કે ૧૭ ને ૨૬ શ્રી ગુણવા છે, તે ગણિત નીચે મુજબ થશે :~
૧૭ ૪ ૨૬
૮ ૪ પર X
૪ × ૧૦૪ ×
૨ X ૨૦૮ X
૧ × ૪૧૬
૪૪૨
ધારો કે ૧૮ ને ૨૭થી ગુણવા છે, તે એકી અ’ક એટલે ૨૭ લખી તેની સામે એકી અંક એટલે ૧૮ લખવા ને. ગુણાકાર કરવો.
૨૭ ૪ ૧૮
૧૩ X ૩૬
૧૬૮
૩૩૬×
૬૭૨ x
૧૩૪૪
૬ X ૭૨ x
૩ x ૧૪૪
૧
૨૮૮
૪૮૬

Page #62

પ
X
X
X
X
જે બેકી પહેલાં લખીને એકી પછી લખે તે ગુણાકાર બરાબર નહિ આવે. જેમ કે
૧૮ ૪ ૨૭ ૯ ૪ ૫૪ ૪ ૧૦૮ ૪ ૨ ૪ ૨૧૬ X ૧ ૪ ૫૧૨
પ૬૬ આ જવાબ ખરો નથી. હવે બંને રકમ બેકી હોય તેવા દાખલા લઈએ:૧૬ ને ૧૮ થી ગુણવા છે, તે તેનું ગણિત નીચે મુજબ થશેઃ
૧૬ ૪ ૧૮ ૪ ૧૮ X ૧૬ ૪ ૮ X ૩૬ ૪
૯ X ૩૨ . 8 X 2 X . 8 X 8 X ૨ X ૧૪૪ X
૨ x ૧૨૮ ૪ ૧ X ૨૮૮ X
૧ X ૨૫૬
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
૨૮૮
૨૮૮ ૨૪ને ૨૨ થી ગુણવા છે, તે તેનું ગણિત નીચે મુજબ થશે :
૨૪ ૪ ૨૨ X ૨૨ X ૨૪ ૪ 92 x 88 X
૧૧ X ૪૮
X
X
X
X
X
X
X
X
૩ ૪ ૧૭૬ ૧ X ૩પર
૨ X ૧૯૧ ૪ * ૧ X ૩૮૪
,
, -
-
-
૨૮
પ૨૮

Page #63

-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
[ ૧૦ ] ગુણાકારના કેટલાક પ્રયોગ (૧) ગુણાકારનું ઉલટું-સૂલટું પરિણામ (૧) ૧૦ થી પ૦ સુધીની સમાન અંતરવાળી કોઈ પણ
ત્રણ રકમે લખો. (૨) તેને સરવાળે કરે. (૩) તેને ૩૪ થી ગુણે. પરિણામ બાજુએ રાખે.
તેને ૬૭ થી ગુણા. પરિણામ બાજુએ રાખે. આમાં તમે ઉલટું-સૂલટું જોઈ શકશો. એટલે કે પ્રથમના બે આંકડા પાછળ આવી ગયા હશે અને પાછળના બે આંકડા પ્રથમ આવી ગયા હશે.
આ પ્રયોગની રજૂઆત બરાબર થાય તો ઘણે આનંદ, આવી શકે છે. દાખલ :
૨૧ ૨૩ ૨૫ આ ત્રણ સમાંતર રકમે છે.. ૨૧ + ૨૩ + ૨૫ = ૬૯
૪ ૩૪
x ૬૭
૨૭૬ ૨૦૭૪ ૨૩ [ ૪૬
૪૮૩ ૪૧૪૪ ૪૬ [ ૨૩
-

Page #64

પપ
(૨) ગુણાકારમાં બધા અને સમાન લાવવા
અહીં એક રકમ લખવામાં આવી છે. તેમાંથી કોઈ પણ આંક પર નિશાન કરે. તેને છેલ્લા અંકથી ગુણતાં જે રકમ આવે તેના વડે આ રકમને ગુણે તો ઉત્તરમાં બધા જ આંકડા નિશાન કર્યા મુજબના આવશે.
૧૨૩૪૫૬૭૯ દાખલો:
૬ X ૯ = ૫૪
૧૨૩૪૫૬૭૯
* ૫૪
૪૯૩૮૨૭૧૬ ૬૧૭૨૮૩૫ ૪
-
-
-
૪ X ૯=૩૬
૧૨૩૪૫૬૭૯
૪ ૩૬
७४०७४०७४ ૩૭૦૩૭૦૩૭૪
૧૨૩૪૫૬૭૯
૪ ૬૩
૭ X ૯ = ૬૩
उ७०३७०३७ ૭૪૦૭૪૦૭૪૪
৩৩9999999

Page #65

- -
-
-
-
-
-
-
- -
(૩) એક અંક પરથી આખે ગુણકાર કહી આપો
પ્રથમ ક્ષણે તે આ ન માનવા જેવી વાત લાગે છે, પણ વિશેષ વિચાર કરતાં તેમાં તથ્ય જણાશે. આ પ્રયોગ . નીચેની રીતે કરાવવામાં છેઃ
(૧) ૧ થી ૮ સુધીમાં કઈ પણ અંક ધારે. (૨) તેને ૩ થી ગુણે. (૩) ફરી ૧૧ થી ગુણ. (૪) ફરી ૩૩ થી ગુણે.
(૫) હવે જે પરિણામ આવ્યું હોય. તેમને કઈ પણ એક અંક કહે અને તે કેટલામે છે, તે જણાવે. અંકગણના ડાબી બાજુથી જમણી બાજુ તરફ ૧, ૨, ૩, ૪ એમ કરવામાં આવે છે, તે ભૂલવાનું નથી.
આ ગુણાકારને જે આંકડે કહેવામાં આવશે, તે પરથી આ ગુણાકાર કહી શકાશે, કારણ કે આ જવાબના પહેલા અને ત્રીજા આંકડાને સરવાળે ૯ આવવાને અને બીજા તથા ચેથા આંકડાને સરવાળે પણ ૯ જ આવવાને. વળી પહેલાં કરતાં બીજો આંકડો ૧ ઓછો હોવાનું અને ત્રીજા કરતાં ચોથો આંકડે એક વધુ હોવાને. ખરૂં કહીએ તો આ પ્રયોગ ૧૦૮ની ચમત્કારિક સંખ્યા પર જાયેલે છે કે જેને ઉલ્લેખ પ્રસ્તુત પુસ્તકના ચોથા પ્રકરણમાં કરવામાં આવ્યો છે. ૩ ૪ ૧૧ X ૩૩ = ૧૦૮૯

Page #66

૧ થી ૯ સુધીના કોઈ અંકનું ૧૦૮૯ થી ગુણન કરવામાં આવે, એટલે ઉપર જણાવ્યું તેવો ચમત્કાર તેમાં દાખલ થાય છે અને તે પરથી બાકીની બધી સંખ્યાઓ કહી શકાય છે. દાખલો :
૩ ધાર્યા છે, તો ગણિત નીચે મુજબ થશે?
X
૩
૪ ૧૧
८८ ૪ ૩૩
૨૯૭. ૨૯૭ X
૩૨૬૭ પરિણમ. જવાબમાં એમ કહેવામાં આવે કે બીજે આંકડો ૨ છે, તે બાકીના આંકડા નીચે મુજબ કહી શકાશે. પહેલાં કરતાં બીજે આંકડો એક ઓછો હોય છે, એટલે પહેલે આંકડે ૩ હેવો જોઈએ. પહેલે અને ત્રીજો આંકડો મળી સરવાળે ૯ થાય છે, તે ત્રીજે આંકડો ૬ હેવો જોઈએ; અને ત્રીજા કરતાં ચોથો આંકડો એક વધારે હોય છે. માટે તે છ હોવો જોઈએ.

Page #67

બીજે દાખલ
૪ ૧૧
8 | | | | |2. A
૨૧ ૨૧ X
૨૩૧ X ૩૩
૬૯૩ . ૬૩ X
૭૬૨૩ પરિણામ. જવાબમાં એમ કહેવામાં આવે કે ત્રીજે આંકડો ૨. છે, તે બાકીના આંકડા નીચે મુજબ કહી શકાશે. પહેલે અને ત્રીજે કે ત્રીજો અને પહેલે આંકડે મળી ૯ થાય છે, માટે પહેલે આંકડો ૭ હોવો જોઈએ. પહેલા આંકડા. કરતાં બીજો એક ઓછો હોય છે, માટે તે ૬ હેવો જોઈએ અને ત્રીજા આંકડા કરતાં ચોથે એક વધારે હોય છે, એટલે તે ૩ હેવો જોઈએ. (૪) ગુણાકારની પૂતિ.
આ કાર્ય પ્રમાણમાં કઠિન છે, પણ તર્કશક્તિને ઉપયોગ કરીએ તે સિદ્ધ થઈ શકે છે.

Page #68

પર
૧ X ૮ X ૩૦
પૂર્તિ નીચે મુજબ :
૪૧૫ ૪ ૩૮૨
૮૩૦ ૩૩૨૦ ૧૨૪૫
૧૫૮૫૩૦
xx4 ૪ ૧ ૪ ૪
૨ ૪૪ ૫ ૧ ૩ ૪ ૦
પૂતિ નીચે મુજબ. ૩૨૫ * ૧૪૭
૪ x
૨૨૨૭પ ૧૩૦૦ ૩૨૫
૪૭૭૭૫

Page #69

[ ૧૧ ]. ભાગાકારની વિશેષતા જે સંખ્યાને ભાગવાની હોય તેને “ભાજ્ય” કહેવાય છે, જે સંખ્યા વડે ભાગવાની હોય તેને “ભાજક” કહેવાય છે, જે ભાગમાં આવે તેને “ભાગ” કે “ભાગફળ કહેવાય છે અને જે વધે તેને “શેષ” કહેવાય છે. ભાગાકારની આ પરિભાષા બરાબર ખ્યાલમાં રાખવી જોઈએ.
એક સંખ્યા ૩, ૬ કે થી નિઃશેષ ભાગી શકાશે કે કેમ ? એ જાણવું હોય તો તેને આંકડાને સરવાળે કરે. જે એ ૩, ૬ કે ૯ થી નિઃશેષ ભાગી શકાતું હશે, તે એ રકમ નિઃશેષ ભાગી શકાશે, અન્યથા નહિ.
દાખલા તરીકે ૧૪૫૮ની સંખ્યાના આંકડાને સરવાળે ૧ +૪+૫ + ૮ = ૧૮ થાય છે. હવે ૧૮ ને ૩, ૬ તથા ૯ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે, એટલે ૧૪૫૮ ને ૩, ૮ કે ૯ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાશે. ૩) ૧૪૫૮ (૪૮૬ ૬) ૧૪૫૮ (૨૪૩ ૯) ૧૪૫૮ (૧૬૨ ૧૪૫૮ ૧૪૫૮
૧૪૫૮
૦ ૦ ૦ ૦.
૦ ૦ ૦૦
બીજે દાખલ ૧૫૬૨. તેના આંકડાને સરવાળે ૧+૫ + ૬ + ૨ = ૧૪ થાય છે. હવે ૧૪ ને ૩, ૬ કે

Page #70

૯ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાતું નથી, એટલે ૧૫૬૨ ને ૩, ૬ કે ૯ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાશે નહિ. ૩) ૧૫૬૨ (પર૦ ૬) ૧૫૬૨ (૨૬૦ ૯) ૧૫૬૨ (૧૭૩ ૧૫૫૦ ૧૫૬૦
૧૫૫૭ ૦૦૦૨ ૦ ૦૦૨
૨૦૦૫ એક સંખ્યાને ૧૧ થી નિઃશેષ ભાગી શકાશે કે નહીં? તે જાણવાની પણ રીત છે. એ સંખ્યાના ડાબી બાજુથી શરૂ કરીને એકી અંકે સરવાળે કરે. પછી બેકી અને સરવાળે કરે. એ બે વચ્ચેનો તફાવત ૧૧ વડે નિઃશેષ ભગતે હશે અથવા ૦ બરાબર હશે તે એ સંખ્યા ૧૧ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાશે, અન્યથા નહિ.
દાખલા તરીકે ૧૩૫૮૬૨૪, આ રકમને શું ૧૧ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાશે? તે ઉત્તર માટે નીચેની પ્રક્રિયા કરે ,
૧ + ૫ + ૬ + ૪ = ૧૬ - ૩ + ૮+ ૨ = ૧૩
માટે નિઃશેષ ભાગી શકાશે નહિ. પરંતુ અહીં ૧૩૫૮૬૫૪ એવી સંખ્યા હતા તે તેને ૧૧ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાત, કારણ કે - ૧+૫ + + ૪ = ૧૬
૩ + ૮ + ૫ = ૧૬ તફાવત ૦ બરાબર છે, એટલે તેને ૧૧ વડે નિઃશેષ

Page #71

ભાગી શકાય, હવે ભાગાકારની સામાન્ય રીતે તેને ગણું જુએ. ૧૧) ૧૩૫૮૬૫૪ (૧૨૩૫૧૪
૧૧
૩૮
૩૩
પ૬
૫૫
ا ت
४४
४४
/ 5
એક વાર એ પ્રશ્ન પૂછાયે હતું કે “એક આંકડા ફરીથી ન આવે એવી નવ આંકડાની ૧૧ વડે નિઃશેષ ભગતી મોટામાં મોટી અને નાનામાં નાની રકમે કઈ?” તેના ઉત્તરમાં નીચેની બે સંખ્યાઓ રજૂ થઈ હતી :
(૧) મોટામાં મોટી ૯૮૭, દપર, ૪૧૩
(૨) નાનામાં નાની ૧૦૨, ૩૪૭, ૫૮૬. હવે ઉપરના નિયમ પ્રમાણે આ બંને સંખ્યાઓને તપાસી જુએ.

Page #72

(૧). એકી ૯ + ૭ +૫ +૪, + ૩ = ૨૮
બેકી ૮+૬+ ૨ + ૧ = ૧૭
૨૮ – ૧૭ = ૧૧. તેથી આ સંખ્યાને ૧૧ વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય. (૨) એકી ૧ + ૨ +૪+૫ + ૬ = ૧૮
બેકી ૦ - ૩ + ૭ + ૮ = ૧૮
૧૮- ૧૮= ૦ તેથી આ સંખ્યાને ૧૧ વડે નિઃશેષ. ભાગી શકાય.
જે સંખ્યાના છેડે ૫ કે ૦ હોય તેને પ વડે નિઃશેષ ‘ભાગી શકાય છે.
હવે ભાગાકારના તાળા સંબંધી વિચાર કરીએ. એ -તાળે મેળવવા માટે પ્રથમ નીચે પ્રમાણે ચોકડી કરો :
હવે તેમાં નીચે પ્રમાણે રકમના આંકડાને સરવાળે મૂકે :
ભા .
- ભાગફળી
શષ.

Page #73

હવે ભાજકને ભાગફળથી ગુણી તેમાં શેષ ઉમેરો. તેને ઉત્તર બે આંકડામાં આવતું હોય તે તેને ફરી સરવાળે કરે. તે સરવાળે ભાજ્ય રકમના સરવાળા જેટલું જ આવે તે ભાગાકાર સાચો અને ફેર પડે તે ખેટ સમજવો. દાખલોઃ ૧૬) ૬૩૯૧૪૨ (૩૯૪૬
४८
૧૫૯
૧૪૪
૧૫૧ ૧૪૪
૭૪
૧૦૨
૦૦૬
૭ (૬ + ૩ + ૯ + ૧ +૪+ ૨ = ૨૫ = ૨ + ૫ = ૭)
_૪ (૩+૯+૯+૪+ ૬ = ૩૧=૩ + ૧ = ૪)
દ

Page #74

હવે ૭ ૪૪ = ૨૮ + ૬ શેષ = ૩૪ = ૩ + ૪ = ૭.
ભાજ્યને સરવાળો પણ એટલું જ છે. માટે ભાગાકાર બરાબર છે. બીજો દાખલ
૮૨) ૧૩૦૭૪પ૯ (૧૫૯૫૬
४८७
૪૧૦
998 ૭૩૮
૪૬૫ ૪૧૦
પપ૯ ૪૯૨
૦૬૭
૧ + ૮= ૮+૪= ૧૨ = ૧ + ૨ = ૩. ઉપર ભાજ્યમાં ૨ છે, માટે ભાગાકારમાં ૧ ની ભૂલ છે. તપાસ કરતાં ૪ ની નીચે નિશાન કરેલું છે, ત્યાં ૧ ની ભૂલ છે. ત્યાં ૩ જોઈએ. એટલે ખરે ભાગાકાર નીચે મુજબ આવેઃ

Page #75

૧
૮૨) ૧૩૦૭૪૫૯ (૧૫૯૪૪
૮૨
d
४८७
૪૧૦
७७४
७३८
૩૬૫
૩૨૮
૩૭૯
૩૨૮
૫૧
૧૪૫ = ૫+૬ = ૧૧૧ + ૧ = ૨૦
હવે ભાગાકાર ખરા છે.

Page #76

[૧૨]
ભાગાકારની પ્રતિ નીચેના ભાગાકારની પૂર્તિ કરવાનું કામ ઘણું જ કઠિન હતું, પણ ગણિતજ્ઞોએ તેમાં સફલતા મેળવી છે :
( ૧ ) XXX) XXXXXX8 (XXX
XXX
XXXX
XXXX
XXXX
૪૪૪
XXXX
XXXX
આમાં ચાર સ્થળે માત્ર ૪ આપેલા છે. બાકી બધું શોધી કાઢવાનું છે. તેના ઉત્તરે ચાર પ્રકારે સાંપડ્યા છે? ૯૪૩) ૧૩૩૭૧૭૪ (૧૪૧૮
૯૪૩
૩૯૪૧ ૩૭૭૨
૧૬૭
૭૫૪૪
૭૫૪૪

Page #77

૯૪૯) ૧૩૪૩૭૮૪ (૧૪૧૬
૯૪૯
-
-
-
-
૩૯૪૭ ૩૭૯૬
૧૫૧૮
૫૬૯૪ ૫૬૯૪
૮૪૬) ૧૨૦૦૪૭૪ (૧૪૧૯
८४६
૩૫૪૪ ૩૩૮૪
૧૬૦૭ ८४६ ૭૬૧૪
૭૬૧૪ ૮૪૮) ૧૨૦૨૪૬૪ (૧૪૧૮
૮૪૮
૩૫૪
૩૩૯૨ ૧૫૨૬ ૮૪૮ ६७८४ ६७८४

Page #78

X X (X 6 X X X X
XXXX) X X X X X X X
XX X X XX
XX XX X ૭ X XXXXXXX
X ૭ X XXX X X X X X
X X X X X X X XXX X ૭ XX
X
X X X X X X XXXXXX
X
|
આ ભાગાકારની પૂર્તિ બે રીતે સાંપડી છેઃ ૨૫૪૭૩) ૭૩૭૫૪૨૮૪૧૩ (૫૮૭૮૧
દ૨૭૩૬૫
૧૧૦૧૭૭૮ ૧૦૦૩૭૮૪
८७८८४४ ૮૭૮૩૧૧.
૧૦૧ ૬૩૩૧ ૧૦૦૩૭૮૪
૧૨૫૪૭૩ ૧૨૫૪૭૩

Page #79

Go
૧૨૪૯૭૨) ૪૯૭૧૬૩૬૧૦૪ (૩૯૭૮૨.
૩૭૪૯૨૬
૧૨૨૨૪૭૬ ૧૧૨૪૭૪૮
-
૯૭૨૮૧ ८७४८०४
૧૦૨૪૭૭૦ ८८८७७६
૨૪૯૯૪૪ ૨૪૯૯૪૪
૦૦૦૦૦૦

Page #80

જે રકમેાના સરવાળા સર્વ બાજુથી સરખા આવે, અને તેમાં કેાઈ પણ રકમ બે વાર ન આવેલી હાય તેને સતાભદ્ર યંત્ર કહેવામાં આવે છે. તેના અનેક પ્રકારે વિદ્યમાન છે. જેમકે—
નવ કોઠાનો સર્વતોભદ્ર ચત્ર
»
[ 1 ] સતાભદ્ર તેમજ બીજા યંત્રા
૧
પ્
હ
૨
ૐ
૧
V
૮+૧૬ = ૧૫
૩+૫+૭=૧૫
૪ +૯+૨ - ૧૫
૩
આડી યક્તિ
૮ + ૩ + ૪ = ૧૫
૧ + ૫+ ૯ – ૧૫
* + ૭ + ૨ = ૧૫
૨
७ ૨
૯
૪
ઊભી પંક્તિ
૮ + ૫ + ૨ = ૧૫
૬ +૫+૪ – ૧૫
ત્રાંસી પ`ક્તિ (કણ રેખાઓ )
૨
e
૬
3
←
૫
૧
»
८

Page #81

७२
આમાંને! પ્રથમ યંત્ર છે. બાકીનાં એ યંત્ર તેના વિકલ્પરૂપ છે.
૧૨ ૫ ૧૦ = ૨૭
૧૧= ૨૭
= ૨૭
આ રીતે ત્રણથી ભાજ્ય એવી કોઈ પણ રકમને યંત્ર બનાવી શકાય છે; પરંતુ તે સંખ્યા ૧૫ ની ઉપરની હાવી જોઇએ. દાખલા તરીકે ૨૭ ના આવા યત્ર અનાવવે હાય તા ૫ થી ૧૩ સુધીની સંખ્યાઓની સ્થાપના કરીને તે બનાવી શકાય. તે આ પ્રમાણે :-~~
હ
-
પ’દરિયા તરીકે પ્રસિદ્ધ
"
૧૩
૨૭ ૨૭ २७
આમાં સિદ્ધાંત એ છે કે ત્રીજા ભાગની રકમને બ ગણવી અને તેની નીચેના ક્રમે સ્થાપના કરવી :
૬ + ૩
૬-૪
ઞ + ૧
- ૨
ઙ + ર
૬-૧
છે. થયેલી છે.
ત્રાંસા ૧૨ + ૯ + ૬ = ૨૭ ૧૦ + + ૮ = ૨૭
अ
अ + ४
૬-૩
ત્ર
પદ્મરિયા યંત્રમાં = ૧૫+૩=૫ છે. અને તેમાં આ ક્રમ પ્રમાણે જ અંકાનુ આયેાજન થયેલું છે, જેમ કે
+ ૩ = ૮, ૬ - ૪ - ૧, ૫ + ૧ = ૬.
સત્તાવીશા યંત્રમાં અનુ સ્થાન ને પ્રાપ્ત થયેલુ બાકીની ચડઉતર ઉપર પ્રમાણે જ
૨૭:૩= ૯.

