Page #1
--------------------------------------------------------------------------
________________
of xL |૩| |
| +1 | T
WEET
E
,
ક
ર
=
૪ :
[
+ ૧૮
|
RUT
હક
'A
જન્મ
S
કરવા
પuliitill
..
: : -
!''
આv!!
જા
રસન્ન
culillage
=
.
8
જા
જ
=
૩. ગgicનાં માણો નાનાના
* ઉત્તમ છે
ધ
,
''
-
-
-
-
'P
-
-
-
-
1
લેખક શતાવધાન
--
---
-
-
--
-
"wf/
Sજ લાંબી
.
''
HERE'S
સ્ક જરૂર
*?
?
"
{
/
*
/
, .
-અ રાજા
.
છે
?
Page #2
--------------------------------------------------------------------------
________________
પ્રકાશક : નરેન્દ્રકુમાર ડી. શાહ વ્યવથાપક . પ્રના પ્રકાશન મંદિર લધાભાઈ ગુણપત બીલ્ડીગ, ચી ચબ દર, મુંબઈ
‘,
પહેલી આવૃત્તિ
* સને ૧૯૬૬ વિ સ ૨૦૨૨
બીજી આવૃત્તિ સને ૧૯૬૮ વિ સ. ૨૦૨૪
મૂલ્ય રૂપિયા પાંચ
આ પુસ્તકના સર્વ હક લેખકને સ્વાધીન છે
મુદ્રક : મણલાલ છગનલાલ શાહ નવપ્રભાત પ્રિન્ટીંગ પ્રેસ ઘીકાંટા રોડ – અમદાવાદ
Page #3
--------------------------------------------------------------------------
________________
પ્રકાશકીય
સને ૧૯૬૫ ના પ્રારંભમાં ગણિત–ચમત્કારનું પ્રકાશન થયું; સને ૧૯૬૬ ના જાન માસમાં ગણિત-રહસ્યનું પ્રકાશન થયું, અને સને ૧૯૬૬ ના એકબર માસમાં ગણિત-સિદ્ધિનું પ્રકાશન થયુ. આ વખતે ગણિત-ચમત્કાર તથા ગણિત-રહસ્યની બીજી આવૃત્તિઓ પણ પ્રકટ થવા પામી ત્યારબાદ માત્ર ૫દર માસના ગાળામાં ગણિત સિદ્ધિની આ બીજી આવૃત્તિ પ્રકટ થઈ રહી છે, તેના પરથી આ પુસ્તકોની ઉપયોગિતા તથા લાકપ્રિયતા સમજી શકાશે.
સર સયાજીવરાવ હીરક મહોત્સવ અને સમારકનિધિના ટ્રસ્ટી સાહેઓએ પ્રચારાર્થે આ પુસ્તકની ૫૦૦ નકલ ખરીદી ન હોત તો આ આવૃત્તિ આટલી વહેલી પ્રકટ થઈ શકી ન હોત, તેથી આ પ્રસંગે અમે આ ટ્રસ્ટના ટ્રસ્ટી મહાશયોને આભાર માનીએ છીએ અને ભવિષ્યમાં પણ તેમના તરફથી આ પ્રકારનો સહકાર મળતો રહેશે, એવી આશા પ્રકટ કરીએ છીએ.
મુબઈ ખાતે જાયેલ ગણિત–ચમત્કારના પ્રકાશન-સમારેહને શ્રીમંત મહારાજા શ્રી ફતેહસિંહરાવ ગાયકવાડે શોભાવ્યો હતો અને ગણિત-રહસ્યના પ્રકાશન–સમારોહને સન્માનનીય શ્રી કે. કે. શાહે શેભાવ્યો હતો કે જેઓ આજે ભારત સરકારના માહિતી ખાતાના પ્રધાનપદે બિરાજે છે. ત્યારબાદ અમદાવાદ-ટાઉનહોલ ખાતે
જાયેલ ગણિત-સિદ્ધિના પ્રકાશન–સમારોહને ગુજરાત રાજ્યના મુખ્ય પ્રધાન શ્રી હિતેન્દ્ર દેસાઈ તથા ભારત સરકારના આજના ઉપવડાપ્રધાન શ્રી મોરારજી દેસાઈએ શેલાવ્યો હતો. આ વખતે ગુજરાત રાજ્યના બીજા પ્રધાને પણ હાજર હતા, તેમજ શ્રી જયકૃષ્ણ હરિવલ્લભદાસ, બીજા અગ્રગણ્ય ઉદ્યોગપતિઓ, જૂદા જૂદા બજારના પ્રમુખો, પત્રકારો તથા વિદ્વાનોએ પણ સારી સંખ્યામાં હાજરી આપી હતી.
Page #4
--------------------------------------------------------------------------
________________
આ સમારોહનું મુખ્ય આકર્ષણ આ ગ્રંથના લેખક વિદા-- ભૂષણ ગણિતદિનમણિ સાહિત્યવારિધિ શતાવધાની પંડિત શ્રી ધીરજલાલ શાહના ગણિત–સિદ્ધિના ચમત્કારિક પ્રયોગો હતા, એમ કહીએ તો અનુચિત નથી આ પ્રયોગોએ જનતાને ખૂબ જ પ્રભાવિત કરી હતી અને વર્તમાનપત્રોએ તેને ચોગ્ય પ્રસિદ્ધિ આપનાં ગણિતને મહિમા ગુજરાતભરમાં સારી રીતે પ્રસર્યો ને
ત્યારબાદ સને ૧૯૬૬ ના જાન્યુઆરી માસમાં પીડિતજીના ગણિત-સિદ્ધિના મેગે પુનઃ એજ ટાઉન હૉલમાં વધારે પ્રમાણમાં થયા હતા તે વખતે સમારોહનું સ્થાન ગુજરાત રાજ્યના વાદનવ્યવહાર તથા પચાયતખાતાના પ્રમુખ શ્રી વજુભાઈ શાહે શોભાવ્યુ હતુ અને અતિથિવિશેષ તરીકે ગુજરાત રાજાના રાજ્યપાલ શ્રી નિત્યાનંદ કાનુનેગે પધાર્યા હતા આ વખતે ગણિતસિદ્ધિ-મારિકાનું પ્રકાશન થયું હતુ અને તેણે પ્રસંગની શોભામાં અભિવૃદ્ધિ કરી હતી - ત્યારબાદ અમદાવાદ શેઠ ચીમનલાલ નગીનદાસ વિદ્યાવિહાર, રાયપુર, મુબઈ, ખંભાત, ગોધરા આદિ સ્થળોએ પણ પતિજીના ગણિત-સિદ્ધિના ચમત્કારિક પ્રયોગો થયા છે અને હાલમાં સુરત શહેર આ પ્રગો વિશાળ પાયે કરાવવાની યોજના હાથ ધરી છે.
આ બધા પ્રસ ગે ગણિતની મહત્તાને પ્રચાર કરવામાં સહાયભૂત થયા છે અને તેણે ઉકત ત્રણેય પુસ્તકોની લોકપ્રિયતા વધારી આપી છે.
અમારી આ પ્રકાશન–પ્રવૃત્તિમાં જેઓ એક યા બીજી રીતે મદદગાર થયા છે, તે સહુનો આ સ્થળે આભાર માનીએ છીએ. '
પ્રજ્ઞા પ્રકાશન મંદિરની અન્ય સાહિત્યપ્રવૃતિઓને ખ્યાલ આ ગ્રંથની પાછળ આપેલાં વિજ્ઞાપને પરથી આવી શકશે
– પ્રકાશક
Page #5
--------------------------------------------------------------------------
Page #6
--------------------------------------------------------------------------
________________
ક
Eઉન્ટર
કે
,
ભારત સરકારના ઉપવડા પ્રધાન સન્માનનીય શ્રી મોરારજી દેસાઈ
Page #7
--------------------------------------------------------------------------
________________
સમર્પણ
ગુજરાતના ગૌરવરૂપ સન્માનનીય શ્રી મોરારજી દેસાઈને,
જેમની સત્યનિષ્ઠા, ચારિત્રની નિર્મલતા
તથા દિર્ઘ દેશસેવાઓ
મને પ્રભાવિત કર્યો છે.
ધીરજલાલ શાહ
Page #8
--------------------------------------------------------------------------
Page #9
--------------------------------------------------------------------------
________________
વિષયાનુક્રમ
ક્રમાંક વિષય
પૃષ્ઠસંખ્યા અક-આશ્ચના પ્રણેતા શ્રી શાહ લે. જયભિખ્ખ ગણિતસિદ્ધિના સાત પ્રયોગો
ગણિતશાસ્ત્રની શક્તિને જદુમય રીતે પરચો ૧ ઉપક્રમ ૨ દશને પાયે ૩ સરવાળાની પ્રાચીન અને અર્વાચીન પદ્ધતિ ૪ સરવાળામાં ઝડપ કેમ કેમ આવે ? ૫ સરવાળાની ટકી અને સહેલી રીતે ૬ સરવાળાની ચકાસણી ઇ સરવાળાનો એક સુંદર પ્રવેશ ૮ બાદબાકી અને કેટલુક ૮ બાદબાકીના ત્રણ પગે ૧૦ ગુણાકાર અગે પ્રાથમિક તૈયારી
Page #10
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૬૦
૮૦
- ૧૧ ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીત [ ગુચ્છ પહેલુ ]
૧–પાંચ વડે ગુણવાની રીતે ૨–પંદર વડે ગુણવાની રીતે
-સાડા સાત વડે ગુણવાની રીત ૪–સાડા બાર વડે ગુણવાની રીત પ-નવ વડે ગુણવાની રીત
–અગિયાર વડે ગુણવાની રીતે ૧૨ ગુણકારની ટૂંકી અને સહેલી રીત [ગુચ્છ બીજુ ]
ઉ–પચાશ વડે ગુણવાની રીતો ૨–પચીશ વડે ગુણવાની રીત ૩–પચેતેર વડે ગુણવાની રીત ક–એક પચીસ વડે ગુણવાની રીતે પ–એક ને સાડાબાર વડે ગુણવાની સત –પીસ્તાલીશ વડે ગુણવાની રીત –પચાવન વડે ગુણવાની રીત ૮–પાત્રીશ વડે ગુણવાની રીત
૧૦૩ ૯-નવાણુ આદિ વડે ગુણવાની રીત
૧૦પ ૧૦–એક સો એક આદિ વડે ગુણવાની રીત ૧૦૭
૧૧–અટાર, સત્તાવીશ, છત્રીસ આદિ વડે ગુણવાની રીત ૧૦૮ ૧૩ ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે [ગુચ્છ ત્રીજું] ૧૧૨
–છેડે અરધાવાળી સંખ્યાઓને ગુણવાની રીત ર-અવયે વડે ગુણવાની રીત
૧૧૨
૧૧૪
Page #11
--------------------------------------------------------------------------
________________
૩–વિશિષ્ટ અંક રચનાવાળી સંખ્યાઓને ગુણવાની રીત ૧૧૬ –એકમને સરવાળો ૧૦ થતો હોય અને દશક કે સે
સરખા જ હોય તેવી બે સ ખ્યા ગુણવાની રીત ૧૨૧ ૧૪ બહુ મોટા ગુણાકાર કરવાની સહેલી રીત
૧૨૪ ૧૫ ગુણાકાર અંગે વિશેષ
૧૨૯ ૧-જવાબ એક કે બેકી ?
૧૨૯ ૨–ગુણ્ય અને ગુણકના પરિવર્તનથી જવાબમાં ફરક પડે નહિ ૧૩૦ ૩–વિભાગપદ્ધતિ ૪–અનુકૂળતા પર ખાસ ધ્યાન આપો.
૧૩૩ ૧૬ ગુણાકારની ચકાસણી ૧૭ ભાગાકારની મૂળ ભૂમિકા
૧૪૪ ૧૮ ભાગાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતો ૧૯ ભાગાકાર અને વિશેષ ૨૦ ભાગાકારને સંક્ષેપ અને ચકાસણી ૨૧ ગણિત અને ગણતરી
શ્રી ધીરજલાલ શાહનું સાહિત્યસર્જન
૧૩૧
૧૩૬
૧પ૦
Page #12
--------------------------------------------------------------------------
________________
અંક આશ્ચર્યોના પ્રણેતા શ્રી શાહ
મેરે લહુકા જેશ ખબર દે રહા હૈ ખુદ !
સૈયાદ કહાં છુપાતા હૈ ફલે બહારડે ! [ ગુજરાતના સુપ્રસિદ્ધ લેખક શ્રી જયભિખ્ખએ ગુજરાત સમાચારના તા. ૧૩-૧૦-૬૬ ના અકમા ઈટ અને ઈમારતના કોલમમાં પિતાની લાક્ષણિક શલિએ શ્રી ધીરજલાલ શાહનો પરિચય આપે, તે અહી સાભાર ઉદ્ધત કરવામાં આવે છે ]
લેખક : જયભિખુ
વિદ્યા એ કલા છે. વિજ્ઞાન એ કરામત છે.
ગમે તેવી મામુલી વિદ્યાને જ્યારે વિજ્ઞાનને સ્પર્શ થાય છે, ત્યારે એ ઈમ બની જાય છે. ઈલ્મ શબ્દ આજે જરાક અપરિચિત લાગે છે. સંસારનું એક આશ્ચર્ય બની જાય છે, એમ કહેવું ઉચિત થશે.
આવાં જ્ઞાન-વિજ્ઞાનનાં આશ્ચર્યોની એક મંજુષા લઈને, એક દહાડે ગુજરાતના પનેતા પુત્ર શ્રી. કે. લાલ અમદાવાદને આંગણે આવ્યા હતા.
Page #13
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૧
અમદાવાદે–ગુજરાતે ડાહ્યા દીકરાઓને દેશાવર ખેડવા આપ્યા છે. લાંબા દેશાવરથી નહિ, પણ કલકત્તા, સિંધ, હૈદરાબાદને ભારતના બીજા પ્રાંતમાં પર્યટન કરીને ગુજરાતના એક બીજા લાડીલા પુત્ર આજ આપણે આંગણે આવ્યા છે.
એ વિદ્વાન પુત્રનું નામ છે શ્રી ધીરજલાલ શાહ. એ પિતાની સાથે અંકવિદ્યાની અદ્દભુત કરામત લાવ્યા છે. શતાવધાની એમની પદવી છે. ગણિતદિનમણિ એમનું બિરુદછે. જનતાના એ આદમી છે, ને જનતાએ હૈયાના ઉમળકાથી એ બિરૂદની નવાજેશ કરી છે.
કે. લાલ પાસે વસ્તુનું મેજીક હતું.
શ્રી. શાહ પાસે મેથે-મેજીક છે. આંકડાના આશ્ચર્યો છે. ભારતવર્ષમાં આ પ્રકારના અંકશાસ્ત્રના આશ્ચર્યો બતાવનાર ગણ્યાગાંઠ્યા કલાકારોમાં એમનું નામ છે, અને બહુ ઊંચું નામ છે !
આકડાશાસ્ત્રનાં અદ્દભુત આશ્ચર્યોમાં એક પ્રયોગ, એ છે કે :
એક જણ ત્રણથી ચાર અંકની સંખ્યા લખે. પછી, અનુર્કમે છત્રીસ સંખ્યાઓ લખે.
એ છત્રીશ સખ્યામાથી છ સંખ્યા પસંદ કરે. એને સરવાળો કલાકાર પોતે નહિ કહે.
અદશ્ય ઘંટનાદ થશે,
Page #14
--------------------------------------------------------------------------
________________
ડંકા એને સરવાળે કહેશે. ચાલે, બીજો એક પ્રયોગ : કેટિ વિકલ્પવાળી એક સંખ્યા લખે ! તેમાં જનતાએ લખેલી ૨૮ સંખ્યાઓ ઉમેરે
ડું ગણિત કરો.
પ્રક્ષકારોના હાથમાં રહેલી વિવિધ વસ્તુઓ એને -જવાબ આપશે.
ચાલે, એ પુસ્તકમાંથી તમે એક નામ પસંદ કરે.
કલાકાર પોતાની ગણિત–પ્રક્રિયાથી એ પુસ્તકનું નામ કહી આપશે.
આવા અનેક આશ્ચર્યકારી અંકપ્રેગો કલાકાર શ્રી. શાહ તા. ૧૬મી (ઓક્ટોબર)ના રોજ અમદાવાદમાં ટાઉન હાલ ખાતે બતાવવાના છે, જે જોશે તે જાણશે. અહીં તેની તપસીલ આપવી નથી. પણ શ્રી. શાહ ગુજરાતના એ પનેતા પુત્ર છે. ને એથીય વધુ જીવનનું સ્વયં નિર્માણ કરનાર જ્ઞાનની અનેક શાખાઓને સ્વસાધ્ય કરનાર કર્મઠ પુરુમાના છે, તેની ગુજરાતને ઓછી ખબર છે.
ઓછી ખબર ઓછી કદરની જનેતા છે. ગુજરાતના સપુતો પરપ્રાંતમાથી નામના રળીને આવે ત્યારે ગુજરાત તાળીઓ પાડવા તૈયાર રહે છે. ને છાતી ફેલાવી ગન્નત મુખે કહે છે કે, આ અમારા પ્રાન્તનું રતન છે. પ્રાંતીયતાને આભડછેટ ગુજરાતને ઘણે છે.
Page #15
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૩
શ્રી. ધીરજલાલ શાહ સૌરાષ્ટ્રમાં આવેલા દાણાવાડા નામના નાના ગામડાના વતની છે. એમનો જન્મ તા. ૧૮મી માર્ચ ૧૯૦૬ના રેજ સામાન્ય જૈન કુટુંબમાં થયો હતે પિતાનું નામ ટોકરશીભાઈ માતાનું નામ મણિબેન,
પિતા ગામડા ગામમાં નાની શી હાટડી ચલાવતા હતા. શ્રી. શાહ આઠ વર્ષના હતા ત્યારે તેમના પિતાનુ ટૂંકી માંદગીમાં એકાએક અવસાન થયું સપત્તિમાં ખાસ કાંઈ નહતુ. દુકાનમાં તે દેવું નીકળ્યું.
જીવનની વિષમ કઠિનાઈઓમાં માતા મણિબેનની સ સ્કારછાયાસા શ્રી શાહનું પાલન–પિષણ થયું ગળાકાપુ ગરીઆઈ એવી હતી કે નાના-મોટા તમામ શ્રમ શ્રી શાહને. કરવા પડ્યા. દુખની શાળા ને શ્રમની મહાશાળામાં એ તૈયાર થયા
માતાએ દળણાં દળી દીકરાને મેટો કર્યો. માતા પીસી નાખે એવી મુશ્કેલીમા જીવતી હતી છતા તેણે દીકરાને
શ્રમ કરજે ને ધર્મ આચરજે”નું સૂત્ર હમેશા ટાવ્યું મળ્યું તે ખાધુ, ન મળ્યું તો નહિ દુખાભ્યાસની આ નિશાળે શ્રી. શાહની કેળવણીના પાયા નંખાયા.
દુખના પાપાણ-ડુંગરા દૈવતના ઝરા વહાવે છે. ઈ સ. ૧૯૧૭મા શ્રી. શાહ સૌરાષ્ટ્ર છોડી અમદાવાદ આવ્યા. અને સી. એન. છાત્રાલયમાં જોડાયા. આ સંસ્થા કિશેરેના જીવનઘડતર માટે ખૂબ વિખ્યાત હતી. એનું ચારિત્ર્યઘડતર. ને કાયા-કેળવણનું ચણતર આજે પણ એવું ને એવું છે.
Page #16
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૪
શ્રી. શાહને જોતજોતામાં રાષ્ટ્રીય ચળવળનો રંગ લાગી ગયે એ વખતે પૂ. ગાંધીજી અમદાવાદમાં હતા. અમદાવાદ રાષ્ટ્રીય ચળવળનું કેન્દ્ર હતું સરકારી શાળામાં અભ્યાસ કરનાર વિદ્યાથીઓમા સહુ પ્રથમ ખાદીની ટોપી પહેરીને વર્ગમાં જનાર એ એક માત્ર વિદ્યાથી" હતા.
સરકારી શાળાઓ છોડવાનું એલાન આપ્યું ને શ્રી. શાહ રાષ્ટ્રીય શાળા પ્રોપ્રાયટરી હાઈસ્કૂલમાં જોડાયા. ને ગુજરાત વિદ્યાપીઠમાં ઈ. સ. ૧૯૨૪માં વિનીત થયા.
કઠિનાઈન પદે પદે કારમે સામનો કરવો પડતો હતે. ઘેર કમાનાર કેઈ નહતું. વિદ્યાલયના આચાર્યશ્રીની ખાસ મંજૂરી મેળવી ટયૂશન કરી દર માસે રૂા. ૧પ માતાને મોકલતા હતા. એ વખતે “નવજીવન” પત્રની બોલબાલા હતી દર રવિવારે એના અંકનું વેચાણ કરે. અને પૈસે, પિસો એકત્ર કરી આઠથી દશ રૂપીયા એકત્ર કરે !