Page #82

૩
ત્રિકેણુ યંત્ર
૨ + ૫ + ૯ + ૧ = ૧૭ ૧ + ૬ + 9 + ૩ = ૧૭ ૩ + ૮ + ૪૦ + ૨ = ૧૭
સેળ કેઠાને સર્વતે ભદ્ર યંત્ર
પ્રથમ વિકલ્પ | ૯ ૧૬ ૨ |= ૩૪ વાંસે સરવાળે
૬ | ૩ ૧૩ ૧૨]= ૩૪ ૯ + ૩ + ૮ + ૧૪=૩૪ ૧૫ ૧૦ ૮ ! ૧
= ૩૪ ૭ + ૧૩ + ૧૦ + ૪ = ૩૪
- 3 ૪ | ૫ | ૧૧ ૧૪|= ૩૪ ૩૪ ૩૪ ૩૪ ૩૪
બીજો વિકલ્પ
1 _| ૧૨ = ૩૪ ૧પ ૪ : ૯ | દ = ૩૪ ત્રાંસે સરવાળો ૧૦ ૫ ૧૬ ૩
= ૩૪ ૧ +૪+ ૧૬ + ૧૩ = ૩૪ ૮ ૧૧ ૨ ૧ ૧૩)
= ૩૪ ૧૨ +૯+૫ + ૮ = ૩૪ ૩૪ ૩૪ ૩૪ ૩૪

Page #83

| | | | |
| | | | | * ૨ |
| | | | | | | * |
| | ન | | P " | | | | |
| | | | | | | | | | ર ?
– ૨
– ૬
૪
|
|
| | | |
| | | |
& 2 | |
આને સરવાળો ચાર આડી લીટીમાં, ચાર ઊભી લીટીમાં અને બે ત્રાંસી લીટીમાં, એ પ્રમાણે દશ રીતે સરખે આવ્યું. આ સિવાય બીજી પણ અનેક રીતે ૩૪. આવે છે. જેમકે –
૭ (૧૫) –
– ૩૪
9 | |
| | | |
| | | |
P = | |
| | | |
| | | |
| | ૫
| ઢ
* | | *
* * |
| | | |
| | | |

Page #84

| |
| | | |
| | - | | | | | | ૧ | |
છ
| | | |
| | | | |
| | |
| | | |
|
– – ૧૧ ૧૪=૩૪ - -
પચીશ કોઠાને સર્વ ભદ્ર યંત્ર | ૨૨ | ૯ ૧૫ ૧૬ | = ૬૫ | ૧૪ ૨૦ ૨૧ ૨ ૮ = ૬૫
૧ ૭ ૧૩ ૧૯ ૨૫ = ૧૮ ૨૪ ૫ ૬ ૧૨ = ૧૦ ૧૧ ૧૭ ૨૩ ૪ = ૬૫ ૬૫ ૬૫ ૬૫ ૬૫
ત્રાસે સરવાળે ૨૨ + ૨૦ + ૧૩ + ૬ + ૪ = ૬૫ ૧૬ + ૨ + ૧૩ + ૨૪+ ૧૦= ૬૫ આ યંત્રને “પાંસડિયે જ તર” કહેવામાં આવે છે.
નીચેના યંત્રમાં ૧ થી ૨૫ સુધીના અંકની ૫ હારમાં એવી રીતે સ્થાપના કરી છે કે જેને આડે, ઊભે
-
-

Page #85

તથા ત્રાસે સરવાળે ૬પ આવે, અને યંત્રમાં જે ભાગ કાળી લીટીથી બતાવ્યું છે, તેની અંદરના બધા આંકડા એકી આવે તથા તેની બહારના બધા આંકડા બેકી આવે.
૫ ૯ ૧૩ ૧૭ ૨૧
|
|
|
૧૨ ૧૬ ૨૫ ૪ ૮ છત્રીસ કઠાનો સર્વતે ભદ્ર યંત્ર ૩૫ ૧ ૬ ૨૬ ૧૯ ૨૪] = ૧૧૧ ૩૨ ૭ ૨૧ ૨૩ = ૧૧૧
= ૧૧૧
= ૧૧૧ ૫ ૩૪ ૧૨ ૧૪
= ૧૧૧ ૪ ૩૬ ૨૯ ૧૩ ૧૮ ૧૧
| = ૧૧૧ ૧૧૧ ૧૧૧ ૧૧૧ ૧૧૧ ૧૧૧ ૧૧૧
ત્રાસે સરવાળે ૩૫ - ૩૨ + ૨ + ૧૭ + ૧૪+ ૧૧ = ૧૧૧ ૨૪ + ૨૩ - ૨૨ + ૩૩ + ૫ + ૪ = ૧૧૧
|
-
-
- •. .
,

Page #86

|| .
||
||
|
|
[૭૭ ઓગણપચાસ કઠાનો સવભક યંત્ર ૨૮] ૧૯, ૧૦૧ ૪૮ ૩૯ [ ૩૦]= ૧૭૫ , ૨૯ ૨૭] ૧૮ ૯ ૭ ૪૭, ૩૮= ૧૭૫. ૩૭] ૩પ ૨૬. ૧૭
૧૭૫ ૪૫ ૩૬ ૩૪ ૨૫ !
૧૭૫
૨૪ ૧૫ ૧૩ = ૧૭૫ ૧૨ ૩ ૪૩. ૪૧ ૩૨ ૨૩ ૨૧ = ૧૭પ. | ૨૦ | ૧૧, ૨, ૪૯ ૪૦ ૩૧ | ૨૨ = ૧૭પ ૧૭૫ ૧૭૫ ૧૭૫ ૧૭૫ ૧૭૫ ૧૭૫ ૧૭૫
ત્રાસ સરવાળો ૨૮ + ૨૭ + ૨૬ + ૨૫ + ૨૪ + ૨૩ + ૨૨ = ૧૭૫. ૩૦ + ૪૦ + ૮ + ૨૫ + ૪ર + ૩ + ૨૦ = ૧૭૫
ચોસઠ કોઠાનો સર્વતોભદ્ર યંત્ર ૪૫ ૧૯ ૧૮ ૪૮ ૨૭ ૩૭ ૪૦ ૨૬ | ૪૪ ૨૨ ૨૩ ૪૧ ૩૦ ૩૬ ૩૩ | ૨૪ ૪૨ ૪૩ ૨૧ ૩૪
૧૭ ૪૭ ૪૬ ૨૦ ૩૯
| ૮ ૫૮ ૫૯ ૫ ૫૦
૫૦ , ૧૬ ૧૩૫૧] ૬૦ ૬ ૭ ૫૭ ૧૪ પર ૪૯ ૧૫]= I ૬૧ ૩ ૨ ૬૪ ૧૧| પ૩ ૫૬ / ૧૦ = ૨૬૦ ૨૬૦ ૨૬૦ ૨૬૦ ૨૬૦ ૨૬૦ ૨૬૦ ૨૬૦ ૨૬૦

Page #87

ત્રાંસે સરવાળે – -૪૫ + ૨૨ + ૪૩ + ૨૦ + ૫૫+ ૧૬ +૪૯ + ૧૦ = ૨૬૦ ૨૬ +-૩૩ + ૩૨ + ૩૯ + ૪ + ૫૯ + ૬+ ૬૧ = ૨૬૦
બે વીશા યંત્રો

Page #88

*
(૧) ૧૦ + ૯ + ૫ + ૨ = ૨૬ (૨) ૨ + ૧૨ + ૧૧ + ૧ = ૨૬ (૩) ૧ + ૮ + ૭ + ૧૦ = ૨૬ (૪) ૬ + ૫ + ૧૨ + ૩ = ૨૬ (૫) ૩ + ૧૧ + ૮ + ૮= ૪ (૧) ૪ + 9 + ૯ + ૬ = ૨૬
--
-

Page #89

કાઠાના નખર.
[ ૧૪ ] મનનેા ધારેલા આંક કહેનારાં ચત્રો
૧
'
m
પ્
જ
રે
૧૧
૧૩
૧૫
૧૭
૧૯
૨૧
૨૩
૨૫
२७
૨૯
૩૧
૨
m
AS
r
9
૧૦
૧૧
૧૪
૧૫
૧૮
૧૯
૨૨
૨૩
૨૬
૨૭
૩૦
૩૧
૩
ܡ
ઝ
૧૨
૧૩
૧૪
૧૫
૨૦
૨૧
૨૨
૨૩
૨૮
øøm
૩૧
૪
.
૧૦
૧૧
૧૨
૧૩
૧૪
૧૫
૨૪
૨૫
૨૬
૨૭
૨૮
૨૯
૩૦
૩૧
૫
૧૬
૧૭
૧૮
૧૯
૨૦
૨૧
૨૨
૨૩
૨૪
૨૫
૨૬
२७
૨૮
૨૯
૩૦
૩૧

Page #90

તમે આ કઠામાંથી કોઈ પણ એક આંક ધારો. પછી તે જે જે કેડામાં હોય તે જુઓ
માને કે તમે મનમાં ૧૫ ને આંક ધાર્યો છે, તો તે ૧, ૨, ૩ અને ૪ નંબરના કોઠામાં છે. હવે તે કોઠાને મથાળે રહેલી સંખ્યાને સરવાળો કરી જુઓ. તે ૧ + ૨ + 4 + ૮ -- ૧૫ ને જવાબ આપશે.
માનો કે તમે મનમાં ૨૩ ને આંક ધર્યો છે, તે તે ૧, ૨, ૩ અને પ નંબરના કેડામાં છે. હવે તે કોઠાને મથાળે રહેલી સંખ્યાનો સરવાળો કરી જુઓ. તે ૧ + ૨ + $ + ૧૬ = ર૩ ને જવાબ આપશે.
હવે દરેક કઠામાં ૧૬ સંખ્યાઓ છે, તેને જુદા યંત્રમાં લખવી હોય તે લખી શકાય અને એવા પાંચ યંત્રો વડે પણ આ જ પ્રમાણે ધારેલી રકમ કહી શકાય. જેમ કે–
૨
૩ |
૧૦ ૧૧ ૧૪
૧૫
૧ ૩ ૫ ૭ ૯ ૧૧ ૧૩
૧૫ ૧૭ ૧૯ ૨૧ ૨૩ | ૨૫ ૨૭ ૨૯ી ૩૧
૧૮ ૧૯ ૨૨, ૨૩
૨૬ ૨૭] ૩૦ *
૩૧

Page #91

૧૨ ૧૩ ૧૪ ૧૫
૧૩ ૧૪ ૧૫
૨૪ ૨૫ ૨૬ ૨૭
૨૦ ૨૧ ૨૨ ૨૩ ૨૮ ૨૯ ૩૦ ૩૧
میمیک
૨૮ ' ૨૯ ૩૦ ૩૧
૭ ૧૮ ૧૯ ૨૦ ૨૧ ૨૨ ૨૩
૨૪ ૨૫ ૨૬ ૨૭ | ૨૮ ૨૯ ૩૦ ૩૧
આમાં યંત્રને પ્રારંભ અંક લઈને સરવાળો કરવાનું હોય છે.
માનો કે તમે ર૬ની સંખ્યા ધારી, તે તે ૨, ૪ અને પ નંબરના યંત્રમાં છે. હવે તેના પ્રારંભના અંકે ૨ + ૮ + ૧૬ હેઈ તે બરાબર ર૬ની સંખ્યા બતાવે છે.
આ રીતે છ યંત્રો ૬૩ સુધીની અને સાત યંત્રથી ૧૨૭ સુધીની સંખ્યા બતાવી શકાય છે.

Page #92

[ ૧૫ ] સિદ્ધાંકના ત્રણ પ્રયોગ સિદ્ધ એટલે નક્કી કરી રાખેલે અંક જ જવાબમાં આવે તે સિદ્ધાંક કહેવાય છે. તેના ત્રણ પ્રત્યે અહીં રજૂ કરવામાં આવે છે?
પ્રયોગ કરનારે ૧ થી ૫૦ સુધીમાં કેઈપણ એક નંબરની પસંદગી કરવી અને તે કાગળ પર લખી પ્રેક્ષકને આપવી તથા તેના ગજવામાં રાખવાનું કહેવું.
પછી તેને ૫૦ થી ૧૦૦ સુધીની કોઈપણ સંખ્યા ધારવા કહેવું.
એ સંખ્યા ધારીને કાગળ પર લખે, એટલે તમે જે અંક લખીને આપ્યો હોય તે ૯૯માંથી બાદ કરતાં જે રકમ આવે તે ઉમેરવા જણાવવું. ધારો કે તમે ર૩નો અંક લખીને આપે છે, તે ૯ – ૨૩ = ૭૬ ઉમેરવા જણાવવું.
સરવાળે થયા પછી ડાબી બાજુને પહેલા અંક ચેકી નાખવે અને તેને સરવાળાની નીચે લખવા કહેવું. એ બંને અંકનો જે સરવાળે થાય, તે ધારેલી રકમમાંથી બાદ કરાવ. જે પરિણામ આવે તે અગાઉથી ચિઠ્ઠીમાં લખી આપ્યા મુજબ જ હોવું જોઈએ. દાખલોઃ
પ્રયોગ કરનારે ૨૩ લખ્યા છે.

Page #93

અને તે ચિઠ્ઠી અંક ધારનારને આપી છે.
અક ધારનારે
હવે પ્રયાગ કરનાર તેને
૯૯ – ૨૩ = ૭૬ ઉમેરવાનું
--
કહેશે.
ડાબી બાજુના ૧ ચેકીને નીચે ઉમેરતાં
મૂળ રકમમાંથી બાદ કરતાં
૮૪
માકી બધું ઉપર મુજબ.
હૅવે ૯૯૯
– ૧૪૩
૮૫૬
એ એ તમે પ્રથમથી લખીને આપે
ત્રણ અંક માટે
પ્રયાગ કરનારે ૧૦૦ થી ૨૦૦ ની અંદરની એક રકમ નક્કી કરી તે ચિઠ્ઠી પર લખી આપવી.
સામાને ૨૦૦ થી ૯૯૯ સુધીની કાઈપણ સખ્યા. ધારવા કહેવું.
૮૬ ધાર્યો છે..
+ ૭૬
૧૬૨ સરવાળે.
૬૨
+ ૧
દાખલા :
પ્રત્યેાગ કરનારે ૧૪૩ લખીને આપ્યા.
૬૩
૮૬ - ૬૩=૨૩ રહેશે. છે.
પ્રેક્ષકે ૪૯૩ લખ્યા છે
પ્રચંગ કરનાર ૧૮૫૬ ઉમેરવાના કહેશે. ૧૩૪૯ પિરણામ આવશે.

Page #94

૮૫
તેમાંથી ડાબી બાજુના અંક ચેકી નાખતાં ૩૪૯
+ ૧
૪૯૩ ~ ૩૫૦
૯૯૯૯ - ૧૪૧૬
૧૪૩ ચિઠ્ઠી જીએ. ચાર અંક માટે
પ્રચાગ કરનારે ૧૦૦૦ થી ૨૦૦૦ ની અંદરની એક ૨કમ નક્કી કરી તે ચિઠ્ઠી પર લખી આપવી.
સામાને ૨૦૦૦ થી ૯૯૯૯ સુધીની કાઈ પણ સંખ્યા લખવા કહ્યું.
આકી બધું ઉપર મુજબ.
પ્રયાગ કરનારે ૧૪૧૬ લખી આપ્યા.
પ્રેક્ષકે
૨૬૯૭ ધાર્યો + ૮૫૮૩
૧૧૨૮૦
૮૫૮૩
તેમાંથી ડાબી બાજુના ૧ ખાદ કરતાં
૨૬૯૭
-- ૧૨૮૧
૧૪૧૬
૩૫૦
૧૨૮૦ + ૧
૧૨૮૦
જે ઉપર લખી
આપ્યા છે.

Page #95

(૨) (૧) કોઈ પણ સંખ્યા લખે. (૨) તેની પછીની સંખ્યા લખે.
બંનેને સરવાળે કરે. (૪) તેમાં.........૯ ઉમેરે. (૫) તે રકમનું અધું કરે. (૬) તેમાંથી મૂળ રકમ બાદ કરે. (૭) જવાબ પ આવશે.
હવે ૯ ના સ્થાને ૧૧ ઉમેર્યા હોય તે ૬, ૧૩ ઉમેર્યા હોય તે ૭, ૧૫ ઉમેર્યા હોય તે ૮, એ પ્રમાણે ઉમેરેલી રકમ + ૧ - ૨ = જવાબ આવે. એટલે જેટલા ઉમેરવા હોય તે નક્કી કરી રાખવા
અને તે અનુસાર જવાબ પ્રથમથી લખી આપે. દાખલા : તમે જવાબ ૬૦ લખી આપે. પ્રશ્નકારે ૨૩૮ સંખ્યા લખી
+ ૨૩૯ તેની પછીની સંખ્યા લખી
૪૭૭ પરિણામ આવ્યું. + ૧૧૯ આટલા ઉમેરવા જોઈએ, કારણ
કે જવાબ ૬૦ લાવવાનો છે. ૫૯૬
૨૯૮ આવેલી રકમના અર્ધા કર્યા. ૨૯૮ –૨૩૮ તેમાંથી મૂળ રકમ બાદ કરી
--

Page #96

બીજી બધી ક્રિયાઓ દરેક દાખલામાં સરખી છે. માત્ર ઉમેરવાની સંખ્યા જે જવાબ લાવ હોય તેના કરતા બમણું – ૧ એ પ્રમાણે લખાવવી જોઈએ.
(૩) ત્રણ નહિ જાણેલી સંખ્યાઓનું એક જ પરિણામ!
ખરી રીતે તે આ પણ સિદ્ધાંકને જ એક પ્રયોગ છે. કારણ કે તેમાં સામી વ્યક્તિએ શું લખ્યું છે? એ પૂછવામાં આવતું નથી અને છતાં તેનું પરિણામ એક સરખું લાવી દેવામાં આવે છે, જે પ્રવેગ કરાવનારની મરજી મુજબનું જ હોય છે.
પ્રથમ કઈ પણ ત્રણ વ્યક્તિઓને કહેવું કે તમને ઠીક લાગે તેવી સંખ્યા કાગળ પર લખે. તમે ગમે તે સંખ્યા લખી શકે છે, પણ ગણિતની સરળતા ખાતર બે કે ત્રણ અંકની સંખ્યા લખશો તે ઠીક રહેશે.
તેઓ આ પ્રમાણે સંખ્યા લખી રહે, એટલે તેમને ગણિત કરાવવું. હવે પરિણામ શું લાવવું છે? તે આપણે મનથી નકકી કરવું જોઈએ, કારણ કે તે અનુસાર જ ગણિત કરાવવું પડે. ધારો કે તે બધાનું પરિણામ ૨૪૦ લાવવું છે, તે દરેકને નીચે પ્રમાણે ગણિત કરાવવું?
(૧) તમારી ધારેલી રકમને ૭૦ થી ગુણે. (૨) તેમાં ૨૨ ઉમેરે.

Page #97

(૩) આવેલી સંખ્યાને ૧૪ થી ભાગેડ
(૪) કંઈ શેષ વધ્યા? જવાબ હામાં જ આવવાને. કદી તે એમ કહે કે ના, શેષ કંઈ વધ્યા નથી, તે જરૂર ગણિતમાં ગરબડ થઈ છે, એમ સમજવું અને તેને : ગણિત ફરી કરાવવું. - (૫) શેષને ૩૦ થી ગુણો. ને.. (૧) તમારી ધારેલી રકમને ૯૬ થી ગુ. (૨) તેમાં ૨૬ ઉમેરે. (૩) આવેલી સંખ્યાને ૧૬ થી ભાગો. (૪) કંઈ શેષ વધ્યા?
(૫) શેષ વધ્યા હોય તેને ૨૪ થી ગુણ. જ ને.
(૧) તમારી ધારેલી રકમને ૧૫૪ થી ગુણ. (૨) તેમાં ૪૦ ઉમેરે. (3) આવેલી સંખ્યાને ૧૧ થી ભાગ. (૪) કંઈ શેષ વધ્યા? (૫) શેષ વધ્યા હોય તેમાં પ ઉમેરો અને તેને
૨૦ થી ગુણે. હવે ત્રણે ય જણ જવાબ મેળવી જુઓ. તેઓ દરેકને જવાબ ૨૪૦ આવેલ જોઈ જરૂર આશ્ચર્ય પામશે.

Page #98

દાખલ :
કાએ ર૭ ધાર્યા છે, તે તેનું ગણિત નીચે મુજબ થશે ?
૨૭
૪ ૭૦
૧૮૯૦ + ૨૨
૧૪) ૧૯૧૨ (૧૩૬
४२
૮
X ૩૦
૨૪૦
એ ૩૫ ધાર્યા છે, તે તેનું ગણિત નીચે મુજબ થશે ?
૩૫
૨૧૦ ૩૧૫૪
૩૩૬૦ + ૨૬

Page #99

૧૬) ૩૩૮૬ (૨૧૧
૩૨
릎
૧૮
૧૦ શેષ X ૨૪
૨૪૦
એ ૧૧૩ ધાર્યા છે, તે તેનું ગણિત નીચે મુજબ
થશે :
૧૧૩
૪ ૧૫૪
૪૫૨ ૫૬૫૪ ૧૧૩૪
૧૭૪૦૨
+ ૪૦

Page #100

૧૧) ૧૭૪૪૨ (૧૫૮૫
૧૧
S |
- ૨
૭ શેષ
૪ ૨૦
૨૪૦
વ્યક્તિઓએ ગમે તે સંખ્યા ધારી હોય, પણ આ રીતે ગણિત કરાવવાથી તેનું પરિણામ ૨૪૦ જ આવશે.
આનું રહસ્ય એ છે કે કેઈ પણ સંખ્યાને એક રકમથી ગુણ અને તેના અવયવ વડે ભાગીએ તો શેષ ૦ વધે છે, એટલે ૭૦ થી ગુણને ૧૪ વડે ભાગીએ, ૬ થી ગુણીને ૧૬ વડે ભાગીએ કે ૧૫૪ થી ગુણીને ૧૧ વડે ભાગીએ તેમાં તે શેષ ૦ જ આવવાનું. હવે તેમાં જે

Page #101

રકમ ઉમેરવામાં આવે તે એવી હેવી જોઈએ કે ભાગવા છતાં શેષ વધે. દાખલા તરીકે ૨૨ ઉમેરીએ અને ૧૪થી ભાગીએ તો ૮ વધવાના એ નિઃશંક. તેને ૩૦થી ગુણીએ તો ૨૪૦ જ આવે. આજ રીતે ૨૬ ઉમેરીને ૧૬ થી ભાગીએ તો ૧૦ વધાવાના એ નિઃશંક. તેને ૨૪ થી ગુણએ તો પરિણામ ૨૪૦ જ આવે. તથા ૪૦ ઉમેરીને ૧૧ થી ભાગીએ તો ૭ વધવાના એ નિઃશંક. તેમાં પ ઉમેરીએ તો ૧૨ થાય. તેને ૨૦ થી ગુણએ પરિણામ ૨૪૦ આવે.

Page #102

[૧૬ ]
ગંજીફાના ચાર પ્રયોગ (૧) ગંજીફાની ઢગલીઓ નીચે કેટલા દાણું છે? ૧. એક ગંજી લે ને તેમાંથી જેકરનાં પાનાં કાઢી
નાંખવાં. માત્ર પર પાનાં રહેવાં જોઈએ. પછી કોઈ પણ એક વ્યક્તિને કહેવું કે તમે આ ગંજીફાના પાનાંની ઠીક લાગે તેટલાં નંબરની ઢગલીઓ કરે. જેમ કે ૧૩, ૧૫, ૨૦, ૨૪ વગેરે. પરંતુ એ નંબર એ રીતે ગણવા કે જે નંબરનું પાનું નીચે મૂકે એટલાં પાન જ સમજવા. તે પછી ૧-૧ પાનું ચડાવી તે નંબર પૂરો કરે. ધારો કે ૧૩ પાનાની ઢગલી કરવી છે અને તે પંજાથી શરૂ કરી છે, તે પ+૧+૧+૧+૧+૧+૧+૧+૧ એમ ૧૩ પાનાં પૂરાં કરવાં. અથવા ૨૪ પાનાંની ઢગલી કરવી છે અને તે દશાથી શરૂ કરી છે, તે ૧૦ + ૧૪ બીજા પાનાં એમ
૨૪ પાનાં પૂરાં કરવાં. ૩. ઢગલીઓ કરનારને કરવી હોય તેટલી કરી શકે છે. ૪. હવે તેણે કેટલા દાણાની કેટલી ઢગલીઓ કરી છે. તે
કહેવું જોઈએ તથા તેની પાસે કેટલાં પાનાં વધ્યાં છે?
તે પણ કહેવું જોઈએ.. પ. આ સાંભળ્યા પછી ગણિત કરવું. તે આ પ્રમાણે

Page #103

દાણાને નંબર ૪ ઢગલીને નંબર + ઢગલીની સંખ્યા - વધેલા પાનાની સંખ્યા – ૫૨ =નીચેના દાણને સરવાળે.
દાખલા તરીકે ૧૩ દાણાની ૪ ઢગલીઓ છે અને ૨૧ પાનાં વધેલાં છે, તે ગણિત નીચે મુજબ થશેઃ
૧૩ ૪૪+ ૪ = પદ + વિધેલાં પાનાં ૨૧= ૭૭. - પ૨ = ૨૫. તે ચાર ઢગલી ખોલી નાખતાં તેની નીચેના દાણાને સરવાળે બરાબર ૨૫ હશે.
- પ્રવેગ કરી જુઓ,એટલે આ વસ્તુ બરાબર સમજાશે. (૨) ગંજીફાની ત્રણ ઢગલીમાંથી કે પસંદ છે, તે
કહી આપવું. આ પણ ઘણે જ ચમત્કાર પમાડે તે પ્રગ છે. તેમાં ત્રણ ઢગલીઓ કેમ બનાવવી? એ જ ખાસ સમજવાનું છે. પહેલી ઢગલીમાં કોઈ પણ સાત પાનાં રાખવાં. બીજામાં જેને સરવાળે સાત તે હોય એટલાં પાનાં રાખવાં. દાખલા તરીકે ૧ + ૨ + ૪ અથવા ૩ + ૪ અથવા ૨ + પ વગેરે. અને ત્રીજી ઢગલીમાં કોઈ પણ રંગને માત્ર એક સત્ત જ રાખો. આ રીતે ત્રણ ઢગલીઓ તૈયાર થયા પછી તેને ટેબલ પર મૂકી મિત્રને કહેવું કે “જુઓ, તમે આ ત્રણ ઢગલીમાંથી શું ધારશે? તે હું અગાઉથી લખીને આપું છું.' પછી એક કાગળની જરા મોટી ચોરસ કાપલીની વચ્ચે ૭ લખીને તે કાપલી વાળીને તેને આપી દેવી અને ગજવામાં રાખવા કહેવું.