એ પરસેવાની મૂડીમાંથી શ્રી. શાહે ખાદી ખરીદી ને એ દિવસથી ખાદીનાં વ ધારણ કર્યો, જે આજે પણ ચાલુ છે.
માતા મણિબેન વિશેષ ભણ્યા ન હતા, પણ સ્મરણશક્તિ એવી હતી કે, એક વાર કેઈનું પ્રવચન સાંભળ્યું કે બધું યાદ રહી જાય. શ્રી શાહ માટે એ શાળા હતાં.
વિનીતને અભ્યાસ પૂરે કરતાં જ ગક્ષેમનો પ્રશ્ન સામે આવીને ખડે થશે. શ્રી શાહ આજીવિકા પણ વિદ્યાના ક્ષેત્ર દ્વારા પ્રાપ્ત કરવા માગતા હતા..
Page #17
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૫
ચિત્રકારના ક્ષેત્રમાં તેઓએ પદાર્પણ કર્યું. સુપ્રસિદ્ધ પેટ્રેઈટ પેઈન્ટર શ્રી. નાનાલાલ જાની પાસે રહ્યા. ત્યારબાદ કલાગુરૂ રવિશંકર રાવળના વિદ્યાથી અન્યા.
ચિત્રકારિત્વના ક્ષેત્રે સવિશેષ ચમકારા દર્શાવે તે પહેલાં, એક ટાણાના પ્રસ ગ અન્ચે, ને ખસે–ત્રણસેાની આવક છેડી સી. એન. છાત્રાલયમાં તેએ ધ શિક્ષક મનીને બેસી ગયા. ત્યારખાદ વિદ્યાલય શરૂ થતાં પ્રથમ શિક્ષક બનવામા આનંદ માન્યા.
છાત્રાલયમાં હતા ત્યારે છાત્ર' નામનું માસિક ( ચલાવતા. ઈ સ. ૧૯૩૧ મા “ જૈન જ્યેાતિ ” નામનુ વાર્તા ને લેખાતું માસિક કાઢ્યું. ટૂંક સમયમાં લેકપ્રિયતા વરતાં એ સાપ્તાહિક બન્યું. અને અમુક વખતે એ દૈનિક પણ મની ગયું. હતું તેા સમાજનું પત્ર પણુ, રાષ્ટ્રીયતા ને ક્રાંતિકારના રંગે રંગાયેલુ હતુ.
>
આ સાથે - જૈન શિક્ષણપત્રિકા? નામનું એક માસિક પણ ચલાવતા. આમ જનતા માટે · નવી દુનિયા નામનું ચિત્રાથી, રેખાંકનેાથી સભર સાપ્તાહિક પ્રગટ કર્યું. પેાતાની ટ્રેકી કારકીર્દિ માં એ પત્રકાર જગતમા અવનવા ર ગે પૂરી ગયું.
શ્રી શાહ ખડતલ પુરુષ છે. સદા જાગૃત છે. આજે પણ અઢાર કલાક કામ કરતાં તેમને શ્રમ ભાસતા નથી. એ વખતે તે પગ મારીને પત્થરમાંથી પાણી કાઢે તેવા હતા. એક સાહસિક પ્રવાસી તરીકે તેઓ પ્રાદેશ ચીનની
Page #18
--------------------------------------------------------------------------
________________
સરહદે ભમી આવ્યા. ડાંગના જંગલમાં ધૂમ્યા. અજંતાઈલરા વગેરેની યાત્રા કરી.
શ્રી. શાહની પ્રતિભા અહીં કવિ તરીકે ઝળકી ઊઠી. અજંતાને ચાત્રી” નામે ખંડકાવ્યની રચના કરી “છલુરાનાં ગુફા મંદિર” ને “કુદરત ને કલાધામમા વીસ દિવસ નામના પ્રવાસગ્રંથો આપ્યા ગુજરાતના સાયરાએ તેને સ્તુતિપાત્ર લેખ્યા.
કલાદેવીના કેઈ પણ સ્વરૂપની પૂજા-આરાધનામાં શ્રી. શાહ પાછળ રહે તેવા નહતા અને નથી તેઓએ “તિ કાર્યાલય” નામની એક સંસ્થા સ્થાપી. ને પત્રપ્રકાશન ઉપરાત ગ્રંથ પ્રકાશન આર બ્લ્યુ.
બાલસાહિત્યનું ક્ષેત્ર એ વખતે અલ્પ હતું. તેઓએ બાલ ગ્રંથાવલિ, વિદ્યાર્થી વાચનમાળા, કુમાર ગ્રંથમાલા, વગેરે ગ્રંથણીઓ શરૂ કરી ને પોતાના લખેલ કે સંપાદન કરેલાં લગભગ ત્રણથી વધારે પુસ્તકેની ફૂલછાબ મા ગુર્જરીને ચરણે ધરી
“સારા કાર્યમા સે વિધ્ર એ ન્યાયે જ્યોતિ કાર્યાલય પર આર્થિક તંગીનાં વાદળ ઉમટી આવ્યા પિતાની મૂડી હેમવા છતાં એ સંસ્થા ટકી નહિ અને તેને સમેટી લેવી પડી.
શ્રી શાહ અમદાવાદનું કાર્યક્ષેત્ર છેડી મુંબઈ ગયા ત્યારે હૈયામાં હામની ને હાથમાં શ્રમની મૂડી શેષ હતી.
Page #19
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૭
શ્રી. શાહ ચેાગના પણ અભ્યાસી હતા. તે ચેાગ અને અન્ય ચિકિત્સા દ્વારા રાગે! મટાડનાર ચિકિત્સક બન્યા. ૧૯૪૧ માં સરકારી માન્યતા લીધી. · જીવનવિકાસ’ નામનુ પત્ર પણ પ્રગટ કર્યું..
'
આ વખતે કેવલ નિજાન માટે શીખેલા અવધાનપ્રયાગની એમને યાદ આવી. સ્મરણશક્તિના આ પ્રયાગે પહેલવહેલા તેઓએ ઉત્તર ગુજરાતના વીજાપુરમાં તા. ૨૯-૯-૩૫ ના રોજ કર્યાં હતા ને પહેલે પગલે અદ્ભુત વિજય મેળવ્યેા હતા. શતાવધાની'ના બિરુદ સાથે સુવર્ણ ચંદ્રક પ્રાપ્ત કર્યાં હતા.
ઈ. સ. ૧૯૩૫ થી ઈ. સ. ૧૯૬૨ ના ગાળામાં આ ક્ષેત્રે તેઓએ અદ્ભુત પ્રગતિ કરી. અનેક નગરોમાં પેાતાના અવધાનપ્રયાગેા કર્યાં. ને જીવંત અવધાનશાળા મની બાવીસ જેટલા શિષ્યા પણ નિષ્પન્ન કર્યાં.
જ્ઞાનીને મન જીવની હર પળ ઉપાસનાની છે. શ્રી. શાહ અવધાનપ્રયાગ પછી ગણિતના ઉંડા રહસ્યની ખેાજમાં પડચા ને એમાં પરાકાષ્ટાની સિદ્ધિ હાંસલ કરી તેઓએ પેાતાની આ સિદ્ધિને પ્રસિદ્ધિ આપે તેવા ત્રણ ગ્રંથા સર્જ્યો છે, જે જોનારને તેમના ઊંડા જ્ઞાનની ખાતરી થઈ જાય છે. (૧) ગણિત ચમત્કાર, (ર) ગણિત રહસ્ય, (૩) ગણિત સિદ્ધિ.
ગણિતના પ્રયાગા ગ્રંથસ્થ કરવા ઉપરાંત તેઓ જાહેર
૨
Page #20
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૮
રીતે પણ એ પ્રાગે પ્રજા સમક્ષ રજૂ કરે છે, ને ત્યારે છાઓનાં મન-ચિત્ત આશ્ચર્ય અનુભવે છે. ને કલ્પનાતીત કહી એને બિરદાવે છે.
સને ૧૯૯૭માં તેમને મુંબઈ ખાતે “સાહિત્યવારિધિ” ની, સને ૧૯૬૬ માં સુરત ખાતે “ગણિતદિનમણિ”ની તથા સને ૧૯૯૭માં રાયપુર–મધ્યપ્રદેશ ખાતે વિદ્યાલવૂષણની પદવી પ્રાપ્ત થયેલી છે.
આપણે કલાકાર શ્રી. શાહની કદર બુઝીએ. એવું ન થાય કે કલાનું આ ઝરણું ઉત્તેજનાવિહીન ઉષર ભૂમિમાં વિલીન થઈ જાય,
કલાને વિજય હે
Page #21
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિના સાત પ્રયોગો
અમદાવાદની-સુ–સંસ્કારી જનતાનું અજબ
આકર્ષણ કર્યું.
[ અમદાવાદના અખબારેએ ગણિત-સિદ્ધિ સમારોહની કાર્યવાહીને પૂરતી જાહેરાત આપી હતી, તેમજ પ્રયોગોની પણ સવિસ્તર નેંધ લીધી હતી, તેમાંથી “જનસત્તા ”એ તા. ૧૭–૧૦–૬ ના રોજ પ્રદ કરેલી નેંધ અહી અક્ષરશ પ્રકટ કરવામાં આવે છે. ]
આંકડાની કરામતથી સાડા ચાર લાખ અંગ્રેજી શબ્દોમાંથી
શેાધાયેલે ચોક્કસ શબ્દ
ગણિતશાસ્ત્રમાં નિષ્ણાત અને ગણિત અંગે અનેક પ્રયોગ કરનાર શતાવધાની મૂળ અમદાવાદના વતની અને હાલમાં મુંબઈમાં રહેતા શ્રી ધીરજલાલ ટોકરશી શાહે લખેલે “ગણિત-સિદ્ધિ” ગ્રંથ શ્રી મેરારજીભાઈ દેસાઈને અર્પણ કરવાના સમારંભ વખતે ગણિતસિદ્ધિના સાત જેટલા પ્રયોગ તેમણે સફળતાપૂર્વક કરી બતાવ્યા હતા. આ પ્રસંગે ગણિતની
Page #22
--------------------------------------------------------------------------
________________
૨૦
ગણતરીમાં ભૂલે ન થાય તે જોવા માટે આગેવાન ગણિતશાસ્ત્રીઓને પ્રશ્નો પૂછનારાઓની મદદમા આપવામાં આવ્યા હતા. અટપટો નિર્ણય ?
પ્રથમ પ્રયોગ “અટપટા નિર્ણય વિશે હતો. આ પ્રયોગ હેઠળ છે જિજ્ઞાસુઓને ત્રણ જૂથમાં જુદી જુદી વસ્તુઓના પેકેટ વહેંચવામાં આવ્યા હતા અને જે છ ભાઈએ પ્રેક્ષકમાંથી સ્ટેજ ઉપર આવ્યા હતા, તેમને પિતાની પસંદગીના બધ કરેલા પેકેટ આપવામાં આવ્યા પછી ગણિતની કરામતથી શ્રી. ધીરજલાલે કયા ભાઈની પાસે શી વસ્તુ છે ? તે તુરત જ કહી બતાવી હતી. આ નિર્ણય ઉપર આવતા પહેલાં શ્રી. ધીરજલાલે છ સભ્યને પોતાના પેકેટ ખોલી અંદરની ચીજો ગણવા જણાવ્યું હતું. ત્યાર બાદ શ્રી. મેરારજીભાઈ દેસાઈને ગમે તે બે રકમનો આંકડે બેસવાનું કહેતા શ્રી મોરારજી.. ભાઈએ પ૧ ને આકડે કહેતા તમામ સભ્યોને પથી માડીને - અનુક્રમે અન્ય રકમોથી ગુણવા કહીને પછી થોડી પળ આ મીંચી છ ભાઈઓ પાસે કયા પ્રકારનો સૂકે મે હતા, તે તેમણે જાહેર કર્યું હતું. પુસ્તકની પસંદગી
પુસ્તકની પસંદગી અંગેના બીજા પ્રયોગમાં તે ભારે રંગત જામી હતી. વિદ્યા દ્વારા ચૂંટાયેલા ગુજરાતી ભાષાના ૧૦૦ જેટલા સુંદર પુસ્તકે ટેબલ ઉપર વ્યવસ્થિત રીતે ગોઠવવામાં આવ્યા હતા. પ્રેક્ષકેમાંથી બે ભાઈઓને સ્ટેજ
Page #23
--------------------------------------------------------------------------
________________
૨૧
ઉપર બોલાવ્યા પછી તેમને આ ૧૦૦ પુસ્તકેમાંથી એક પુસ્તક પસંદ કરવા જણાવવામાં આવ્યું હતું. બીજી બાજુથી પ્રેક્ષમાંથી પણ ૧ થી ૧૦૦૦ સુધીની ગમે તે કામે છે
વ્યક્તિઓ પાસેથી મંગાવવામા આવી હતી. પ્રાગકાર શ્રી, ધીરૂભાઈએ પ્રેક્ષકોને આશ્ચર્ય પમાડે તે રીતે ગણિતની પ્રક્રિયાથી તુરત જ પુરતકનું નામ શોધી કાઢયું હતું, જેનું નામ હતું. “દ્વિરેફની વાતો ભાગ ૩.” .. . ભાગ્ય પરીક્ષા , ભાગ્યપરીક્ષાના પ્રયાગ વખતે ઈનામમાં આપવાની આકર્ષક ચીજો ટેબલ ઉપર રજૂ થતાં ઘણું લેકે સ્ટેજ ઉપર ભાગ લેવા દેડી આવ્યા હતા, પરંતુ ત્રણ ભાઈઓને–પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા શ્રી ધીરૂભાઈએ જાહેર કર્યું હતું કે ૨૦ કવરેમાની લકી કુપનમાં ટી સેટ, થર્મોસ ચાદીના પ્યાલા, પુસ્તકે, રાષ્ટ્રીય બચત સટીફીકેટ અને રોકડ ઈનામને સમાવેશ થાય છે કવરમાં બે કવરે ખાલી ચીઠીવાળા હતા. પ્રેક્ષમાંથી સ્ટેજ ઉપર આવેલા ત્રણ ભાઈઓને કઈ પણ એક પુસ્તક ટેબલ ઉપરથી ઉપાડી તેના પાનાના આધારે ગણિત ગણવા જણાવ્યા પછી જે ઉત્તર મળે, તે મુજબ ૨૦ કવરમાથી એક કવર ઉપાડયું હતું. આમ હિસાબ કરાવતાં પ્રથમ બે કવરે ખાલી નીકળ્યા હતા, જ્યારે ત્રીજા નંબરના ભાઈને ઈનામમાં દેશી હિસાબની પડી આવી હતી આમ આકર્ષક ચીજોવાળાં ઈનામ માટે કેઈ ભાગ્યશાળી નીવડયું નહોતું.
Page #24
--------------------------------------------------------------------------
________________
સમુદ્રમંથન ?
સમુદ્રમંથન” ના પ્રાગમાં સાર્થ ગુજરાતી જોડણીકેષ (૫૬૮૩૦ શબ્દોવાળો) હિંદી કેશ (૧૨૫૫૬૮ શબ્દાવાળો) અને અંગ્રેજી ડીકફ્લેરીમાંથી (૫૦,૦૦૦ શબ્દોવાળી) એક ભાઈએ પસંદ કરેલા અંગ્રેજી ડીકન્નરીમાંથી ગણિતના આધારે નિર્ણિત થતો શબ્દ “જેન્ડર” કહી બતાવતાં સૌ કેઈએ તાળીઓના ગડગડાટથી તેમને વધાવી લીધા હતા.
આજના મશીનયુગ કેપ્યુટરના જમાનામાં માનવકેપ્યુટર સમા પંડિત શ્રી. ધી ર જ લા લ શા હ ના ગણિત-સિદ્ધિના આ પ્રગાની સૌ કેઈએ ભારે પ્રશંસા કરી હતી.
આ
ડિત
સો કે
Page #25
--------------------------------------------------------------------------
________________
પૂર્તિ
અટપટા નિર્ણયના પ્રયોગમાં સ. શ્રી મોરારજીભાઈએ ૫૧નો આંક કહ્યા પછી પ્રાગકારે છ જિજ્ઞાસુઓને અનુક્રમે પિતાની વસ્તુસંખ્યાને પ૧, પર, પ૩, ૨૪, ૫૫ તથા પદથી ગુણવાનું જણાવ્યું હતું અને એ ગુણાકાર થયા પછી ૧ તથા રને, ૩ તથા કને, તેમજ પ તથા ને પરિણામેને સરવાળે કરવા જણાવ્યું હતું. એ સરવાળાની સંખ્યા સાંભળ્યા પછી પ્રાગકારે જિજ્ઞાસુઓની પાસે રહેલી સૂકા મેવાની વસ્તુઓનાં નામે બરાબર કહી આપ્યા હતાં.
–સમુદ્રમંથનના પ્રયોગમાં ગુજરાતી જોડણી કેશ, હિંદી બૃહત્ કેશ અને વેસ્ટર અગ્રેજી ડીક્ષનેરી ઉપરાંત રાા લાખ શબ્દવાળી સસ્કૃત-અંગ્રેજી ડીક્ષનેરી પણ રાખવામાં આવી હતી. આ ચાર ડીક્ષનેરીઓમાથી અંગ્રેજી ડિક્ષનેરી પસંદગી પામતાં તેમાનો શબ્દ કહી સંભળાવ્યો હતો, તથા તેને અર્થ પણ બરાબર કહેવામાં આવ્યું હતું.
–ઉપર્યુક્ત નોંધમાં ત્રીજા, પાંચમા તથા સાતમા પ્રાગની નોંધ નથી, તે નીચે પ્રમાણે સમજવીઃ
Page #26
--------------------------------------------------------------------------
________________
૨૪
પ્રયાગ ત્રીજો—સનમાં ધારેલી વસ્તુ કહી આપવી.
એક ટેમલ પર ૩૦ રકાબીમાં સેવા, મીઠાઈ આદિ જાદી ઋદી વસ્તુ ગેાઢવવામા આવી હતી. તેમાં દરેક વસ્તુ બે રકાબીઓમાં હતી. તેમાંની એક વસ્તુ એક બહેને મનમા ધારી લીધી હતી અને તેનું નામ લખી પ્રમુખશ્રીને આપતા પ્રમુખશ્રીએ એ કાગળ તેમની પાસે બેઠેલા શ્રી ઈન્દુમતીબહેનને આધ્યેા હતેા ત્યારબાદ પ્રત્યેાગકારે વસ્તુનુ નામ આપતાં તે ખરાખર હાવાનું જાહેર કરવામાં આવ્યુ હતું
પ્રયાગ પાંચમા-અદશ્ય ઘટનાદ.
એક જિજ્ઞાસુએ ૬ ૪ ૬ ના ૩૬ કોટાના યંત્રમાં ૩૩૩થી શરૂ કરીને અનુક્રમે ૩૬ સંખ્યાએ લખી હતી. તેમાથી કોઈ એક સ ંખ્યા ધારીને તેના પર લાલ પેનસીલથી કુંડાળું દોર્યા બાદ તેની સીધી તથા આડી લીટીમાં આવતી સખ્યાઓને વાદળી રંગની ચાકડીઓ મારી હતી, એટલે કે તે સંખ્યા ધારવાની ન હતી. આ રીતે છ સંખ્યાઓ ધારી લીધા ખાદ તેને સરવાળેા કરવામાં આવ્યેા હતેા અહી પ્રત્યેાગકારે એટલું જ પૂછ્યુ` હતુ` કે · કેમ સરવાળા થઈ ગયેા ? × તેના ઉત્તર હકારમા મળતા તેમણે હૈં ઊર્ફે નમ' એ મંત્રને ત્રણ વાર ઉચ્ચાર કર્યાં હતા અને તરત જ અદૃશ્ય ઘંટ વાગવા લાગ્યા હતા, જેમાં અનુક્રમે ૧, ૧૦ અને ૩ ટકારા સંભળાયા હતા, જે ૨૧૦૩ના
'
29
Page #27
--------------------------------------------------------------------------
________________
૨૫
ઉત્તરનું સૂચન કરતા હતા. ઉત્તર તદ્ન ખરે હતા. આ ઉત્તરથી બધા જ પ્રેક્ષકા ભારે આશ્ચર્યમા ડૂબી ગયા હતા. પ્રયાગ સાતમે કાઢિવિકલ્પ.