Page #104

પ
તે
ત્યાર પછી તેને કહેવું કે તમે ગમે તે એક ઢગલી મનમાં પસંદ કરે. તે કહે કે મેં પસંદ કરી, એટલે તેને કહેવુ કે તે હાથમાં લઇ લે. જ્યારે તે હાથમાં લઈ લે ત્યારે પહેલી ઢગલી લીધી હાય તે કહેવું કે તમે કેટલાં પાનાંવાળી ઢગલી લેશે તે મે' અગાઉથી લખી જ આપેલુ છે. તમારી ઢગલીનાં પાનાં ગણી જુએ, તે સાત જ હશે. પછી ગજવામાંની ચિઠ્ઠી જોતાં તેમાં છ ના આંકડા લખેલે જોઇ ને જરૂર આશ્ચય પામશે,
•
હવે તેણે બીજી ઢગલી પસંદ કરી હાય તો કહેવું કે તમારા હાથમાં રહેલા ગંજીપાના દાણા ગણેા. તે દાણા ગણશે તેા સાત જ થશે. પછી તેને ગજવામાં રહેલી ચિઠ્ઠી ઉપાડીને જોવાનું કહેતાં છ નીકળશે, એટલે આશ્ચર્ય પામશે.
જે ત્રીજી ઢગલી પસંદ કરે તે! કહેવું કે તમારી જવાબ ચિહ્નીમાં લખેલેા જ છે, તે ખેાલીને જુએ, એટલે ખાતરી થશે. તેમાં છ લખેલા જોઇ તે જરૂર આશ્ચય પામશે.
આ ખેલ મિજલસમાં એક જ વાર કરવા, વધારે નહિ; કારણ કે વધારે વખત કરતાં રહસ્ય ખુલ્લુ પડી જવા સંભવ છે.
(૩) ગંજીફાનું ધારેલું પાનુ' કહી આપવુ: ૧. સામાને ગંજીફા આપીને કહેવું કે તમે આમાંથી

Page #105

દ
કાઈપણ ૧ પાનું યારે અને તેના નંબર કાગળ પર લખા. પાનાના દાણા પ્રમાણે નબર સમજવા. જો ગુલામ હાય તા ૧૧, રાણી હાય તો ૧૨ અને બાદશાહ હાય તો ૧૩ ગણવા.
3.
૨. તમે જે નખરનું પાનુ ધાયું... હાય તેનાથી વધારે ૧ નખર લખેા. બાદશાહુ ધાર્યો હોય તો ૧૪ લખા. એ ખનેને સરવાળો કરી તેને પ થી ગુણા. ૪. હવે તેમાં કાળી હાય તો ૬, ચેકડી હાય તો છ ફુલી હોય તો ૮, અને લાલ હાય તો ૯ ઉમેરો. ૫. તેના સરવાળો જણાવે.
૬. તે જે સરવાળો કહે તેમાંથી ૫ બાદ કરે. ૭. આવેલી રકમમાં ડાળી માર્જુન માંકડા પાનુ બતાવશે ને ત્યાર પછીના માંકડે રંગ અતાવશે. .. ખસ, એ જ પ્રમાણે જવાબ આપવા.
દાખલા :
ધારનારે લાલને અડ્ડો ધાર્યો છે, તો ગણિત નીચે મુજબ થશે :
+ G ૧ વધારે
૧૭
× ૫
પાનાના દાણા
૮૫
+ G
લાલના ગુણાંક

Page #106

૮૯
આમાં આઠથી અઠ્ઠો અને નવથી વાલનું પાનું સમજાય છે. (૪) ગંજીફાનાં ધારેલાં બે પાનાં શોધી આપવાં. ૧. ગંજીફામાંથી ગમે તે ૨૦ પાનાં બહાર કાઢે. ૨. તેની ૧૦ જોડી બનાવે. આમાં કઈ પણ પાનાંની
સાથે કઈ પણ પાનું લઈ શકાય છે.
પછી તેમાંની કેઈપણ એક જોડી ધારવાનું કહે. ૪. એ ધારી લીધા પછી કમશ: એ જેડી ઉઠાવે. તેમાં કઈ
પાનું આઘું પાછું ન થઈ જાય તેનું ખાસ ધ્યાન રાખે. -પ. પછી તે પાનાં નીચે પ્રમાણે ગોઠવતાં જાઓ :
૧ ૩ ૨ ૫ ૭ ૯ ૧૧ ૧૩ ૮ ૧૨ ૧૫ ૧૦ ૪ ૧૬ ૧૭ ૧૯ ૧૮ ૧૪ ૬ ૨૦ ગોઠવવાની રીત એવી છે કે પ્રથમ ૧ નંબર લખે છે ત્યાં પાનું મૂકવું, પછી ૨ લખે છે ત્યાં મૂકવું. પછી ૩ લાગે છે ત્યાં, પછી ૪ લખે છે ત્યાં. એ રીતે બધાં પાનાં નંબર પ્રમાણે ગેઠવી દેવાં. આમાં અભ્યાસની જરૂર રહે છે. કેટલાક અભ્યાસ થયા પછી
ગોઠવવાનું કામ સહજ થઈ જશે. ૬. હવે પ્રશ્નકારને એટલું પૂછવું કે અહીં પાંચ પાંચ પાનાની
૪ હાર છે, તેમાં તમારાં પાનાં કઈ હારમાં છે?

Page #107

૭.
૯૮
તે જે જવાબ આપે તે પરથી ૨ પાનાં શોષીને આપી શકાય.
તે એમ કહે કે મારા પાનાં પહેલી હારમાં છે; તે તે ૧ અને ૨ જ હોવા જોઈએ, કારણ કે તે સિવાય કેાઈ જોડી તેમાં નથી. તે એમ કહે કે પહેલી અને બીજી હારમાં છે; તે તે ૭ અને ૮ હાવા જોઈ એ, કારણ કે તા જ જોડી મળે. જો તે પહેલી એને ત્રીજી હાર કડુ તા ૩ અને ૪ હેાવા જોઇએ. મૂળ મુદ્દે જેનાથી જોડી પૂરી થતી હાય તે એ જ પાનાં તેમાં હાઈ શકે, તે સિવાય નહિ.

Page #108

[ ૧૭ ]
દશ ચમત્કારિક પ્રાગે (૧) ગજવામાં કેટલા પિસા છે? તે કહેવાની રીત ૧. કાગળ પર તમારું જન્મવર્ષ લખો. (ઈ. સ. મુજબ)
તમારા જીવનમાં કેઈ નોંધપાત્ર બનાવ બન્યો હોય
તે વર્ષ લખે. ૩. તમારા ગજવામાં કે પાકીટમાં જેટલા રૂપિયા હોય
તેટલા ઉમેરે. ૪. તમને હાલ કેટલા વર્ષ થયા, તે લખ. ૫. તમારા જીવનમાં જે નોંધપાત્ર બનાવ બન્યું હોય
તેને હાલ કેટલા વર્ષ થયા, તે લખે. ૬. તે બધાને સરવાળે કરે. ૭. જે પરિણામ આવ્યું હોય, તે જણાવે.
પરિણામમાંથી ચાલુ સાલના બમણું બાદ કરવા અને વધે તેટલા પૈસા ગજવા કે પાકીટમાં સમજવા. દાખલો :
જન્મવર્ષ ૧૯૦૬ ઘટનાવર્ષ ૧૯૧૭ ગજવામાં તે પર રૂપિયા
પૈસા S. હાલ ૫૮ વર્ષ ઘટનાને ૪૭ વર્ષ
૩૯૮૦

Page #109

૧૦૦
હાલ ૧૯૬૪ની સાલ ચાલે છે, માટે ૧૬૪૪ ૨ = ૩૯૨૮.
ગણિતથી આવેલી રકમ ૩૯૮૦ – ૩૯૨૮ = પર.. માટે પર (બાવન) રૂપિયા ગજવામાં છે.
(૨) ઉમર કહી દેવી.
૧. તમારી ઉમર લખો. ૨. તેમાં ૯૦ ઉમેરે.
આવેલી સંખ્યામાંથી ડાબી બાજુને પ્રથમ આંકડો.
ચેકી નાખે અને સંખ્યાની નીચે લખી ઉમેરી દે. ૪. તેમાં ૯ ઉમેરે. જે જવાબ આવે તે જ ઉમર તેમાં
લખેલી હશે.
દાખલ :
૫૯ વર્ષ (હાલની ઉમર છે.) + ૯૦ ૧૪૯ (તેમાંથી ૧ ચેકતાં ૪૯ રહે એટલે + ૧
સરવાળામાં ૪૯ લેવાના છે.)
-
૯
૫૯

Page #110

૧૦૧
દાખલો બીજો :
- ૨૫ વર્ષ ( હાલની ઉમર છે.) + ૯૦ ૧૧૫ (તેમાંથી ૧ ચેકતાં ૧૫ રહે, એટલે
સરવાળામાં ૧૫ લેવાના છે.)
+ ૯
૨૫ (૩) જન્મતિથિ કહેવી.
( વિક્રમ સંવત્ અનુસાર) કોઈ પણ વ્યક્તિએ પિતાની જન્મસાલ, મહિને, પક્ષ, તિથિ અને વાર કાગળ પર લખી રાખ્યા હોય તે ગણિતના આધારે કહી દેવા.
આ પ્રયોગ માટે કઈ પણ વ્યક્તિને તેની જન્મસાલ, મહિને, પક્ષ, તિથિ અને વાર એક કાગળ પર લખી રાખવા કહેવું. પછી તેને નીચે મુજબ ગણિત કરાવવું ?
૧. જન્મસાલને ચારથી ગુણો. ૨. તેમાં ૩ ઉમેરે. ૩. આવેલી રકમને ૧૦૦ થી ગુણ. ૪. તેમાં મહિનાને કમાંક ઉમેરે. કારતક ૧, માગસર
૨, આસો ૧૨, એ રીતે મહિનાને કમાંક સમજ.

Page #111

૧૦૨
છે. તેમાં પ ઉમેરે. ૬. આવેલી રકમને ૧૦૦ થી ગુણ. છે. તેમાં સુદિ પક્ષ હોય તે ૫૦ અને વદિ પક્ષ
હોય તે શૂન્ય ઉમેરે. ૮. તેમાં તિથિને આંક ઉમેરો. ૯. તેમાં ૩ ઉમેરો. ૧૦. આવેલ રકમને ૧૦ થી ગુણે. ૧૧. તેમાં વારને કમાંક ઉમેરો. રવિવાર ૧, સેમ
વાર ૨, એ રીતે વારના કમાંક ગણવાના છે. ૧૨. તેમાં 1 ઉમેરો. ૧૩. આવેલું પરિણામ સંભળાવી દે.
પરિણામ ૯ અંકનું આવશે. તેમાં ૧ અંક વધી ગયે હેય કે ઓછો હોય તો સમજવું કે ગણિતમાં કઈક સ્થળે ભૂલ છે. તે ૯ અંક પૈકી પ્રથમના ચાર અંકે વર્ષસ્થાનનાં સમજવા. તેને ૪ થી ભાગતાં જે ભાગફળ આવે તે જન્મસાલ. શેષ ૩ વધશે, પણ તેનું અહીં કંઈ પ્રજન નથી. ત્યાર પછીના બે અંકે માસસ્થાનના સમજવાં. તેમાંથી પ બાદ કરતાં જે સંખ્યા આવે તે માસની સમજવી. ત્યાર પછીના બે અંકે પક્ષ અને તિથિના સમજવા. તેમાંથી ૩ બાદ કરતાં જે રકમ આવે તે પ્રમાણે તિથિ સમજવી. હવે ઉમરમાં ૧ થી ૧૫ સુધીના અંકે હોય તો વદિ સમજવી અને પ૧ થી ૬૫ સુધીના અકે હોય તે સુદિ સમજવી.

Page #112

૧૦૩
ત્યાર પછીને અંક વારસ્થાનને સમજવો. તેમાંથી ૧ બાદ કરતાં જે પરિણામ આવે, તે પ્રમાણે વાર સમજવો. તેમાં ૧ થી રવિવાર, ૨ થી સેમવાર એ પ્રમાણે વાર કહેવા.
જન્મસાલ સં. ૧૯દરને ફાગણ વદિ ૮ ને રવિવાર છે, તે તેનું ગણિત નીચે મુજબ થશે ?
૧૯ર ૪૪
જન્મસાલને આંક
૭૮૪૮
+ ૩
નિયમ મુજબ
૭૮૫૧ X ૧૦૦
૭૮૫૧૦૦
= +
મહિનાને કમાંક નિયમ મુજબ
+૫ ૭૮૫૧૧૦
* ૧૦૦
૭૮૫૧૧૦૦૦
૦ .
+
વદિ પક્ષ છે માટે તિથિને આંક નિયમ મુજબ
+ ૮
+ ૩ ૭૮૫૧૧૦૧૧
૪ ૧૦

Page #113

૭૮૫૧૧૦૧૧૦
+ ૧
+ ૧
૩૮
૩૬
૭૮૫૧૧૦૧૧૨
૭૮૫૧ | ૧૦ | ૧૧ | ૨ ૪) ૭૮૫૧ (૧૯૬૨ જન્મસાલ
૪
૨૫
૨૪
૧૧
ho
।
૧૦૪
૩
વારના આંક નિયમ મુજબ
૧૦ -- ૫ = ૫ માટે ફાગણ મહિને ૧૧ ૩= ૮ માટે વિદ આઠમ ૨ – ૧ = ૧ માટે રવિવાર
(૪) જન્મતારીખનું ગણિત (ઈસ્વી સન અનુસાર )
એક વ્યક્તિ કાગળ પર પેાતાની જન્મતારીખ લખી રાખે, પછી તેને નીચેનું ગણિત કરાવવું : ૧. મહિનાને નંખર લખા.

Page #114

૧૦૫
૨. તેની પછીના મહિનાના નખર લખેા. ડીસેમ્બર હાય
તા ૧૩ લખા.
૩. તેના સરવાળા કરો.
૪. તેને ૫ થી ગુણેા.
પ. તેની જમણી બાજુ એક શૂન્ય
ઉમેરો.
૬. ૧૦૦ ની અંદરની એક સખ્યા એલેા અને એની અંદર જોડી દો. અર્થાત્ તેનેા સરવાળા કરે.
૭. તેમાં તારીખ ઉમેરા.
૮. ૧૦૦ની અંદરની એક બીજી સંખ્યા એલેા અને તેને સંખ્યાની જમણી બાજુ લખી નાખે।.
૯. તેમાં સાલના છેવટના એ આંકડા ઉમેરો. ૧૦. પિરણામ જણાવેા.
જે સંખ્યા પહેલી ઉમેરી હાય તેમાં ૫૦ ઉમેરવા ને ખીજી સંખ્યાને એમને એમ રાખવી. આ રીતે જે ચાર અંકની સંખ્યા થાય તે ઉપરના પરિણામમાંથી ખાદ્ય કરવી. તેમાંથી જન્મતારીખ ખરાબર મળી આવશે.
દાખલા : ૧૮ મી માર્ચ ૧૯૦૬,
ગણિત નીચે મુજબ :
૩ મહિનાના આંક + ૪ તેની પછીના ક્રમાંક

Page #115

૧૦૬,
૭ પરિણામ ૪ ૫
૩૫ પરિણામ ૩૫ + ૦ = ૩૫૦ ૩૫૦ + ૩૭ પ્રશ્નકારે ધારેલી
૩૮૭ + ૧૮ તારીખને ક્રમાંક
૪૦૫ ૪૦૫ + ૨૬ પ્રશ્નકારે ધારેલી બીજી સંખ્યા ૪૦૫૨૬ + ૦૬ સાલના છેવટના બે આંકડા
૪૦૫૩૨
હવે પહેલી રકમ ૩૭ ઉમેરી છે તેથી ૩૭ + ૫૦ નિયમ મુજબ ઉમેરતાં ૮૭ થાય અને બીજી રકમ ૨૬ છે, તે એમ ને એમ રાખવાની છે, એટલે કુલ રકમ ૮૭૨૬ થાય. તે ઉમરની રકમમાંથી બાદ કરવી.
– ૮૭૨૬
૩ ૧૮૦૬

Page #116

૧૭
૩ = માર્ચ મહિનો ૧૮=૧૮ મી તારીખ
૦૬ = ૧૯૦૬ ની સાલ. તાત્પર્ય કે પ્રશ્ન લખનારે ૧૮ મી માર્ચ ૧૯૦૬. લખેલા છે.
(૫) કેટલા ભાઈ-બહેન તે કહેવું ? મિત્રમંડળમાં આનંદ ઉપજાવે તે આ ગણિતને એક નાનકડે પ્રયોગ છે. તે નીચેની રીતે કરવો જોઈએ?
૧ જેટલા ભાઈ જીવતા હોય તેની સંખ્યા લખો. ૨ તેને ૨ થી ગુણે. ૩ તેમાં ૩ ઉમેરે. ૪ તેને ૫ થી ગુણ. પ તેમાં જેટલી બહેને હૈયાત હોય તેની સંખ્યા ઉમેરે.. ૬ આવેલ પરિણામને ૧૦ થી ગુણ. ૭ તેમાં જેટલા ભાઈ-બહેન ગુજરી ગયા હોય, તેની
સંખ્યા ઉમેરે તથા ૧ ઉમેરે. ૮ આવેલી સંખ્યા જણાવો.
હવે જે સંખ્યા જણાવવામાં આવે તેમાંથી ૧૫૧ બાદ. કરવા. તેથી જે પરિણામ આવે તેમાં પહેલે અંક ભાઈની સંખ્યા, બીજો અંક બહેનની સંખ્યા તથા ત્રીજે અંક મરણ પામેલા ભાઈ-બહેનોની સંખ્યા સમજવી.

Page #117

· દાખલો :
૩ ભાઈ છે, જ મહેન છે, ર્ ભાઈ-મહેન મરણ પામેલા છે, તે ગણિત નીચે મુજખ થશે :
૩ ભાઈની સંખ્યા
× ૨
|ા = the
૧૦૮
૪૫
+ ૪ બહેનની સખ્યા
૪૯
× ૧૦
૪૯૩
૧૫૧
૩-૪-૨
ઉત્તર
ત્રણ ભાઈ
ચાર મહેન
એ ભાઇબહેન મરણ પામેલા.
કુલ નવ જણા.
૪૯૦
+ ૨ મરણ પામેલા ભાઈ–મહેન
+ ૧
૪૯૩
(૬) વીટી કયાં છે ?
વીંટી કેણે લીધી છે ? કયા હાથ પર છે ? કઈ આંગળી પર છે ? કયા વેઢા પર છે ? તે જણાવનારા આ પ્રયાગ છે.
આ પ્રસેગ માટે નવ માણસાને પસંદ કરવા. તેમણે પોતે પેાતાને માટે ક્રમશઃ નખરા નક્કી કરી લેવા.

Page #118

૧૦૯
તેમને નીચે પ્રમાણે ગણિત કરાવવું : (૧) જે માણસે વીટી લીધી હોય તેને નંબર લખો અને.
તેને ૧૮ થી ગુણ. (૨) તેમાં ૯ ઉમેરે. (૩) તેને - ૯ થી ભાગો. (૪) ભાગફળને ૫ થી ગુણે. (૫) તેમાં હાથને નંબર ઉમેરે. જમણા હાથને નંબર
૧ અને ડાબા હાથને નંબર ૨ સમજવો. (૬) તેને ૩ થી ગુણ. (૭) તેમાં ૯ ઉમેરે. (૮) તેને ૫ થી ગુણે. (૯) તેને ૩ થી ભાગ. (૧૦) તેને ૨ થી ગુણે. (૧૧) તેમાં આંગળીને નંબર ઉમેરે. અંગૂઠે ૧, ટચલી
આંગળી પ, એ રીતે આંગળીને નંબર સમજવો. (૧૨) તેને ૧૦ થી ગુણો. (૧૩) તેમાં ૧૧ ઉમેરે. (૧૪) તેમાં વેઢાને નંબર ઉમેરો. સહુથી ઉપરના ભાગ તે.
પહેલે વેઢે, પછી તે બીજે વેઢા અને હથેળીને.
અડીને રહેલે તે ત્રીજે વેઢે. (૧૫) તેમાં ૮ ઉમેરે..

Page #119

૧૦
આ રીતે જે જવાબ આવે તેમાંથી ૮૧૯ ખાદ કરવા. એથી ચાર આંકડાની સંખ્યા આવશે. તેમાં ડાખા હાથથી ગણતાં જે પહેલેા આંકડા આવશે, તે નખર વાળી વ્યક્તિએ વીટી લીધી હશે. બીજો આંકડા આવે તે પ્રમાણે હાથ સમજવો, ત્રીજા આંકડાને આંગળીના નખર સમજવો અને ચેાથા આંકડાને વેઢાના નખર સમજવો.
દાખલા :
૨ જો માણસ, ડાબેા હાથ, પહેલી આંગળી, બીજો વેઢા. તેનું ગણિત નીચે પ્રમાણે થશે :
૨ માણસને નંબર x ૧૮ = ૩૬ + ૯ = ૪૫-૯= ૫ × ૧=૨૫+૨ હાથના નબર = ૨૭ x ૩ = ૮૧ + ૯= ૯૦ × ૫ = ૪૫૦ : ૩ = ૧૫૦ x ૨ =૩૦૦+૧ આંગળીના નખર = ૩૦૧ x ૧૦= ૩૦૧૦ + ૧૧ =૩૦૨૧+ ૨ વેઢાને
નંબર ૩૦૨૩ + ૮ = ૩૦૩૧.
ઉત્તર : ખી
આ
૩૦૩૧
૮૧૯
૨૨૧૨
માણસ, ડાબા હાથ, પહેલી આંગળી, ખીજો વેઢા. ગણિત બીજી રીતિએ પણ થાય છે. (૭) ત્રિ-વસ્તુશાધન
( છૂપાવેલી ત્રણ વસ્તુ શોધવાની રીત) આ પ્રયાગમાં વધારેમાં વધારે ૯. વ્યક્તિઓને લઈ

Page #120

શકાય છે. તેમને એક સમૂહ રચવા સૂચના આપવી. ૨ તે બધાને અનુક્રમે નંબરે આપવા. ૩ ત્યારબાદ તેમને એક ઘડિયાળ, એક ફાઉન્ટન પિન
તથા રૂમાલ આપી કેઈ પણ ત્રણ વ્યક્તિએ તેને
છૂપાવી લે એવી સૂચના આપવી. ૪ ત્યારબાદ તેમને એક જે આ બધી વસ્તુ જાણ
હોય તેને આગળ આવી ગણિત કરવા કહેવું. ૫ ગણિત આ પ્રમાણે કરાવવું :
(૧) જે નંબરે ઘડિયાળ લીધી હોય તેને લ્થી ગુણ. (૨) તેમાં ૯ ઉમેરે. (૩) આવેલા પરિણામને ૯ થી ભાગ. (૪) જે ભાગફળ આવે તેને ૧૦૦ થી ગુણે. (૫) તેમાં ફાઉન્ટન પિન લેનારને નંબર ઉમેરો અને
બીજા ૭ ઉમેરે. (૬) તેને ૧૦૦ થી ગુણે. (૭) તેમાં રૂમાલ લેનારને નંબર ઉમેરે તથા બીજા
૩ ઉમેરે. (૮) આ રીતે આવેલી સંખ્યા કહે. (૯) જે સંખ્યા કહેવાય તેના બે અંક, બે અંક
તથા એક અંક એવી રીતે ત્રણ ભાગ પાડે અને તેમાંથી નીચે પ્રમાણે ૧૭૩ બાદ કરે.

Page #121

૧૧૨
(૧૧)
- - - - (૧૦) આ રીતે અંક બાદ કરતાં જે નંબરો આવે તે
અનુક્રમે ઘડિયાળ, ફાઉન્ટન પેન અને રૂમાલવાળાના નંબરે સમજવા. જે આ પ્રયોગમાં ભાગ લેનારની નંબરવાર નામાવલી લીધી હોય તે જવાબ નામપૂર્વક કહેવો,
નહિ તે નંબર બેલવા. દાખલ :
નવ માણસોએ પ્રગમાં ભાગ લીધેલ છે. તેમાં ૩ નંબરે ઘડિયાળ, ૫ નંબરે ફાઉન્ટના પિન અને ૮ નંબરે રૂમાલ લીધેલ છે. હવે તેનું ગણિત નીચે મુજબ થશે :
૩ ઘડિયાળ લેનારને નંબર
x |
씅
૯) ૩૬ (૪
૪ ૧૦૦
४०० + પ ફાઉન્ટન પેન લેનારને નંબર + ૭

Page #122

૪૧૨ ૪ ૧૦૦ ૪૧૨૦૦ + ૮ રૂમાલ લેનારને નંબર + ૩
૧. ૨૧ : ૧
–૧
૫-૭
1-૩
એટલે ૩ નંબરે ઘડિયાળ, ૫ નંબરે ફાઉન્ટન પિન અને ૮ નંબરે રૂમાલ લીધેલ છે. (૮) મનમાં ધારેલું શબ્દનું જોડકું કહી આપવું.
પ્રથમ ક્ષણે પ્રશ્ન થશે કે શું આ કાર્ય ગણિતથી બની શકે ખરૂં? પણ પ્રયાગની રીતિ વાંચવાથી તેની ખાતરી થશે.
ઓ પ્રયોગ માટે વીઝીટીંગ કાર્ડનું ૧ પેકેટ જરૂરી છે કે જેમાં આશરે ૫૦ કાર્ડ હોય છે. તે મધ્યમ કદના હોય તે તદ્ નાના લેવા નહિ.
તેમાંથી ૩૦ કાર્ડ લઈને પ્રેક્ષકોને વહેંચવાં અને કહેવું કે આપને ઠીક લાગે તે શબ્દ એમાં લખા. એ લખી રહે એટલે કાર્ડ એકઠાં કરવાં અને સહાયક હોય છે એની બે-બેની જોડી બનાવે. આ રીતે કુલ ૧૫ જેડી થાય

Page #123

૧૧૪
પછી પ્રેક્ષકમાંથી કેઇ એકને ખેલાવી અને કહેવામાં આવે કે તમે આ ૧૫ જોડકામાંથી કાઇ પણ ૧ જોડકું મનમાં ધારી લે અને ભૂલી ન જામે તે માટે કાગળ પર લખી રાખા.
તે ધારી લે પછી એ જોડકા ઉઠાવીને ભેગા કરવા. તેમાં કોઈ કાર્ડ આઘુંપાછું ન થઈ જાય તેનું ધ્યાન રાખવું. પછી તે કાની નીચે પ્રમાણે ગાડવણ કરવી : ( તે માટે અભ્યાસ કરવા જરૂરી છે.
૧
૩ ૨ પ ૭ ૯
૧૧
૧૩ ૧૫ ૮ ૧૪ ૧૭
૧૯
૧૨ ૪
૨૦ ૨૧ ૨૩
૫
૨૨ ૧૬ ૬
૨૬ ૨૭
૨
૧૦ ૧૮ ૨૪ ૨૮ ૩૦
આ કાર્ડ મૂકવાની રીત એવી છે કે પ્રથમ ૧ નખરના સ્થાને મૂકવું, પછી ૨ નંબરના સ્થાને, પછી ૩ નખરના સ્થાને, પછી ૪ નંબરના સ્થાને. એ રીતે બધાં કાર્ડ ગેાઠવાઈ જાય, પછી પ્રશ્નકારને મેલાવીને પૂછ્યું કે ‘તમારા ધારેલા શબ્દો કોઈ પંક્તિમાં છે? એટલુ જ કહે.’ તે જે જવામ આપે તેના પરથી તમે તરત જ એ શબ્દ શોધી શકશો. ખાસ કરીને એમાં કઈ જોડી રહેલી છે, એટલું જ જોવાનુ, જે જોડી રહેલી હેાય તેને શોધીને તમે તરત જ આપી શકે છે.