આ પ્રયેાગમાં એક જિજ્ઞાસુએ ૫૦ ક્રાડથી ઉપર અને ૧ અમજની અંદરની એક સંખ્યા કાગળ પર લખી હતી. આદ પ્રેક્ષકાને ૧ લાખ સુધીની ગમે તે સંખ્યા લખવાનુ કહેતા સેંકડો પ્રેક્ષકોએ જૂદી જૂદી સખ્યા લખી હતી. તે સ્વયંસેવક ભાઇઓએ એકઠી કરી ગણિતમિતિ આગળ રજૂ કરતા તેમાથી ૨૮ ચીઠ્ઠીએ ઉપાડવામાં આવી હતી અને તેના સરવાળા કરવામાં આવ્યા હતા. આ સંખ્યાઓમાં ૧ લાખથી વધારેની સખ્યાએ પણ લખવામાં આવી હતી અને તેથી તેના સરવાળા ૩૧ ક્રેડ ઉપરાત થયેા હતેા. ત્યારબાદ પ્રચાગકારે ૭૦ ક્રેડ ઉપરાંતની એક સ ખ્યા લખાવી ઘેાડી ગણિતપ્રક્રિયા કરાવી હતી અને અકસિદ્ધિની મુદ્રા દર્શાવનારા એક વાટવા રજૂ કર્યાં હતા. તે જિજ્ઞાસુને આપી તેમાંની વસ્તુ ગણવા જણાળ્યું હતું. ત્યારમાદ આવેલી સ ંખ્યાના આંકડાના સરવાળા કરવા જણાવ્યું હતું અને તે મેળવી લેવા સૂચવ્યુ હતુ. અહીં જિજ્ઞાસુએ કહ્યુ કે સખ્યાના (૪૫) સરવાળા કરતાં ૧ વસ્તુ ઓછી છે (૪૪), એટલે તરત જ પ્રયાગકારે વાટવા ખ ખેરવા જણાવ્યું હતું અને તેમાથી ૧ વસ્તુ મળી આવતાં પ્રેક્ષકોના આનંદના પાર રહ્યો ન હતા. તેમણે તાળીઓના ગડગડાટથી પ્રયાગકારને અભિનદન આપ્યા હતા.
Page #28
--------------------------------------------------------------------------
________________
ત્યારબાદ પ્રવેગકારે પ્રેક્ષકેમાંથી જૂદી જૂદી વ્યક્તિઓને સ્ટેજ પર બોલાવી સોપારી, ખારેક, ફળ આદિને પ્રસાદ આપતા તેની સંખ્યા પ્રમાણે જ જિજ્ઞાસુની સંખ્યાના આંકડા મળી રહ્યા હતા, જેણે સહુને આશ્ચર્યમુગ્ધ બનાવી દીધા હતા.
ત્યારબાદ પુષ્પહાર, આભારદર્શન આદિ વિધિ થયા હતો અને બેન્ડ દ્વારા જન-મન-ગણની મધુર તરજે હવામાં
ગુંજી રહી હતી.
છેવટે સહુ આનંદમય વાતાવરણમાં વિખરાયા હતા.
Page #29
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિતશાસ્ત્રની શક્તિનો જાદુમય રીતે પરચો શતાવધાની શ્રી. ધીરજલાલ શાહે રજૂ કરેલા
અદ્દભુત પ્રગે
અમદાવાદ, રવિવાર તા. ૨૨-૧-૬૭
શતાવધાની ગણિતજ્ઞ શ્રી ધીરજલાલ શાહે આજે ટાઉન હેલ ખાતે ગણિતવિદ્યાના બળથી કરેલા અગિયાર પ્રયોગ દ્વારા પાટનગરની પ્રજાને ગણિતશાસ્ત્રની શક્તિનો પરચબતાવીને મુગ્ધ બનાવી દીધા હતા. આ પ્રસંગે રાજ્યપાલશ્રી કાનુન્ગોએ મુખ્ય મહેમાન તરીકે અને પચાયતપ્રધાન શ્રી વજુભાઈ શાહે પ્રમુખસ્થાનેથી પંડિત ધીરજલાલની શક્તિને તથા ગણિતવિદ્યાની પારાવાર સંપત્તિને ભાવભરીઅંજલિ આપી હતી.
ગીતાજીમાંથી કઈ એક પૃષ્ઠ પસંદ કરી ગણિતની. ગણતરી પછી તે પૃષ્ઠ વંચાઈ જાય, અસંખ્ય નમુનામાંથી પ્રેક્ષકેએ ઉપાડેલા નમુના વગર જે ઓળખી બતાવાય.
Page #30
--------------------------------------------------------------------------
________________
૨૮
-અમુક વ્યક્તિઓએ લખેલી રકમે કેરા કાગળ ઉપર ગણતરી બાદ લખાઈ આવે, ધારેલી સંખ્યાઓ ઘંટનાદથી જાહેર થાય, એક યાદીમાંથી ધારેલા પ્રશ્ન શોધી આપવામાં આવે, પસંદ કરેલા ચિત્રનું વર્ણન જોયા વિના થાય, ગુમ થયેલી ચીજ શોધી કઢાય વગેરે પ્રગથિી હાજર રહેલા આમંત્રિત મુગ્ધ બન્યા હતા
લગભગ જાદુ જેવા લાગતા ગણિતના આ પ્રયોગ ખરેખર તો કેટલાક ગણિત બાદ શક્ય બનતા હતા. અને ગણિત કરવામાં જ જતો સમય સનસનાટીભર્યા પ્રગાની તીવ્રતા ડી ઓછી કરતો હતો, છતાં જે સનસનાટીભરી રીતે પરિણામ જાહેર થતા હતાં, તેથી પ્રેક્ષકોને આ વચગાળાનો સમય કટાળાજનક લાગતું ન હતું.
તેઓ કઈ રીતે ગણતરી થાય છે, તે સમજવા ખાતર - આતુરતાથી ગણિતના આકડા સરવાળા અને ગુણાકારેને સમજવાની કશીશ કરતા હતા. આમ ગણિતમાં જતો શુષ્ક સમય પણ કેમ અને શું ની તીવ્ર આતુરતામય બની પ્રેક્ષકેને વિચારમય કરી રાખતે હતે.
ગુજરાતના આ સપુતના પ્રયોગો શ્રી જયકૃષ્ણ હરીવલ્લભદાસના પ્રમુખપદે નીમાયેલી સ્વાગત સમિતિએ એજ્યા હતા.
સમિતિ તરફથી સમિતિના મંત્રી શ્રી ચંદ્રકાંત છોટાલાલ -ગાંધીએ આવકારપ્રવચન કર્યું હતું.
રાજ્યપાલશ્રીએ પિતાના ઉધનમાં ગણિતના મહત્વ
Page #31
--------------------------------------------------------------------------
________________
૨૯
ઉપર ભાર મૂકયો હતા અને દાખલા ટાકીને વિદ્યાથી આલમને ગણિતની અભિરુચિ કેળવવા અનુરોધ કર્યા હતા.
પંચાયતપ્રધાન શ્રી વજુભાઈ શાહે કહ્યુ` હતુ` કે, જીવનનું તંત્ર ગણિતના આધાર ઉપર ચાલે છે. દિવસ-રાત કે આહવા ગણિતની સાતતાથી નિરંતર એકધારી રીતે ચાલે છે. યંત્રયુગમાં ગણિત મહત્ત્વનું છે અને તેને અભ્યાસ આવશ્યક છે.
તે વખતે અગિયાર પ્રયોગાનો કાર્યક્રમ નીચે પ્રમાણે ચેાજાયા હતો.
૧-ગણિતાધારે ગીતાજીના શ્લાકને દાઢ
વિદ્વાનેાની મંડળીને શ્રીમદ્ ભગવદ્ગીતાનું પુસ્તક આપવામાં આવશે. તેમાંથી તેએ ૧ પ્રુષ્ઠ નક્કી કરશે. ખાદ પ્રયાગકાર ઘેાડું ગણિત કરાવશે અને તેના ઉત્તર મળતાં ચિત્તવૃત્તિને તેના પર એકાગ્ર કરશે કે ઉક્ત પૃષ્ઠમાં મુદ્રિત થયેલા શ્લેાક પ્રાના તરીકે સ ભળાવશે. ત્યારબાદ વૈકિ શાંતિપાઠ ખેલાશે
૨-વસ્તુની પસંદગી
વૈજ્ઞાનિકો તથા વિદ્વાનેાની સમિતિ દ્વારા નક્કી થયેલ અનાજ, ઔષધિ, રંગ, રસાયણ આદિ ૧૦૦ વસ્તુએ ચાર ટેખલ પર વ્યવસ્થિત ગાઢવાયેલી હશે. ત્રણ જિજ્ઞાસુઓની મંડળી તેમાંથી કોઈ એક વસ્તુ પસંદ કરશે. ત્યારમાદ પ્રયાગ
Page #32
--------------------------------------------------------------------------
________________
૩૦
કાર પ્રેક્ષકેને આશ્ચર્ય પમાડે તેવી ગણિત પ્રક્રિયાથી એ વસ્તુનું નામ શોધી કાઢશે અને જાહેર કરશે. -૩-કેરા કાગળમાંથી ઉત્તરનું પ્રકટવું
ત્રણ વ્યક્તિઓ પિતાને ઠીક લાગે તેવી સંખ્યાઓ લખશે. પ્રવેગકાર તેમને થોડું ગણિત કરાવશે. તેના પરિ-ણામે સરવાળે થશે એ સરવાળાની રકમ પુષ્પથાળમાં પડેલા કેરા કાગળમાથી જલસંગે પ્રકટ થશે. ૪–અદશ્ય ઘટનાદ
જિજ્ઞાસુ ત્રણ કે ચાર અંકની કઈ પણ સંખ્યાથી શરૂ કરીને ક્રમશઃ ૪૯ સંખ્યાઓ લખશે. પછી તેમાંથી ૭ સંખ્યાઓ પસંદ કરશે. આ સરવાળાની સંખ્યા શું હશે? તેને ઉત્તર પ્રવેગકાર ઘંટનાદથી આપશે. વિશેષ નોંધપાત્ર બીના એ હશે કે આ પ્રાગમાં જિજ્ઞાસુને કેઈ પણ પ્રકારની ગણિત પ્રક્રિયા કરાવવામાં આવશે નહિ. પ-અનંતમાં એક દષ્ટિપાત
પ્રયોગકાર એન્સાઈકલોપીડિયા બ્રિટાનિકાના ૨૪ વોલ્યુમ અથવા એન્સાઈકલોપીડિયા અમેરિકાના ૩૦ વેલ્યુમમાંથી ગણિતાધારે નિણત થતી કેઈ પણ પંક્તિ ગ્રંથ જોયા વિના વાંચી બતાવશે.
પ્રવચનાદિ -અટપટે નિર્ણય
છ જિજ્ઞાસુઓને જૂદી જૂદી વસ્તુઓના પેકેટ વહેંચ
Page #33
--------------------------------------------------------------------------
________________
-
૩૧
વામાં આવશે. તેમાથી તેઓ પોતાની પસંદગી પ્રમાણે પેકેટ વહેંચી લેશે. પ્રાગકાર ગણિતની કરામતથી તેણે કઈ વસ્તુનું પેકેટ પસંદ કરેલું છે, તે કહી આપશે. ૭ધારેલે પ્રશ્ન કહી આપ
પ્રશ્નકાર ૧૨૭ પ્રશ્નોની યાદીમાંથી એક પ્રશ્નની ધારણું કરશે, તે ગણિતના આધારે શોધી કાઢવામાં આવશે અને તેને ઉત્તર પણ આપવામાં આવશે. ૮-પ્રાણીચિત્રનું સવિસ્તર વર્ણન
પ્રશ્નકાર ગણિતાધારે ૨૦ પ્રાચિત્રોમાંથી ૧ ચિત્ર ગ્રહણ કરશે. પ્રયાગકાર તે ચિત્ર જોયા વિના જ તેનું સવિસ્તર વર્ણન કરશે. ૯-ગુમ થયેલા ઝવેરાતનો ભેદ
એક શો-કેસમાં ઝવેરાતના ૮ બેસે ગોઠવેલાં હશે અને તેમાં જુદી જુદી વસ્તુઓ મૂકેલી હશે. છવ્યક્તિઓની એક મંડળી એ શે–કેસ પાસે જશે અને તેમાંની એક વ્યક્તિ તેમાંથી એક બેકસ ઉઘાડીને તેમાંથી મૂકાયેલી વસ્તુ કાઢી લેશે અને તે સાચવવા માટે બીજાને આપી દેશે. વળી તે કેઈ ત્રીજી વ્યક્તિને આપી દેશે, પરંતુ પ્રાગકાર ગણિતની પ્રક્રિયાથી એ આખીયે ઘટનાને ભેદ પારખી જશે અને કેણે કઈ વસ્તુ લીધેલી અને હાલ કેની પાસે છે? તે જાહેર કરશે.
Page #34
--------------------------------------------------------------------------
________________
૩૨
૧–પ્રસાદીમાંથી પરિણામની પ્રાપ્તિ ,
જિજ્ઞાસુ આઠ અંકની સંખ્યા લખશે. તેમાં પ્રેક્ષકોએ લખેલી ૧૪ સંખ્યાઓ ઉમેરવામાં આવશે. બાદ થોડી ગણિત પ્રક્રિયા થશે અને તેનું પરિણામ પ્રાગ દ્વારા અપાતી પ્રસાદીમાંથી પ્રકટ થશે ૧૧-શ્રી મહાવીર-વચનામૃત
વિશ્વવંદ્ય ભગવાન મહાવીરના સદુપદેશમાંથી ચૂંટાયેલાં ૧૦૦ સેનેરી વાક્યો એક ટેબલ પર ગોઠવાયેલા હશે. તેમાંથી પ્રશ્નકાર ગણિતના આધારે ત્રણ કાર્ડ ગ્રહણ કરશે. એ કાર્ડમાં શું લખ્યું હશે? તે દિવ્યધ્વનિ અને વિવિધરંગી પુષ્પની વૃષ્ટિ સાથે અંતરીક્ષમાંથી સંભળાશે.
Page #35
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત- સિદ્ધિ
ગણિત એ માત્ર વિજ્ઞાનના જ
નહિ, જીવનને પણ પાયા છે.
--શ્રી મારારજી દેસાઈ
A
Page #36
--------------------------------------------------------------------------
Page #37
--------------------------------------------------------------------------
________________
ઉપક્રમ
મનુષ્યએ ઘણું ઘણુપ્રય–પ્રયાસો કર્યા પછી ગણિતમાં સિદ્ધિ મેળવી છે અને તેના આધારે પ્રકાશ, ગતિ વગેરેને 'નિયમ ઘડીને ચદ્ર તથા અન્ય ગ્રહોમાં પહોંચવાની હામ
ભીડી છે. હજી મનુષ્ય જે કંઈ પ્રગતિ કરશે, તેમાં ગણિતનો હિસે સહુથી મોટો હશે.
રાજ્યતંત્ર ચલાવવામાં ગણિતની જરૂર પડે છે. ગણિત ન હોય તે કેટલું મહેસુલ આવશે? કેટલું ખર્ચ થશે? તેની ખબર પડે નંહિ. બધળી દંર માસે કર્મચારીઓને કેટલો પગાર પંચ પડશે, કેટલું ભેળું આપવું પડશે તથા તે અંગે ર્ભવિષ્યની જવાબદારીઓ કેટલી રહેશે'? તેને ગણિતની સહાય વિના નિર્ણય થઈ શકે નહિ. તેજ રીતે બજેટ ઘડવામાં, જેનાઓ તૈયાર કરવામાં તથા લેન વગેરેની ગણતરી કરવામાં ગણિતની જરૂર પડે છે અને ઈન્કમટેકસ, સેલ્સટેકસ આદિ વિવિધ પ્રકારના ટેક-ક ઉઘરાવવા માટે પણ ગણિતજ્ઞાનની અપેક્ષા રહે છે. ટૂંકમાં આજની પરિસ્થિતિ
Page #38
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ એવી છે કે ગણિત વિના ડગલું પણ ભરાય નહિ. જે ગણિત બદું હોય તે આખું તંત્ર તૂટી પડે.
રેલ્વે, પિસ્ટ, વીમા કંપનીઓ, કારખાનાઓ, મીલે હુન્નર-ઉદ્યોગ કે વ્યાપારી પેઢીઓ પૈકી કેને ગણિતની જરૂર પડતી નથી ? એક નાની હાટડી માંડીને બેઠો હોય તેને પણ ગણિતની જરૂર પડે છે.
તો શું ખેડૂત કે કારીગરને ગણિતની જરૂર પડતી નથી ? કેટલે પાક ઉતર્યો છે તે શા ભાવે વેચવે? તેમાં નફે-નુકશાન શુ ? તે અંગે સરકારી મહેસુલ કેટલું ભરવું ? સહકારી મંડળીઓ અંગે અથવા શરાફ સાથે લેવડ–દેવડ, કેટલી ? વગેરે બાબતોનો નિર્ણય ગણિતજ્ઞાન હોય તો જ થઈ શકે તે જ રીતે કારીગરને પણ માલ, સામાન, મજૂરી, ન વગેરેની ગણતરી કરવા માટે ગણિતજ્ઞાનની ખાસ જરૂર રહે છે.
જે ખેડૂતો કે કારીગરે ગણિતજ્ઞાનથી વંચિત રહે છે, તેની હાલત કફેડી થાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તે તેઓ પરસેવે વાળીને જે કંઈ કમાય છે, તેનો મોટો ભાગ બીજાઓ દ્વારા લૂંટાઈ જાય છે. “સત્તર પંચ પંચાણું, બે મૂક્યા છૂટના, લા પટેલ સમા બે ઓછા આવો વ્યવહાર ગણિતજ્ઞાન ન હોય ત્યાં જ સંભવી શકે છે.
અમે તો એમ કહીએ છીએ કે ગણિત વિના રબારી* , * ૧૭ ૪ ૫ = ૮૫ – ૨ છૂટના = ૮૩. તેના બદલે ગુણાકાર આદિમાં ગોટો વાળીને રૂ૯૮ માગ્યા.
Page #39
--------------------------------------------------------------------------
________________
'ઉપકેમ
ભરવાડને પણ ચાલતું નથી. તેમને પણ પિતાના પશુઓને ખ્યાલ રાખવા માટે તેની ગણતરી કરવી પડે છે અને દૂધ, ઘી તથા ઊન વગેરે વેચીને પૈસા મેળવવા માટે એક યા બીજા પ્રકારના ગણિતને આશ્રય લેવો પડે છે.
આપણે ગૃહવ્યવહાર પણ ગણિત વિના ચાલતું નથી. ઘરમાં શાકભાજી, ફળફૂલ, દૂધ, ઘી, તેલ, અનાજ, કાપડ આદિ અનેક વસ્તુઓ આવે છે, તેને હિસાબ ચૂકવવા માટે ગણિતજ્ઞાનની જરૂર પડે છે. વળી ઘરભાડું, વીજળી, ગેસ, પાણી વગેરેનાં જે બીલે આવ્યાં હોય, તે ચૂકવવા માટે પણ પ્રથમ તેને આંકડે નકકી કરવો પડે છે અને તે ગણિતના આધારે જ નક્કી થઈ શકે છે.
આ રીતે આજે આખા ચ વિશ્વના વ્યવહારમાં ગણિત અગ્રસ્થાન પ્રાપ્ત કર્યું છે, એટલે તેના જ્ઞાન વિનાને મનુષ્ય પશુતુલ્ય લેખાય છે. અહી અમે એટલું સ્પષ્ટ કરવા ઈચ્છીએ છીએ કે ગણિતના સામાન્ય કે મામુલી જ્ઞાનથી આપણું વ્યવહારનું ગાડું ગબડે એમ નથી. તેમાં નિપુણ, નિષ્ણુત, બાહોશ કે કાબેલ બનીએ તો જ આપણે વ્યવહાર બરાબર ચાલે અને આપણું માથે ધંધા, રોજગાર, નોકરી કે અન્ય સેવાઓ અને જે જવાબદારીઓ રહેલી હોય, તે આપણે પૂરેપૂરી અદા કરી શકીએ.
પરતુ પરિસ્થિતિ જુદી જ નજરે પડે છે. આપણા માન્ય આગેવાનોનું ધ્યાન આ તરફ ખેંચાયું નથી. શિક્ષણ ખાતું પ્રમાણમાં ઘણું શિથિલ છે અને તે આમા હાલ
Page #40
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત સિદિ
સુરત કાઈ શીઘ્ર પગલું ભરી શકે એમ નથી. આ મયાગામાં ગણિતપ્રેમીઓએ સાહિત્યપ્રકાશન, સભાઓ, મિલો વગેરે દ્વારા જે કંઈ પ્રયાગ થઈ શકે, તે કરવો રહ્યો.
બ
આ ગ્રંથ એ દિશામાં એક નમ્ર પ્રયાગ્ન છે, પા તે ઘણા અનુભવ અને ચિંતન પછી કરવામાં આવ્યા છે, એટલે તેનું પરિણામ સુંદર આવશે, એવી આશા રાખી શકાય.