Page #124

૧૧૫
દાખલા તરીકે તેણે કહ્યું કે પહેલી પંક્તિમાં,’ તે ૧ અને ૨ તેમાં રહેલા છે. અથવા એમ કહ્યું કે પહેલી અને ત્રીજી પંક્તિમાં,' તે! ૩ અને ૪ તેમાં રહેલાં છે. જોડીમાં પહેલેા એકી અને પછી એકી એ ક્રમ નિશ્ચિત છે, એટલે પ્રથમ એકી શોધી કાઢવા જોઈએ અને તેના અનુસંધાનમાં એકી કયાં છે? તે જોઈ લેવું જોઈ એ. આ રીતે કોઈ પણ એક કે બે પાક્તમાં રહેલું જોડકુ કહી શકાય છે.
(૯) કઇ પણ મહિનાની તારીખના વાર કહેવાની રીત
વના છેલ્લા બે આંકડા લ્યે. તેમાં ૢ ઉમેરો. તેમાં જે અપૂર્ણાંક હોય તે છેોડી દો. પછી તેમાં પ્રથમ તાલિકા પ્રમાણે મહિનાના ગુણાંક ઉમેરો. પછી જે તારીખના વાર કાઢવા હાય તે તારીખના અંક ઉમેરા. પછી બીજી તાલિકા પ્રમાણે વર્ષના ગુણાંક ઉમેરે. આવેલી રકમને છથી ભાગે. શેષ વધે તેના ઉત્તર ત્રીજી તાલિકા મુજબ આપે. આ રીતે સને ૧૯૦૦ થી ૨૦૦૦ સુધીના કોઈ પણ મહિનાની કઈ પણ તારીખે કયા વાર હતા, તે કહી શકશો.
તાલિકા પહેલી
તાલિકા ીજી
વર્ષોના ગુણાંક
૧૯૦૦ થી ૨૦૦૦ ઉમેરા૰
મહિનાના ગુણાંક
જાન્યુ. ૧ લિપ ઈયર ૦
ફેબ્રુ.
માર્ચ
૩ ૧૮૦૦ થી ૧૯૦૦
""
૪ [ સપ્ટે. ૧૪ ૧૭૫૨ થી ૧૮૦૦
""
""

Page #125

એપ્રિલ ૦
મે
૨
પ
જીન
જુલાઈ 。
એગ.
3
સપ્ટે. ૬
આકટો. ૧
નવે. ४
ડીસે. ૬
દાખલા :
૧૭૦૦ થી ૧૭૫૨ રજી સપ્ટે. ઉમેશ ૧
૨.
,,
૧૬૦૦ થી ૧૭૦૦ તાલિકા ત્રીજી
રિવ સેામ મંગળ બુધ ગુરુ
૧ ૨ ૩ ૪ ૫. શુક્ર શનિ
૧૮૫૬ના એગસ્ટની ૪થી તારીખે કયા વાર હતા
છેલ્લા બે આંકડા પર
તેના ચાથે। ભાગ ૧૪
ઓગષ્ટના ગુણાંક
તારીખ
વર્ષોના ગુણાંક
૭૯
૭૯ – ૭ = ૧૧ ભાગ, ૨ શેષ. માટે સેમવાર..
(૧૦) ધી સ્પેલીંગ કાર્ડ ટ્રીક
[સ્પેલીંગ ખેલતા જાએ, તે પ્રમાણે ગ જીફાનાં પાનાં ઉઘડતાં જાય.] આ એક ઘણી સુંદર દ્રીક છે અને મિત્રમંડળ તથા

Page #126

૧૧૭
પ્રેક્ષકને ભારે રમૂજ ઉપજાવે તેવી છે. ઈંગ્લાંડ તથા અમે રિકામાં આ ટ્રીક ઘણી લેાકપ્રિય થયેલી છે. તેની રીત અહીં આપવામાં આવે છે.
(૧) ગંજીફાનાં કાઈપણ એક રંગનાં ૧૩ પાનાં ચે;
(૨) તેને નીચે પ્રમાણે ગેાડવા એટલે કે એકની નીચે ખીજાને મૂકતા જાઓ અને એ રીતે ૧૩ પાનાંની થેકડી તૈયાર કરો.
૩-૮--૭-૧-રાણી-૬-૪-૨-ગુલામ-માદશાહુ-૧૦ના ૯-૫. [ અહીં આંકડા લખ્યા છે, તેટલા દાણાંવાળું પાનુ સમજવું. ]
આ કૅમ યાદ રાખવા માટે નીચેની કવિતા ઉપયાગી છેઃ ત્રણ આઠ સાત ને એક; રાણી છક્કી ચાર વિવેક, ખગ્ગા ગેાલેા રાજા વળી; દશ નવ પાંચે રમત જ ફળી.
(૩) પછી આંકડાના સ્પેલીંગ ખેલતા જાઓ અને તે દરેક કાર્ડ ક્રમશઃ નીચે મૂકતા જાએ. જેમકે-One તો O બેલીને પહેલું કાર્ડ થેકડીને નીચે મૂકવુ, N એલીને ખીજું પાનું તેની નીચે મૂકવું અને E એલીને ત્રીજી પનું તેની નીચે મૂકવું.
(૪) આ રીતે એક સંખ્યાના સ્પેલીંગ પૂરા થાય,

Page #127

૧૧૮
એટલે ત્યાર પછીનું પાનું ખુલ્લું કરવું, જે અનુક્રમે ૧-૨ વગેરે હશે. આ રીતે બધા સ્પેલીંગ બેલી રહેતાં ૧૩ કાર્ડ ખુલી જશે અને તે બધા બરાબર ક્રમમાં હશે.
(૫) સ્પેલીંગમાં નીચે પ્રમાણે અક્ષર કમશઃ બેલવા જોઈએ. જો તેમાં એક પણ ભૂલ થશે, તે બધી ગોઠવણ ગરબડમાં પડી જશે, માટે સ્પેલીંગ બોલતી વખતે બરાબર ધ્યાન આપે.
ફાઇવ
One Two Three Four Five Six Seven Eight Nine Ten Jack Queen King
સિકસ સેવન એઈટ
નાઈન ટેન
કવીન કીંગ

Page #128

પ્રશ્ન-શૂન્યનું કાર્ય શું? ઉત્તર-હતુ તે ગયુ, એમ બતાવવાનુ, એકમાંથી એક જાય તેા શૂન્ય રહે ઃ ૧-૧ = ૦; પાંચમાંથી પાંચ જાય તે શૂન્ય રહે : ૫-૫ = ૦; અને હજારમાંથી હજાર જાય તેા પણ શૂન્ય રહેઃ ૧૦૦૦-૧૦૦૦=૦૦૦૦ પ્રશ્ન-સરવાળા શૂન્ય આવે તે શું સમજવું ? ઉત્તર-બધાં જ શૂન્ય ભેગાં થયાં હશે.
૦૦૦
૦૦૦
૦૦૦
૦૦૦
[ ૧૮ ] અંક વિનોદ
-શૂન્ય
પ્રશ્ન–શુ શૂન્યને પેાતાનું મૂલ્ય કંઈ જ નથી ?
ઉત્તર-છે, પણ ભીતરમાં દેખાઈ રહેલું છે. જ્યારે કાઈ અંકના આશ્રય આધાર મળે ત્યારે તે બહાર આપે છે. ૧૦, ૨૦૧, ૫૦૦, ૩૦૭૦ આ બધાં સ્થાને શૂન્યનું મૂલ્ય જોઈ શકાય છે.
પ્રશ્ન-અકામાં શૂન્ય ન હેાત તે
શું થાત ?

Page #129

૧૨૦
ઉત્તર-સંખ્યાઓ ૯ થી આગળ વધી શકત નહિ. તેને જે
દીર્ઘ વિસ્તાર થયો, તે શૂન્યને આભારી છે. નજીકના ૧૦ પર જ દષ્ટિ નાખે, એટલે ખ્યાલ આવી જશે.
' ૧-એક પ્રશ્ન-એકની ટેક શું ? ઉત્તર–સત્ત્વશાળી રહેવું. સત્ત્વ (Substance) ન હોય તે
શૂન્ય અને એકમાં કંઈ જ ફરક નથી. એક પિતાનું સર્વ પિતાની મેળે જ પ્રગટ કરે છે. તેને શૂન્યની
માફક કેઈને આશ્રય-આધાર લેવે પડતો નથી. પ્રશ્ન – શૂન્યમાંથી ૧ નું સર્જન થાય ખરું? ઉત્તર–ના. ગમે તેટલાં શૂન્ય ભેગાં કરીએ તે પણ તેમાંથી
૧ ઉત્પન્ન થાય નહિ.
૦૦૦૦૦૦ = ૦. પ્રશ્ન – શૂન્ય અને એકને સંબંધ કે? ઉત્તર–પ્રકૃતિ અને પુરુષ જે. બંનેના સંગથી સંખ્યાની
વૃદ્ધિ થાય છે. પ્રશ્ન-એકમાં એક ક્યાં સુધી ઉમેરી શકાય? ઉત્તર- ઈચ્છા થાય ત્યાં સુધી. એનો અંત નથી. પ્રશ્ન – એકમાંથી એક કેટલી વખત બાદ થઈ શકે? ઉત્તર–માત્ર એક જ વખત. ૧ – ૧= ૦ પ્રશ્ન – એકને શું ગમે?

Page #130

૧૧
ઉત્તર-પહેલા બેસવાનું, જીએને અંકની પંક્તિમાં તે પહેલે જ બેઠા છે ને!
પ્રશ્ન-ગંજીફાની રમતમાં દરેક રંગનાં ૧૩ પાનાં હાય છે. તેમાં ખાદશાહ, તેની રાણી, તેના ગુલામ, અને ૧ થી ૧૦ સુધીના પ્રજાજના હૈાય છે. આમ છતાં એક્કાનું મહત્ત્વ વધારે શા માટે ?
ઉત્તર-કારણ કે એ શૂરવીર સુભટ છે; લડવામાં એક્કો છે. જેની જોડ ન હેાય, તે એક્કો કહેવાય.
२ એ
પ્રશ્ન-એ કારે થાય ?
ઉત્તર-એકમાં એક ઉમેરાય તો. ૧ + ૧ = ૨.
પ્રશ્ન-એની બેઠક કાં ?
ઉત્તર-એ એકીની વચ્ચે. એક બાજુ ૧ છે, બીજી માનુ
૩ છે. ૧ ૨ ૩
પ્રશ્ન-એ અને એ કેટલા થાય?
ઉત્તર-સજાતીય હાય તો ચાર, નહિ તો એના એ રહે. દાખલા તરીકે ૨ ઘેાડામાં ૨ ઘેાડા ઉમેરાય તો ૪ ઘેાડા થાય, પણ ૨ ઘેાડામાં ૨ ગધેડા ઉમેરાય તો ન ૪ ઘેાડા થાય, ન ૪ ગધેડા થાય, એ તો એ ના બે જ રહે. અલબત્ત, ૨ ઘેાડા અને ૨ ગધેડાં મળી ૪ પશુ થાય, પણ તેમાં સજાતીયપણુ' રહેલું છે.
પ્રશ્ન-મેના ખાવીશ ક્યારે થાય?
ઉત્તર-ખીજા બગડાને પોતાની હરાલમાં બેસાડે ત્યારે.

Page #131

૧રર
૩ - ત્રણ પ્રશ્ન-ત્રણ ક્યારે થાય? ઉત્તર–એકમાં બે ઉમેરાય તો, અથવા બેમાં એક ઉમેરાય.
તોઅથવા બે દેઢ ભેગા થાય તે ! પ્રશ્ન-એકથી ત્રણ પર જવાને શું કરવું પડે ? ઉત્તર–એને ઓળંગ પડે. પ્રશ્ન-ત્રણ સ્વભાવે કેવો ? ઉત્તર-તત્ત્વજ્ઞાની. ઘડિમાં આદિ–મધ્ય–અંતની વાત કરે;
ઘડીમાં જઘન્ય, મધ્યમ અને ઉત્કૃષ્ટની વાત કરે;
તો ઘડીમાં ઉત્પત્તિ, સ્થિતિ અને લયની વાત કરે. પ્રશ્ન-ત્રણને વધારે શું ગમે? ઉત્તર-ત્રિકોણ.
૪ – ચાર પ્રશ્ન-ચારને સાર છે? ઉત્તર–એકી છોડવી નહિ. તેને ગડિયે જુઓ, એટલે
ખાતરી થશે. ગમે તે અંકથી ગુણે પણ ગુણનના
અંતે તે બેકી જ પરિણામ લાવશે. પ્રશ્ન–શું ચાર એકી બનતો નથી? ઉત્તર–બને છે, પણ એકીને સંગ થાય ત્યારે.
૪+ ૩ = ૭; ૪+૫ = ૧૬૪+ ૧૩ = ૧૭. પ્રશ્ન-ચારને ભાર શેને લાગે છે?

Page #132

૧૨૩
ઉત્તર–માથા પર રહેલા એ વાંકડિયા શીંગડાના આકૃતિ જુએ એટલે શકા નહિ રહે.
પ્રશ્ન-ચારને ખારની પાસે પહેાંચવુ હાય તો શું કરવું ? ઉત્તર-૮ની દોસ્તી કરવી, અથવા જાતે ત્રણગણુા મેટા થવુ'. ૮ + ૪ = ૧૨. ૪૪ ૩ = ૧૨.
પ્રશ્ન–ચાર ત્રણથી હારી જાય ખરા? ઉત્તર-હા–ત્રણ બમણું જોર કરે તો ચાર એનાથી હારી જાય. ૩ × ૨ = ૬. તેની આગળ ૪ શી રીતે ટકે ?
૫
-
પાંચ
પ્રશ્ન-પાંચનું સ્થાન કાં?
ઉત્તર–ચાર અને છ ની વચ્ચે જ તો !
પ્રશ્ન-પાંચને પરમેશ્વર કહેવાનું કારણ શું?
ઉત્તર–કારણ કે તે શૂન્ય અર્થાત્ જ્યેમ સાથે વિશેષ સંબંધ રાખે છે. જરા ૧ થી ૧૦ સુધીને ગુણાકાર કરી જુઓ. બીજો કોઈ એક આટલી ઝડપથી શૂન્ય સાથે સબંધ ખાંધતા નથી.
પ્રશ્ન-પાંચ ફેાની યાદ આપે છે?
ઉત્તર-હાથના આંગળાની. તેમાં પાંચ આંગળીએ હાય છે.
પ્રશ્ન-પાંચને કાણ પછાડે ? ઉત્તર-તેના પાડોશી જતો !

Page #133

-
૧૨૪
છ
પ્રશ્ન–છનું સ્થાન કેવુ?
ઉત્તર–તદ્દન નિર્ભય. આ માજી પાંચની ચાકી, આ માજી
સાતની ચાકી !
પ્રશ્ન-છ ને કેણુ પસંદ ? એ કે ત્રણ ?
ઉત્તર-એ તો અનેને પેાતાના અવયવા જ માને છે. પ્રશ્ન-૬ અને ૬૬ માં ફેર કેટલા ?
ઉત્તર-માત્ર એક આંકડાના ૬૯ માંથી ૬ નીકળી જાય તો અને સરખા બની જાય.
પ્રશ્ન-છ કેટલી વાર બેવડા અને તો ૯૬ થઇ શકે ? ઉત્તર-ચાર વાર. પહેલી વાર ૧૨ અને, ખીજી વાર ૨૪, ત્રીજી વાર ૪૮ અને ચેાથીવાર ૯૬.
પ્રશ્ન-છના અને પડેશીઓ બમણું જોર કરે તો કાને મઢે તેડાવવા પડે ?
ઉત્તર-એ મારને અથવા એક ચેવીશને X
७ સાત
પ્રશ્ન-સાતની સવારી કયાંથી નીકળે ?
ઉત્તર-એ એકીની વચ્ચેથી. એક માન્ધુ છ હાય, ખીજી બાજી આઠ હોય.
૧૪.
× છતા એક પાડાશી ૫. તે બમણા થાય એટલે ૫ × ૨ = ૧૦. અને બીજે પાડાશી ૭, તે બમણા થાય એટલે છ × ૨ આમ ૧૦ અને ૧૪ ભેગા થતાં ૨૪ થાય છે, એટલે એ એક ચેાધીશને તેડાવવા પડે.
બાર કે

Page #134

પ્રશ્ન-સાતને ઘાત કેઈ કરે ખરે ? ઉત્તરના રે ના! અવિભાજ્યને અડે કે? પ્રશ્ન-બે સાત ભેગા થાય તે શું કરે? ઉત્તર-કાં ૧૪ થાય અને કાં ૭૭ થાય. પ્રશ્ન-સાતની ગુપ્ત વાત શું ? ઉત્તર–હંમેશાં એક પક્ષમાં રહેવું. પ્રશ્ન-સાતમાં કંઈ સુંદરતા ખરી? ઉત્તર-અવશ્ય. માથે સુંદર અંબેડે અને એક લટ ફરકતી.
૮ – આઠ
પ્રશ્ન-આઠને ઠાઠ ક્યાં હોય? ઉતર-સાત અને નવની વચ્ચે. પ્રશ્ન–આઠને વધારે શું ગમે ? ઉત્તર–સિદ્ધિ. પ્રશ્ન–આઠની ઓળખાણ શું ? ઉત્તર–મોટું પેટ. પ્રશ્ન–આઠને ગુણીએ તો ઓછો જ કેમ થતો
૮૪૧ =
૮૪ ૨ = ૧૬ = ૧ + ૬ = ૭ ૮૪ ૩ = ૨૪ = ૨ + ૪ = ૬ ૮૪૪ = ૩૨ = ૩ + ૨ = ૫ ૮ ૪ ૫ = ૪૦ = ૪+ ૦ = ૪
X ૦
X

Page #135

૧૨૬
I
X
X
X
X
૮૪ ૬ = ૪૮ = 8 + ૮ = ૧૨ = ૧ + ૨ = ૩ ૮૪ ૭ = ૫૬ = ૫ + ૬ = ૧૧ = ૧ + ૧ = ૨
૪ ૮ = ૬૪ = ૬ + ૪ = ૧૦ = ૧ + ૦ = ૧ ૮૪ ૯ = ૭૨ = 9 + ૨ = ૯
૮૪૧૦= ૮૦ = ૮ + ૦ = ૮ ઉત્તર–એ તે સ્વભાવનું કારણ છે ! પ્રશ્ન–આઠ નવ કરતાં ચડે ખરો ? ઉત્તર-હા. બે જે સારે ભેરુ મળી જાય તો આઠ નવ કરતાં
ચડે. (૮ + ૨ = ૧૦. તે ૯ કરતાં ૧ વધારે છે.)
પ્રશ્ન-નવના પાડોશી કોણ? ઉત્તર–આઠ અને દશ. પ્રશ્ન-નવની ખાસિયત શું ? ઉત્તર-વિવિધ પ્રકારની લીલા કરવી. પ્રશ્ન-નવને વધારે શું ગમે? ઉત્તર–નિધિ. પ્રશ્ન-નવ અને એકને કે સંબંધ? ઉત્તર-બહ સારે. બંને એક જ જ્ઞાતિના. આ પણ એકી
ને એ પણ એકી. પ્રશ્ન-આઠ અને નવ મજલ કરવા માંડે તો ભેગા કયાં થાય? ઉત્તર–નેવુંને એક અંકનું છેટુ રહે ત્યારે, અર્થાત્ ૮૯ માં.
આ સંખ્યામાં ૮ અને ૯ સાથે થયેલા છે.

Page #136

૧ર૭,
પ્રશ્ન – નવના ટુકડા થાય ખરા? ઉત્તર-હા. ત્રણ ટુકડા થાય, પણ બે નહિ. પ્રશ્ન – નવ વનમાં ક્યારે જાય? ઉત્તર-ચાર મજલ પૂરી કરી છડું ડગલું ભરે ત્યારે.
(વન એટલે એકાવન. ૯ પહેલી મજલે ૧૮ પર પહોંચે, બીજી મજલે ર૭ પર, ત્રીજી મજલે ૩૬ પર, અને ચોથી મજલે ૪૫ પર. ત્યાંથી છ ડગલાં આગળ વધે તે ૪૬, ૪૭, ૪૮, ૪૯, ૫૦ ઉપર થઈ ૫૧ (એકાવન) પર પહોંચી જાય.
-
૧
-

Page #137

Page #138

ખંડ બીજે ગણિતજ્ઞાનની પૂતિ કરનાર
સો કોયડાઓ
=
=

Page #139

Page #140

૧૩૧
૧ માંથી ૧ જાય તે મીંડું કે શૂન્ય રહે એવી આપણી સમજ છે અને તે બરાબર છે. પણ ૧માંથી ૧.જાય તે ૧૧...રહે, એ કેમ બને?
એક વાર એક વેપારીએ હિસાબ ગણતાં સાત એકડા લખ્યા હતા અને સરવાળે ૧૬ને માંડ હતું, તે એ એકડા કેવી રીતે લખ્યા હશે?
બે એકડા લખતા ૧૧ થાય છે, ત્રણ એકડા લખતાં ૧૧૧ થાય છે, વગેરે; પણ પાંચ એકડા એવી રીતે લખે કે જેનું પરિણામ ૨૧૨ આવે.
એમ કહેવામાં આવે છે કે ગમે તેટલાં શૂન્ય ભેગાં કરીએ તે પણ ૧ થાય નહિ, પરંતુ કનુએ ૧૬ શૂન્યમાંથી ૧ નું સર્જન કર્યું, તે શી રીતે કર્યું હશે?
૧ ઉપર, ૧ નીચે અને ચાર બાજુએ, છતાં ગણતરીમાં ૫, એ કેમ બને?
૨ ને ૧૨ સાથે જોડીને ૧૪ પરિણામ તે બધા

Page #141

૧૩૨
લાવે છે, પણ વિનેદે ૨ ને ૧૨ સાથે એવી રીતે જોડ્યા, કે તેનું પરિણામ ૩ર આવ્યું, તે એ શી રીતે જેઠયા હશે?
[ ૭ ] ચાર બગડે દર કેવી રીતે લખાય ?
[ ૮ ] પાંચ બગડા એવી રીતે લખે કે જેનું પરિણામ ૨૪૪ આવે.
[ ૯ ] પિતાએ પુત્રને કહ્યું : “આજથી પાંચ વર્ષ પહેલાં તારા કરતાં હું ત્રણગણી ઉમરને હતે, હવે દશ વર્ષ પછી તારા કરતાં બમણું ઉમરને થઈશ, તે હાલ પિતા, અને પુત્રની ઉમર કેટલી ?
૧૦ ] નવ દીવાસળીને એવી રીતે ગોઠવે કે જેથી ત્રણ સમરસ થાય.
[ ૧૧ ] કાકાએ કનુને પૂછ્યું કે “કેટલા વાગ્યા છે?” કનુએ કહ્યું કે “રાત્રિના ૧૨ વાગવામાં જેટલા બાકી છે, તેમાં ૬ ઉમેરીએ તેટલા વાગ્યા છે. તે એ વખતે ખરેખર કેટલા વાગ્યા હશે?

Page #142

૧૩૩
[ ૧૨ ] એક ખેડૂત પાસે ૧૦૦ પશુઓ છે. તેમાં કેટલીક ભેંસે છે, કેટલીક ગાય છે અને કેટલીક બકરીઓ છે. હવે ભેંસ રોજનું ૪ શેર દૂધ આપે છે, ગાય રેજનું ૧ શેર દૂધ આપે છે અને બકરી જનું શેર દૂધ આપે છે. આ રીતે તેને રોજનું ૧૦૦ શેર દૂધ ઉતરે છે, તે ભેંસ, ગાય તથા બકરીની સંખ્યા કેટલી?
[ ૧૭ ] શામળ ભટ્ટને એક છ લગભગ આ જ ઢબને કેયડો રજૂ કરે છે, તે જાણ અહીં રસપ્રદ થશે.
એક રાયને ઘેર, ઘણા હાથી ને ઘોડા; ઊંટ હતા અનેક, બીજા તે સાથે જોડા. અઢી મણ હાથી ખાય,દોઢ મણ ઊંટને જાણ;
પાંચ શેર ખાય અશ્વ, ગણિતે કરી માનજે. સે મણ દાણ નિત્ય વરે, સો છે જનાવર સાથીઓ ત્યારે ઊંટ અને અશ્વ કેટલા, વળી કહે કેટલા હાથીએ ! અર્થ સરલ છે.
[ ૧૪] એક વેપારીએ પિતાના મોટા પુત્રને ૧૦૦ મણ જુવાર અને નાના પુત્રને ૬૦ મણ જુવાર આપીને કહ્યું કે તમારે આ જુવાર બજારમાં જઈને વેચી લાવવાની છે, પણ તેમાં

Page #143

૧૩૪
બે વસ્તુ ખ્યાલમાં રાખવાની છે કે જ્યારે જુવાર વેચે ત્યારે સરખા જ ભાવે વેચવી અને નાના મોટા કરતાં બમણું પિસા લાવવા. એક તો જુવારને જ એ છે અને પૈસા બમણું લાવવા, એ દેખીતું વિચિત્ર છે; પણ પુત્રેએ તેમ કરી બતાવ્યું, તે તેમણે ક્યા ભાવે કેટલી જુવાર વેચી હશે?
[ ૧૫ ] નરભેરામના ત્રણે ય પુત્રે શાળામાં જતા હતા. હવે શાળાએ જતી વખતે પહેલા પુત્રે પૈસા માગ્યા, તે તેમણે પિતાની પાસે જે પૈસા હતા, તેના અર્ધા અને એક આનો વધારે આપે. પછી બીજા પુત્રે પૈસા માગ્યા, તે જે પૈસા બાકી રહ્યા હતા, તેને અર્ધો ભાગ અને બે આના વધારે આપ્યા અને છેવટે ત્રીજા પુત્ર પિસા માગ્યા, તે જે વિસા બાકી રહ્યા હતા, તેને અર્ધો ભાગ અને ત્રણ આના વધારે આપ્યા. ત્યાર પછી પાકીટમાં માત્ર એક આનો બચે હતો, તો તેમની પાસે શરૂઆતમાં કેટલા પૈસા હશે ?
[ ૧૬] છ તગડા એવી રીતે લખો કે જેનું પરિણામ ૩૬૬૩ આવે.
[ ૧૭ ] - ત્રણ આંકડાની એવી કઈ રકમ છે કે જેને ઊંધેથી. વાંચીએ તે પણ એ જ વંચાય અને જેના આંકડાને. સરવાળે ૯ હેય ?