વિદ્યાર્થીઓ, યુવાના, ધંધાદારીઓ આદિ સહુ કોઈ સહેલાઈથી સમજી શકે તે માટે આ ગ્રંથની રોલી સુગમ રાખી છે અને તેમાં વિષયને સ્પષ્ટ કરવા માટે પ્રસ્તુ વિવેચન કરવામા આવ્યું છે. આ વિષય અંગે વિદેશી નિંતેાએ જે સાહિત્ય મહાર પાડ્યુ છે, તેનુ કેટલુંક અવલેાકન કરી લીધા પછી જ અમે આ વિષયમાં અમારી કલમ ચલાવી છે, એટલે તેમાં ઘણી અદ્યતન શોધે પણ આવી જાય છે.
ગણિતનુ ક્ષેત્ર ઘણું વિશાળ છે. માત્ર અંકગણિતની વાત કહીએ તે પણ તેમાં સંયામ'ધ વિષયે છે અને તે દરેક પર લખવા જઈએ તે આવા અનેક ગ્રંથા લખી શકાય, એટલે પ્રસ્તુત ગ્રંથમાં ગણિતની ચાર મૂળભૂત પ્રક્રિયાએ-સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર અંગે જ વિવેચન કરવામાં આવ્યું છે અને તે દરેકની શકય એટલી ટૂકી તથા સહેલી રીતે ખતાવવામાં આવી છે કે જેને ઉપયેગ કરવાથી શ્રમ તથા સમયના સારા પ્રમાણમાં ખેંચાવ થઈ શકે એમ છે,
અમે એમ માનીએ છીએ કે આ પ્રક્રિયાઓ ઉપર
'ગ્
Page #41
--------------------------------------------------------------------------
________________
ઉપમ
બરાબર હાથે બેસી જાય તે બાકીની બધી પ્રકિયાઓ સહેલી થઈ જાય છે. જે પાયે મજબૂત નહિ હોય તે તેના પર ચણેલી ઈમારત અવશ્ય ડેલી જવાની, માટે પાયો મજબૂત કરે એ જ હિતાવહ છે.
આટલા ઉપક્રમ સાથે મૂળ વિષયને પ્રારંભ કરીશું.
=
=
Page #42
--------------------------------------------------------------------------
________________
[૨] દશના પાયા
સખ્યાલેખનની વર્તમાન પદ્ધતિ ઃશના પાયા પર રચાયેલી છે. આ પદ્ધતિ હિંદુઓએ એટલે ભારતના બુદ્ધિશાળી લેાકાએ સદીઓ પહેલાં શેાધી કાઢી હતી અને ધીમે ધીમે આખાયે વિશ્વમાં તેના પ્રસાર થયા હતા.
તે પહેલાં કેટલાક દેશેામાં પાંચના પાયાનુ ગણિત ચાલતું. તેમા એક, બે, ત્રણ અને ચારસૂચક સંખ્યાઓ તથા હાથ, એમ પાંચ સંખ્યાઓ ખાલાતી. અહી પાંચની જગાએ હાથ ખેલાતા, કારણ કે હાથની આંગળીએ પાંચ છે. તેથી આગળ સખ્યા ખેલવી હેાય તે હાથ અને એક, હાથ અને બે, હાથ અને ત્રણ, હાથ અને ચાર, હાથ અને હાથ, એમ મેલતા પરંતુ તેથી આગળની સંખ્યા ખેલવાનું કામ કપરૂ લાગતુ. તે આ રીતે ખેલતા : હાથ હાથ અને એક (૧૧), હાથ હાથ અને એ (૧૨), હાથ હાથ અને ત્રણ (૧૩), વગેરે. જો તેમને ૩૦, ૩૫, કે ૪૦ની સંખ્યા ખાલવી હાય તે અધધ થઈ પડે, પરંતુ આવડી મેાટી સખ્યા
Page #43
--------------------------------------------------------------------------
________________
દશને પાયે બલવાને પ્રસંગ ભાગ્યે જ આવતો, કારણ કે તેમની દુનિયા પચાસ, સે કે બસ માઈલના વર્તુલની બનેલી હતી, ઘણું ખરું કામ વિનિમય પદ્ધતિથી ચાલતું હતું અને વ્યાપાર વણજ અતિ મર્યાદિત હતા. તેઓ બહારના લેકે સાથે સંપર્કમાં બહુ ઓછા આવતા. આજે પણ આક્કિા, દક્ષિણ અમેરિકા આદિ દેશના આદિવાસી લેકે આ પાંચના પાયાનો જ ઉપગ કરે છે.
દશના પાયાની શોધ થઈ તે પહેલાં કેટલાક દેશોમાં ૨૦ના પાયાનું ગણિત ચાલતું. તે તેમણે હાથ અને પગની મળી ૨૦ આંગળીઓના આધારે રડ્યું હશે, એમ વિદ્વાનોનું ધારવું છે.
આપણે દેશમાં આજે પણ કેઈ ભરવાડને તેના બકરાં કે ઘેટાંની સંખ્યા પૂછીએ તે કહેશે કે મારી પાસે અમુક વિસું ને અમુક બકરાં છે અને અમુક વીસું ને અમુક ઘેટાં છે. દાખલા તરીકે તેની પાસે ૬૭ બકરા હોય તો તે એમ કહેશે કે મારી પાસે ત્રણ વીસું ને સાત બકરા છે. અથવા ૮૪ ઘેટાં હોય તે તે એમ કહેશે કે મારી પાસે ચાર વીસું ને ચાર ઘેટાં છે મતલબ કે તે સંખ્યાની ગણનામાં મુખ્યવે ર૦ને જ ઉપયોગ કરશે, કારણ કે પરંપરાથી તે એ જ' રીતે ગણતાં શીખે છે. નીચલા થરના અન્ય લેકે પણ આ વીશના પાયાનો આધાર લે છે.
બેબીલેનિઆના લેકે ખગાળમાં આગળ વધેલા હતા. તેમણે ખગળની કેટલીક ગણતરીઓના આધારે ૬૦ના પાયાનું
Page #44
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ ગણિત રચ્યું હતું અને દરેક સંખ્યા માટે અમુક સંખ્યાઓ મુકરર કરી હતી, પરંતુ સમય જતાં એ પદ્ધતિ કંટાળાં– ભરેલી લાગી, એટલે તેને વ્યવહાર છુટી ગયે અને ધીમે ધીમે તેઓ પણ દેશના પાયા પર આવી. ગયા.
આપણે માનીએ કે ન માનીએ પણ એક વખત દશના પાયાએ ભારે ચમત્કાર સર્યો હતો, તે ગણિતની એક મહાન શોધ મનાઈ હતી અને તેણે ખગોળ વગેરેનાં સંશોધન કરવામાં ભારે મદદ કરી હતી.
આજે જગતના તમામ સુધરેલા દેશે નાણાના ચલણમાં તથા અન્ય માપમાં દશના પાયાનો ઉપયોગ કરવા લાગ્યા છે, કારણ કે તેમાં હિસાબ ગણવાની જે સરલતા રહેલી છે, તે અન્ય કઈ પદ્ધતિમાં રહેલી નથી.
થોડા વર્ષો પહેલાં આપણે ત્યાં રૂપિયા-આના-પાઈનું ચલણ હતું, તેમાં ૧ રૂપિયાના ૧૬ આના અને ૧ આનાની ૧૨ પાઈ ગણાતી, પરંતુ સ્વતંત્ર ભારતના પ્રથમ મહામાત્ય પંડિત શ્રી જવાહરલાલ નહેરૂએ કેટલાક નિષ્ણાતેના અભિપ્રાય પરથી એ ચલણને રદ કર્યું અને તેના સ્થાને રૂપિયા-પૈસાનું ચલણ દાખલ કર્યું. તેમાં ૧ રૂપિયાના ૧૦૦ પૈસા નકકી કર્યા, આથી હિસાબે ગણવામાં, અતિ સરલતા થઈ અને સમયને બચાવ થશે. નીચેના દાખલાથી આ વસ્તુ ખૂબ. સ્પષ્ટ થશે.
એક વસ્તુને ભાવ, ૧, રૂપિ, પ. આના ૩ પાઈ છે, તો ૭ વસ્તુ ખરીદવા માટે કેટલા પૈસા જોઈએ?
Page #45
--------------------------------------------------------------------------
________________
દરાના યાચા
૧૧:
અહી પ્રથમ પાઈ એને છ વડે ગુણી તેના આના. કરવા પડે. જેમ કે ૩ ૪ ૭ = ૨૧ પાઈ = ૧ આના અને ૯ પાઈ. પછી પ આનાને છ વડે ગુણી તેના રૂપિયા કરવા પડે. જેમ કે ૫ x ૭ =૩૫ આના, તેમાં વૃદ્ધિના ૧ આને ભેળવતાં ૩૬ આના, તેના ૨ રૂપિયા અને ૪ આના. પછી રૂપિયાને છ વડે ગુણી તેના રૂપિયા કરવા પડે. જેમકે ૧ x ૭ = ૭ રૂપિયા અને તેમાં ૨ રૂપિયા ૪ આના તથા આ રીતે તેના જવાબ ૯ રૂપિયા
..
૯ પાઈ ઉમેરવા પડે. ૪ આના ૯ પાઈ આવે.
હાલના ધેારણે ૧ રૂપિયા ૫ આના ૩ પાઈના આશરે ૧ રૂપિયા ૩૩ પૈસા થાય. તેને છ થી ગુણુવા હાય તે આટલું જ કરવાનું કે રૂા. ૧–૩૩ x ૭ = રૂા. ૯૩૧. તાપય કે દૃશના પાયામાં ઘણી જ સરળતા રહેલી છે, તેથી સર્વે સુધરેલા લેાકેા પ્રાચીન પદ્ધતિના ત્યાગ કરીને તેને અપનાવે છે.
અમે આ ગ્રંથમાં દશના પાયા પર રચાયેલી અનેક ટૂંકી અને સહેલી રીતેા આપી છે, તે પાઠકોને ગમ્મત સાથે જ્ઞાન આપશે અને સજિદા વ્યવહારમાં ખૂમ ઉપયેગી. નીવડશે.
5
Page #46
--------------------------------------------------------------------------
________________
[૩] સરવાળાની પ્રાચીન અને અર્વાચીન પદ્ધતિ
સંખ્યાલેખનમાં દશનો પાયે દાખલ થયા પછી સર-વાળાને પ્રશ્ન બહુ જલદી ઉકેલાઈ ગયો હશે, એમ અમે માનીએ છીએ.
સરવાળા માટે પ્રાચીન ગણિતમાં જે પદ્ધતિ આપી છે, તેને આધુનિક વિદ્વાનો “કેનપદ્ધતિ” (Angular method) તરીકે ઓળખે છે, કારણ કે એ રીતે સરવાળે કરતાં આંકડાની એક ત્રાંસી હાર તૈયાર થાય છે અને છેવટે કિન એટલે ખૂણે પડે છે
આ કેનપદ્ધતિ બે પ્રકારની હતી. તેમાં એકને આપણે -વામાવર્ત તરીકે ઓળખીશું અને બીજીને દક્ષિણાવર્તનું નામ આપીશું. જેની લી ટી દક્ષિણ એટલે જમણી બાજુથી શરૂ થઈને વામ એટલે ડાબી બાજુ તરફ જાય, તે “વામાવત કનપદ્ધતિ” અને જેની લીટી વામ બાજુથી શરૂ થઈને ક્ષિણ બાજુ તરફ જાય, તે “દક્ષિણાવર્ત કેનપદ્ધતિ.”
Page #47
--------------------------------------------------------------------------
________________
સરવાળાની પ્રાચીન અને અર્વાચીન પદ્ધતિ
આ બંને પદ્ધતિથી અહીં એક દાખલા ગણીશું, એટલે તેને સ્પષ્ટ ખ્યાલ આવી જશે.
૧–વામાવર્ત કેનપદ્ધતિ
અંકસ્થાપના
. ૩૧ર
૬૩ ૬૭૨ ' ૪૮૯ ' ૧૧૮
२४
૨૩
પરિણામ ૨૧૫૪ અહીં જે પાચ સંખ્યાને સરવાળે કરવાનું છે, તે પાંચ સંખ્યાઓની સ્થાપના કરવામાં આવી છે. તેમાં એકમની નીચે એકમ, દશકની નીચે દશક અને તેની નીચે સેના આંક ગોઠવવામાં આવ્યા છે. ત્યાર બાદ લીંટી દેરી છે, તે એમ સૂચવવાને કે અહીં સરવાળે કરવાની રકમ પૂરી થાય છે. હવે તેના અંગે જે પ્રક્રિયા કરવાની હોય તે કરવી જોઈએ.
- ત્યારબાદ એકમના બધા અને સરવાળો કરતાં જે રકમ આવી, તે લખવામાં આવી છે. ૨ + |૨ + ૯ - ૮ = ૨૪. ત્યારબાદ દાકના બધા એ નો સરવાળે કરતાં જે
Page #48
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૪
ગણિત-સિદ્ધિ
રકમ આવી, તે તેની નીચે એક એકથાન એસેડીને લખવામાં આવી છે. ૧ + ૬ ૭ - '૮૧ ૧ = ૨૩. ત્યારબાદ સોના બધા અંકને સરવાળો કરતાં જે રકમ આવી, તે તેની નીચે એક અંકસ્થાન ખસેડીને લખવામાં આવી છે. ૩ [ પ 1 ૬ +૪+૧ = ૧૯, હવે કઈ સંખ્યાને સરવાળે કરવાને રહેતો નથી, એટલે તેની નીચે લીંટી દેરી ઉપરની ત્રણ રકમને સરવાળે કરવામાં આવ્યા છે. તેનું પરિણામ ૨૧૫૪ આવ્યું છે.
૨-દક્ષિણાવર્ત કેનપદ્ધતિ
અંકસ્થાપના
૩૧૨
૬૭૨ ૪૮૯ ૧૧૮
/
છે
૯
પરિણામ ૨૧૫૪ આમાં એકથાપના આદિ બધું પૂર્વવત્ છે, માત્ર પ્રક્રિયામાં ફેર છે. ઉપરની પ્રકિયામાં પ્રથમ એકમે સરવાળે કરવામાં આવ્ય, પછી દશને સરવાળે કરવામાં આવ્યો અને છેવટે તેને સરવાળે કરવામાં આવ્યે, જ્યારે આમાં
Page #49
--------------------------------------------------------------------------
________________
સવેળાની પ્રાચીન અને અર્વાચીન પદ્ધતિ ૫ પ્રથમ સોને સરવાળે કરવામાં આવ્યું છે. પછી દશકને સરવાળે કરવામાં આવે છે અને છેવટે એકમે સરવાળે કરવામાં આવ્યું છે. પછી એ ત્રણે રકમને સરવાળે કરતાં પરિણામ ૧૫૪ આવ્યું છે.
જે સ્િકમ નિરીક્ષણ કરીશું તે સમજશે કે આ બને પદ્ધતિમાં સિદ્ધાંત તે એક જ છે અને તે એકમ, સો ર્તથા હજારને તેમના તેમના સ્થાને મૂકવાને. માત્ર તેના ક્રમમાં ફેર છે, એટલું જ. નીચેના યંત્રે પર દષ્ટિપાત કરે, એટલે આ વસ્તુ વધારે સ્પષ્ટ થશે :
યંત્ર પહેલે યંત્ર બને હ | દશક એકમ | હ. એ. દશક એકમ
૨
૧
૫
૪
{ :
૨
૧
૫
૪ !
અહીં એકમના ખાનામાં જ આવ્યું છે, બીજા યંત્રમાં પણ તેમ જ છે. દશકના ખાનામાં ૨ અને ૩ આવ્યા છે,
જ્યારે બીજા યંત્રમાં ૩ અને ૨ આવ્યા છે. તેમાં મને ફેરફાર છે, પણ બંનેનું પરિણામ તે સરખું જ આવવાનું. સોના ખાનામાં ૨ અને ૯ આવ્યા છે, જ્યારે બીજા યંત્રમાં
Page #50
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ
, ૯ અને ૨ આવ્યા છે. તેમાં કેઈ મૌલિક તફાવત નથી. અને હજારના ખાનામાં તે બંને યંત્રમાં ૧ જ આવે છે.
- આ પદ્ધતિના સરવાળામાં વૃદ્ધિ કે વદિની કઈ કડાકૂટ નથી. એકમ, દશક, સે, વગેરેના જે સરવાળા આવે તે સીધા મૂકી દેવાના. માત્ર તે એક અંકસ્થાન છોડીને લખવાની કાળજી રાખવી જોઈએ, એટલું જ.
પર તુ સમયના વહેણની સાથે આ પદ્ધતિમાં પરિવર્તન આવ્યું અને સરવાળાનો જવાબ એક જ લીટીમાં લખાય, તે વધારે ઈષ્ટ મનાવા લાગ્યું. ખાસ કરીને ચેપડા લખનારાઓએ આ રીતને વધારે પસંદ કરી, એટલે આપણી આજની પદ્ધતિ અમલમાં આવી. '
૩-વર્તમાન પદ્ધતિ આજની પદ્ધતિમાં અકસ્થાપના આદિ તો પૂર્વવત જ છે, પરંતુ એકમેને સરવાળે કર્યા પછી દશાકનો જે અંક વૃદ્ધિમાં રહે, તે તેને દશક ઉપર ચડાવવાનું અને દેશને સરવાળે કર્યા પછી સોનો જે અંક વૃદ્ધિમાં રહે તેને સે ઉપર ચડાવવાનો રિવાજ પ્રચલિત છે. જેમ કે- '
૨ ૨ ૩૧૨
પ૬૩
૬૭ર ૪૮૯ ૧૧૮
૨૧૫૪
Page #51
--------------------------------------------------------------------------
________________
સરવાળાની પ્રાચીન અને અર્વાચીન પદ્ધતિ ૧૭
પરંતુ વ્યાપારીઓ વૃદ્ધિને આ રીતે માથે ચડાવતા નથી. તેઓ કાગળની એક કાપલી પર વૃદ્ધિ, વદિ કે વદિને આંક લખી રાખે છે અને તેને દશક, સે આદિની પંક્તિઓમાં ભેળવતા જાય છે. મહાવરે પડવાથી આ કામ તેમને સહજ બની જાય છે.
૪-સુધરેલી પદ્ધતિ પરંતુ હવે સરવાળાની એક સુધરેલી પદ્ધતિ અમલમાં આવી રહી છે. તેમાં બીજું બધું પૂર્વવત્ હોય છે, પણ સરવાળાની જગાએ એકના સ્થાને બે લીટીઓ લખવામાં આવે છે. તેમાં સરવાળાનો આંક ઉપરની લીટીમાં અને વૃદ્ધિ, વદિ કે વદિ આંક નીચેની લીટીમાં એક સ્થાન છોડીને લખાય છે. પછી બનેનો સરવાળો કરતાં પરિણામ બરાબર આવી જાય છે. આ પદ્ધતિમાં વૃદ્ધિ, વદિ કે વદિ આંક મથાળે ય બાજુએ લખવાનું રહેતું નથી અને તેથી તે અંગે કેઈભૂલ પડવાનો સંભવ રહેતું નથી. ઉપરનો દાખલે આ રીતે ગણએ, એટલે કહેવાનો ભાવાર્થ લક્ષ્યમાં આવી જશે.
૩૧ ૨. ૫૬૩ ૬૭ર
૪૮૯
૧૧૮
૯૩૪ ૧૨૨
-
-
- -
-
પરિણામ ૨૧૫૪
Page #52
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ. અહીં એકમોને સરવાળો કરતાં ૨૪ ની સંખ્યા આવી, તેમાં ૪ ઉપર લખે અને ૨ નીચેની પંક્તિમાં દશકના સ્થાને લખ્યું. ત્યાર પછી દશને સરવાળે કરતાં ૨૩ ની સંખ્યા આવી. તેમાંનો ૩ દશકના સ્થાને લખ્યો અને ૨ નીચેની પંક્તિમાં સેના સ્થાને લખ્યું. છેવટે સેને સરવાળે કરતાં ૧૯ ની સંખ્યા આવી, તેમાંને ૯ સેના સ્થાને મૂક્યો અને ૧ નીચેની પંક્તિમાં હજારના સ્થાને મૂક્યો. પછી આ બંને લીટીઓને સરવાળે કર્યો, એટલે પરિણામ ૨૧૫૪ આવ્યું.
એક પદ્ધતિ રૂઢ બની ગઈ હોય, તેના સ્થાને નવી પદ્ધતિ દાખલ કરવાનું કામ સહેલું નથી, એટલે આ પદ્ધતિને
વ્યાપક સ્વીકાર ક્યારે થશે, તે કહી શકાય નહિ, પરંતુ પ્રિય પાઠકે! તમે તે આજથી જ તેનો અભ્યાસ ચાલુ કરી દો. એનાથી પરિણામે લાભ જ થવાને છે.
»
જ
RATUL
મનપાન
II
પNT
-
st
પક
Page #53
--------------------------------------------------------------------------
________________
[૪]
સરવાળામાં ઝડપ કેમ આવે?