Page #144

૧૩૫
[ ૧૮ ] ત્રણ આંકડાની એવી ચાર રકમે બતાવે કે જેના પહેલા આંકડને બીજા આંકડાથી ગુણએ તો પરિણામ ત્રીજા આંકડા બરાબર આવે.
[ ૧૮ ] ચાર વાર એકડા લખીને ૧ પરિણામ લાવવું સહેલું છે, પણ ચાર વાર તગડા લખીને ૧ પરિણામ લાવવું હોય તે લાવી શકશે ખરા ?
[ ૨૦ ] ત્રણ ત્રણ બિંદુઓની સમાંતરે નીચે પ્રમાણે હાર કરીએ તે બધી મળીને ત્રણની કેટલી હાર દેખાય?
[ ૨૧ ] બે ચોગડે જ તે તમે ઘણી વાર લખ્યું હશે, પણ હવે ચાર ચેગડે ૪૪ લખ. અલબત્ત, તેમાં ગણિતની સંજ્ઞા વાપરવાની છૂટ છે.
[ ૨૨ ] ચાર આંકડાની એવી કઈ રકમ છે કે જેને ઊધેથી

Page #145

૧૩૬
વાંચીએ તે પણ એજ વંચાય અને જેના આંકડાને સરવાળે ૧૬ થતે હેય.
[ ૨૩ ] પાંચ ચોગડા એવી રીતે લખો કે જેનું પરિણામ ૪પર આવે.
[ ૨૪ ] ત્રણ એકસરખા અંકોનો ઉપયોગ કરીને ૨૪ પરિણામ લાવવું હોય તે સ્વાભાવિક રીતે જ તમે ૮+ ૮ + ૮ લખશે; પરિણામ ૨૪ લાવો.
[ પ ] ૧૦ + ૧૦ + ૧૦ ને સરવાળે ૩૦ આવે છે. પણ તેમાં ૬ અંકે છે અને તે બે પ્રકારના છે, જ્યારે માત્ર ત્રણ અંકે અને તે પણ એક સરખા લખીને ૩૦ લાવી શકશો ખરા? પ્રયત્ન કરે.
[ ર૬ ] બે આંકડા વડે નાનામાં નાની પૂર્ણાંક સંખ્યા કઈ લખી શકાય?
[ ર૭ ] એવી બે સંખ્યાઓ કઈ છે કે જેની વચ્ચે + નું ચિહ્ન મૂકીએ કે X નું ચિહ્ન મૂકીએ તે પણ પરિણામ સરખું આવે ?

Page #146

૧૭
[ ૧૮ ] પ + પ લખીએ તે ૧૦ થાય; ૫ ૪૫ લખીએ તે ૨૫ થાય; અથવા બે પાંચડાને સાથે લખી નાખીએ તે પપ થાય; પરંતુ બે વાર લખીને પરિણામ ૩૧૨૫ લાવો.
[ ૨૯ ]
પપ ના બે સરખા ભાગ પાડે તો પરિણામ શું આવે? ભાગમાં અપૂર્ણાંક ન આવવું જોઈએ.
[૩૦] નીચે પ્રમાણે ૧૦ સિક્કા મેજ પર પડેલા છે. હવે તે સિક્કામાંથી એક એક સિક્કો લઈને બીજા પર ચડાવવાને છે. પણ તેમાં શરત એટલી છે કે ઓછામાં ઓછા ૧ સિક્કો તે કૂદાવવો જ જોઈએ, તે કેવી રીતે કૂદાવશે? ૧ ૨ ૩ ૪ ૫ ૬ ૭ ૮ ૯ ૧૦
[ ૩૧ ] ત્રણ જુગારીઓ ૨૦ રૂપિયા લઈને રમવા બેઠા. હવે રમતના અંતે પહેલા જુગારી પાસે એટલા રૂપિયા રહ્યા કે જે બીજા કરતાં ૨ રૂપિયા વધારે હેત તે તેના કરતાં બમણું થાત અને બીજા પાસે એટલા રૂપિયા રહ્યા કે ત્રીજા કરતાં ર બે રૂપિયા વધારે હેત તે તેના કરતાં બમણ થાત, તે દરેક પાસે કેટલા રૂપિયા રહ્યા હશે ?

Page #147

૧૩૮
[ ૩૨ ]
નીચે પ્રમાણે ૧૦ દીવાસળીએ પડેલી છે. હવે તેમાંથી ત્રણ દીવાસળીઓ ઉચકીને એવી રીતે મૂકો કે જેથી મધે ક્રમ ઉલટા અની જાય; એટલે કે ચાર દીવાસળી સહુથી ઉપર આવી જાય. તેની નીચે ત્રણ, તેની નીચે બે અને તેની નીચે એક.
[ 33 ]
એક માણસની ઉમર મૃત્યુ સમયે તેના જન્મવર્ષાથી ૨૯મા ભાગની હતી, તા ૧૯૦૦ની સાલમાં તેની ઉમર શું હશે?
[ ૭૪ ]
એક કિલ્લાને ત્રણ દરવાજા હતા અને ત્યાં અમુક ચાકીદારે। કાયમ પહેરા ભરતા હતા. એક વાર કેટલાક લૂંટારૂઓએ તેના પર હલ્લા કરવાના નિર્ણય કર્યો. હવે પહેલા દરવાજા પર તેમણે હલ્લા કર્યો, તેની જાણ ખીજા દરવાજાના ચાકીદારાને થઇ; એટલે પહેલા દરવાજા પર જેટલા ચાકીદાર હતા, તેટલા જ ચાકીદારો દરેક સ્થળેથી ત્યાં પહેાંચી ગયા. આથી લૂંટારૂએ ફાવ્યા નહિ. પછી તેમણે

Page #148

૧૩૯
બીજા દરવાજા પર હલ્લા કર્યાં તે ત્યાં પણ પહેલા અને ત્રીજા દરવાજેથી બીજા દરવાજાના ચોકીદારો જેટલા જ ચાકીદા૨ે પહોંચી ગયા. આથી લૂટારૂએ ત્રીજા દરવાજા તરફ ધસ્યા તે ત્યાં પણ પહેલા અને ખીજા દરવાજાના ચાકીદારા આવી પહાંચ્યા. તેમની સંખ્યા ત્રીજા દરવાજાના ચાકીદાર જેટલી જ હતી. આમ ચાકીદારાએ ખૂબ મહાદુરી બતાવવાથી લૂટારૂએ ફાવ્યા નહિ. પરંતુ અહીં એ જાણવું છે કે ત્યાં પ્રથમથી દરેક દરવાજે કેટલા ચાકીદારા ગોઠવાયા હતા?
[ ૩૫ ]
કરસન પાસે કેટલીક બકરીએ હતી, કાળુ પાસે કેટલાંક ઘેટાં હતાં અને મેઘા પાસે કેટલીક ગાયે હતી. આ ત્રણે વચ્ચે મિત્રાચારીભર્યો સારા સંબંધ હતા. હવે એક વખત ત્રણેય જણ સાથે બેઠા હતા, ત્યારે વાતની વાતમાં કરસને કહ્યું : મેઘા ! મારે એક ગાયને ખપ છે, જો તું મને ગાય આપીશ તેા બદલામાં ૬ ખકરીએ આપીશ અને તારી પાસે મારા કરતાં બમણાં પશુ થશે.' કાળુએ કહ્યું : ‘ મેઘા મારે પણ ગાયના ખપ છે. જો તું મને ગાય આપીશ તે બદલામાં તને ૧૪ ઘેટાં આપીશ અને તેથી તારી પાસે મારા કરતાં પાંચગણાં પશુ થશે.' તે એ ત્રણે પાસે પશુએ કેટલાં ?
[ 3 ]
એક સ્ત્રી બજારમાં કેટલેક માલ ખરીદવા ગઈ. હવે.

Page #149

૧૪૦
તેણે ત્યાંથી કેટલીક વસ્તુઓ ખરીદી. પછી ઘરે આવીને પિસા ગયા તે જેટલા રૂપિયા હતા, તેટલા આના રહ્યા
અને જેટલા આના હતા, તેના અર્ધા રૂપિયા રહ્યા. તે તે - સ્ત્રી બજારમાં ગઈ ત્યારે તેની પાસે કેટલા પૈસા હશે!
જુના જમાનાની આ વાત છે, જ્યારે આ દેશમાં બધી વસ્તુઓ ઘણું સસ્તી મળતી. એ વખતે એક પિતાએ પુત્રની પરીક્ષા કરવા માટે તેને એક પૈસો આપે અને કહ્યું કે “બેટા! અત્યારે બજારમાં ૧ પૈસાનાં નાગરવેલનાં પાન ૭ મળે છે. સોપારી ૨૧ મળે છે અને લવિંગ ૧૦૫ મળે છે. મેં તને આપેલા પૈસામાંથી તું બધી વસ્તુઓ સરખા પ્રમાણમાં લઈ આવ, હવે પુત્રે એ કામ શી રીતે કરવું?
[ ૩૮ ] ચાર વાર પાંચને ઉપયોગ કરી ૧૨૦ લખે.
[ ૩૯ ] આઠ વાર પાંચ લખી ૧૬૧૫ લાવો.
[ ૪૦ ] ચાર પ નો ઉપગ ગણિતની સંજ્ઞાઓ સાથે એવી રીતે કરે છે જેનું પરિણામ ૧૦૦ આવે.

Page #150

૧૪૧
[ ૪૧ ] ચાર ૭ ને ઉપગ ગણિતની સંજ્ઞાઓ સાથે એવી રીતે કરે છે જેનું પરિણામ ૧૦૦ આવે.
[ કરે ] પાંચ નવને ઉપગ ગણિતની સંજ્ઞાઓ સાથે એવી રીતે કરે છે જેનું પરિણામ ૧૦ આવે.
[ ૪૩ ] એક જાતના પાંચ આંકડાઓ ગણિતની સંજ્ઞાઓ સાથે એવી રીતે લખો કે જેનું પરિણામ ૧૦૦ આવે.
[ ૪૪ ] આઠ અંકે એવી રીતે લખે કે જેનું પરિણામ. ૧૦૦૦ આવે.
[ ૪૫ ] બે ટેળાં પંખીતણાં, ઉડતા’તાં આકાશ વનમાં ઉતર્યા ઝાડપર, બેઠાં ખાવા શ્વાસ. એક કહે તેમ માંયથી, જે આ બે સાર; સરખાં થઈએ આપણે, વધે બેઉને ભાર. તે સુણ બીજું કહે, તમમાંથી બે પક્ષ આવે તે બમણું અમે, થઈએ તત પ્રત્યક્ષ. કહે પંખી એ કેટલાં, ટાળે મનસંદેહ, બંને ટેળામાં હશે, કહો ગુણીજન તેહ.

Page #151

' ૧૪૨
[ ૪૬ ] ૫ ના ૧૫૦૦ શૂન્યની મદદ વિના બનાવી દે.
[ ૪૭ ] એવા પાંચ કાર્ડ બનાવે કે જેનાથી ૩૧ સુધીની કોઈ પણ સંખ્યા બનાવી શકાય.
[ ૪૮ ] ત્રણ વાર પાંચનો ઉપયોગ કરી પરિણામ ૬ લાવે.
[ ૪૯ ] સાત વાર સાત લખી પરિણામ સાત લાવો.
૫૦ ] ચાર ૧૭ એવી રીતે લખે કે જેને સરવાળે ૧૮૮૮૭ થાય.
[ પ ] દશે દશ અંક વાપરીને ૧ લખો.
[ પર ] ૪૩૧ ની સંખ્યામાં ૨ એવી રીતે ઉમેરે જેથી તેનું મૂલ્ય ૪૪ કરતાં ઓછું થાય.
[ ૫૩ ] ૧ થી ૯ સુધીના અંકે નીચે પ્રમાણે ગોઠવાયેલા છે.
૭ ૨૮ ૧૯૬ ૩૪ ૫

Page #152

૧૪૩
આમાં ડાબા હાથ તરફની છેલ્લી સંખ્યા ૭ ને તેની આગળના બે આંકડા એટલે કે ૨૮ થી ગુણીએ તે તેનુ પરિણામ વચ્ચે રહેલા ત્રણ અંક જેટલું અર્થાત્ ૧૯૬ આવે છે. પરંતુ જમણા હાથના છેડે રહેલ પ ને તેની આગળના બે આંકડા એટલે ૩૪ થી ગુણતાં પરિણામ ૧૭૦ આવે છે. હવે આ અકાને એવી રીતે ગાડવી તે કે જેના અને છેડે રહેલા આંકડાને તેમની આગળના એ આંકડે ગુણીએ તે પરિણામ વચલી સંખ્યા ખરાખર થાય. [ ૫૪ ]
ત્રણ આંકડાની એવી કઈ રકમ છે કે જેને અર્ધો ભાગ ખાદ કરીએ તે! કં'મત શૂન્ય રહે?
[ ૫૫ ]
૧ ને ચાર વાર વાપરીને મેટામાં મેાટી કઈ સ ંખ્યા લખી શકાય?
[ ૫૬ ]
ત્રણ ૯ ના ઉપયોગ કરીને વધારેમાં વધારે સખ્યા
દર્શાવે.
[ ૧૭ ]
૪૮ ની સંખ્યામાં એવી ખૂખી છે કે તેમાં ૧ ઉમેરા, એટલે વસખ્યા થાય. ૪૮ + ૧ = ૪૯. તે ૭ ના વગ છે. ૭×૭=૪૯. હવે તેના અર્ધામાં ૧ ઉમેરીએ તે પણ

Page #153

૧૪૪
વર્ગસંખ્યા થાય છે. જેમકે ૨૪ + ૧ = ૨૫. તે ૫ ને વર્ગ છે. ૫૪ ૫ = ૨૫. હવે આવું જ પરિણામ આપનારી બીજી નાનામાં નાની સંખ્યા કઈ?
[ ૧૮ ] એક વાર એક ચિઠ્ઠી મળી આવી. તેની અંદર મોટા અક્ષરે ૩૦૨૫ ની સંખ્યા લખેલી હતી. હવે અચાનક એ ચિઠ્ઠી ફાટી ગઈ અને તેના બે સરખા ભાગ થયા.
હવે આ બે ટુકડાઓને સરવાળે કરીએ તે ૫૫ થાય છે અને તેને વગ કરીએ એટલે કે તેને એ જ સંખ્યાથી ગુણીએ તો પરિણામ બરાબર ૩૦૨૫ આવે છે. આવી જ બીજી કઈ સંખ્યા બતાવશે ખરા?
[ ૫૯ ] મોટામાં મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યા કઈ?
[ ૬૦ ] બે તડબૂચ વેચાય છે, તેમાં એક તડબૂચ બીજા કરતાં સવાગણું મોટું છે, પરંતુ તેની કિંમત દેઢી છે, તે કયું ખરીદવું?
[ 1 ] એક સાંકળ તૂટીને તેના પાંચ ટુકડા થયા. તે દરેક

Page #154

ટુકડામાં ત્રણ ત્રણ અંકેડા છે. હવે લુહાર એક અકડે ખેલીને બેસાડવાના આઠ આના લે છે, તે આખી સાંકળ તૈયાર કરવામાં કેટલો ખર્ચ પડે?
[ ૬૨ ] એક ગૃહસ્થ એક વર્ગના વિદ્યાર્થીને કેટલાંક પુસ્તકો ભેટ આપવા મોકલ્યાં. હવે જે દરેક વિદ્યાર્થીને ૪ પુસ્તકે ભેટ આપે તો ૧ પુસ્તક વધે છે અને ૫ પુસ્તક ભેટ આપે તે ૧ વિદ્યાથી વધે છે. તે એ વર્ગમાં વિદ્યાથીઓ કેટલા અને તેમને ભેટ આપવા માટે પુસ્તકો કેટલાં?
[ ૬૩ ] એક વાર નરેન્દ્ર એક ફેરીવાળા પાસેથી ૧ રૂપિયાનાં અંજીર લીધાં, પણ તે વધારે નાના લાગવાથી બીજાં ૪ માગી લીધાં. હવે હિસાબ ગો તો ડઝને ચાર આના ભાવ એ છે કે, તે પ્રથમ રૂપિયાનાં કેટલાં અંજીર આવ્યાં હશે?
[ ૬૪ ] એક જમાદારે ચેરને જે ત્યારે તે ૨૭ ડગલાં દર હિતે. હવે જ્યારે જમાદાર ૫ ડગલાં ભરે છે, ત્યારે ચાર ૮ ડગલાં ભરે છે, પણ જમાદારનાં ૨ ડગલાં ચેરનાં ૫ ડગલાં બરાબર છે, તે જમાદાર કેટલા અંતરે એ ચારને પકડી પાડશે?

Page #155

૧૪૬
આ આકૃતિમાં કેટલા ત્રિકોણ છે? બરાબર ગણીને
કહે.
[ ૬૬ ]
દશેય અંકને ઉપયોગ ગણિતની સંજ્ઞા સાથે એવી રીતે કરો કે જેનું પરિણામ ૧૦૦ આવે. સંખ્યામાં અપૂર્ણાંકને ઉપયોગ થઈ શકશે.
[ ૬૭ ]
૧૩ બાજુમાં બતાવેલી સંખ્યાઓમાંથી ઓછામાં ઓછા ૪૨ અંકનું એવી રીતે પરિવર્તન કરો કે પરિણામમાં પ૭ કશે જ ફરક પડે નહિ.
૨૧૦

Page #156

૧૪૭
[ ૬૮] -૧૧૧ અહીં પાંચ રકમે આપેલી છે. તેને સરવાળે ૩૩૩ ૨૭૭પ થાય છે. હવે તેમાં ગમે તે છ અંકના પપપ સ્થાને છે શૂન્ય મૂકી તેનું પરિણામ ૧૧૧૧ લાવે. ૭૭૭ ૯૯૯
૨૭૭૫
[ ૬૯ ] ગોરી બેડી ગોખ–તળે નદી કેરે નીરે, તો મોતી હાર, પડ્યો જઈ તેને તીરે, અડધ મતી જળ મહીં, પલકમાં જઈને પડી, ચેથ સવા ભાગ તે, કચરે જઈને અડી. વળી છઠ્ઠો ભાગ સેવાળમાં, ગબડી ગબડી ને ગયાં; પૂછીએ મેતી કેટલાં, કામિની કારમાં બે રહ્યાં.
[ ૭૦ ] મિત્ર હતા જણ બેય, તેહ કહે રમવા જાવું, એકે સવા શેર, ખંતથી લીધું ખાવું. બીજે પણ શેર, ત્રીજો જણ તેમાં ભળીએ; પિસા આપી વીસ, રાજી થઈ પંથે પળીઓ. વીસ પૈસા એ વહેંચવા, તે તે કૌતુક સારખું; કવિ શામળ સુજન સમજશે, પંડિત કરશે પારખું.

Page #157

૧૪૮
[ ૭૧ ] બે જણ બાર વેચતા હતા. તેમાં એક પૈસાના ૨ વેચતે હતો અને બીજો એક પિસાના ૩ વેચતે હતે. એવામાં કઈ કામ પ્રસંગે તે બંનેને જવાનું થયું, એટલે ત્યાં બેઠેલા ત્રીજા જણને તેમણે પિતાની પાસે રહેલાં ૩૦, ૩૦ બેર ભળાવી દીધાં અને ૨ પૈસાના ૫ લેખે વેચવાનું કહ્યું. હવે પિલાએ બધાં બેર એ ભાવે વેચી નાખ્યાં, તો તેને ૨૪ પૈસા ઉપજ્યા. એવામાં પિલા બે માણસે પાછા આવ્યા અને હિસાબ માગ્યો. હવે તેમના હિસાબે પહેલાને ૧૫ અને બીજાને ૧૦ મળવા જોઈએ, પરંતુ પૈસા ૨૪ હતા, તે એક પૈસા ક્યાં ગયો?
સાથેના ચિત્ર મુજબ ૧૨ દીવાસળીથી ચાર ચેરસ બનેલા છે. હવે તેમાંથી ૩ દીવાસળી ઉપાડી લઈને એવી રીતે મૂકે કે ત્યાં ૩ જ ચેરસ રહે.
[ ૭૩ ] થાળીને ભાવ ૧૮ રૂપિયે ડઝન, વાડકાને ભાવ ૬ રૂપિયે ડઝન અને પ્યાલાને ભાવ ૩ રૂપિયે ડઝન હોય અને ૫૦ રૂપિયામાં ૫૦ વાસણ લાવવાં હોય, તે દરેક કેટલાં લેવાં?

Page #158

૧૪૯
1 9 |
[[ ૭૪ ] બે વેપારીઓએ એક જ ભાવથી સરખી કેરીઓ ખરીદી. હવે પહેલા વેપારીએ તે કેરી રૂપિયાની ૭ લેખે વેચી તો તેને ૭ રૂપિયાને નફે થયે અને બીજા વેપારીઓ તે કેરી રૂપિયાની ૮ લેખે વેચી તે તેને ૮ રૂપિયા નુકશાન થયું, તે બંનેએ શા ભાવથી કેટલી કેરીઓ ખરીદી હશે ?
[ પ ] એક પાટિયા પર સાથે જણાવ્યા મુજબ છ સંખ્યાઓ લખાયેલી હતી અને તેને દૂર લટકાવવામાં આવ્યું હતું. તેની શરત એવી હતી કે જે સંખ્યાને તાકવામાં આવે તેટલા રૂપિયા મળે. હવે એક નિશાનબાજે એક પછી એક પાંચ
તાક લીધી અને તેને ૧૦૦ રૂપિયા મળ્યા, તે | ૫૪. તેણે કઈ સંખ્યાઓને તાકી હશે?
[ ૭૬ ] પાંચ અને છ વાગ્યાની વચ્ચે એવો સમય ક્યારે આવે કે જ્યારે કલાક અને મીનીટના કાંટા બરાબર કાટખૂણે હોય ?
[ se ] વર્ષે ૧૨૦ રૂપિયાને પગાર અને ૨૦ ને વધારો

Page #159

૧૫૦
ઠીક કે છ મહિને ૬૦ ને પગાર અને ૧૦ ને વધારે ઠીક ? પાંચ વર્ષ નોકરી કરવાની શરત છે, એમ સમજીને જવાબ આપવો.
[ ૭૮ |
એક માણસે બે મોટરે વેચી. તે દરેકના તેને ૨૦૦૦ રૂપિયા ઉત્પન્ન થયા. હવે તેને પહેલી મેટરમાં ૨૦ ટકાને નફે થયો અને બીજીમાં ૨૦ ટકાનું નુકશાન થયું, તે એકંદર નફે કે નુકશાન ? નફે હોય તે નફે કેટલો? અને નુકશાન હોય તે નુકશાન કેટલું ?
[ ૭૪ ]
સુંદર સદાગરની વાત છે. તેની પાસે ઘણી મિલકત હતી. તે બધી તેણે મરતાં પહેલાં પિતાના ત્રણ પુત્રોને સરખે ભાગે વહેંચી આપી, પરંતુ પિતાની પાસે જે પાણદાર ૧૯ ઘેડા હતા, તેની વહેંચણ ન કરી. તે સંબંધી તેણે એક ચિઠ્ઠી લખીને પુત્રને આપી હતી અને જણાવ્યું હતું કે “મારા મૃત્યુ બાદ આ ચિઠ્ઠી ઉઘાડજો, અને તેમાં જણાવ્યા મુજબ ઘેડાની વહેંચણી કરી લેજે.”
પિતાના મૃત્યુ બાદ પુત્રએ ચિઠ્ઠી ઉઘાડી તે તેમાં લખ્યું હતું કે “મારા ૧૯ ઘોડામાંથી અરધા મારા મેટા

Page #160

પુત્રને આપવા, ચોથે ભાગ વચેટ પુત્રને આવે અને પાંચમે ભાગ નાનાને આપે. કેઈ ઘેડાને મારવો નહિ અને મારી આજ્ઞાનું ઉલ્લંઘન કરવું નહિ.”
પુત્ર આ ચિઠ્ઠી વાંચીને મુંઝવણમાં પડ્યા, પણ એવામાં નજીકના ગામમાંથી તેમના કેઈ સગા ઘડા પર બેસીને ત્યાં આવ્યા. તેણે બધી હકીકત સાંભળીને કહ્યું કે આમાં શું? ” અને ઘોડાની વહેંચણી કરી દીધી, તો એ વહેંચણી શી રીતે કરી હશે?
૮૦ ]. મણ મણના બે મહેતો મહેતા,
અધમણિયાં બે મહેતલ, મછ ઝીલે મણને ભાર,
ઉતરવું પેલે પાર ? મહેતા અને મહેતી એ દરેકનું વજન એક મણ છે અને તેમના બે છોકરાઓનું વજન અડધો-અડધે મણ છે. હવે મછવો માત્ર ૧ મણ ભાર ઉપાડે છે, તો તેમણે નદીના સામે કિનારે શી રીતે જવું ?
[ ૮૧ ] એક માણસના ઘરમાં ૩ ફુટ લાંબું અને ૩ ફુટ પહેલું જાળિયું હતું. હવે કઈ પણ કારણસર તેને આ જાળિયાનું કદ અડધું કરવું હતું, એટલે તેણે એ જાળિયાનું

Page #161

૧૫
કદ અડધુ ઘટાડી નાખ્યું, પણ તેની લખાઇ તથા પહેાળાઈ તો એની એ જ રહી, તો તેણે એ જાળિયું શી રીતે પૂર્યુ હશે ?
[ ૮૨ ]
એક વાડામાં ૬ નાના થાંભલા ખેાડેલા હતા અને તે પર ૫ વાંસ બાંધેલા હતા. હવે એક રબારીએ ત્યાં ૪ ઊટે એવી રીતે માંધ્યા કે દરેકના મેઢામાં, વાંસના બબ્બે છેડા આવ્યા અને કોઈ પશુ વાંસ ખાકી રહ્યો નહિ, તે તેણે થાંભલા પર વાંસ કેવી રીતે માંધ્યા હશે ?
[ <3 ]
૮ મણનું કુલ્લું ઘીથી ભરેલુ છે અને ૩ મણુ તથા ૫ મણનું કુલ્લુ' ખાલી છે. હવે બીજું કોઈ સાધન ન હાય અને આ સ્થિતિમાં ઘીની સરખા ભાગે વહેચણી કરવી હેાય તે શી રીતે કરવી ?
[ ૮૪ ]
એક તીસ્થાનમાં ચાર વિશાળ મંદિર હતાં અને તે દરેકને ૧૦૦ પગથિયાં હતાં. હવે એક વખતે ત્યાં એક યાત્રાળુ કેટલાંક ફૂલા લઈ ને આવ્યેા. તેણે પ્રથમ મંદિરે જતી વખતે દરેક પગથિયા પર એકેક ફૂલ ચડાવ્યું અને પેાતાની પાસે જેટલાં ફૂલે! રહ્યાં તેને અડધા ભાગ દેવને ચડાવી દ્વીધા. પછી વળતી વખતે પણ દરેક પગથિયે એકેક ફૂલ મૂકયું. આ રીતે તેણે બાકીનાં ત્રણુ મંદિશમાં પણ

Page #162

૧૫૩
કર્યું, તો તેની પાસે એક પણ ફૂલ વધ્યું નહિ. તો તે કેટલાં ફૂલ લઈને ત્યાં આવ્યું હશે ?
[ ૮૫ ] બે વેપારીઓ ગોળ વેચતા હતા. તેમાંના એકે કહ્યું કે “જો તું મને ૧ મણ ગાળ આપે તો આપણા બંનેની પાસે સરખો ગેળ થઈ રહે.” બીજાએ કહ્યું કે “જે તું મને ૧ મણ ગાળ આપે તો મારી પાસે તારા કરતાં ૧૬૧ ગણે ગેળ થાય.” તે એ બંને વેપારીઓ પાસે કેટલે ગળ હશે?
[ ૮૬ ] એક કાગળ પર નીચે પ્રમાણે નવ શૂન્ય મૂકેલાં છે. આ નવેય શૂન્યને વીંધીને જાય એવી લીંટી દેરવાની છે. તેમાં શરત એટલી છે કે લીંટી દેરતી વખતે પેન્સિલ કાગળ પરથી ઉઠાવવાની નથી, તેમ જ એક પર બીજી લીટી દોરવાની નથી.
:
:
[ ૮૭ ]
સાધારણ રીતે માણસની વરસગાંઠ દરેક વરસે આવે છે, પણ એક માણસની વરસગાંઠ ૬૦ વર્ષમાં માત્ર ૧૫ વાર જ આવી, તેનું કારણ શું હશે?