સરવાળામાં ઝડપ કેમ આવે ?” એ એક મહત્ત્વને પ્રશ્ન છે. તે અંગે અહીં કેટલીક સૂચનાઓ કરવામાં આવી છે.
છ-સાત રકમને સરવાળે કરવાનું હોય અને તે રકમ માત્ર એક જ અંકની હેય તે કામ સહેલું છે. ગણિતનું થોડું જ્ઞાન ધરાવનારે માણસ પણ એ સરવાળે સહેલાઈથી કરી શકે છે. જેમ કે
ع
م
ن
و
પરંતુ આ રકમે તમે કેવી રીતે બોલે છે ? બે કે ત્રણ પાંચ, પાંચ ને પાંચ દશ, દશ ને સાત સત્તર, સત્તર ને ત્રણ વીશ, વીશ ને નવ ઓગણત્રીશ, ઓગણત્રીશ ને એક ત્રીશ. એમ જ ને? તે આ રીત પ્રમાણમાં લાંબી છે. તેમાં બીજી વખત બેલાતે આંક તથા
ه
م
مم ا ة
Page #54
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ
ને અવ્યય છોડી દેવાથી આ રીત ટૂંકી બની શકે છે. જેમ કે- બે ત્રણ પાંચ, પાંચ દશ, સાત સત્તર, ત્રણ વીશ, નવ ઓગણત્રીશ, એક ત્રીશ.
પહેલી રીત પ્રમાણે ૪૯ અક્ષરે બેલવા પડે છે અને બીજી રીત પ્રમાણે માત્ર ૨૯ અક્ષરે બોલવા પડે છે. આથી છે બીજી રીતમાં સમય બચે છે અને ઝડપ આવે છે. આ તે સાત જ સંખ્યાની વાત છે, પણ બાર, પંદર કે તેથી વધારે સંખ્યા હોય તે આ બીજી રીત પ્રમાણે ગણવાની ટેવ પાડવાથી સરવાળે ઘણે ઝડપથી તૈયાર થાય છે.
- અવધાન–પ્રગમાં ગણિતના ઉત્તર બહુ ઝડપથી તૈયાર કરવાના હોય છે. ત્યાં અમારા અનુભવે અમને આ રીત ઉપગી જણાયેલી અને તેથી અમે તેને મહાવરો પાડેલ. ત્યારબાદ કેટલાક વિદેશી ગણિતશાસ્ત્રીઓનાં પુસ્તકે વાંચવામાં આવ્યાં, તે તેમણે પણ આ રીતની ખાસ ભલામણ કરેલી છે.
સરવાળામાં વધારે ઝડપ લાવવા માટે સંખ્યાઓ પર એક દષ્ટિપાત કરી લેવું જરૂર છે. જે તેમાં અમુક સંખ્યાને સરવાળે ૧૦ થતું હોય તે કામ વધારે સરલ બને છે. જે સંયા આગળ ૧૦ બનતા હોય, ત્યાં પેનસીલથી ઝીણું ટપકું મૂકી દેવાનું. અહીં જેટલાં ટપકાં તેટલાં દશ સમજવા. જેમકે– .
Page #55
--------------------------------------------------------------------------
________________
સરવાળામાં ઝડપ કેમ આવે?
છે
છે
ર
અહીં બે ત્રણ પાંચ, પાંચ દશ; સાત ત્રણ દશ, અને એક નવ
દશ; એમ ઝડપથી ગણના ૩ . થઈ શકે છે અને ટપકાને ૯ જોતાં જ તેને સરવાળે ૩૦ છે,
૧ . એમ કહી શકાય છે. પરંતુ આવું બહુ ઓછું બને છે; કારણ કે સરવાળાની બધી રકમે ૧૦નાં જૂથ બતાવતી નથી. તેમાં આવતું પરિણામ બતાવનારી સંખ્યાઓ અવશ્ય હોય છે. આમ છતાં તેમાં દશ કે તેથી વધારે બતાવનારી સ ખ્યા આગળ ટપકું મૂકી સરવાળાને ઝંડપી બનાવી શકાય છે. તેમાં જે છેલ્લે આંક વધે તેને એકમને સમજ અને જેટલાં ટપકાં મૂકાય તેટલે આંક દશકને સમજ. નીચેનો દાખલો એ રીતે ગણે, એટલે તેની અસરકારક્તા સમજાશે –
૧ અહીં એક ચાર પાંચ, પાંચ દશ ૪ એમ સરવાળો આવતાં ૫ ની . . સામે ટપકું મૂકયું. પછી પાંચ છ પ અગિયાર થતાં ૬ ની સામે ટપકું ૬ . મૂછ્યું અને ૧ ને લઈ આગળ ચાલ્યા. ૭ પછી એક સાત આઠ, આઠ સેળ થતાં ૮ . ૮ ની સામે ટપકું મૂક્યું અને ૬ ને ૩ લઈ આગળ ચાલ્યા. પછી છ ત્રણ
ع
Page #56
--------------------------------------------------------------------------
________________
૩૧
× »
૯
૬૧
"
·
ગણિત-સિદ્ધિ
નવ, ચાર તેર થતાં ૪ ની સામે ટપ′ મૂકયું અને ૩ ને લઈ આગળ ચાલ્યા. પછી ત્રણ નવ ખાર થતાં હું ની સામે ટપકું' મૂક્યું અને ૨ ને લઈ આગળ ચાલ્યા. પછી એ સાત નવ, એ અગિયાર થતાં ૨ ની સામે ટપકું આ પ્રક્રિયામાં સ્થાને ૬ લખી
સૂર્યું અને ૧ વધ્યા તે નીચે મૂક્યો. હવે કુલ છ ટપકાં મૂકાયેલાં છે, તેથી દશકના નાખ્યા. આ રીતે સરવાળા ૬૧ આવ્યો.
અંકની સળંગ ગણુના કરીએ, તેના કરતાં આ રીતે ગણના કરીએ તેા જરૂર સરલ પડે છે અને તેમાં ભૂલ રહેતી નથી
જેએ ૧ થી ૧૦૦ સુધીની સંખ્યાએ સવળી અને અવળી ( લેામ અને વિલામ ક્રમે) ખેલી જવાની ટેવ પાડે છે, તેમની આંકડા સાથે દાસ્તી અંધાય છે અને તે સરવાળામાં ઝડપ લાવવા માટે ઉપયાગી થાય છે. અમે પેતે નાનપણમાં જ આ પ્રકારની ટેવ પાડેલી, જે અમને સરવાળા ઉપરાંત બીજા દાખલા ગણવામા પણ ઘણી ઉપયેગી થયેલી છે.
'
Page #57
--------------------------------------------------------------------------
________________
[ પ ]
સરવાળાની ટૂંકી અને સહેલી રીત
તમને એમ પૂછવામાં આવે કે ૩૯ અને ૪૭ કેટલા ? તે તેને જવાબ તરત જ મળવો જોઈએ. ત્યાં તમે કાગળપેનસીલ કે પેન તરફ દષ્ટિ દોડાવો તે ચાલે નહિ.
જે આ દાખલાને લેખનપદ્ધતિથી કરવા જાઓ તો અવશ્ય સમય વધારે લાગવાને. જેમકે ૯ અને ૭ = ૧૬, તેમાને ૬ એકમ અને ૧ વૃદ્ધિ. એ ૧ ને ૩ માં ઉમેર્યા એટલે થયા છે. એ જ ને ૪ બરાબર આઠ. એ રીતે જવાબ આવ્યો ૮૬.
પણ આ તે સીદી ભાઈને કાન પકડવા જેવી વાત છે. જો કેઈ સ ખ્યા દશકની નજીક હોય તો તેને દશક બનાવી દેવી ને બીજી સંખ્યામાથી એટલે આંક એ છે કર, એટલે પરિણામ ઝડપથી આવી જવાનું. અહીં ૩૯ એ ૪૦ ની નજીકને આક છે, એટલે તેના ૪૦ ગણવા અને તેમાં ૪૭ ઉમેરવાના છે, તેમાંથી ૧ ઘટાડી દે. આ
Page #58
--------------------------------------------------------------------------
________________
૨૪
ગણિત-સિદ્ધિ રીતે ૪૦ અને ૪૬ કેટલા ? એ પ્રશ્ન બનશે. તેને ઉત્તર તમે તરત જ આપી શકશે કે ૮૬.
૫૮ અને ૭૭ કેટલા? અહીં ૫૮ ના ૬૦ બનાવો અને ૭૭ ના ૭૫ ગણે, એટલે જવાબ તરત જ આપી શકશે કે ૧૩૫.
આ રીતે કોઈપણ સંખ્યાને છેડે ૭, ૮ કે ૯ ના અંક હોય તે તેમને પૂરા દશક બનાવવાથી અને સામેની રકમને તેટલી ઘટાડવાથી જવાબ ખૂબ સરલતાથી આપી શકાય છે.
૮૭ અને ૯૯ કેટલા ? અહીં ૮૭ ના ૯૦ બનાવવા અને ૯૯ ના ૯૯ બનાવવા તેના કરતા ૯ ના ૧૦૦ બનાવી ૮૭ માંથી ૧ ઘટાડે, એ વધારે સરલ ક્રિયા છે. ૮૬ + ૧૦૦ = ૧૮૬.
૭૫ માં ૮૯ ઉમેરવા હોય તે પણ આ જ રીતે વધારે ઉપગી નીવડે. 9 + ૯૦ = ૧૬૪.
જે બે અને સરવાળે ૧૦ થતો હોય તો કઈ સંખ્યાને વધારવા–ઘટાડવાની જરૂર નથી. જેમકે –
૩૮ + ૧૨ ૨૫ + ૩૫ ૪૩ + ૨૭ ૨૭ + પર
૩૪ + ૬૬ અહીં દશેકેને સરવાળે કરીને એક ઉમેરી લેવાથી તથા પાછળ શૂન્ય મૂકી દેવાથી જવાબ તરત આવી જાય છે.
Page #59
--------------------------------------------------------------------------
________________
સરવાળાની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
૧૩ + ૧ + ૧ = ૧ અને ૦ = ૨ + ૩ + ૧ = ૬ અને 2 = ૬૦ ૪ + ૨ + ૧ = ૭ અને ૦ = ૨ + ૫ + ૧ = ૧૮ અને ૦ = ૮૦
૩ + $ + ૧ =૧૦ અને ૦ =૧૦૦
હવે થોડા આગળ વધીએ. કઈ આપણને એમ પૂછે કે ૩૧૬૩ ને ર૩૪ કેટલા? તે એને જવાબ આપવા માટે શું કાગળ-પેનસીલ લઈશું? અમારા અનુભવ મુજબ આવે હિસાબ પણ મેઢેથી સહેલાઈથી ગણી શકાય છે. તે માટે નીચેની રીત અજમાવવી જોઈએ ?
૩૧૬૩ + ૨૦૦ = ૩૩૬૩ + ૩૦ = ૩૩૯૩ + ૪ = ૩૩૯૭. આમાં પ્રથમ ૨૦૦ ઉમેર્યા, પછી ૩૦ ઉમેર્યા અને પછી ૪ ઉમેર્યા. આ રીતે કુલ ર૩૪ ઉમેર્યા.
આ રીતે નીચેના દાખલા ગણી જુઓ, એટલે તેના પર તમારે કાબૂ આવી જશે.
અભ્યાસ
પ૭૨ + ૨૧૬ (૨) ૬૧૩ + ૩૨૪ (૩) ૭૩૫ + ૧૫ર (૪) ૯૪૪ + ૩૬૧ (૫) ૭૮૪૭ + ૩૪૨ (૬) પ૬૬૯ + ૪૩૮ (૭) ૧૦૨૩૬ + ૧૪૪૪
Page #60
--------------------------------------------------------------------------
________________
૨૬
ગણિત-સિદ્ધિ ત્રણ–ચાર અંકની સંખ્યાઓને સરવાળે કરે હાય, તે તેમાં પણ મેઢે હિસાબ કરવાની ટૂંકી રીત છે. જે તેમાંના પહેલા બે આંકડાઓનો સરવાળે ૧૦૦ની અંદર થતો હોય તે પ્રથમ સેની રકમને સરવાળે કરી લેવું અને પછી બે આંકડાઓનો સરવાળો કરી તેની આગળ મૂકી દે. દાખલા તરીકે નીચેની રકમનો સરવાળે કરવાનું છે?
૩૦૧ ૪૨૨ ૨૧૦
૩૧૯ અહીં દશક અને એકમના આકડાઓનો સરવાળો ૧૦૦ ની અંદર આવવા સંભવ છે, એટલે પ્રથમ સોના આકને સરવાળે કરે • ત્રણ ચાર સાત, બે નવ, ત્રણ બાર. પછી ૧૨૦૧, ૧રર૩, ૧૨૩૩, ૧૨પર એ પ્રમાણે સંખ્યાઓ. બેલતાં જે છેલ્લી સંખ્યા આવી, તેને જવાબ સમજવાનોતાત્પર્ય કે ઉપરની ચાર રકમનો સરવાળો ૧૨પર છે
અથવા ૧રને બાજુએ રાખીને એક બાવીશ ત્રેવીશ, દશ તેત્રીશ, ઓગણુશ બાવન, એમ જે છેલ્લી સંખ્યા આવી તે ૧૨ માં ઉમેરતાં સરવાળે ૧૨પર આવશે. આવો જ બીજો દાખલો ગણુએ.
૨૨૫ ૧૩૦ ૧૦૯ ३२४
૪૦૩
Page #61
--------------------------------------------------------------------------
________________
સરવાળાની ટૂંકી અને સહેલી રીતો
રહ
અહીં એકમ–દશકના આંકડાઓને સરવાળે ૧૦૦ની અંદર આવવા સંભવ છે, તેથી પ્રથમ સોને સરવાળો કરવે. બે એક ત્રણ, એક ચાર, ત્રણ સાત, ચાર અગિયાર. પછી ૧૧૨૫, ૧૧૫૫, ૧૧૬૪, ૧૧૮૮, ૧૧૯૧ એ પ્રમાણે બેલતાં જવાબ ૧૧૯૧ આવશે.
અથવા ૧૧ ને બાજુએ રાખીને પચીશ ત્રીશ પંચાવન, નવ ચેસ, વીશ અચાસી, ત્રણ એકાણું, એમ જે છેલ્લી સંખ્યા આવી તે ૧૧માં ઉમેરતાં સરવાળે ૧૧૯૧ આવશે.
આ વસ્તુને છેડે અભ્યાસ કરવો જોઈએ. તો જ કામ સરલ બનશે.
અભ્યાસ (૧) ૨૧૧ (૨) ૧૨૫ (૩) ૮૪૩ (૪) ૩૧
૩૨૪ ૪૩૨ ૧૨૪ ૧૨૯૯ ૪૦૩ પ૧૩ ૩૦૮ ૭૨૩
૬૩૦ ૭૦૭ ૪૨૨ ૬૧૨ ઉત્તર (૧) ૧૫૬૮ (૨) ૧૭૭૭ (૩) ૧૬૯૭ (૪) ૨૩૫.
અહીં એ પણ જણાવી દઈએ કે રૂપિયા-પૈસાની રકમ ગમે તેટલી હોય તે પણ તેને સરવાળે તે ચાલુ પદ્ધતિએ જ કરે અને જે પરિણામ આવે તેમાં જમણી બાજુના એ. આંક છોડને વચ્ચે ઝીણું ટપકું કે લીંટી મૂકી દેવી, એટલે. જવાબ રૂપિયા અને પૈસામાં આવી જવાને. જેમકે રૂા. ૧૨ – ૩૭
રૂ. ૨૮ – ૧૪ ૯ – ૬૫
૧૩ – ૬૦ ૭ – ૭૪
૧૪ - ૦૨ ૨૪ – ૧૨
પ = ૭૬ રૂા. ૫૩ – ૮૮
રૂ. ૬૧ – પર
Page #62
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ
રૂપિયા અને પૈસાની રકમેાને સરવાળા કરવાના પ્રસ ંગે વારવાર આવ્યા જ કરે છે, તેથી તે અ ંગે પણ ચેડો અભ્યાસ કરી લેવા જોઇએ. ધારો કે રૂા. ૩-૬૨ અને રૂા. ૫–૨૭ ના સરવાળા કરવા છે, તે શું કરશે ? અહીં ચાલુ પદ્ધતિએ પ્રથમ પૈસાનો સરવાળા કરીને પછી રૂપિયા તરફ જશેા,
-
તે કામ ગુંચવણમાં પડશે અને સમય વધારે લાગી જશે. અહી રૂપિયાનો સરવાળો પ્રથમ કરવે અને પૈસાનો સરવાળો પછી કરવા. તેમાં રૂપિચા વધે તે રૂપિયાના સરવાળામાં ચડાવી દેવા. આ રીતે ા ૩-૬૨ અને રૂા. ૫ – ૨૭ નો સરવાળો ૩ + ૫ = ૮ રૂપિયા અને ૬૨ + ૨૭ = ૮૯ પૈસા આવશે. અથવા રૂા. ૪ – ૨૮ અને રૂા. ૨ – ૮૧ નો સરવાળો કરવા હાય તા ૪ + ૨ = ૬ અને ૨૮ + ૮૧ = ૧૦૯ = ૧ રૂપિયા ૯ પૈસા, કુલ છ રૂપિયા ને ૯ પૈસા આવશે. આ રીતે હિંસાખ કરવાનું ડહાપણભર્યુ” લેખાશે. આવી રકમે બે થી વધુ હાય, એટલે કે ત્રણ ચાર અથવા પાચ હેાય તે પણ તેને સરવાળો મેાઢથી થઈ શકે છે. જેમ કે
શ. ૬
રૂા. ૨
શ. ૪
-
૩૭ અનાજ
૧૫ શાકભાજી
૧૫ નાં ફળ
S
અહીં ૬ – ૩૭, ૮ – પર, ૧૨ – ૬૭ એમ ગણતાં
જવાબ આવી જાય છે.
અથવા
Page #63
--------------------------------------------------------------------------
________________
સરવાળાની ટૂંકી અને સહેલી રીતો રૂ. ૮ - ૨૫ અનાજ
૧ – ૩૭ શાકભાજી ૦ – ૧૫ કેથમીર-મરચાં ૨ – ૧૩ ફળ
૦ ૧૨ પરચુરણ
આવી પાંચ રકમ હિય તે ગણના આ પ્રમાણે કરવાની ૮ – ૨૫, ૯ - ૬૨, ૯ – ૭૭, ૧૧ – ૯૦, ૧૨ – ૦૨. સ, જવાબ આવી ગયે. - આ તે અભ્યાસની વાત છે. અભ્યાસી વધારે રકમના. સરવાળા આ જ રીતે કરી શકે છે એક હોટેલનો સેવક એક પછી એક વસ્તુઓ ઘરાકને આગે જાય છે અને તેને સરવાળે મેઢે જ કહી દે છે. તે બીલમાં માત્ર છેલ્લે આંકડે જ લખે છે, એ શું તમે જોયું નથી?
જેઓ મૌખિક સરવાળા કરી શક્તા ન હોય કે કરવાની વૃત્તિ ધરાવતા ન હોય, તેમણે પોતાના ગજવામાં એક નાની ડાયરી રાખવી જોઈએ અને તેમાં આંકડા માંડી સરવાળા કરવા જોઈએ આ સરવાળાએ ઝડપથી કરવામાં તેઓ ટૂંકી. અને સહેલી રીતનો ઉપગ કરી શકે છે.
Page #64
--------------------------------------------------------------------------
________________
[૬] સરવાળાની ચકાસણી
સામાન્ય માન્યતા એવી છે કે સરવાળાની ક્રિયા બહુ સહેલી છે, તેમાં ભૂલ ભાગ્યે જ પડે. પણ અનુભવે આ વાત ખોટી જણાઈ છે. સરવાળામાં ઘણી વાર ભૂલે થાય છે અને જેને આપણે બાહોશ કે કાબેલ ગણતા હોઈએ, તે પણ કઈ વાર ભૂલ કરી બેસે છે, એટલે તેની ચકાસણી કરવી આવશ્યક છે.
ધારે કે ચેપડે રૂા ૧૦૨૬૨ – ૬૮ પૈસાની પુરાંત છે, અને ઉધાર બાજુનો સરવાળો રૂા. ૬૩૩૯ – ૭૨ પૈસા છે, તે સિલક રૂા. ૩૯રર – ૯૬ પૈસા રહેવાના. પરંતુ ઉધાર બાજુનો સરવાળો સાચો નથી. તેમાં રૂા. પ૩૩૯ – ૭૨ પૈસાની જગાએ રૂા. ૬૩૩૯ – ૭૨ લખાયેલા છે, એટલે ખરી સિલક રૂા. ૪૯૨૨ - ૯ પૈસા રહેવી જોઈએ. આ વસ્તુ મેનેજર કે શેઠના ધ્યાનમાં ન આવે તે વધારાની ૧૦૦૦ રૂપિયાની સિલક ઉચાપત થવાની. સ્વાથી—કર્તવ્યહીન–લુગ્ગા લેકે આ રીતે સરવાળામાં ગરબડ કરીને ઘણી વાર પોતાનું
Page #65
--------------------------------------------------------------------------
________________
સરવાળાની ચકાસણી
૩૨ ખિસું તર કરે છે, તેથી સંચાલકેએ અવશ્ય સરવાળાની ચકાસણી કરતા રહેવું જોઈએ.
અહીં પ્રશ્ન એ ઉઠે છે કે સરવાળાની રકમે ઘણી હોય, તે બધી ગણવા જઈએ તે વખત ઘણે લાગે અને મહેનત પણ ઘણું પડે, તે શું કરવું? એટલે તે માટે કઈ ટૂંકી રીત શોધવાની જરૂર રહે છે અને તે શોધાયેલી છે. તે માટે નીચેના દાખલા પર નજર કરે, એટલે બધું સમજાઈ જશે.
૨૧૬૯ ૪૩૫ ૭૪૧ 13 ૯૮૭ ] 6.
૨૩૭૯–૩ આમાં સરવાળે તે ચાલુ રીતે જ કરે છે, પણ તેની બાજુમાં એક સ્તન્મ વધારી દીધું છે અને તેમાં દરેક લીંટીના આંકડાને સરવાળે કરીને મૂક્યો છે. જ્યાં સંખ્યા બે આંકડાની આવી, ત્યાં તેને ફરી સરવાળે કર્યો છે અને તેને એક અંક બનાવીને મૂક્યો છે. આ રીતે જે અંક લખાયા તેનો સરવાળો કરીને તથા તેનો એક અંક બનાવીને નીચે મૂક્યો છે. હવે સરવાળાના બધા અંકનો સરવાળે આ અંક મુજબ જ આવે તે સમજવું કે સરવાળે સાચે છે, નહિ તે તેમાં કંઈ ભૂલ છે.
૨+ 1 + ૬ = ૯. તે પહેલી પંક્તિમાં મૂક્યા. ૪+૩+ ૫ = ૧૨. તેનો ફરી સરવાળો કરતાં ૧ + ૨ = ૩ આવ્યા,
!
Page #66
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ તે બીજી પંક્તિમાં મૂક્યા. ૭ + ૪૦ + ૧ = ૧ર. તેનો પણ ફરી. સરવાળો કરતાં ૧૪૨૩ આવ્યા, તે બીજી પંક્તિમાં મૂક્યા.
૯ + ૮ + ૭ = ૨૪. તેનો ફરી સરવાળો કરતાં ૨+૪= ૬ આવ્યા, તે ચેથી પંક્તિમાં મૂક્યા.
હવે ઊભા સ્તષ્ણના ૯ + ૩ + ૩ + ૬ = ૨૧. તેનો સરવાળો કરતાં ૨ + ૧ = ૩ આવ્યા, તે નીચે ઊતાર્યા.
અહીં સરવાળાની રકમ ૨૩૭૯ છે, એટલે તેનો સરવાળ ૨ + ૩ + ૭ + ૯ = ૨૧ અય છે. તેનો ફરી સરવાળો કરતાં ૨ + ૧ = ૩ આવે છે, એટલે સરવાળો બરાબર છે.
સરવાળો ચકાસવાની આ રીતને નવડીની રીત કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તેમા આંકડાઓનો જે સરવાળે આવે, તેમાથી ૯નો આંક બાદ કરતા જવાનું હોય છે. અહીં એટલી સ્પષ્ટતા કરી દઈએ કે કઈ સંખ્યામાથી ૯ કે તેના ગુણાકારથી બનતી સંખ્યા બાદ કરીએ અને બીજી બાજુ તેના અંકનો સરવાળો કરી છેવટે એક આંકડામાં જવાબ લાવીએ, તે બંને બરાબર છે. તેમાં કઈ ફરક નથી.
આંકડાની પહેલી હારનો સરવાળો ૨ + ૧ + ૬ = ૯ આવ્યું, એટલે તેની સામે ૯ મૂક્યા. આ ૯માંથી ૯ બાદ કર્યા હેત તે ૦ આવત. તે અહી મૂક્યું હોત તો તેથી, સરવાળામાં કંઈ ફરક પડ્યો ન હોત
આંકડાની બીજી હારનો સરવાળો ૪ + ૩ + ૫ = ૧૨ આવ્યો. જે તેમાંથી ૯ બાદ કર્યા હતા તે ૩ બાકી રહેત.
Page #67
--------------------------------------------------------------------------
________________
સરવાળાની ચકાસણી
૩૩ અહીં તેમ ન કરતાં ૧ + ૨ = ૩ એમ સરવાળે કર્યો. હકીકતમાં આ બંને વસ્તુ એક જ પરિણામ લાવનારી છે.
આકડાની બીજી હારને સરવાળે ૭+૪=૧ = ૧૨ આવ્યું. તેમાં પણ ઉપરની રીતે જ ૩ મૂક.
આંકડાની ચોથી હારને સરવાળો ૯+ ૮+ ૭ = ૨૪ આવ્યું. તેમાંથી ૯ + ૬ = ૧૮ બાદ કરતાં ૬ વધત, જ્યારે ૨ + ૪ ને સરવાળે કરતા પણ તે જ પરિણામ આવ્યું.
એટલે બધા અંકે ને સરવાળે કરી છેવટે એક અંક લાવ, એ નવડીની જ ટૂંકાવેલી રીત છે. - ચોપડા-૨જીસ્ટર વગેરેમા બાજુએ લીટી દોરવાની હતી નથી. ત્યાં જૂદા કાગળ ઉપર આ પ્રમાણે અ કે મૂકીને સરવાળાની ચકાસણી કરી શકાય. જેમકે–
-
-
-
-
જુદો કાગળ
૧૩૭
૨૫૯ ૬૭૨. ४८८ ૫૭૬ ૮૦૨
૭૧૬
૩૪ = ૭ ૧૬ = ૭
૩૬૬૧
.
Page #68
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ
૧ + ૩ + ૭ = ૧૧ = ૧ + ૧ = ૨ ૨ +૫ + ૬ = ૧૬ = ૧ + દ = ૭ ૯ + ૭ + ૨ = ૧૫ = ૧ - ૫ ૪ + ૯ + ૬ = ૨૨ = ૨ + ૨ = ૫ + ૭ + = ૧૮ = ૧ + ૮ = ૯ ૮ + ૦ + ૨ = ૧૦ = ૧ + ૦ = ૧ ૭ + ૧ + = ૧૪ = ૧ + ૪ = ૫
કુલ ૩૪ = ૩ + ૪ = 9 + ૧ = ૧૬ = ૧ + = ૭
૩ +
+
આ જ સરવાળાની મેઢે ચકાસણી કરવી હોય તો થઈ શકે છે. તે માટે સરવાળાની મૂળ રકમથી માંડીને છેલ્લી સંખ્યા સુધીના બધા અંકે ગણતા જવા અને નવ કે તેનો ગુણાકાર પૂરે થાય કે તે સંખ્યાને છેડી દઈ આગળ ગણના કરવી. એ રીતે છેવટની જે સંખ્યા વધે તેનો સરવાળો કરો અને તેની આવેલા જવાબ સાથે સરખામણું કરી લેવી. જેમકે—
એક ત્રણ ચાર, સાત અગિયાર, બે તેર, પાંચ અઢાર, તો અહીં એ સંખ્યા પૂરી થઈ ગઈ. ત્યારબાદ ૯ છે, તો એ સંખ્યા ત્યાં પૂરી ગઈ ગઈ. આગળ છ સાત તેર, બે પંદર, ચાર ઓગણીસ થયા. અહીં ઈચ્છા હોય તે અઢાર બાદ કરી માત્ર ૧ રાખી આગળ વધવું. આગળ બે નવડા છે, એટલે તેને ગણવાની જરૂરી નથી. ત્યારબાદ એક પાંચ છ, સાત તેર,
Page #69
--------------------------------------------------------------------------
________________
સરવાળાની ચકાસણી
૩૫
છ ઓગણીસ, આઠ સત્તાવીસ ગણતાં અહીં ગણના પૂરી થઈ. ત્યારબાદ બે સાત નવ, એક દશ, છ સેળ ગણતાં કુલ સરવાળે ૭ આવ્યું અને નીચેની રકમની ગણના કરતાં ત્રણ છ નવ, છ પંદર, એક સેળ, એમ સળની સંખ્યા આવી, એટલે તેને સરવાળે પણ છ જ થ.
થોડા જ અભ્યાસથી આ પ્રક્રિયામાં ઝડપ આવે છે અને તેથી ગમે તેવા મેટા સરવાળાની પણ શેડી જ મીનીટમાં ચકાસણું થઈ જાય છે.
રૂપિયા અને પૈસાના સરવાળામાં પણ આ જ વસ્તુ સમજવાની છે જેમ કે –
રૂા. ૧૨૮ – ૬૨ રૂા. ૨૯ – ૩૧ ૬ રૂા. ૩૫૭ – ૧૪ ૨ રૂા. ૬૬૧ – ૭૯
રૂા. ૧૧૭૬ – ૮૬ ૨ અહીં, ૧ + ૨ + ૮++ ૨ = ૧૯ = ૧ + ૯= ૧૦ = ૧ + ૦ = ૧ સરવાળે આવ્યું, તે પહેલી હારની સામે મૂક્યો. પછી ૨ + ૯ + ૩ + ૧ = ૧૫ = ૧+૫૬ સરવાળે આવ્યું, તે બીજી હારની સામે મૂકો. પછી ૩+૫+૭+ ૧ + ૪ = ૨૦ = ૨ + ૦ = ૨ સરવાળે આવ્યા, તે ત્રીજી હારની સામે મૂકો અને ૬+ + 1 + 9+ ૯= ર = ૨ + ૦ = ૧૧ = ૧ + ૧ = ૨ સરવાળે આવ્યું, તે ચેથી હારની સામે મૂક્યો. તેને સરવાળે ૧ + ૬+૨+૨ = ૧૧ = ૧ + ૧ = ૨ આબે, તે નીચે ઉતાર્યો.
Page #70
--------------------------------------------------------------------------
________________
૩૬
ગણિત-સિદ્ધિ હવે સરવાળાની રકમનો સરવાળો કર્યો : ૧+૧+૭+ ૬+૮+ દ = ૨૯=૩ ૬ =૧૧=૧ -૧ ==.
આ રીતે બંને પરિણામ સખાં આવ્યા એટલે સરવાળો સાચે છે.
જ્યા સરવાળાની રકમ ઘાણી હાય ત્યાં વિભાગીક સરવાળા કરવાથી તેની ચકાસણી કારાગાર થાય છે, જેમકે--
૩૦ ૧૦૨ - ૧૫
પછ
૨૮૪ ૬૧૨ ૫૮ ૭૬૫ – ૨૨૬ ૯૬૭ १४४ ૧૩૩ ૪૬૨
૭૧ – ૩૧૨૭
૬૩૦૮ ૬૩૦૮ તમે પ્રથમ આ સરવાળે ચાલુ રીતે કરી જૂઓ અને પછી આ રીતે કરી જૂઓ તે આ રીતે વધારે સરલ અને વધારે ખાતરી ભરેલી જણાશે. જ્યાં ઘણું મેટા સરવાળ ચકાસવાના હોય છે, ત્યાં આ રીત અવશ્ય અજમાવવી. તેથી, કઈ ભૂલ રહી જવા પામશે નહિ
-
1
Page #71
--------------------------------------------------------------------------
________________
[૭]
સરવાળાને એક સુંદર પ્રયોગ
સરવાળાને લગતા કેટલાક પ્રયોગો ગણિત–ચમત્કાર અને ગણિત-રહસ્યમાં અપાયા છે. અહીં તેને એક વિશેષ પ્રાગ આપવામાં આવે છે.
એક સેળ ખાનાને યંત્ર દેશે અને તેમાં ગમે તે સંખ્યાથી શરૂ કરીને અનુક્રમે આંક ભરી કાઢે. જેમ કે...'
૨૦ ૨૧ ૨૨ ૨૩ હવે આ સેળ ખાનામાંથી ચાર વ્યકિતઓએ ગમે તે રકમ ધારવાની છે અને તેની આડી-ઊભી રમે રચેતા રહેવાની છે. એ રીતે જે ચાર રકમ ધારવામાં આવશે, તેને સરવાળે તમે અગાઉથી કહી શકશે.
Page #72
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ
આ યંત્રમાં ઉપરની રીતે ચાર રકમની ધારણ કરતાં સરવાળે ૬૨ આવશે. પ્રવેશ કરી જૂઓ, એટલે તમને ખાતરી થશે.
માનો કે પ્રથમ વ્યકિતએ ૧૪ ની રકમ ધારી તો તેની આસપાસ કુંડાળું કરવાનું અથવા તો તેને ઘૂંટીને જાડે કરવાનો અને તેની ઊભી તથા આડી લીટીમાં આવતી. ર નીચે કડી મૂકવાની. આ રકમે બીજી વ્યક્તિથી ધારી શકાય નહિ. તેણે એ સિવાયની બીજી રકમ જ ધારવાની
હવે ૧૪ને કુંડાળું સૂતાં અને તેની આડી-ઊભી લીટીઓ નીચ ચેકડી મૂકતા પરિસ્થિતિ આ પ્રકારની થશે
( ૮ | ૯ | g૦ 1 ૧૧ !
! ૧૬ ૧૭ ૧ ૧ ૧૯
૨૦ | ૨૧ / રર | ૨૦
ત્યાર બાદ બીજી વ્યકિત માનો કે ૧૨ ની સખ્યા શકે છે. તે પરિસ્થિતિ નીચે મુજબ થશે.
Page #73
--------------------------------------------------------------------------
________________
સરવાળાને એક સુંદર પ્રયોગ
{ | ૯ |
૧૫
[ ૨૧
૨૩
x
ત્યાર બાદ ત્રીજી વ્યક્તિ માનો કે ૯ ની સંખ્યા ધારે છે, તે પરિસ્થિતિ નીચે મુજબ થશે.
...
| ૧૧
૪
X
X
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
૧૪” | 9 |
|
-
-
- -
-
-
હવે માત્ર ૨૩ ની સંખ્યા જ બાકી રહેશે. તે ચેથી વ્યક્તિએ ધારવી પડશે
આ રીતે ૧૪+ ૧૬ + ૯ + ૨૩ નો સરવાળે કરીએ તો ૬૨ જવામાં આવશે
આ પ્રાગ બીજી રીતે પણ કરી જૂઓ. દાખલા
Page #74
--------------------------------------------------------------------------
________________
૪૦
ગણિત-સિદ્ધિ
તરીકે પહેલી વ્યક્તિએ ૧૦ ની સંખ્યા ધારી છે, તે
પરિસ્થિતિ નીચે મુજખ થશે :
X
×
૧૨
૧૬
૨૦
×
}
૧૨
૧૬
×
૨૦
૯
×
૧૩ |
૧૭
1
૨૧
તે પરિસ્થિતિ નીચે મુજખ થશે .
૧૩
૧૦૦
×
×
૧૪
૧૭/
X
x|\_xjn
ત્યાર બાદ બીજી વ્યક્તિએ ૧૭ ની સંખ્યા ધારી,
૨૧
×
૧૮
૯ ૧૦૫
人
૨૩
X
×
૧૪
* \[×
૧૮
૨૨
×
૧૧
• x
1
૧૫
૧૯
૨૩
૧૧
X
મ
૧૫
૧૯
×
૨૩
ત્યાર ખાદ્ય ત્રીજી વ્યક્તિએ ૨૩ ની સંખ્યા ધારી, તા પરિસ્થિતિ નીચે મુજમ થશે :
Page #75
--------------------------------------------------------------------------
________________
સરવાળાને એક સુંદર પ્રગ
૧૨ | ૧૩
૧૪ { }
ü ixxx
-
-
-
હવે માત્ર બારની સંખ્યા બાકી રહેશે, તે ચોથી વ્યક્તિએ ધારવાની રહેશે.
આ રીતે ૧૦ + ૧૭ + ૨૩ + ૧૨ નો સરવાળે કરીએ તે જવાબ ૬૨ જ આવશે.
તમે અન્ય કઈ રીતે પણ આ પ્રવેગ કરી શકે છે. તેના જવાબમાં દર સિવાય બીજે આક આવશે નહિ.
આ પ્રેગની ચાવી એટલી જ છે કે યંત્રના ચાર ખૂણે આવેલી સંખ્યાને સરવાળો કરે તેને જે જવાબ આવે, તે અગાઉથી કહી દે પછી તે રકમ ગમે તે રીતે ધારવામાં આવશે તે પણ સરવાળે એટલે જ આવશે.
અહીં ચાર ખૂણાને સરવાળે ૮ + ૧૧ + ૨૦ + ૨૩ = દર છે, તેથી જ બને ધારણાઓનો જવાબ દર આવ્યું.
જે ચાર ખૂણાનો સરવાળે ન કરવો હોય તે પ્રથમ ખાનાની રકમને બેવડી કરી, તેમાં ૧૫ ઉમેરી, તે બનેને સરવાળે કરવો અને તેથી જે રકમ આવે, તેને બમણી કરી લેવી, એથી પણ ઉપરની રકમ બરાબર આવી જશે. જેમકે-૮ ૪ ૨ = ૧૬ + ૧૫ = ૩૧ ૪ ૨ = ૬૨
Page #76
--------------------------------------------------------------------------
________________
[ ૮ ]. બાદબાકી અંગે કેટલુંક
વ્યવહારમા જેટલી જરૂર સરવાળાની પડે છે, તેટલી જ જરૂર બાદબાકીની પણ પડે છે. અન્ય રીતે કહીએ તે આ બંને પ્રક્રિયાઓ એક-બીજાની પૂરક છે અને તેથી જ સરવાળાની સાથોસાથ બાદબાકીનું શિક્ષણ આપવામાં આવે છે.
ઘડીભર માની લે કે તમને સરવાળા આવડે છે, પણ બાદબાકી આવડતી નથી, તો શું તમારે વ્યવહાર બરાબર ચાલી શકશે ખરો?
તમે કાપડિયાને ત્યાંથી કેટલુંક પરચુરણ કાપડ ખરી. તેને સરવાળે રૂાર૬-૩૭ પૈસા થયે. હવે તે રકમ ચૂકવવા માટે તમે ૧૦ રૂપિયાની ૩ નોટે આપી. તે તમારે એ જાણવું જ જોઈએ કે તમને પાછું શું મળશે ? એ જાણવાનું સાધન બાદબાકી છે.
માની લે કે કાપડિયાએ તમને હિસાબમાં રૂા. ૨-૩૩ પૈસા પાછા આપ્યા. તો તમે કહી શકશે ખરા કે એ રકમ
Page #77
--------------------------------------------------------------------------
________________
બાદબાકી અંગે કેટલું કે
૪૩
ખરાખર છે કે કેમ ? ત્યાં તમારે આમાકી માંડવી જ પડશે..
જેમ કે
રૂા.
ل
૩૦-૦૦ પૈસા
રૂા. ૨૬-૩૦ પૈસા બાકી રૂા. ૩-૬૩ પૈસા
હવે કાપડિયાએ રૂા. ૨-૩૩ પૈસા પાછા આપ્યા છે, તે વધારાના કેટલા પૈસા તમને પાછા મળવા જોઈ એ તેના ઉત્તર પણ બાદબાકીથી જ સાંપડશે. જેમ કે
રૂા.૩-૬૩ પૈસા
શ. ૨૦૩૩ પૈસા
રૂા. ૧-૩૦ પૈસા
હવે તમે કાપડિયાને ખાતરીપૂર્વક કહી શકશે કે હજી તમારે મને રૂા. ૧-૩૦ પૈસાની રકમ આપવાની બાકી રહે છે. એટલે કાપડિચેા ફ્રી હિસા કરી જોશે અને તમને બાકીના રૂા. ૧-૩૦ પૈસા ચૂપચાપ આપી દેશે તથા વધારામાં એટલા વિનય પણ દેખાડશે કે ‘મારી ભૂલ થઈ હા! ઘરાકીની ધમાલમાં ખ્યાલ રહ્યો નહિ !”
જો તમે આબાકી ાણુતા ન હેાત તેા કાપડિયાએ આપેલી રકમ ખરાખર છે, એમ માની ખીસ્સામાં નાખત અને એ રીતે રૂા. ૧-૩૦ પૈસાની નુકશાની ઉઠાવત. વ્યવહારમાં તે આવા પ્રસંગે અનેક વાર આવે છે. ત્યાં
Page #78
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ જે આ રીતે નુકશાની ઉઠાવ્યા કરીએ તો છેવટે માટે ખાડે પડે અને આપણે મૂર્ખમાં ખપીએ તે જુદા !