Page #163

૧૫
[ ૮૮ ]
....
કેટલાક પ્રવાસીએ નદીમાં પ્રવાસ કરી રહ્યા હતા. હવે નીચલા વહેણે તેમની હાડીએ ૨૦ માઈલની ઝડપે પ્રવાસ કર્યો; પરંતુ પાછા ફરતાં ઘેાડી સામા પ્રવાહે ચાલી એટલે કલાકના ૧૫ માઈલના પ્રવાસ કરી શકી. આથી તેમને જવા કરતાં આવવામાં પાંચ કલાક વધારે થયા. તે તેમણે કુલ કેટલેા પ્રવાસ કર્યો હશે?
[ ૮૯ ]
એક પાસાને છ ખાજુ હાય છે. એવાં પાંચ પાસા પર ૩૦ અક્ષરા લખી શકાય. આ પાસા જુદી જુદી કેટલી રીતે ગાઢવી શકાય?
[ ૯૦ ]
એક વાર પોલીસેાએ કેાઇ છૂપી મંડળીના મથક પર દરોડો પાડ્યો, ત્યારે ત્યાંથી નીચે મુજબનું એક કાર્ડ મળી આવ્યું :
ભૈરવ મડળ
સભાસદના લવાજમના દર
....કુલ રૂા. ૧૫૬૬-૫-૫
હવે સરકારી ખાતાના ગુપ્તચર એટલુ જાણતા હતા કે આ મંડળના સભ્યાની સંખ્યા ૫૦૦ ની અંદર છે અને લવાજમ દરેકનું એક સરખું છે. પરંતુ તે આ કાડ પરથી નિ ય કરી શકયો નહિ કે સભાસદનું લવાજમ કેટલું

Page #164

હશે અને સભાસદેની સંખ્યા કેટલી હશે? શું તમે એને જવાબ આપી શકશે ખરા? [ પ્રથમ રૂપિયા-આનાપાઈનું ચલણ હતું, તે વખતને આ હિસાબ છે. ૧૨ પાઈ=1 આને. ૧૬ આના=૧ રૂપિ.]
[ ૯૧ ] એક ટાંકીને ૫ નળ મૂકેલા હતા. તેમને પહેલે નળ ખુલ્લે મૂકવાથી એ ટાંકી ૨૦ મીનીટમાં ખાલી થઈ જતી હતી. બીજે નળ ખુલ્લે મૂકવાથી ૩૦ મીનીટમાં ખાલી થઈ જતી હતી; ત્રીજો નળ ખુલ્લે મૂકવાથી ૪૦ મીનીટમાં ખાલી થઈ જતી હતી; ચોથો નળ ખુલે મૂકવાથી ૫૦ મીનીટમાં ખાલી થઈ જતી હતી અને પાંચમે નળ ખુલ્લો મૂકતાં ૧ કલાકમાં ખાલી થઈ જતી હતી. હવે પાંચેય નળ સાથે ખુલ્લા મૂકવામાં આવે તો એ ટાંકી કેટલા વખતમાં ખાલી થઈ જશે?
[ કર] એક કંપઝીટરે ૧ પંક્તિ ટાઈપથી ભરી હતી. એવામાં તે પડી ગઈ અને તેના અક્ષરે આડાઅવળા થઈ ગયા. તે નીચે પ્રમાણે વંચાતા હતા ?
ની જ ગિ ગુ ન્ય ર ધ ત રા. તમે એ પંક્તિને તેના ખરા રૂપમાં તારવી આપશો?
! ૯૩ ] એક લશ્કરી ટુકડીમાં ૧૨૦ સિપાઈઓ હતા. હવે

Page #165

૧૫૬
તેના કેપ્ટને એક વાર તેની ૧૨ હાર કરી અને દરેક હારમાં ૧૧ સિપાઈઓ હતા, તે તેણે એ હારા કેવી રીતે કરી હશે ?
[ ૯૪ ]
,
કાનાએ કહ્યું :
કાના ભરવાડ પાસે ૧૦૦ મકરાં હતાં. તેમને માટે તેણે ૫૦ થાંભલા ખેાડીને એક વાડો બનાવ્યેા હતેા. હવે એક વાર તેણે ખીજા ભરવાડ પાસેથી ૧૦૦ બકરાંને સસ્તા ભાવે સાદો કર્યાં, ત્યારે તેના ભાઇએ કહ્યું કે ‘ આપણી પાસે વાડા તા ૧૦૦ બકરાં બેસે એટલેા છે. તેમાં ૨૦૦ અકરાં શી રીતે બેસાડીશ ? ’ તારે એની ફીકર કરવી નહિ. હું માત્ર નવા થાંભલા લઇ આવીશ કે એ વાડામાં ૨૦૦ બકરાંના સમાવેશ થઈ જશે.’ પછી તેણે ૧૦૦ બકરાં ઠરાવેલા ભાવે ખરીદ્યાં અને એ નવા થાંભલા લાવી એ વાડા એવો મનાવી દીધા કે તેમાં ૨૦૦ મકરાં ખરાખર સમાઈ રહ્યાં. તે તેણે શી રીતે ગેાઠવણ કરી હશે ?
બે જ
[ ૯૫ ]
કબાટના એક ખાનામાં કાઈ કિંમતી પુસ્તકના છ ભાગ પડેલા હતા અને તે દરેક પર ક્રમાંક લખેલા હતા. એક વાર તે ભાગે આડાઅવળા ગાડવાઈ જતાં નીચે પ્રમાણે ક્રમાંકેા દેખાય ઃ
૧

Page #166

૧૫૭
હવે આ પુસ્તકમાંથી દરેક વખતે બે પુસ્તક સાથે. ઉઠાવવાના હોય અને કુલ ત્રણ વારમાં આ છ પુસ્તક ક્રમાંક મુજબ ગોઠવી દેવાના હોય તે શું કરવું ?
[ ૯૬ ] શામળ ભટ્ટના છપ્પામાં બે મિત્રએ મિઠાઈ ખરીદી અને ત્રીજો તેમાં ભળે એને એક કોયડે કહેલે છે. હવે આ કોયડે એવી જ જાતનો પણ સ્વરૂપે જુદે છે.
ત્રણ મિત્રે ઉજાણી કરવા ચાલ્યા. તેમાં પહેલા મિત્રે ૧૦ આનાની મીઠાઈ બીજા મિત્રે ૧૨ આનાની મીઠાઈ અને ત્રીજા મિત્રે ૧ રૂપિયાની મીઠાઈ લીધી. હવે તેઓ સાથે ખાવા બેસે છે, ત્યાં એક મિત્ર આવી ચડ્યો, એટલે શિષ્ટાચાર મુજબ તેને સાથે બેસીને ખાવાનું આમંત્રણ આપ્યું. પછી ચારેય મિત્રોએ આનંદથી સરખા ભાગે ખાધું. હવે ખાઈ રહ્યા બાદ પિલે મિત્ર તેમની ખરીદના તમામ પિસા (૨ રૂપિયા ૬ આના) તેમની વચ્ચે મૂકીને ચાલતે થયે. આ પૈસામાંથી કેણે કેટલા લેવા, તે જણાવશે?
૮૭ ] એક ઓરડામાં બે મીણબત્તીઓ પડેલી છે. તેમાં એક મીણબત્તી બીજી કરતાં ૧ ઈંચ વધારે ઊંચી છે. હવે મેટી મીણબત્તી ૪ વાગે સળગાવવામાં આવે અને નાની મીણબત્તી ૬ વાગે સળગાવવામાં આવે તે ૮ વાગતાં બંને મીણબત્તી સરખી ઊંચાઈની રહે છે. હવે મોટી ૧૨

Page #167

વાગે સળગીને પૂરી થાય છે, જ્યારે નાની ૧૦ વાગે સળગીને પૂરી થાય છે, તે તે મીણબત્તીઓની ઊંચાઈ કેટલી ?
[ ૧૮ ] કેટલાક માણસ નોકરી કરવાના ઇરાદાથી એક દેશમાં ગયા અને ત્યાંના રાજાને મળ્યા. તે રાજાએ તેમાંના અર્ધા તથા બે માણસોને નોકરીએ રાખી લીધા. હવે બીજા માણસ આગળ ચાલ્યા અને બીજા દેશમાં ગયા. ત્યાંના રાજાને મળતાં તેણે પણ તેમાંના અર્ધા અને બે માણસને નોકરીએ રાખી લીધા. એમ કરતાં જે માણસે બાકી રહ્યા, તે ત્રીજા દેશમાં ગયા અને ત્યાંના રાજાને મળ્યા, તે તેણે પણ તેમાંથી અર્ધા અને બેને નોકરીએ રાખી લીધા. બાકી રહેલા માણસે ચેથા દેશમાં જતાં, ત્યાં પણ એમ જ બન્યું. છેવટે ૧ માણસ રહ્યો, તે પિતાનું ભાગ્ય અજમાવવા પાંચમા દેશમાં ચાલ્યો ગયે, તે નોકરી કરવાના ઇરાદાથી કુલ કેટલા માણસો નીકળ્યા હશે ?
[ ૯૯ ] રામકુમાર ગુજરી ગયા ત્યારે તેમની પાછળ વિધવા સ્ત્રી, ૪ પુત્ર અને ત્રણ પુત્રીઓ હતી. તેમને માટે તેમણે પિતાની ૬૨૦૦૦ રૂપિયાની મિલકતનું વીલ એવી રીતે કર્યું હતું કે “મારા દરેક પુત્રને મારી દરેક પુત્રી કરતાં -ત્રણ ગણા પૈસા મળે અને મારી દરેક પુત્રીને તેની માતા

Page #168

૧૫૯
કરતાં બમણા પૈસા મળે, તે વિધવા સ્ત્રીને ભાગ કેટલા રૂપિયા આવે ?
[ ૧૦૦ ] બે જણ જમવા બેઠા હતા. તેમની આગળ ૨૦ લાડુ અને ૨૦ પૂરીઓ હતી. તેમાં એક જણ ઘણા હોશિયાર હતું. તેણે બીજાને કહ્યું કે આપણે એક બાજોઠ પર લાડુ અને પૂરીઓ ગોઠવીએ. તેમાં ૧-૨-૩ ગણતાં દશમી વસ્તુ આવે તે હું ખાઈશ અને ત્યાર પછી ૧-૨-૩ ગણતાં દશમી વસ્તુ આવે તે તું ખાજે.” પેલાએ શરત કબૂલ કરી. હવે પેલા માણસે લાડુ અને પુરીની ગોઠવણ એવી રીતે કરી દીધી કે બધા લાડુ તેના ભાગમાં આવ્યા અને બધી પૂરીઓ પિલાના ભાગમાં આવી, તે એ ગઠવણ કેવી રીતે કરી હશે ?

Page #169

ઉત્તરો કોયડાની ખરી ખૂબી પ્રયત્ન કરીને તેને ઉકેલ કે ઉત્તર શોધી કાઢવામાં રહેલી છે. “ફૂટ કેયડે કેડીનો” એ ન્યાયે તેને ઉત્તર તરત જોઈ લેવાથી બધી મજા મારી, જાય છે અને ઉકેલ દ્વારા બુદ્ધિ કસાવાની જે ધારણા રાખી હોય તે નિષ્ફળ જાય છે, માટે પૂરે પ્રયત્ન કર્યા પછી જ આ ઉત્તર જેવા અને સફળતા-નિષ્ફલતાનું માપ કાઢવું.
[ ] ૧ વર્ષ હોય અને ૧ મહિને હોય તે એમ બની શકે. ૧ વર્ષના ૧૨ મહિના, તેમાંથી ૧ મહિને જાય, તે ૧૧ રહે.
નીચે મુજબ લખેલા હોવા જોઈએ :

Page #170

૧૬
[ ૩ ]
૧૧૧
૨૧૨
[ 4 ] સાથેની આકૃતિ મુજબ કર્યું હશે?
ဝဝဝဝဝဝဝဝ
[ પ ] ૪૩ લખ્યું હોય તે એમ બની શકે. એમાં ૧ ઉપર છે, ૧ નીચે છે અને ૪ બાજુએ છે. તેની ગણતરી કરીએ તો પ થાય છે. તે = ૫.
[૬]
-
+ ૧ ૨
૩ ૨
૧
૧

Page #171

F
WE
tr
E
૨૪૪
[ ૯ ]
પિતાની ઉપર ૫૦ વર્ષની અને પુત્રની ઉમર ૨૦ વર્ષની. પિતા ૫ વર્ષ પહેલાં ૫૦-૫=૪૫ વર્ષના હશે અને પુત્ર ૨૦-૫=૧૫ વર્ષ ને હશે. આ રીતે પિતાની ઉમર પુત્રની ઉમર કરતાં ત્રણ ગણી હશે. હવે ૧૦ વર્ષ પછી પિતાની ઉમર ૧૦+૧૦=૬૦ થશે અને પુત્રની ઉમર ૨૦+૧૦=૩૦ થશે એટલે પિતાની ઉમર પુત્રની ઉમર કરતાં બમણી થશે.
મ
છે. o o % |
૬૨
[ ૮ ]
૨
૨૨
૨૨
[ ૧૦ ]
દીવાસળીઓ સાથેની આકૃતિ મુજબ ગાઠવવી જોઈ એ. આમાં, ઘ, ગ, ઘ, પહેલે
ચારસ છે, ૫, ૬, ૩, ૪, બીજો ચારસ છે અને ઇ,ન,જ્ઞ, એ ત્રીજો ચારસ છે.

Page #172

[ ૧૧ ]
રાત્રિના ૯. તે વખતે રાત્રિના ૧૨ વાગવામાં ૩ કલાક બાકી હતા. તેમાં ૬ ઉમેરીએ તા ૯ થાય. આવા દાખલામાં રીત એ છે કે ૧૨ + ૬ = ૧૮ + ૨ = ૯. ધારો કે
કનુએ એમ કહ્યું હાત કે ‘ રાત્રિના ૧૨ વાગવામાં જેટલા બાકી છે, તેમાં ૫ ઉમેરીએ તેટલા વાગ્યા છે.' તે આ રીત પ્રમાણે ૧૨ + ૫ = ૧૭ + ૨ = ૮૫ જવામ આ વખતે રાત્રિના ૧૨ વાગવામાં ા કલાક બાકી હતા અને તેમાં પ ઉમેરતાં ૮! થાય.
આવત.
[ ૧૨ ]
૮ ભેંસ, ૪૪ ગાય અને ૪૮ મકરી. તેના દૂધના હિસાબ આ રીતે થાય :
૮ ભેંસ
૧૬૩
૩૨ શેર દૂધ (૪ શેર લેખે)
૪૪ શેર દૂધ (૧ શેર લેખે ) ૨૪ શેર દૂધ (અર્ધા શેર લેખે )
૧૦૦ શેર દૂધ.
[ ૧૭ ]
આ કોયડાને ઉત્તર ત્રણ રીતે પ્રાપ્ત થાય છે. તે
૪૪ ગાય
૪૮ બકરી
૧૦૦ પશુ
આ પ્રમાણે :
અડતાલીશ તે અશ્વ છે, છત્રીશે ઊંટ સાર; સાળ જ કહીએ હાથીઆ, તે માને નિરધાર.
+
+
+
*

Page #173

પૂરાં ઊંટ પંચાવના, પ્રૌઢા હાથી પાંચ ચાલીશ અશ્વ અતિ એપતા, શ્યામાં માને સાચ. + ' + ' +
+ હોથી સત્તાવીશ ને, સત્તર ઊંટ સુજાણ અધા છપ્પન ભતા, માને એહ પ્રમાણ
પહેલા વિકલ્પ પ્રમાણે ૪૮ અશ્વ ૬ મણ (૫ શેર લેખે) ૩૬ ઊંટ ૫૪ મણ (દેઢ મણ લેખે) ૧૬ હાથી ૪૦ મણ (અઢી મણ લેખે ૧૦૦ જનાવર ૧૦૦ મણ બીજા વિકલ્પ પ્રમાણે ૫૫ ઊંટ ૮ર મણ (દેઢ મણ લેખે)
૫ હાથી ૧૨ મણ (અઢી મણ લેખે) ૪૦ અશ્વ ૫ મણ (પાંચ શેર લેખે) ૧૦૦ જનાવર ૧૦૦ મણ ત્રીજા વિકલ્પ પ્રમાણે ૨૭ હાથી ૬૭ મણ (અઢી મણ લેખે). ૧૭ ઊંટ ૨પા મણ (દેઢ લાખ લેખે) પ૬ અશ્વ ૭ મણ (પાંચ શેર લેખે) ૧૦૦ જનાવર ૧૦૦ મણ
[ ૧૪] પ્રથમ બંનેએ ૧ રૂપિયાની ૯ મણ જુવાર વેચવાને નિર્ણય કર્યો. તે અનુસાર પહેલાએ ૧૧ રૂપિયાની ૯૯ મણ

Page #174

જુવાર વેચી અને બીજાએ ૬ રૂપિયાની ૫૪ મણ વેચી. હવે બપોર પછી તેમણે ૪ રૂપિયાની ૧ મણ જુવાર વેચવાને નિર્ણય કર્યો, એટલે મેટાને ૧ મણ જુવાર વધી હતી, તેના ૪ રૂપિયા આવ્યા. અને નાનાને ૬ મણ જુવાર વધી હતી, તેના ૨૪ રૂપિયા આવ્યા. આ રીતે મેટાને કુલ ૧૧ + ૪ = ૧૫ રૂપિયા આવ્યા. અને નાનાને + ૨૪ = ૩૦ રૂપિયા આવ્યા.
૧૫ ] નરભેરામ પાસે શરૂઆતમાં ૨ રૂપિયા અને ૧૦ આના હશે. ૨ રૂા. ૧૦ આનાના ૪ર આના થાય, તેમાંથી પહેલાને અર્ધા અને એક વધારે એટલે ૨૧ + ૧ = ૨૨ આના આપ્યા. તેથી તેની પાસે ૨૦ આના બાકી રહ્યા. તેમાંથી બીજા પુત્રને અર્ધા અને બે આના વધારે આપ્યા, એટલે ૧૦ + ૨ = ૧ર આના આપ્યા. તેથી તેની પાસે ૮ આના વધ્યા. તેમાંથી ત્રીજા પુત્રને અર્ધા અને ૩ આને વધારે આપ્યા, એટલે ૪ + ૩ = ૭ આના આપ્યા, તેથી તેની પાસે ૧ આને વશે.
આવાં કેયડાને ઉકેલ પાછળના પરિણામ પર ધ્યાન આપીને ચાલવાથી જલ્દી મળી રહે છે. જેમકે ત્રીજા પુત્રને અડધો ભાગ આપ્યો અને વધારે ૩ આના આપ્યા, તેની પાસે ૧ આનો બચે, એટલે ૩ + ૧ = ૪ આના એ અર્થે ભાગ હતું. તેથી ત્રીજા પુત્રને પૈસા આપ્યા, ત્યારે તેની પાસે ૮ ના હોવા જોઈએ. હવે એ ૮ આના રહ્યા, તે અર્ધા ભાગમાંથી ૨ આના ઓછા થયા પછી રહ્યા હતા. એટલે

Page #175

અર્ધા ભાગના ૧૦ અને બીજા અર્ધા ભાગના ૧૦ મળી કુલ ૨૦ આના બીજા પુત્રને પૈસા આપ્યા, તે વખતે હવા. જોઈએ. આ ૨૦ આનામાં ૧ ઉમેરતાં અર્ધો ભાગ બને છે ૨૦ + ૧ = ૨૧, તેથી કુલ પૈસા ૪૨ આના અર્થાત્ ૨ રૂા. ૧૦ આના હોવા જોઈએ.
[ ૧૬ ]
ત
૩
૩.
૧૭ ] ઉત્તરમાં નીચેની ચાર સંખ્યાઓ રજૂ કરી શકાય એમ છે: ૧૭૧; ૨પર; ૩૩૩; ૪૧૪.
આ દરેક રકમ ઉધેથી પણ એ જ વંચાય છે અને તેને સરવાળે ૯ આવે છે.
[ ૧૮ ] ૨૧૨, ૩૨૪, ૨૩૬, ૨૪૮.
આ રીતે બીજી રકમે પણ રજૂ કરી શકાય, પરંતુ અહીં ચાર રકમે માગી છે, એટલે આ ચાર રકમો રજૂ કરવામાં આવી છે.
[ ૧૮ ] ૩૩ આમાં ચાર તગડા લખેલા છે. ૩૩ અને તેનું પરિણામ ૧ છે.

Page #176

क
૧૬૭
[ ૨૦ ]
આઠ. ત્રણ આડી, ત્રણ ઊભી અને એ કર્ણરેખાઓની. ♦ગ અહી . અને ઘુની એક કણરેખા છે અને 7 તથા ની ♦ ૬ મીજી કરેખા છે.
[ ૨૩ ]
૪૪ + ૪-૪ = ૪૪.
[ ૨૨ ]
એવી રકમમાં નીચે મુજખ છેઃ ૧૦૧; ૨૬૬૨; ૩૫૫૩, ૪૪૪૪; ૫૩૩૫; ૬૨૨૬; ૭૧૧૭ અને ૮૦૦૮.
[ 23 ]
પાંચ ચેાગડા નીચેની રીતે લખતાં પરિણામ ૪પર આવે છેઃ
૪૪૪
૪૫૨
[ ૨૪ ] આવું પરિણામ નીચેની બે રીતે લાવી શકાય ઃ—
(૧) ૨૨ + ૨ = ૨૪ (૨) ૩૩ – ૩ = ૨૪

Page #177

[ ૨૫ ] આવું પરિણામ નીચેની ચાર રીતે લાવી શકાય – (૧) ૫૪ ૫ + ૫ = ૩૦ (૨) ૬ ૪ – ૬ = ૩૦ (૩) ૩૩ – ૩ = ૩૦ (૪) ૩ + ૩ = ૩૦
[ ર૬ ] તમારા મનમાં ૧૦ રમી રહ્યો છે, ખરું ને ? પણ નાનાનાં નાને પૂર્ણાંક ૧ છે, તે બે આંકડાઓ વડે નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે.
[ ર૭ ] ૧૧ અને ૧૧. ૧૧ + ૧૧ = ૧૨૧. ૧-૧ ૪ ૧૧ = ૧૨૧.
[ ] ૫૫. આનો અર્થ ૫ ૪૫ ૪૫ ૪૫ x પ થાય છે. અને તેનું પરિણામ ૩૧૨૫ આવે છે.
[ ૨૯ ] આ શરત મુજબ પપ ના બે ઊભા ભાગ પાડવા જોઈએ. એ રીતે દરેક ભાગમાં ૫ આવે.
[ ૩૦] આ સિકકાઓ નીચે પ્રમાણે કૂદાવવા જોઈએ, તે જ

Page #178

શરતનું પાલન થશે. ૧ ઉપાડી ૩ ઉપર, ૪ ઉપાડી ૬ ઉપર, ૭ ઉપાડી ૯ ઉપર, ૮ ઉપાડી ૧૦ ઉપર અને ૨ ઉપાડી ૫ ઉપર.
[ ૩૧ ] પહેલા પાસે ૧૦ રૂપિયા, બીજા પાસે ૬ રૂપિયા, ત્રીજા પાસે જ રૂપિયા. પહેલા પાસે બીજા કરતાં ૨ રૂપિયા વધારે હેત તે ૧૦ + ૨ = ૧૨ થયા હતા, જે ૬ રૂપિયા કરતાં બમણું છે. બીજા પાસે ત્રીજા કરતાં ૨ રૂપિયા વધારે હેત તે ૬ + ૨ = ૮. થયા હતા, જે ૪ રૂપિયા કરતાં બમણું છે.
[ ૩૨ ] પ્રથમ ચાર દીવાસળીમાંથી ૨ દીવાસળી ઉપાડીને | | આગળ મૂકે એટલે ત્યાં | | | | ચાર થશે.
| | ની હારને અડવાનું નથી, એટલે પરિસ્થિતિ નીચે મુજબ થશે -
| |_| + | |
હવે ઉપરની એક દિવાસળી ઉપાડીને સહુથી નીચે મૂકી દે, એટલે આખો કેમ ઉલટાઈ જશે. તે આ પ્રમાણે

Page #179

૧૭૦
[ ૩૩ ] . એ માણસ ૧૮૫૬માં જન્મ્યો હશે અને ૧૯૨૦માં ૬૪ વર્ષની ઉમરે મરણ પામ્યું હશે, એટલે ૧૯૦૦ની સાલમાં તેની ઉમર ૪૪ વર્ષની હશે. ૬૪ એ ૧૮૫૬ને બરાબર ૨ ભાગ છે.
[ ૭૪ ] પહેલા દરવાજે ૧૬, બીજા દરવાજે ૨૮ અને ત્રીજા દરવાજે ૩૭.
પહેલા દરવાજા પરના હલ્લા વખતે આવી પરિસ્થિતિ રહી. ૧૨ + ૧૨ + ૧૬ = ૪૮. તે વખતે બીજા દરવાજે ૨૮ – ૧૬ = ૧૨ અને ત્રીજા દરવાજે ૩૭ – ૧૬ = ૨૧ બાકી રહ્યા. બીજા દરવાજાના હલ્લા વખતે ત્યાં ૧૨ કીદારે હતા, એટલે ૧૨ + ૧૨ + ૧૨= ૩૬. તે વખતે પહેલા દરવાજેથી ૪૮ – ૧૨ = ૩૬ રહ્યા અને ત્રીજા દરવાજે ૨૧ – ૧૨ = ૮ રહ્યા.
ત્રીજા દરવાજાના હલ્લા વખતે ત્યાં ૯ હતા, એટલે ૯ + ૯ ૯ = ૨૭ થયા. તેમાં પહેલા દરવાજેથી ૩૬ – ૯= ૨૭ રહ્યા અને બીજા દરવાજે ૩૬ – ૯ = ર૭ રહ્યા. આ રીતે ત્રણેયની સંખ્યા સરખી થઈ ગઈ.
[ ૩૫ ] કરસન પાસે ૧૧ બકરીઓ હશે, કાળુ પાસે ૧૭ ઘેટાં હશે અને મેઘા પાસે ૭ ગાયે હશે.

Page #180

- ૧૭૧
-
કરસન ૬ મકરીએ આપે અને અદ્દલામાં ૧ ગાય. લે તે તેની પાસે ૧૧ - ૬ + ૧ = ૬ પશુ થાય. અને મેઘા પાસે ૭ – ૧ + ૬ = ૧૨ પશુએ થાય, એટલે કરસન કરતાં અમણાં પશુએ થાય.
હવે કાળુ ૧૪ ઘેટાં આપે અને લે તે તેની પાસે ૧૭ – ૧૪ + ૧ = ૪ મેઘા પાસે ૭ – ૧ + ૧૪= ૨૦ કરતાં પાંચ ગણાં પશુ
થાય.
બદલામાં ૧ ગાય
પશુ થાય અને એટલે કાળુ
[ ૩૬ ]
તે સ્ત્રી બજારમાં ગઇ ત્યારે ૧૫ રૂા. ૧૪ આના લઈ ગયેલી. ત્યાં તેણે છ રૂા. ૧૫ આનાના માલ ખરીદેલે, એટલે તેની પાસે છ રૂા. ૧૫ આના ખચ્યા. પ્રથમ તેની પાસે ૧૫ રૂપિયા હતા, એટલા અહીં આના છે અને ૧૪ આના હતા, તેનાથી અહી અર્ધા રૂપિયા છે.
૫૪૫૪૫-૫-૧૨૦
પશુ થાય,
[ ૩૭ ]
પ્રથમ ૧ પૈસાનાં નાગરવેલનાં ૭ પાન લેવાં, તેમાંથી ૨ પાનની સેાપારી લેવી, એટલે તેની પાસે પ પાન રહે. હવે સેપારી ૧ પાનની ૩ મળે છે, એટલે ૨ પાનની ૬ આવે. તેમાંથી ૧ સોપારીનાં લવીંગ લેવાં. એટલે ૫ સેપારી બાકી રહે અને ૧ સેપારીનાં ૫ વિંગ મળે છે, એટલે ત્રણેય વસ્તુ સરખી થઈ રહે.
[ ૩૮ ]

Page #181

દ ૧૭૨
[ ૩૯ ] :
ی
૫ ૫ ૫ ૫ ૫ ૫ ૫ ૫
بی
૧ ૬ ૧ ૫
[ ૪૦ ] આ કેયડાને ઉકેલ નીચેની બે રીતે થઈ શકે છે : (૧) (૫+ ૫) = (૫*૫) = ૧૦૦ (૨) ૫ (૫૪૫– ૫) = ૧૦૦
[ ૪૧ ]
– X - = ૧૦૦
[ ૪૨ ]
[ ૪૩ ] આ કેયડાને ઉકેલ નીચે મુજબ ચાર રીતે થઈ શકે છે?
(૧) ૧૧૧ – ૧૧ = ૧૦૦ (૨) ૩૩ ૪૩+ ૩ = ૧૦૦ (૩) ૫૪૫ ૪૫ – (૫૪૫) = ૧૦૦ (૪) (પ + +૫ + ૫) ૪ ૫ = ૧૦૦ .

Page #182

૩૭૩
[૪૪]
૮૮૮
ત
[ ૪૫ ]
૨ = ૧૨
પહેલા ટાળામાં ૧૦ પક્ષી, ખીજામાં ૧૪ પક્ષી. પહેલાંની માગણી મુજબ બીજા ટોળામાંથી ૨ પક્ષી આવે તે ૧૦ + ૨ = ૧૨ પક્ષી થાય અને ખીજામાં ૧૪ પક્ષી થાય, આ રીતે અને સરખા થાય. હવે ખીજાની માગણી મુજબ પહેલાં ટોળામાંથી ૨ પક્ષી આવે તે ૧૦ ૨ = ૮ પક્ષી રહે અને ખીજામાં ૧૪ + ૨ = ૧૬ પક્ષી થાય, એટલે કે ખમણા થાય.
[ ૪૬ ]
૧૦૦૦
૫ + ૧૪૯૫ = ૧૫૦૦
27
સૂચિત પાંચ કાર્ડ માં ૧, ૨, ૪, ૮, અને ૧૬. સખ્યા મનાવી શકાય છે.
૧ માટે ૧
૨
૨
[ ૪૭ ]
નીચે પ્રમાણે અંક લખવા જોઇએ : તેમાંથી ૩૧ સુધીની ગમે તે.
જેમ કે
―

Page #183

૧૭૪ * ૨ + ૧
૦
૦
+ ૧ , ૪ + ૨ ;, ૪ + ૨ + ૧
૧
+
૮ ૧ , ૮ + ૨
૮ + ૨ + ૧
૮ + ૪ , ૮ + ૪ + ૧ , ૮ + ૪ + ૨ છે ૮ + ૪ + ૨ + ૧
-
,, ૧૬ + ૧
૧૬ - ૨
૧૬ + ૨ + ૧ , ૧૬ + ૪
,, ૧૬ + 8 + ૧ ૨૨ ,, ૧૬ - ૪ - ૨ ૨૩ ,, ૧૬ +૪+ ૨ + ૧ ૨૪, ૧૬ + ૮ ' ૨૫ ૫ ૧૬ + ૮ + ૧ ૨૬ , ૧૬ + ૮ + ૨,

Page #184

"
૧૭૫
૨૭ ૧૬ + ૮ + ૨ + ૧ - ૨૮ , ૧૬ + ૮ + ૪ ૨૯ - ૧૬ + ૮+૪+૧ ૩૦ , ૧૬ + ૮+૪+ ૨
૩૧ , ૧૬ + ૮+૪+ ૨ + ૧ આ સિદ્ધાંત પરથી કેટલીક સુંદર રમતે બને છે.
[ ૪૮ ] ૫ + 3 = ૬
[ ૪૯ ] ૧૭ + ૭ – ૭ + ૭ – ૭ + ૭ – ૭ = ૭.
[ ૫૦ ] ૧૭ ૧૭
૧૭
૧૮૮૮૭ [ પ ]
[ પર ] ૪૩. આનું મૂલ્ય ૪૪ કરતાં ઓછું છે.

Page #185

( ૧૭૬
[ ૫૩ ] તે ગોઠવણ નીચે પ્રમાણે કરવી જોઈએ:
૭ ૨૮ ૧૫૬ ૩૯ ૪ ૭ ૪ ૨૮=૧૫૬. ૩૯૪૪ = ૧૫૬.
દેખીતી રીતે તે આ વસ્તુ અશક્ય છે, કારણ કે કેઈપણ સંખ્યામાંથી તેને અર્ધો ભાગ બાદ કરીએ એટલે અર્ધો ભાગ રહે છે અને તેનું કંઈ પણ મૂલ્ય હોય છે, એટલે અહીં શબ્દરચના પર ધ્યાન આપવાનું છે. ત્રણ આંકડાની રકમને અર્ધો ભાગ એટલે તેનું અધું મૂલ્ય નહિ, પણ ખરેખર અર્ધો ભાગ. એવી રકમ ક૭૭ છે. જે. તેની વચ્ચે લીટી દોરીને બે ભાગ પાડીએ અને નીચેને અર્ધો ભાગ બાદ કરીએ તે તેની કિંમત શૂન્ય રહે છે. અંગ્રેજીમાં આવી રકમ 888 છે. તેના બે ભાગ કરીને નીચેને અર્ધો ભાગ બાદ કરીએ તે બાકી રહેલા ભાગની કિંમત શૂન્ય રહે છે.
[ પપ ] અહીં જે ૧૧૧૧ લખવાની ધારણા રખાઈ હોય તે બરાબર નથી. તેને સાચો જવાબ ૧૧૧૧ છે. આને જવાબ ૨૮૦,૦૦૦,૦૦૦,૦૦૦ થી વધારે આવવા સંભવ છે, જે ૧૧૧૧ થી ૩૫૦ ગણું વધારે કિંમત દર્શાવે છે.

Page #186

એ સંખ્યા આ રીતે દર્શાવી શકાય :
આના અર્થ એ થયો કે ૯૩૮૭૪૨૦૪૮૯ આ ગુણાકારને જવાબ ૩૮ ક્રોડ ઉપરાંત આંકડાના આવે. આ ગુણાકાર કરતાં કેટલે સમય જાય એ વાત છેડી દઈએ, પણ તે તૈયાર થયા પછી જો કાગળની પટ્ટી પર લખવે હાય તા ૧ ઇંચમાં મધ્યમ કદના પાંચ આંકડાના હિંસાએ આશરે ૧૨૫ માઈલ લાંખી પટ્ટી જોઈએ. કહેા, આંકડામાં કેટલી તાકાત છે ?
૧૯૭
[ ૫૬ ]
[ ૧૭ ]
૧૬૮૦. તેમાં ૧ ઉમેરીએ એટલે ૧૬૮૧ થાય, જે ૪૧ ના વ છે (૪૧ × ૪૧ = ૧૬૮૧) અને તેનુ અધુ કરીને એક ઉમેરીએ તો ૮૪૦ + ૧ = ૮૪૧ થાય, જે ૨૯ ના વર્ગ છે (૨૯ × ૨૯ = ૮૪૧).
[ ૫૮ ]
૯૮૦૧. આ સંખ્યાના બે ભાગ પાડીએ તે ૯૮ અને ૦૧ થાય. તેને સરવાળે કરીએ તે ૯૯ થાય અને તેના વગ કરીએ તેા પરિણામ ૯૮૦૧ આવે.
૭૧૫,૮૬૪,૧૦૫,૭૨૭,
૧૨
રે
[ ૫૯ ]
૧૭૦,૧૪૧,૧૮૩,૪૬૦,૪૬૯,૨૩૧,૭૩૧,૬૮૭,૩૦૩,

Page #187

૧૭૮
આ ૩૯ અંકની અવિભાજ્ય રકમ આર્થર લ્યુકાસે ઈ. સ. ૧૮૭૭ માં શેધી હતી. તે અત્યાર સુધી મેટામાં મોટી ગણાય છે.
[ ૬૦ ] મોટું, કારણ કે તેમાં ૧૪૧૪ ૧ = ૧૬ એટલે નાના તડબૂચ કરતાં લગભગ બમણે ગર છે અને મૂલ્ય દેટું છે, એટલે તે ખરીદવું લાભકારક છે.
[ ૬૧ | દેઢ રૂપિયે; કારણ કે ત્રણ આંકડાવાળો એક ટુકડો ખેલીને તેના વડે બાકીના ચાર ટુકડા સંધી શકાય છે. તે આ પ્રમાણે.
પહેલો સાંધે બીજે સાંધે ત્રીજે સાધે. અહીં ઘણા ખરા ચાર અકેડા ગણે બે રૂપિયા જવાબ આપે છે, પણ તે બરાબર નથી.
- ૬ વિદ્યાર્થીઓ અને ૨૫ પુસ્તકે. જે છ વિદ્યાથીઓને ચાર ચાર પુસ્તક આપીએ તે એક પુતક વધે. ૬ ૪૪ = ૨૪ + ૧ = ૨૫. અને જે પાંચ પાંચ આપીએ તે એ પાંચ વિદ્યાર્થીઓને વહેંચાઈ જાય. ૫ ૪ ૫ = ૨૫. આથી ૧ વિદ્યાથી વધે, એટલે કે તે પુસ્તક લીધા વિના રહી જાય.

Page #188

[ ૬૩ ] ૧૨. પ્રથમ ૧ રૂપિયાનાં ૧૨ અંજીર લીધાં હતાં એટલે ડઝનને ભાવ ૧ રૂપિચે થયે. પછી ૪ વધારે લેતાં ૧ રૂપિયાનાં ૧૬ અંજીર થયા, એટલે ડઝનને ભાવ ૧૨ આના થશે. આ રીતે ડઝનને ભાવ ચાર આના ઓછો થ.
[ ૬૪] ત્રીશમા ડગલે. જમાદાર ૩૦ ડગલાં ભરે એટલામાં ચર ૪૮ ડગલાં ભરે. હવે ૨૭ ડગલાંનું અંતર તે પહેલેથી જ હતું, એટલે ૪૮ + ૭ = ૭૫ ડગલાં થયાં. ચારનાં પ પગલાં બરાબર જમાદારનાં ર પગલાં છે, એટલે ચેરનાં ૭૫ ડગલાં બરાબર જમાદારનાં ૩૦ ડગલાં થાય.
[ પ ] ૭૧. ખૂબ ધ્યાન આપી સમજપૂર્વક ગણતરી કરવી જોઈએ.
આ કેયડાને ઉકેલ નીચેની પાંચ રીતે પ્રાપ્ત થયો છે. (૧) ૭૦ + ૨૪- + પ = ૧૦૦ (૨) ૮૭ + ૯ + ૩૨ = ૧૦૦ (૩) ૫૦ + ૪૯૪૬ = ૧૦૦ (૪) ૭૮ + ૨૧૫ = ૧૦૦ (૫) ૮૦39 + ૧ = ૧૦૦

Page #189

(૧) ૧૩
૨૪
[ ૬૭ ] આમાં બીજી અને ત્રીજી સંખ્યાને. ઉલટી કરી છે.
૭૫
૨૧૦
(૨)
૩૧
આમાં પહેલી અને બીજી સંખ્યાને. ઉલટી કરી છે.
२४
પ૭
૨૧૦
مر به
૦
આમાં છ અંકના સ્થાને છ શૂન્યને. ઉપગ થયેલ છે.
૧ ૦ ૦ ૩ ૩ ૦ ૫ ૦ ૫ ૦ ૭ ૭
૧ ૧ ૧ ૧
[ ૬૯ ]. કુલ મેતી ૯૬ હતાં. તેને હિસાબ આ પ્રમાણે – ૪૮ મેતી જળમાં પડયા. . ૩૦ મેતી કચરામાં પડ્યા. ૪} = ૧૬ સેવાળમાં ગયા. ૨ હાથમાં રહ્યા.
میله ای

Page #190

૧૮૧
શધવાની રીત -૩ + ૮ + = $ - બાકી તે બરાબર ૨, એટલે ૧ બરાબર ૯૬.
[ go સવા શેરવાળે સાડા સત્તર,
વ્યાજબી લીધાં વઢી; પિણ. શેરવાળે કહ્યું,
આપ ભાઈ મુજને અઢી. ત્રીજાએ ૨૦ પૈસા આપ્યા, તેમાંથી પહેલાને ભાગ ‘૧૭ળા અને બીજાને ભાગ ના પૈસા આવ્યા. તે શી રીતે? કુલ ખાવાનું ૧ + ના શેર મળી ૨ શેર હતું. તે ત્રણ જણે સરખા ભાગે ખાધું, એટલે દરેકે રુ શેર ખાધું.
હવે પહેલાનું ના શેર અર્થાત્ ; હતું, તેમાંથી ૩ ગયું એટલે વધારે વપરાયું. બીજાનું શેર એટલે રૂ હતું તેમાંથી હું ગયું, એટલે હું વધારે વપરાયું. આથી ૭ અને ૧ ના પ્રમાણમાં ૨૦ ની વહેંચણે થવી જોઈએ. આ રીતે પહેલાને ૧૭ા અને બીજાને રા પિસા મળ્યા.
આને ખુલાસો એ છે કે જે સરખી કિંમતનાં બેર બાકી રહ્યા હોત તે ફેર આવત નહિ, પરંતુ એકનાં ૧૫ પિસાનાં છે અને બીજાનાં ૧૦ પૈસાના છે, એટલે બે પૈસાનાં પાંચ લેખે ૨૦ પૈસાનાં ૫૦ બેર વેચ્યાં હતા તે વાધે આવત નહિ. પરંતુ બાકીનાં ૧૦ બોર પણ બે પિસાનાં

Page #191

પાંચ લેખે વેચ્યાં, તેથી ૧ પિસો ઓછો ઉપ. જે એ બેર પૈસાનાં બે લેખે વેચ્યાં હતા તે ૫ પિસા ઉપજત અને પહેલાંના ૨૦ મળી કુલ ૨૫ પૈસા થઈ રહેત.
[ ૭૩ ] એ ગોઠવણ આ રીતે કરવી જોઈએ :
-
અંક લખેલા સ્થાનેથી દીવાસળી ઉઠાવવી જોઈએ અને તેને અનુક્રમે જa ના. સ્થાને મૂકવી જોઈએ.
-
[ ૭૩ ] નીચે પ્રમાણે લેવાં :- ૨૬ થાળી
૩૯ રૂપિયા ૨૦ વાડકા
૧૦ રૂપિયા ૪ પ્યાલા
૧ રૂપિયે ૫૦ વાસણ
પ૦ રૂપિયા
[ ૭૪ ] તેમણે ૧૧૩ રૂપિયાની ૮૪૦ કેરીઓ ખરીદી હશે. આટલી કેરીઓ ૧ રૂપિયાની ૭ લેખે વેચી તે ૧૨૦ રૂપિયા ઉપજ્યા, એટલે ૭ રૂપિયાને નફે થયે અને ૧ રૂપિયાની ૮ લેખે વેચી તે ૧૦૫ રૂપિયા ઉપજ્યા, એટલે ૮ રૂપિયાનું નુકશાન થયું.

Page #192

૧૮૩
[ ૭૩ ] આમાં બે વિકલ્પ સંભવે છે. તેમાં પહેલા વિકલ્પ અનુસાર :
ચાર વાર ૧૭ અને એક વાર ૩૨. ૧૭૪૪ = ૬૮ + ૩૨ = ૧૦૦. અને બીજા વિક૯૫ અનુસાર : ત્રણ વાર ૩૨ અને બે વાર ૨. ૩૨ x ૩ = ૯૬ + ૨ ૪૨ = ૧૦૦,
[ ૭૬ ] ૫ કલાક અને ૧૦ મીનીટે. આ વખતે મીનીટ કાંટા અને ક્લાક કાંટે બરાબર કાટખૂણે હાય.
[ cc ] ૬૦ ને પગાર અને ૧૦ રૂપિયાને વધારે ઠીક. આંકડા માંડે એટલે ખબર પડશે. પહેલી જના મુજબ
બીજી ચેજના મુજબ પહેલા વર્ષે રૂ. ૧૨૦ પહેલા વર્ષે પ્રથમ છ મહિના રૂ. ૬૦ બીજા , રૂ. ૧૪૦
બીજા , રૂ. ૭૦ ત્રીજા , રૂ. ૧૬૦ બીજા વર્ષે પ્રથમ છ મહિના રૂ. ૮૦ ચોથા ,, રૂ. ૧૮૦ બીજા , રૂ. ૯૦ પાંચમ , રૂ. ૨૦૦ ત્રીજા વર્ષે પ્રથમ છ મહિના રૂ. ૧૦૦ કુલ રૂ. ૮૦૦
બીજા, રૂ. ૧૧૦ ચોથા વર્ષે પ્રથમ છ મહિના રૂ. ૧૨૦
બીજા ,, - રૂ. ૧૩૦ પાંચમા વર્ષે પ્રથમ છ મહિના રૂ. ૧૪૦ બીજા , રૂ. ૧૫૦
કુલ રૂ. ૧૦૫૦

Page #193

બીજી ચેજના સ્વીકારવામાં કુલ રૂપિયા ૨૫૦ ને ફાયદો થાય.
[ ૭૪ ] અહીં સાદી સમજ તે એ ઉત્તર આપશે કે એક બાજુ ૨૦ ટકા નફે છે, બીજી બાજુ ૨૦ ટકા નુકશાન છે, એટલે હિસાબ સરભર થઈ ગયો, પણ હકીકત એવી નથી. આ વેપારમાં એ માણસને ૧૬૬ રૂ. ૬૭ પૈસાનું નુકશાન થયું છે, તે આ રીતે ?
પહેલા સેદામાં ૨૦૦૦ રૂપિયે મટર વેચતાં ૨૦ ટકા ન થયે છે, એટલે તેની મૂળ કિંમત ૧૬૬૬ રૂ. ૬૭ પિસા હેવી જોઈએ.
૧૨૦ ટકા : ૧૦૦ ટકા : : ૨૦૦૦ રૂપિયા. _૧૦૦ x ૨૦૦૦
૧૨૦ = ૧૧૧૧ [ છેદ ઉડાડતાં આ રકમ આવે]
૩ = ૧૬૬૬૩ રૂ. મૂળ કિંમત. આમાં ૨૦ ટકા નફાની રકમ ઉમેરીએ તે
૧૬૬૬ રૂ. મૂ. કિ. + ૩૩૩ રૂ. નફે.
૨૦૦૦ રૂપિયા વેચાણ કિંમત. બીજા સોદામાં ૨૦૦૦ રૂપિયે મોટર વેચતાં ૨૦ ટકા નુકશાન થયું હતું, એટલે તેની મૂળ કિંમત ૨૫૦૦ રૂપિયા હોવી જોઈએ.
-
--

Page #194

૧૮૫
૮૦ ટકા : ૧૦૦ ટકા : : ૨૦૦૦ રૂપિયા ૧૦૦ x ૨૦૦૦.
૨૫૦૦ રૂપિયા. આમાંથી ૨૦ ટકા લેખે ૫૦૦ રૂપિયા બાદ થાય, એટલે
૨૫૦૦ રૂપિયા મૂ. કિ. - પ૦૦ રૂ. નુકશાન
૨૦૦૦ રૂપિયા વેચાણ કિંમત રહે. હવે બંને મોટરની મૂળ કિંમતને સરવાળે કરે.
પહેલી મોટર રૂ. ૧૬૬૬-૬૭ પૈસા બીજી મેટર રૂ. ૨૫૦૦=૦૦ હિંસા
- કુલ રૂ. ૪૧૬૬-૬૭ ઉપજેલી કિંમત રૂ. ૪૦૦૦=૦૦ નુકશાન રૂ. ૧૬૬-૬૭
૭૯ ] પેલા મહેમાને પિતાને ઘડે પણ તેમાં ઉમેરી દીધે હશે, એટલે કુલ ઘેડા ૨૦ થયા હશે. પછી અરધા ભાગે ૧૦ ઘેડા મેટા પુત્રને, ચોથા ભાગે પ થડા વચેટ પુત્રને અને પાંચમા ભાગે ૪ ઘેડા નાના પુત્રને આપ્યા હશે. બાકી ૧ ઘડો પિતાને રહ્યો, તે પર બેસીને તે પિતાના ગામ પાછો ચાલ્યા ગયે હશે.

Page #195

૧૮૬
[ ૮૦ ] તેમણે મછવાને ઉપગ નીચે મુજબ કરો :છે. પ્રથમ બે છોકરા મછવામાં બેસીને સામે પાર જાય
તેમાંથી એક છેકરે ત્યાં રોકાય અને બીજે મછ
પાછો લાવે. * પછી મહેતે મછવામાં બેસી સામે પાર જાય અને
ત્યાં રહેલે કરે મછવાને પાછો લાવે. એ પછી બંને છોકરા મછ લઈ સામે પોર જાય અને
ત્યાંથી એક છોકરો મછ લઈ પાછો આવે. ને પછી મહેતા મછવામાં બેસી સામે પાર જાય અને
ત્યાં રહેલે છોકરે મછો પાછા લાવે. એ પછી બંને છોકરા મછવામાં બેસી સામે પાર જાય.
[ ૮૧ ]
ચિત્રમાં બતાવ્યા પ્રમાણે. આથી તેની લંબાઈ અને પહોળાઈ હતી તેટલી જ રહે છે.