વળી એ પણ યાદ રાખવું ઘટે કે એક વાર વ્યા-પારીને એટલી ખબર પડી ગઈ કે આ શ્રીમાનું ઉજળે કપડે આવે છે, પણ હિસાબમાં ઢ છે, તે એ અણઘટતે લાભ જરૂર લેવાને. આપણે કેઈને છેતરવા નહિ, એ બરાબર છે, પણ બીજાથી છેતરાયા કરીએ, એ હરગીઝ બરાબર નથી. માણસે વ્યવહારમાં ચતુર થવું જ જોઈએ. તે જ તેને વ્યવહાર બરાબર ચાલી શકે.
હવે મૂળ વિષયમાં આગળ વધીએ. માની લે કે ઘરમાં ૨૫ કીલે અનાજ આવેલું છે, તેમાથી જ રા કીલો અનાજ વપરાતું રહે છે, તે આઠમા દિવસના અંતે કેટલું અનાજ બાકી રહે ? એ જાણવું હોય તો બાદબાકી આશ્રય લેવો જ પડશે જેનું ગણિતજ્ઞાન સામાન્ય હશે, તે એને હિસાબ આ રીતે માંડશે –
દિવસ
બાદ
કલે
બાકી રહેલું અનાજ
કીલે રરા
અનાજ કાલે ૨૫ રર ૨૦ ૧૭
-પહેલે
બીજો -ત્રી - -પાંચમો
-રા –રા –રા
૨૦
-રા -રા
૧૭ ૧૫ ૧રવા
૧૫
Page #79
--------------------------------------------------------------------------
________________
બાદબાકી અંગે કેટલું કે
છઠ્ઠો
૧૨
સાતમે
૧૦
આમા
સા
-~
-રા
૧૦
૪૫
ctt
છ
પ
આ પરથી તે જાણી શકશે કે હવે ૫ કીલેા અનાજ
'
ખાકી રહે પરંતુ ખાદ્યબાકીની આ રીત લાંખી છે. અહીં” તમે ટૂંકી રીત અજમાવીને કહી શકે કે આઠે અšિ વીસ.’ એટલે કે રાજના અઢી કીલા લેખે, આઠ દિવસમાં, ૨૦ કીલેા અનાજ વપરાય અને ૨૫-૨૦૫, એટલે પ કીલેા અનાજ ખાકી રહે.
પ્રથમ પા, અર્ધા, પાણા, સવાયા, દાઢા, અઢિયા અને ઊઠાના ગડિયા મુખપાટ રહેતા, તેથી આવા દાખલા તરત જ ગણી શકાતા. આજે એ ડિયા કેટલાને આવડે. છે ? નૂતન શિક્ષણના નામે આ વસ્તુ આજે ગણિતના અભ્યાસક્રમમાથી ખાદ થઈ છે અને તેણે આપણા ગણિતજ્ઞાનને નબળું પાડયુ છે. જે વસ્તુ જરૂરની છે, તેને આપણે ડી રહ્યા છીએ અને જેના પરિણામ વિષે કશી ખાતરી નથી, તેવી પદ્ધતિ અજમાવી રહ્યા છીએ. શુ આ ખેને. વિષય નથી ?
',
અહીં પ્રસંગોપાત્ત એટલું જણાવી દઈએ કે મૂળ રકમમાંથી જેટલી રકમે યાદ કરવાની હાય, તે બધાના સામટો સરવાળા કરીને માદ કરીએ તે પણ પરિણામ સરખુ. જ આવે છે. દાખલા તરીકે ૨૫–૫-૪-૩-૩-૨-૨૦૧ ખરાખર કેટલા ? એવે! પ્રશ્ન હૈાય ત્યાં પચીશમાંથી પાંચ
Page #80
--------------------------------------------------------------------------
________________
*
ગણિત-સિદ્ધિ
ગયા તે! વીશ, વીશમાંથી ચાર ગયા તે સેાળ, સાળમાંથી ત્રણ ગયા તે તેર, તેરમાંથી ત્રણ ગયા તે દશ, દશમાંથી એ ગયા તે આઠ, આઠમાંથી એ ગયા તા છ અને છમાંથી એક ગયા તે પાંચ, આ રીતે ખાદ્યમાકી કરવા કરતાં પાંચ ચાર નવ, ત્રણ ખાર, ત્રણ પર, એ સત્તર, એ ઓગણીશ, એક વીશ એમ માદ કરવાની રકમેાના સરવાળા કરીને તેને ૨૫માંથી બાદ કરતાં જવાઞ જ આવી જાય છે અને તેમાં વધારે સરલતા રહે છે.
આવક-જાવકના હિસાબમાં આપણે શું કરીએ છીએ ? જાવકની બધી રમાને સરવાળા કરીએ છીએ અને તેનુ જે પરિણામ આવે છે, તે આવકમાંથી ખાદ્ય કરીએ છીએ, એટલે સિલકને હિસાબ મળી રહે છે તેમાં ઉપર્યુક્ત સિદ્ધાંતને જ અમલ થાય છે.
ખાદ્યબાકીની રીતેા વિષે ખાસ કહેવાનું નથી, કારણ કે તે માટે ચાલુ રીત જ વધારે ઠીક છે, પરંતુ તેમાં ધ્યાન રાખવાની ખાસ જરૂર છે. ઘણા માણસા સરવાળા ખરાખર કરે છે, પણ આદુખાકીમાં થાપ ખાઈ જાય છે. આમ થવાનું મુખ્ય કારણ ચિત્તની વ્યગ્રતા, શૂન્યમનસ્કતા તથા કાર્ય પ્રત્યે જોઈ એ તેવી નિષ્ઠાને અભાવ છે. એક દાખલાથી આ વસ્તુ વધારે સ્પષ્ટ કરીશુ.
એક કારકુનને કહેવામાં આવ્યું કે તમે જરા આદબાકી કરે તે અને તેની સામે ચાપડ ધરવામાં આવ્યેા. ચાપડાની જમે બાજુમાં રૂા. ૧૩૫૬૩૦ ના સરવાળા
Page #81
--------------------------------------------------------------------------
________________
બાદબાકી અંગે કેટલુંક
હતે અને ઉધાર બાજુમાં રૂા. ૫૭૨૬ ને સરવાળે હતો. હવે તે કારકુને એક કાગળની કાપલી પર આ રકમ નીચે પ્રમાણે ઉતારી અને તેની બાદબાકી કરી.
રૂા. ૧૩૬૫૩૦
--
રૂ. ૫૭૨૬
રૂા. ૪૦૮૦૪ સિલક પરંતુ મેનેજરે આ જવાબ કબૂલ રાયે નહિ. તેણે કહ્યું કે “આમાં કંઈ ભૂલ છે. બાદબાકી ફરી કરે. એટલે કારકુને બાદબાકી ફરી કરી જોઈ, પણ તેમાં કઈ ભૂલ લાગી નહિ. આથી તેણે મેનેજરને કહ્યું કે “સાહેબ! મારી આદબાકી બરાબર છે.”
મેનેજર વિચારમાં પડ્યા, કારણ કે સિલક તેમની પાસે હતી અને તેનો આ જવાબ સાથે મેળ ખાધે નહિ. વધારે સ્પષ્ટ કહીએ તો આ હિસાબ પ્રમાણે સિલકમાં ૯૦૦ રૂપિયા ઓછા હતા. એટલે મેનેજરે પોતે જ પડે હાથમાં લઈ હિસાબ ગણી જે તે જવાબ ૩૯૯૦૪ આવ્યા અને સિલક પણ તેટલી જ હતી.
અહીં તેમને વિચાર આવ્યો કે કારકુને ક્યાં ભૂલ કરી છે? તે જાણી લેવું, જેથી તેને એગ્ય સૂચના આપી શકાય અને બીજી વાર તે આવી ભૂલ કરે નહિ.
મેનેજરને નવડીની રીત ધ્યાનમાં હતી, એટલે તેમણે કારકુનને હિસાબ એ રીતે તપાસવા માંડે.
Page #82
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ
૧૩૬૫૩૦
= ૧૮૩૯
—– = ૨૯ = ૧૧ = ૨
૫૭૫
४०८०४ ૪+૦+૮+૦+૪=૧૬=૧+=
આ રીત પ્રમાણે તે બાદબાકી બરાબર લાગી. તેમાં કઈ ભૂલ ન હતી
પછી તેમણે બાદ કરવાની રકમ અને તફાવતને. સરવાળે કરી જે
૫૭૨૬ બાદ કરવાની રકમ ૪૦૮૦૪ તફાવત
૧૩૬પ૩૦ મૂળ રકમ તે તે મૂળ રકમ સાથે બરાબર મળી રહ્યો આ રીતે તાળ મેળવવાથી તે ગમે તેવી ભૂલ હોય તે પણ પકડાઈ જાય, પરંતુ આમાં કઈ ભૂલ પકડાઈ નહિ.
છેવટે તેમને વિચાર આવ્યો કે મૂળ રકમ મેળવી જેવા દે અને તેમણે રકમ મેળવી તે કારકુને કરેલી ભૂલ તરત પકડાઈ ગઈ.
મૂળ રકમ રા ૧૩૫૬૩૦ કારકુને લખેલી રૂા. ૧૩૬૫૩૦
આમાં તેણે પ અને ૬ ને બદલે ૬ અને ૫ લખી નાખ્યા અને તેથી જ બાદબાકીમાં ૯૦૦ રૂપિયાની ભૂલ આવી. આ રીતે અંક ઉલટપાલ લખવા એ કંઈ નાની
Page #83
--------------------------------------------------------------------------
________________
બાદબાકી આ ગે કેટલું ક
૪૯
સૂની ભૂલ ન કહેવાય. આ તે સે। અને હજારનાં સ્થાને હતાં, પણ આવી ભૂલ દશ લાખ કે ક્રેડના સ્થાનમાં થઈ હાય તે! માની લે કે મૂળ રકમ ૨૬૫૨૨૭૯૨૯ છે અને તેમાંથી ૧૧૫૭૩પર૧૪ બાદ કરવાના છે, તે ખાદખાકી નીચે મુજખ થશે :
૨૬૫૨૨૭૯૨૯
V
૧૧૫૭૩૫૨૧૪
૧૪૯૪૯૨૭૧૫
હવે અહીં સાતમા તથા આઠમા અંકના વ્યત્યય થાય, એટલે કે ઉલટપાલટ લખાય તે પરિણામ નીચે મુજખ આવે :
૨૫૬૨૨૭૯૨૯
"
૧૧૫૭૩૫૨૧૪
૧૪૦૪૯૨૭૧૫
આમા કેટલા તફાવત પડ્યો, તે જાણવા માટે અને પરિણામેાની બાદબાકી કરવી પડશે. માદબાકીના નિયમ એ છે કે મોટી રકમ ઉપર લખવી અને નાની રકમ નીચે લખવી, એટલે તે આ પ્રમાણે લખાશે :
૧૪૯૪૯૨૭૧૫
~
૧૪૦૪૯૨૭૧૫
૦૦૦૦૦૦?—
Page #84
--------------------------------------------------------------------------
________________
પ૦
ગણિત-સિદ્ધિ
આમા ૯૦ લાખ રૂપિયાની ભૂલ આવી ! તમે ૯૦ લાખ રૂપિયા સાભળી ચૂકી ઉઠશે, પણ સરકારી ખાતામાં આવી ભૂલો થાય છે અને તેનું કારણ ઉપર જણાવ્યું તેમ ચિત્તની વ્યગ્રતા, શૂન્યમનસ્કતા કે કાર્ય પ્રત્યે જોઈએ તેવી નિષ્ઠાનો અભાવ હોય છે એક કારકુનની સામાન્ય લાગતી ભૂલ દેશને કેટલું મોટું નુકશાન કરી શકે, તે આ પરથી સમજી શકાશે ખાનગી પેઢી તથા કારખાનાંઓએ પણ આ પરથી ધડે લેવાને છે
નાના સરવાળા મેઢે કરવાની ટેવ પાડવી જોઈએ, તેમ નાની બાદબાકીઓ પણ મેઢે કરવાની ટેવ પાડવી જોઈએ. આથી ગણિતજ્ઞાનમાં વૃદ્ધિ થાય છે અને આપણે વ્યવહાર સચવાય છે. - જ્યારે સંખ્યાને છેડે પાચ કે તે ઉપરના આકડા અને બાદ કરવાની રકમમાં પાચ નીચેના આંકડા હોય ત્યાં ખાસ મુશ્કેલી પડતી નથી, જેમકે–
૨૮ - ૧૪ = ૧૪ ૩૭ – ૨૨ = ૧૫ ૪૯ - ૩૩ = ૧૬ ૫૫ – ૨૧ = ૩૪
૬૬ – ૪૩ = ૨૩ પરંતુ જ્યારે સંખ્યાને છેડે નાના આંકડા હોય અને બાદ કરવાની રકમના છેડે મેટા આંકડા હોય ત્યાં સાવધ રહેવું પડે છે. જેમકે –
Page #85
--------------------------------------------------------------------------
________________
બાદબાકી અંગે કેટલુંક
૩૨ – ૧૭ = ૧૫ ૪૧ – ૨૮ = ૧૩ ૬૪ – ૩૯= ૨૫ ૭ર – પપ = ૧૭
૮૦ – ૬૯ = ૧૧ કેટલીક રકમ એવી હોય છે કે જેમના મૂલ્યમાં દશકને અનુરૂપ વધારે કે ઘટાડે કરી લેવાથી જવાબ મેળવવામાં સરલતા રહે છે. જેમકે દ૨ માંથી ૪૯ બાદ કરવા છે, તો દર ના દસ કરો અને ૪૯ ના ૫૦ બનાવો તે જવાબ તરત જ મળી જશે. ૩ – ૫૦ = ૧૩
આ જ રીતે ૭૧માંથી ૩૮ બાદ કરવા હોય તે ૭૧ ના ૭૦ કરે અને ૩૮ ના ૩૭ કરે તો જવાબ તરત આવી જશે. ૭૦ – ૩૭ = ૩૩.
૯૩માથી ૫૭ બાદ કરવા હોય તે ત્યાં પણ આ રીત અજમાવી શકાય. ૯૩માં ૩ વધારે અને પ૭માં પણ ૩ વધારે. એટલે પ્રશ્ન બનશે ૯૯ – ૬૦, તેને જવાબ તમે આંખના પલકારામાં આપી શકશે કે ૩૬.
ધારે કે તમારે ૧૦પમાથી ૮૮ બાદ કરવા છે, તે અહીં જરા જુદી રીત અજમાવવી પડશે. પ્રથમ ૧૦૦માંથી ૮૮ બાદ કરે અને પછી પ ઉમેરી લે. એ રીતે જવાબ ૧૨ + ૫ = ૧૭ આવશે.
ધારો કે તમારે ૧૧રમાંથી ૯૭ બાદ કરવા છે, તે
Page #86
--------------------------------------------------------------------------
________________
પર
ગણિત-સિદ્ધિ
ત્યાં પણ આ જ રીત અજમાવવાની. ૧૦૦ – ૭ = ૩ + ૧૨ = ૧૫.
ટૂંકમાં ૧૦૦ની સંખ્યા નજીકમાં હોય તો તેને લાભ ઉઠાવવો જોઈએ. તેથી બાદબાકીમાં જરૂર સરલતા પડે છે.
હવે ૩૬૨ માંથી ૨૮૪ બાદ કરવા હોય તે શું કરવું? એ વિચારીએ. અહીં ૩૬૦માંથી ૨૮૦ બાદ કરીએ તો ૮૦ આવે અને બે માંથી ૪ બાદ કરવા હોય તે ર ઉછીના લેવા પડે. એટલે ૮૦માંથી ૨ બાદ કરીએ, તે તેનો ખરે જવાબ છે. ૮૦ – ૨ = ૭૮.
પ૬૩માંથી ૩૭૨ બાદ કરવા હોય તો ત્યાં પણ આવી , જ રીત અજમાવી શકાય પદ – ૩૭ = ૧૯ અને ૩ – ૨ = ૧. જવાબ ૧૯૧. આમાં ચાલુ રીત કરતાં જરૂર સરલતા છે. •
આ રીતે અભ્યાસ કરવાથી મટી બાદબાકીઓ પણ મેઢે કરી શકાય છે. જેમકે–
૮૭૧૯૭૪
૪૯૯૫૭૬
તે
જ
અહીં ત્રણ ત્રણ રકમના બે ભાગ પાડી દેવાથી કામ સરળ બને છે. હવે ૯૭૪માંથી ૫૭૬ બાદ કરવા હોય તે સેંકડો બાદ કરી નાખતાં ૪૦૦ જવાબ આવે છે, પણ ૭૪માંથી ૭૬ બાદ કરતાં ૨ ઉછીના પડે, એટલે જવાબ ૩૯૮ આવે. -
Page #87
--------------------------------------------------------------------------
________________
બાદબાકી અંગે કેટલુંક
૮૭૧માંથી ૪૯ બાદ કરીએ કે ૮૭રમાંથી ૫૦૦ બાદ કરીએ તે સરખું જ છે. અહીં જવાબ ૩૭૨ આવે. એટલે કે ૩૭૨૩૯૮ એ તેને જવાબ છે. ચાલુ રીતે આ દાખલે ગણું જુઓ, એટલે તેની ખાતરી થશે.
૮૭૧૯૭૪
૪૯૯૫૭૬
૩૭૩૯૮
આમાં ખરી જરૂર' અભ્યાસની છે. અભ્યાસથી કર્યું કામ સિદ્ધ થતું નથી ? અભ્યાસથી મનુષ્ય દેરડા પર ચાલી શકે છે અને સિંહ-વાઘ સાથે કુસ્તી પણ કરી શકે છે. અભ્યાસથી મનુષ્ય પવનને ય કરી શકે છે અને મહાન સિદ્ધિઓ પણ મેળવી શકે છે.
બાદબાકી વિષે હાલ આટલું બસ છે.
Page #88
--------------------------------------------------------------------------
________________
[ 6 ]
બાદબાકીના ત્રણ પ્રયોગ
પ્રથમ પ્રાગ બાદબાકીનો પ્રથમ પ્રયોગ નાનો છે, પણ તે મિત્રોને જરૂર આનંદ પમાડે એવો છે. તે પ્રગને તમે આ રીત કરી શકે છે•
- (૧) તમારા મિત્રને ત્રણ આંકડાની એક રકમ લખવાનુ કહે.
(ર) પછી તે રકમને ઉલટી કરવાનું કહે
(૩) તેમા જે રકમ ભેટી હોય, તેમાંની નાની રકમ બાદ કરવાનું કહે
(૪) એ રીતે જે જવાબ આવે, તેની ડાબી બાજુને પ્રથમ અક શું આવ્યો? તે તમારે પૂછવાનું અને તેણે એને ઉત્તર આપવાન.
(૫) તે પરથી તમે કહી શકશે કે બાકીના બે આંકડા અમુક છે
ધારો કે તમારા મિત્રે ૭૪૫ લvયા છે, તે એ રકમ.
Page #89
--------------------------------------------------------------------------
________________
બાદબાકીના ત્રણ પ્રયોગ
પપ ઉલટાવતાં ૫૪૭ થશે, અને છ૪૫માંથી પ૪૭ બાદ કરતાં ૧૯૮ આવશે. તેમાં ડાબી બાજુનો પ્રથમ અંક 1 છે, તે પરથી તમે કહી શકશે કે બાકીના બે અ કે અનુક્રમે ૯ અને ૮ છે અને તે જરૂર આનંદ પામશે.
અહીં સમજવાનું એટલું છે કે આ રીતે કરાયેલી બાદબાકીનો બીજો અંક ૯ જ આવવાને અને ત્રીજો અંક ૯ ની સંખ્યામાથી ડાબી બાજુનો પ્રથમ એક બાદ કરીએ એટલે જ આવવાને અહીં ડાબી બાજુનો પ્રથમ અંક ૧ , એટલે ત્રીજો અંક ૯ – ૧ = ૮ જ આવવાનો.
બીજા બે દાખલા આ રીતે ગણ જુઓ, એટલે આ પ્રયોગ તમારા મનમાં બરાબર બેસી જશે
ધારો કે તમારા મિત્રે ર૩૮ લખ્યા છે, તો તેની ગણુના નીચે મુજબ થશે
ર૩૮ મૂળ રકમ ૮૩ર ઉલટાવેલી રકમ ૮૩૨ મોટી રકમ
૨૩૮ નાની રકમ
- -
-
- - -
- -
૫૯૪ આવેલો જવાબ. અહી બીજો અંક ૯ આવ્યો છે અને ડાબી બાજુના પ્રથમ અંક પ છે, એટલે ૯ – ૫ = ૪ એ ત્રીજો અંક છે.