Page #196

૧૮૭
वांस
पांस
वांस
[ ૮૨ ]
છ થાંભલા પર: ચિત્રમાં બતાવ્યા મુજબ પાંચ વાંસ બાંધ્યા હશે, તેથી
દરેક ઊંટના મોઢામાં पांस
વાંસના બે છેડા ऊंर
ર આવ્યા હશે અને
એક પણ વાંસ બાકી
રહ્યો નહિ હોય.
[ ૮૭ ] સામાન્ય માણસને મન આ એક મેટે કેયડે છે, પણ તેને ઉકેલ નીચે પ્રમાણે આવી શકે છે –
પ્રથમ ૩ મણનું કુલ્લ ભરી પાંચ મણિયામાં નાખવું. ફરી પાછું એ જ ૩ મણનું કુલ્લ ભરી પાંચ મણિયામાં નાખવું, એટલે પરિસ્થિતિ નીચે મુજબ રહેશે –
પાંચ
ત્રણ
આઠ મણિયું
મણિયું
મણિયું
૫ મણ
૧ મણ
–૩
૨ મણ
હવે પાંચ મણિયું આઠ મણિયામાં ઠાલવી નાખવું એટલે આઠ મણિયામાં કુલ ૭ મણ થશે અને પાંચ મણિયું ખાલી થશે.

Page #197

૧૮૮
પાંચ
મણિયું
- ત્રણ
મણિયું
આઠ
ત્રણે
મણિયું મણિયું - ૨ + ૫ = ૭ ૫ – ૫ = ૦ ૧ મણ
- હવે ત્રણ મણિયામાં જે ૧ મણ છે તે પાંચ મણિયામાં નાખી દેવું અને આઠ મણિયામાંથી ૩ મણિયું ભરીને પાંચ મણિયામાં નાખવું, એટલે આઠ મણિયામાં ૪ મણ બાકી રહેશે અને પાંચ મણિયામાં પણ ૪ મણ થશે. આઠ
પાંચ મણિયું
મણિયું ૭ – ૩=૪ ૧ + ૩ = ૪
[ ૮૪ ] આવા કોયડાઓમાં પાછળથી શરૂઆત કરવાથી એને ઉકેલ તરત આવી જાય છે. અહીં તે રીતે ગણતરી કરવી જોઈએ.
યાત્રાળુએ ચેથા મંદિરે પૂજા કરી લીધી અને નીચે ઉતર્યો ત્યારે તેની પાસે કંઈ વધ્યું ન હતું, એટલે પગથિયા ઉતરવાનું શરૂ કર્યું, ત્યારે તેની પાસે ૧૦૦ ફૂલે લેવા જોઈએ. હવે તે દરેક મંદિરમાં અર્ધા ફૂલે ચડાવે છે, એટલે અધાં ફૂલે તેની પાસે રહે છે. આ રીતે તેણે ચોથા મંદિરમાં ૧૦૦ ફૂલે ચડાવ્યાં હશે, કારણ કે ત્યાં પૂજા કર્યા પછી તેની પાસે ૧૦૦ ફૂલે વધ્યાં છે. હવે તેણે આ મંદિરમાં ચડતી વખતે ૧૦૦ ફૂલે ચડાવ્યાં છે, એટલે

Page #198

ત્રીન્નુ મંદિર પૂરું કર્યાં પછી તેની પાસે ૩૦૦ ફૂલા હતાં એ નક્કી થાય છે.
હવે ત્રીજું મ ંદિર ઉતરતી વખતે તેણે ૧૦૦ ફૂલે ચડાવેલાં છે, એટલે મદિરમાં પૂજા કર્યા પછી તેની પાસે ૩૦૦ + ૧૦૦ મળી કુલ ૪૦૦ ફૂલો હશે. જો એ વખતે તેની પાસે ૪૦૦ ફૂલા હાય તે તેણે એ મંદિરમાં પણ ૪૦૦ ફૂલા ચડાવ્યાં હશે અને એ મંદિરમાં ચડતી વખતે ૧૦૦ ફૂલા ચડાવેલાં હાઈ ખીનું મંદિર પૂરુ' કર્યા બાદ તેની પાસે ૧૦૦ + ૪૦૦-૪૦૦ મળી ૯૦૦ ફૂલો હશે.
હવે બીજા મદિરમાં ઉતરતી વખતે તેણે ૧૦૦ ફૂલા ચડાવેલાં છે, એટલે પૂજા કર્યા પછી તેની પાસે ૯૦૦ + ૧૦૦ = ૧૦૦૦ ફૂલા હશે અને તેટલાં જ મંદિરમાં ચડાવતાં અને પગથિયાં ચડતાં ૧૦૦ ફૂલે ચડાવેલાં હાઇ તેણે પ્રથમ મંદિર પૂરું કર્યું. ત્યારે તેની પાસે ૧૦૦ + ૧૦૦૦+૧૦૦૦ મળી ૨૧૦૦ ફૂલા હશે.
હવે પહેલા મંદિરમાં ઉતરતી વખતે તેણે ૧૦૦ ફૂલા ચડાવેલાં છે, એટલે પૂજા કર્યા પછી તેની પાસે ૨૧૦૦ + ૧૦૦ = ૨૨૦૦ ફૂલા હશે અને તેટલા જ મદિરમાં ચડાવતાં અને પગથિયાં ચડતાં ૧૦૦ ફૂલે ચડાવેલાં હાઈ તેની પાસે ૧૦૦ + ૨૨૦૦ + ૨૨૦૦ = ૪૫૦૦ ફૂલા હશે. [ ૮૫ ]
પહેલા પાસે ૧ મણ ને ૧ શેર. ખીજા પાસે ૩ મણુ અને ૧ શેર. જો બીજો ૧ મણ ગેાળ આપે તે પહેલા

Page #199

૧૯o
પાસે ૧ મણ અને ૧ શેર + ૧ મણ = ૨ મણ અને ૧ શેર થાય અને બીજા પાસે ૩ મણ ૧ શેર – ૧ મણ= ૨ મણ અને ૧ શેર ગેળ થાય. જે પહેલે ૧ મણ ગોળ આપે તે તેની પાસે ૧ મણ અને ૧ શેર – ૧ મણ = ૧ શેર ગોળ રહે અને બીજાની પાસે ૩ મણ ૧ શેર + ૧ મણ =૪ મણને ૧ શેર અર્થાત્ ૧૬૧ શેર થાય, એટલે કે પહેલા કરતાં ૧૬૧ ગણો થાય.
[ ૮૬ ] એ લીટી નીચે પ્રમાણે દોરવી જોઈએ –
જ થી શરૂ કરીને સુધી, ર થી જ સુધી, 1 થી ૫ સુધી અને ત્યાંથી સુધી લીટી દેરતાં શરત પૂરી થાય છે.
' '
[ ૮૭ ] એ માણસ ફેબ્રુઆરીની ૨૯ મી તારીખે જન્મે

Page #200

હશે. ૬૦ વર્ષમાં ફેબ્રુઆરીની ૨૮મી તારીખ ૧૫ વાર જ આવે છે, કારણ કે તે માત્ર લિપયરમાં જ આવે છે. અને લિપૂઈયર ત્રણ સામાન્ય વર્ષો પસાર થયા પછી આવે છે.
[ ૮૮ ] ૬૦૦ માઈલ. ૩૦૦ જતાં અને ૩૦૦ આવતાં. જતી વખતે હડી કલાકના ૨૦ માઈલની ઝડપે ચાલે, એટલે ૧૫ કલાક લાગે અને વળતી વખતે ૧૫ માઈલની ઝડપે ચાલે, એટલે ૨૦ કલાક લાગે. આ રીતે વળતી વખતે ૫ કલાક વધારે લાગે.
[ ૮૯ ]. પ પાસા કે જેના પર બધા મળીને ૩૦ અક્ષરે હોય તે ૬૨૦, ૪૪૮, ૪૦૧, ૭૩૫, ૨૫૯, ૪૩૯, ૩૬૦, ૦૦૦ જુદી જુદી રીતે ગોઠવી શકાય. હવે એક માણસ એક સેકન્ડમાં એક રીતે ગોઠવે તે ૧,૯૬૭, ૪૬૮, ૯૭૫, ૮૭૯, ૧૨૦ વર્ષ જાય અને દુનિયાના ૧૦૦,૦૦૦,૦૦૦ દશ કોડ માણસે કામે લાગે તે પણ તેમને ૧૦૯૦૧૬ દશ લાખ ત્રાણું હજાર ને સોળ વર્ષ જોઈએ.
[ ૯૦ ] સભાસદેની સંખ્યા ૩૧૧ અને લવાજમ રૂા. ૫-૦-૭ પાઈ.
૧૫૬૬ રૂા. પ . પ પાઈની પાઈઓ કરીએ તે ૩૦૦૭૩૭ થાય છે. આ રકમ ૩૧૧ અને ૯૬૭ને ગુણાકાર
1 t
+
+

Page #201

છે. હવે સભાસદની સંખ્યા ૫૦૦ થી નીચે હતી, એટલે ૩૧૧ ને આંકડે સભાસદેની સંખ્યા સૂચવે છે અને ૯૬૭ પાઈ લવાજમ સૂચવે છે. ૯૬૭ પાઈ = ૮૦ આના ૭ પાઈ, એટલે ૫ રૂ. ૦ આ. ૭ પાઈ
૯ ] ૨ મીનીટ પ૩૩ સેકન્ડમાં.
દરેક નળ દ્વારા એક મીનીટમાં કેટલું પાણુ ખલાસ થાય તેની ગણના કરવાથી આ કોયડાને તરત ઉકેલ આવી જાય છે. ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૩૦+૨૦+૧૫+૧૨+૧૦
+
=
- - - + ---- ૨૦ ૩૦
-
+--- ૧ --- ૪૦ ૫૦ ૬૦
૧ મીનીટમાં ૭, ખાલી થાય એટલે પૂરી ટાંકી ખલાસ થતાં ૬ મી. ૫૩ સેકન્ડ લાગે. ૮૭) ૬૦૦ (૬
પર ૭૮ = ૬૬ મી. = ૬ મીનીટ પ૩૩ સેકન્ડ
[ ર ] ધન્ય ગિરા ગુજરાતની.
[ ૯૩ ] ૧૨ ખૂણાની આકૃતિ બનાવીને દરેક હારમાં ૧૧, સિપાઈ ગોઠવ્યા હશે. આથી ૧૨૦ સિપાઈઓની એ પ્રમાણે

Page #202

ગોઠવણ થઈ શકી હશે ખૂણાવાળે બંને હારમાં ગણાય, એ રીતે ૧૨ ૪૧૧ = ૧૩૨ માંથી-૧૨ નીકળી જાય, એટલે ૧૨૦ રહે.
-
કાળ
કાનાએ પ્રથમ નીચે પ્રમાણે વાડ બનાવ્યું હશે ?
૨૪ થાંભલા
૮–૦-૦-૦ -૦-૦-૦–૦-૦-૦૦-૦-૦ ૧ થાંભલે !
૦ ૧ થાંભલે,
૦–૦-૦-૦-૦-૦-૦-૦–૮–૦-૦–૮–૦–૧–૦
૨૪ થાંભલા પછી તેણે બંને બાજુ ૧-૧ થાંભલો વધારતાં માપ બમણું બની જવાથી ૨૦૦ બકરાં સમાઈ જાય તેવડે વાડો બન્યું હશે.
૨૪ થાંભલા
૧ થાંભલે
( ૧ થાંભલો
૧ થાંભલે
5 ૧ થાંભલે.
૨૪ થાંભલા
[ ૯૫ ] પ્રથમ ૧ અને ૩ કમાંકના પુસ્તક સાથે ઉપાડીને

Page #203

તેને ૬ અને ૪ ની વચ્ચે ગોઠવી દેવા જોઈએ, એટલે ગોઠવણ નીચે મુજબ થશે?
હવે ૬ અને ૧ નંબર સાથે ઉચકીને ૫ અને ૨ ની વચ્ચે મૂકી દેવા જોઈએ, જેથી નીચે પ્રમાણે ગોઠવણ થશેઃ
૩ ૪ ૫ ૬ ૧ ૨
પછી ૧ અને ૨ સાથે ઉચકીને તેને સહુથી આગળ મૂકી દેવા જોઈએ, જેથી ૧ ૨ ૩ ૪ ૫ ૬ એ પ્રમાણે ગેઠવાઈ જશે.
[ ૯૬ ] સાદી સમજ તો એમ જ કહેશે કે દરેકે જે પૈસા ખર્યા હોય તે લઈ લે, પણ ગણિત એને સ્વીકાર કરતું નથી. એ નીચે પ્રમાણે હિસાબ કરી બતાવે છેઃ
૧૦ આના + ૧૨ આના + ૧૬ આના મળી કુલ મીઠાઈ ૩૮ આનાની લીધી. તે ચાર જણે ખાતાં દરેકે લા આનાની મીઠાઈ ખાધી. આ રીતે જેણે ૧૦ આનાની મીઠાઈ લીધી હતી તેને બે આનીને ભાગ વધે. ૧૨ આનાની મીઠાઈ લીધી હતી તેને શા આનીને ભાગ વધે અને ૧૬ આનાની મીઠાઈ લીધી હતી તેને દા આની ભાગ વળે. આ રીતે કુલ ૯ આની ભાગ માટે પિલાએ ૨ રૂ. ૬ આના એટલે ૩૮ આના આપ્યા, તેથી ૧ આની બરાબર ૪ આને લેવાના થયા. એ રીતે

Page #204

૧૯૫
૨ આના મળે.
પહેલાને ૦૫ × ૪ = ખીજાને ૨૫ × ૪=૧૦ આના મળે. ત્રીજાને ૬૫ ૪૪=૨૬ આના મળે.
કુલ ૩૮ આના.
[ ૯૭ ]
મેટી મીણબત્તીની ઊંચાઈ ૯ ઇંચ અને નાની મીણબત્તીની ઊંચાઈ ૮ ઇંચ. આમાં પ્રથમ મીણબત્તીઓની અળવાની ઝડપ શેાધવાથી કામ સરલ અને છે. ૮ાા વાગે અને મીણબત્તીઓની ઊંચાઈ સરખી જ છે, પણ નાની ૧૫ કલાકમાં પૂરી થાય છે અને મેાટી ૨ કલાકમાં પૂરી થાય છે. હવે તે જ ઝડપથી જોઇએ તા મેાટી જાા થી ૮૫ વાગતામાં ૪ કલાક સળગી એ જ વખતમાં નાની ૩ કલાક સળગવી જોઇએ, પણ તે રાા કલાક જ સળગી, કારણ કે તે ઊંચાઇમાં ૧ ઈંચ એછી હતી. એટલે નાની મીણબત્તી સળગવાનું પ્રમાણ ૦ા કલાકે ૧ ઈંચ છે, તે મીણબત્તી કુલ ૪ કલાક સળગી છે, એટલે તેની ઊંચાઈ ૮ ઇંચ હાવી જોઇએ અને બીજી તેનાથી ૧ ઇંચ મેાટી છે, એટલે ૯ ઇંચ હાવી જોઈએ.
[ ૯૮ ]
:
૭૬. તેના હિસાબ આ રીતે મળી રહેશે : પહેલા દેશમાં ૭૬ × ? = ૩૮ + ૨ =૪૦ નાકરીએ રહ્યા.
માકી ૩૬ રહ્યા.

Page #205

બીજા દેશમાં ૩૬ ૪૩ = ૧૮+ ૨ = ૨૦ નોકરીએ રહ્યા.
બાકી ૧૬ રહ્યા. ત્રીજા દેશમાં ૧૬ ૪=૮+ ૨ = ૧૦ નેકરીએ રહ્યા.
બાકી ૬ રહ્યા. ચોથા દેશમાં ૬ ૪ = ૩ + ૨ = ૫ નેકરીએ રહ્યા અને ૧ વળે, તે પાંચમા મુલકમાં ચાલ્યા ગયા.
[ ૯૯ ] માત્ર ૨૦૦૦ રૂપિયા. આંકડા માંડે એટલે ખબર પડશે.
વિધવાને કા રૂપિયા મળે છે. હવે દરેક પુત્રીને બમણું પૈસા મળે છે, એટલે ૨૪ રૂપિયા મળે છે અને તેમની સંખ્યા ત્રણની છે, એટલે ૬૪ રૂપિયા મળે છે. હવે પુત્રને દરેક પુત્રી કરતાં ત્રણ ગણા મળે છે, એટલે ૬૪ મળે છે અને તેમની સંખ્યા ચારની છે, એટલે કુલ ૨૪ મળે છે. આ રીતે ૧ર + ૬૦ + ૨૪૫ = ૩૧મ ની સામે રૂા. ૬૨૦૦૦ છે, એટલે ૧ = ૨૦૦૦ થયા. તેની તાલિકા નીચે પ્રમાણે થશે?
વિધવા પુત્રીઓ ૩ ૪ ૪૦૦૦ = પુત્રે ૪ x ૧૨૦૦૦ =
૨૦૦૦ રૂા. ૧૨૦૦૦ રૂા. ૪૮૦૦૦ રૂા.
કુલ ૬૨૦૦૦ રૂા.

Page #206

૧૯૭
[ ૧oo ]
નીચે પ્રમાણે ગોઠવણ કરી હશે.
-- -
- -
--
-
-
-
--
-- -
-
-
-
--
११ १४३५ ८ ३३ २५ १७२८३९ १ ५ ३७३४ १२ २७ OOOOOOOOOO
O OCCO 0 0
0 0 0 0 0
| osCooOOOOoooooo ३२ ३० ७ १६ २६ ३ ३१ १०१३३६ ४० १८ २४ ६ ३८
પ્રથમ ડાબી બાજુના ઉપરના ખૂણે ૧૧ લખ્યા છે, ત્યાંથી ગણવા માંડે એક, બે, ત્રણ....જ્યાં દશ આવશે ત્યાં ૧ આવશે. એકી એ લાડુનું ચિન્હ છે. ત્યાં મોટું વર્તુલ બતાવેલું છે. ત્યાર પછી ગણવા માંડે કે એક, બે, ત્રણ...જ્યાં દશ આવશે ત્યાં ૨ આવશે. બેકી એ પુરીનું ચિન્હ છે. ત્યાં પૂરીના આકારને નાને લંબગોળ બતાવેલ છે. બસ, આ રીતે ગણતાં જ જાઓ તે બધો એકીમાં લાડુનું નિશાન આવશે અને બધી બેકીમાં પૂરીનું નિશાન આવશે.

Page #207

પૂરવણી
અંકની સંજ્ઞાઓ * પ્રાચીન શાસ્ત્રોમાં વપરાયેલી અંક માટેની કેટલીક સંજ્ઞાઓ – 0 = ખ, અમ્બર, બેમ, અનન્ત, પુષ્કર આદિ. ૧ = આદિ, શશિ, ઈન્દ્ર, ચન્દ્ર, ભૂ, ગ્રહ, ભાનુ આદિ. ૨ = યમ, લેચન, કર, કર્ણ, કુચ, ઓષ્ઠ આદિ. ૩ = લેક, ભુવન, કાલ, અગ્નિ આદિ.
= વેદ, શ્રુતિ, જલધિ, વર્ણ, યુગ આદિ. પ= બાણ, પર્વ, પ્રાણ, પવન, વિષય, તત્વ આદિ. ૬ = રસ, અંગ, ઇતુ, રાગ, શાસ્ત્ર આદિ. ૭ = નગ, શેલ, અચલ, ઋષિ, વાર, સ્વર આદિ. ૮= વસુ, નાગ, ગજ, સપ, મંગલ આદિ. ૯= અંક, નંદ, નિધિ, ગૃહ, કાર, બેચર આદિ. ૧૦ = આશા, દિકુ, અંગુલી, પંક્તિ, અવતાર આદિ, ૧૧ = ઇશ, ભર્ગ, રુદ્ર, ઈશ્વર, ભીમ આદિ. ૧૨ = રવિ, નયન, ભૂ, પાસ, શશિ આદિ. ૧૩ = વિશ્વ, કામ, રત્નન્દુ આદિ. ૧૪ = ઈન્દ્ર, શુક, પુરંદર, મનુ, વિદ્યા, ભેગ આદિ. ૧૫ = તિથિ, દિન, બાણેન્દુ, શરાન્જ, શરેદ્ર આદિ. ૧૬ = નૃપ, રસભૂ, રાજા, ભૂપતિ, ચિત્રભાનુ આદિ.
આ રીતે ૫૦ અંક સુધીની સંજ્ઞાઓ મળે છે.
II

Page #208

૧૯૯
આવું જ બીજું સુંદર પ્રકાશન ગણિત રહસ્ય
ત્રીજી આવૃત્તિ પ્રકટ થઈ ચૂકી છે. પૃ. ૨૧૨, પાકું બાઈન્ડીંગ,
મૂલ્ય રૂા. ૫-૦૦,
આ ગ્રંથમાં નીચેનાં પ્રકરણા આપવામાં આવ્યાં છે :
૧ આમુખ
૨ અકસ્થાન
૩ શ્યનું સામર્થ્ય
૪ ગણિતની વિશિષ્ટ પ્રજ્ઞા
૫ માટી સખ્યાએ યાદ રાખવાની રીત
૬ અ કસ્મૃતિના એક વિલક્ષણ પ્રયાગ
છ સખ્યાતા ચમત્કાર
૮ એક-એકના આ પ્રયોગા
૯ સમરક સંખ્યાએા સરવાળા
૧૦ ત્રણ ક્રમિક સખ્યાએનુ શેાધન
૧૧ અજ્ઞાત સંખ્યાએનું જ્ઞાત સંખ્યામાં પરિણમન ૧૨ ઉત્તરની અચૂક આગાહી
૧૩ હજાર વિકલ્પની એક જ ઉત્તર
૧૪ ધારેલા પ્રશ્ન કહેવાની રીત
૧૫ પ્રકીર્ણ પાંચ પ્રયોગા
કાયડાઓ
વગ પહેલા, ખીજો, ત્રીજો. ઉત્તરા
સન્માનનીય શ્રી કે, કે, શાહુ, સન્માનનીય શ્રી મોરારજી સાઈ આદિ અનેક મહાનુભાવેાએ આ ગ્રંથ માટે ઊંચા અભિપ્રાય
દર્શાવેલા છે.

Page #209

આવું જ ત્રીજું સુંદર પ્રકાશન
ગણિત-સિદ્ધિ ઊંચા ઓફસેટ કાગળ, પૃ. ૨૧૨, પાકું બાઈન્ડીંગ -
મૂ, રૂ. ૫-૦૦. આ ગ્રંથમાં નીચેનાં પ્રકરણો આપવામાં આવ્યાં છે –
૧ ઉપક્રમ ૨ દશને પાપ ૩ સરવાળાની પ્રાચીન અને આધુનિક પદ્ધતિ ૪ સરવાળામાં ઝડપ કેમ આવે ? ૫ સરવાળાની ટૂંકી અને સહેલી રીતે ૬ સરવાળાની ચકાસણી ૭ સરવાળાનો એક સુંદર પ્રયોગ ૮ બાદબાકી અંગે કેટલુંક ૯ બાદબાકીના ત્રણ પ્રયોગો ૧૦ ગુણાકારની પ્રાથમિક ભૂમિકા ૧૧ ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીત૧૨ " ૧૩ ૧૪ બહુ મોટો ગુણાકાર કરવાની સહેલી રીત ૧૫ ગુણાકાર અંગે વિશેષ . ૧૬ ગુણાકારની ચકાસણી ૧૭ ભાગાકારની મૂળ ભૂમિકા ૧૮ ભાગાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે ૧૯ ભાગાકાર અંગે વિશેષ ૨૦ ભાગાકારને સંક્ષેપ અને ચકાસણી ૨૧ ગણિત અને ગણતરી
હિસાબમાં ઝડપ તથા એકસાઈ લાવવા માટે આ ગ્રંથ છે જ ઉપયોગી છે.

Page #210
- Gessasses સંક૯પસાદ 0 0 0 0 0 ઉન્નતિ સાધવાની અદ્ભુત કલા બીજી આવૃત્તિ પ્રકટ થઈ ગઈ છે લેખક : અધ્યાવિશારદ વિદ્યાભૂષણ શતાવધાની પંડિત શ્રી ધીરજલાલ ટોકરશી શાહ ' માનવજીવનમાં સંક૯૫નું શું સ્થાન છે ? તેને એક બળ–શક્તિ તરીકે કેવી રીતે વિકાસ કરી શકાય ? અને તેના દ્વારા જીવનના ભિન્ન ભિન્ન ક્ષેત્રમાં કેવી રીતે ઉન્નતિ સાધી શકાય ? તેનું વિસ્તૃત અને વિશદ વિવેચન કરતા આ ગ્રંથ વિદ્વાન અને પત્રકારો દ્વારા ખૂબ વખણાચેલે છે અને તેણે અનેક જીવનને સફળ–સમૃદ્ધ બનાવ્યા છે. આ ગ્રંથ અવશ્ય વાંચે અને મિત્રોને પણ અવશ્ય વંચાવે. | ઊંચા કાગળ, પૃ. સં. 204, પાકે દ્વિરંગી ' કે', સૂ૯ય રૂા. 6-00. પ્રાપ્તિસ્થાન : પ્રજ્ઞા પ્રકાશન મંદિર લધાભાઈ ગણપત બીલ્ડીંગ, 113-15 કેશવજી નાયક રોડ (ચાચબંદર ) મુંબઈ-૯ 38 0 0 0 0 0 0 - આવ૨ણ * દીપક પ્રિન્ટરી * રામદાવાદ 1 voererarea 0 0 0 0 0 0 0 ક