ધારે કે તમારા મિત્રે ૪૭૯ લખ્યા છે, તે તેની ગણના નીચે મુજબ થશે –
Page #90
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ
૪૯ મૂળ રકમ ૯૭૪ ઉલટાવેલી રકમ ૯૭૪ મોટી રકમ
-
-
-
૪૭૯ નાની રકમ
કલ્પ આવેલો જવાબ અહીં બીજો અંક ૯ આવ્યું છે અને ડાબી બાજુનો પ્રથમ અંક ૪ છે, એટલે ૯ – ૪ = ૫ એ ત્રીજે અંક છે.
આ રીતે બીજા પણ થડા દાખલા ગણી જેશે, એટલે આ પ્રયોગ પર તમારો કાબૂ આવી જશે.
બીજે પ્રયોગ બાદબાકીનો બીજો પ્રયોગ બાદબાકીમાંથી ગુપ્ત રાખેલ અંક શોધવાનો છે. તે પ્રવેગ તમે આ રીતે કરી શકે.
પ્રથમ મુખ્ય રકમ સાભળી જાઓ, પછી બાદ કરવાની રકમ સાંભળી જાઓ અને ત્યાર બાદ બાદબાકીની રકમ સાંભળી જાઓ. આમાં પ્રશ્નકારે એક અંક ગુપ્ત રાખેલ છે અને તે છે નથી, તે પરથી તમે તરત જ કહી શકશે કે ક અંક ગુપ્ત રાખવામાં આવ્યું છે.
ધારો કે તમારા મિત્રે મુખ્ય રકમ નીચે મુજબ સંભળાવી. ૩ ૫૭ ૯ ૪ ૮ દ.
તે તમારે એ આખી એ ખ્યા યાદ રાખવાની જરૂર નથી માત્ર તેના અને સરવાળે જ કરતા જાઓ. અહીં તમારા મિત્રને માત્ર આંકડા બોલવાનું જ કહેશે અને
Page #91
--------------------------------------------------------------------------
________________
- બાદબાકીના ત્રણ પ્રયોગ
- પ૭ તે ધીરે ધીરે બેલે એવી સૂચના આપશે, એટલે તમારું કામ સરલ બની જશે.
આ રીતે ઉપરની રકમના આંકડાઓનો સરવાળો ૩ +૫ + ૭ ++૪+૮+ ૬ = ૪ર આવશે. તેને તમારે એક અંક બનાવી લેવાનો. તે ૪ + ૨ = ૬ બનશે.
હવે તમારે મિત્ર બાદ કરવાની રકમ સંભળાવશે. તેમાં પણ તમારે આ રીતે જ આંકડા સાંભળી તેને સરવાળો કરવાનો અને છેવટે એક અંક બનાવવાનો. માનો કે તમારા મિત્રે અહીં નીચે પ્રમાણે કમ સંભળાવી ?
૧ ૨ ૪ ૨ ૦ ૯ ૮
તે તેનો સરવાળો ૧ + ૬ +૪+ ૨ + ૦ + ૯ + ૮ = ૩૦ થશે અને તેનો ૩ + ૦ એ પ્રમાણે સરવાળો કરતાં એક અંક ૩ બનશે
આ પરથી તમારે એટલું સમજવાનું કે અહીં બાદબાકીની જે રકમ આવશે તે દ.- ૩ = ૩ જ આવશે. તે આ પ્રમાણે :
— — — ———— ——— —— — ૧ ૬ ૪ ૨ ૦ ૮ = ૩
૧ ૯ ૩ ૭ ૩ ૮ ૮ = ૩ ૧+૯ + ૩ + ૭ - ૩ + ૮ + ૮=૩૯=૩ +૯= ૧૨ + ૨ = ૩.
= ૧
Page #92
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ આ રકમમાં ૨ શુન્ય છે નહિ અને હોય તો પણ બાદ કરવાનું નથી. હવે તમારે મિત્ર આમાં કઈ પણ અંક ગુપ્ત રાખીને તમને રકમ સંભળાવવાને છે. માને કે તેણે ૭ નો અંક ગુપ્ત રાખે છે, તે તેના ફરતું કુંડાળું મૂકી બાકીના અકે તમને સંભળાવશે. તે આ પ્રમાણે :
૧ ૯ ૩. ૩ ૮ ૮
અહી તમારે આ આંકડાનો સરવાળો કરવાનો. જેમ કે–૧ + ૯ + ૩ + ૩ + ૮ + ૮ = ૩૨ = પ.
જે બધા અંકે સાભળ્યા હતા તે પરિણામ ૩ આવત, પણ અહીં એક એક ઓછો સંભળાવ્યે છે, એટલે પરિણામ એ આવ્યું તે પરથી એર વિચારવાનું કે આમાં યે અંક ઉમેરીએ તે જવાબ ૩ આવે?
આ વાત પ્રથમ તે તમને વિચિત્ર લાગશે, પણ એ ભૂલવાનું નથી કે અહી તે બધા આંકડાને એક આંકડે બનાવવાની વાત છે અને તેમાં આ રીતે જ નિર્ણય કરવાનો હોય છે. જો તમે પ માં ૭ ઉમે તે જવાબ ૧૨ આવશે અને તેના બને આંકડાનો ફરી સરવાળો કરતા ૧ + ૨ = ૩ પરિણામ આવી જશે. એટલે અહી ૭ ને અંક ગુપ્ત છે, એ જવાબ તમે ખાતરીથી આપી શકશે
ધારો કે તમારા મિત્રે અહી છ નહિ, પણ ૮ ને એક ગુપ્ત રાખ્યો છે, તે તમને નીચે પ્રમાણે રકમ સભળાવશે -
૧ ૯ ૩ ૭ ૩ ૮.. આનો સરવાળો ૧ + ૯ + ૩ + ૭+૩ + ૮ = ૩૧
Page #93
--------------------------------------------------------------------------
________________
પટ
બાદબાકીના ત્રણ પ્રયોગ = ૪ આવશે. તે પ્રશ્ન એ છે કે ૪ માં કઈ સંખ્યા ઉમેરીએ તે જવાબ ૩ આવે. અહીં તમે ૮ ઉમેરે તે જ ૪+ ૮ = ૧ર થાય અને તેને સરવાળો ૧ + ૨ મળી ૩ આવે, એટલે અહીં ૮ ને અંક ગુપ્ત રાખે છે, એ નિશ્ચિત છે.
ધારો કે તમારા મિત્રે અહીં ને અંક ગુપ્ત રાખે હત તે શી પરિસ્થિતિ થાત ? તે પણ સમજી લેવું જોઈએ આ સગોમાં તે તમને નીચે પ્રમાણે રકમ સંભળાવત :
૧... ૩ ૭ ૩ ૮ ૮. તેને સરવાળો થાત ૧ + ૩ ૭+ ૩ + ૮ + ૮ = ૩૦ = ૩ + ૦ = ૩.
હવે પૂરી બાદબાકીનો એક ૩ થ જોઈએ, અને અહીં ૩ જવાબ આવે છે, એટલે તેણે ૭ કે ૯ નો અંક છૂપાવેલો હવે જોઈએ. કેમ કે ૩ + ૦ = ૩ અને ૩ + ૯ = ૧૨ = ૧ + ર = ૩ આ રીતે ૦ ઉમેરતા તથા ૯ ઉમેરતા જવાબ સરખો જ આવે, તેમા ૦ ગુપ્ત રાખવાનું નથી, એ વાત પ્રારંભમાં જ સ્પષ્ટ થઈ ગઈ છે. એટલે અહીં તેણે ૯ નો અંક ગુપ્ત રાખેલે છે.
બીજો એક પ્રયાગ આ રીતે કરી જુઓ, એટલે કામ પાકુ થશે. મૂળ સંખ્યા ૪૯૬૩૭૮ = ૩૭ = ૧૦ =
૩૨૮૯૪૩ = ૨૯ = ૧૧ = ૧૬૭૪૩૫ = ૨૬ = ૮
"! "
Page #94
--------------------------------------------------------------------------
________________
' ગણિત-સિદ્ધિ * આ બાદબાકી બરાબર છે, પરંતુ ઉપર ૧ માંથી ૨ બાદ કરતાં ૮મૂક્યા, તેં કેવી રીતે? અહીં ૨ માં કેટલા ઉમેરીએ તો છેવટને સરવાળો ૧ આવે એમ વિચારવાનું - છે અને એ પરિણામ ૮ ઉમેરવાથી જ આવી શકે, એટલે નીચે ૮ ચૂક્યા છે.
ધારે કે આ બાદબાકીમાંથી ને અંકે ગુપ્ત રાખેલ - છે, તે રકમ નીચે મુજબ- સંભળાવશે :
૧.૭ ૪ ૩ પ તેને સરવાળો થશે 1 + ૭ + ૪ +૩+૫ = ૨૦ = ૨. હવે વિચારવાનું એ કે રમાં કેટલા ઉમેરીએ તો ૮ આવે છે તેને સીધે જવાબ ૬ છે, એટલે ને અંક ગુપ્ત ખેલે છે.
અથવા-આ રકમમાંથી અને અંક ગુપ્ત રાખે હેય, તો રકમ નીચે મુજબ સંભળાવે :
૧૬૭.૫ તેનો સરવાળો થશે ૧ + ૯ + ૭ + ૩ + ૫ = ૨૨. = ૪. હવે વિચારવાનું એ કે ૪માં કેટલા ઉમેરીએ તે -૮ આવે ? તેને સીધો જવાબ ૪ છે, એટલે કે અંક ગુપ્ત રાખેલે છે.
ત્રીજો પ્રયોગ આ ગ્રંથના છઠ્ઠા પ્રકરણમાં સરેવાળાને એક સુંદર પ્રયોગ આપવામાં આવ્યા છે, તે તમે દાનથી વાંચે
S
Page #95
--------------------------------------------------------------------------
________________
બાદબાકીના ત્રણ પ્રત્યે વિચાર્યું હશે. તેને જ મળતે આ પ્રયોગ છે. તેમાં ૪ સંખ્યાઓના સરવાળાની રકમ અગાઉથી કહી દેવામાં આવે છે, ત્યારે આ પ્રગમાં ત્રણ સંખ્યાઓ ધાર્યા પછી કે અંક બાકી રહેશે, તે ખાતરીથી કહી આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સેળ ખાનાને યંત્ર બનાવવાનું અને તેમાં કેઈ પણ સંખ્યાથી શરૂ કરીને અનુક્રમે આંક ભરવાના.. પછી તેમાંથી એક એક ધારવાને, તેના પર કુંડાળું કરવાનું અથવા તેને ઘૂંટીને ભાડે બનાવવા અને તેની ઊભી તથા આડી હારમાં આવતી સંખ્યાઓ પર ચેકડી મારવાની. આ રીતે ત્રણ સંખ્યાઓ ધારવાની. તેને સરવાળે કહેવાને એટલે તમે કહી શકશે કે કેઠામાં અમુક સંખ્યા બાકી રહેલી છે.
દાખલા તરીકે –
(૧૬ ૧૭ ૧૮ ૧૯
- ૨૪ ૨૫ ૨૬ ર૭ |
--
-
૨૮ ૨૯ ૩૦ ૩૧
આ પ્રમાણે સેળ ખાનાને યંત્ર બનાવવામાં આવ્યું - છે. તે છઠ્ઠ પ્રકરણમાં આપેલી રીત મુજબ તેમાંની કઈ ?
Page #96
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ પણ ચાર સંખ્યા ઉપરની રીતે ધારતાં તેનો જવાબ ૧૬ + ૧૯ + ૨૮ + ૩૧ = ૯૪ આવવાનો. (અહીં ચારેય ખૂણાની સંખ્યા લઈ તેને સરવાળે કરવામાં આવ્યું છે.)
બીજી રીતે ગણીએ તો ૧૬૪૨ = ૩૨ + ૧૫ = ૪૭ ૪૨ = ૯૪. એટલે ધારેલી ૪ સંખ્યાનો જવાબ ૯૪ આવવાને એ નિશ્ચિત હકીકત છે. હવે ૩ રકમે ધાર્યા પછી જે તેને સરવાળે કહેવામાં આવે તો ૯૪ માંથી એ રકમ બાદ કરવાની. તેનું જે પરિણામ આવે તે જ ઠે બાકી હોઈ શકે, અન્ય નહિ.
આ દાખલ એ રીતે ગણું જોઈએ, એટલે વસ્તુ વધારે સ્પષ્ટ થશે. ધારે કે તમારા મિત્રે પ્રથમ ૨૬ ની સંખ્યા ધારી તે પરિસ્થિતિ નીચે મુજબ થશે –
૧૬ | ૧૦ | 18 | ૧૯ | | ૨૦ | ૨૧ ૨૨ ૨૩
..
.
-
-
-
-
-
-
19.
( X
--
-
--
-
-
--
૨૮ | ૯ | ૩ | ૩૧ |
ત્યાર બાદ ૨૦ની સંખ્યા ધારી છે, તે પરિસ્થિતિ નીચે મુજબ થશે :–
Page #97
--------------------------------------------------------------------------
________________
બાદબાકીના ત્રણ પ્રયાગા
૧૬
×
૨૦
મુજબ શે
×
૨૪
X
*
૧૬
×
૨૦”
X
૨૪
*
૧૭
૨૧
૨૮
×
×
૨૫
×
૨૯
૧૭
X
૨૧
*
ત્યાર બાદ ર૯ની સંખ્યા ધારી, તે પરિસ્થિતિ નીચે
૨૫
×
૨૯
×
૧૮
*
[
૨૨
X
૨૬”
X
૩૦
×
૧૮
*
૨૨
×
૨૬”
X
૧૯
૨૩
૩૦
*
»
૨૭
×
૩૧
૧૯
૨૩
*
૨૭
X
૬૩
૩૧
×
આ રીતે હવે માત્ર ૧૯ની સંખ્યા ખાકી રહેશે.
અહીં તમારા મિત્ર ધારેલી ત્રણ .રકમના સરવાળે કહેશે કે ૭૫ (૨૬- ૨૦ + ૨૯ = ૭૫), એટલે તમે ૯૪ માંથી ૭પ માદ કરીને કહી શકશે કે ૧૯ની રકમ બાકી રહી છે.
Page #98
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ આ પ્રયોગ જરૂર આનંદ પમાડશે, એટલું જ નહિ પણ કેટલાકને આશ્ચર્ય પણ પેદા કરશે.
અહીં તમે કહી શકે છે કે આ તો ગણિતરૂપી ગગન– મંડળને એક નાનકડે તારલે છે. આવા તારલા તો તેમાં અનેક પ્રકાશે છે. તમે એ બધાનાં દર્શન કરશે, તે જરૂર આનંદ થશે.
'
'
,
છે
દક
_
-
___ .
- -
..
K,
જ
જી
:
કે
જી
ફરી
Page #99
--------------------------------------------------------------------------
________________
[ ૧૦ ] ગુણાકાર અંગે પ્રાથમિક તૈયારી
સરવાળા આવડે, બાદબાકી આવડે, પણ ગુણાકાર ન આવડે તે વ્યવહારનું ગાડું ગબડે નહિ.
માનો કે નાર ગીની એક ટેપલીનો ભાવ ૩ રૂપિયા છે અને ૧૧ ટોપલીઓ ખરીદવી છે, તે કુલ કેટલા રૂપિયા જોઈએ?”
આ પ્રશ્નને જવાબ સરવાળાથી મળે ખરે, પણ તે માટે નીચે પ્રમાણે નોંધ કરવી પડે – ટોપલી
રૂપિયા
-
له له له
' જ
» જ
له له له له به
છે
Page #100
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ
૬
»
O
૧૦.
P |
કુલ ૩૩ પરંતુ ટપલીની સંખ્યા ૩૫ હોય તો? અથવા ૧૨૫ હોય તે? અથવા ૪૫૦ હોય તે ? ત્યાં કેટલી મોટી બેંધ કરવી પડે અને તેમા સમય પણ કેટલે જાય ? વળી ઘણું રકમના સરવાળા હોય ત્યાં ભૂલ પડવાને સંભવ પણ ખરો, એટલે તેની ખાસ ચકાસણી પણ કરવી પડે.
પરંતુ અહીં ગુણાકારથી કામ લઈએ તે ચપટી વગાડતા જવાબ આવી જાય. જેમકે– ૧૧ ૩૫ ૧૨૫
૪૫૦ ૪ ૩ ૪ ૩
૪ ૩
૪ ૩ ૩૩ ૧૦૫ ૩૭૫ ૧૩૫૦
ક્યાં લાબાલચ સરવાળા અને કયાં આ ત્રણ પદની ટૂંકી રીત ! જે સરવાળાને આપણે બેલગાડીની ઉપમા આપીએ, તો ગુણાકારને વિમાન જ કહેવું પડે.
અહીં એટલી સ્પષ્ટતા આવશ્યક છે કે જ્યાં રક વિષમ હોય એટલે કે એક સરખા પ્રમાણની ન હોય, ત્યાં તો સરવાળે જ કરવું પડે છે, તે સિવાય બીજો કેઈમાર્ગ નથી, પરંતુ બધી રકમ સમ એટલે સરખા પ્રમાણુવાળી હેય, ત્યાં આ ગુણકારનું સાધન વાપરી શકાય છે. દાખલા તરીકે પત્થરના પાંચ ઢગલા છે. તેમાં ૧૧, ૧૪, ૧૬, ૧૩,
Page #101
--------------------------------------------------------------------------
________________
૬૭
ગુણાકાર અંગે પ્રાથમિક તૈયારી
૧૨ એમ પત્થરાની વિષમ સખ્યા છે, તે તેની કુલ સંખ્યા જાણવા માટે સરવાળા જ કરવા પડશે. જેમકે
કુલ
પરંતુ પત્થરના આ પાંચ ઢગલામાં પત્થરોની સંખ્યા સમ હાય એટલે કે ધામા ૧૧ હાય, બધામા ૧૪ હાય, અધામાં ૧૬ હાય, બધામાં ૧૩ હાય કે ખધામાં ૧૨ હાય તા ત્યાં ગુણાકાર માંડીને જવાબ મેળવી શકાય. જેમકે
૧૧
* પ્
૫૫
૧૧
૧૪
૧૬
૧૩
૧૨
૧૪
૪૫
૧૬
× ૫
૧૩
× ૫
૬૫
૧૨
× ૫
७०
૮૦
૬૦
+એ + એ સરવાળાનું ચિહ્ન છે, – એ માદખાકીનું' ચિહ્ન છે, તેમ × એ ગુણાકારનું ચિહ્ન છે. જ્યારે એક સંખ્યા અને ખીજી સખ્યા વચ્ચે × આવી ચાકડી મૂકેલી હેાય, ત્યારે સમજવાનું કે તે બે સંખ્યાને ગુણાકાર કરવાને છે. ૧૧ × ૩ એટલે ૧૧ ની સંખ્યાને ૩ થી ગુણવાના છે. અહી એ પણ જાણી લેવું જરૂરતું છે કે જે સંખ્યાને ગુણવાની હાય તેને ‘ગુણ્ય’ કહેવાય છે, જે સંખ્યા વડે ગુણવાની
Page #102
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ હોય તેને “ગુણક” કહેવાય છે અને તેનું જે પરિણામ આવે તેને “ગુણાકાર” કહેવાય છે. એ રીતે ૧૧ એ ગુણ્ય છે, ૩ એ ગુણક છે અને ૩૩ એ ગુણાકાર છે.
ગુણાકાર કરવા માટે જુદી જુદી અનેક રીતે ચાલે છે, પણ તેની સહુથી વધારે પ્રસિદ્ધ અને અનુકૂળ રીત નીચે મુજબ છે :
પ્રથમ ગુણ્ય સંખ્યાની સ્થાપના કરવી, તેની નીચે * આવું ચિહ્ન મૂકીને ગુણકની સંખ્યા લખવી અને તેની નીચે લીટી દેરવી પછી ગુણવાની ક્રિયા કરવી. તેમાં પ્રથમ ગુણકના એકમ વડે ગુણ્યના એકમ આદિ દરેક અંકને ગુણવા. એ કિયા પૂરી થયા બાદ ગુણકના દશક વડે ગુણ્યના એકમ આદિ દરેક અંકને ગુણવા, પણ તેનું પરિણામ એક અંકસ્થાન છેડીને નીચે લખવું આ પ્રમાણે અન્ય તમામ અકેતુ સમજી લેવું. આ રીતે ગુણવાની ક્રિયા પૂરી થાય, એટલે નીચે લીટી દરવી અને બધી રકમનો સરવાળે. કરે, એટલે ગુણાકારની સંખ્યા પ્રાપ્ત થાય
દાખલા તરીકે ૧૨૫ ગુણ્ય છે અને ૩૭ ગુણક છે. તે તેનો ગુણાકાર નીચે મુજબ થશે –
૧૨૫ ગુણ્યા ૪ ૩૭ ગુણક
૮૭૫
૩૭૫૪ - ગુણવાની કિયા
૨૧
૪૬ર૫ ગુણકાર
Page #103
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકાર અંગે પ્રાથમિક તૈયારી
અહીં પ્રથમ ૭ અને ૫ ને ગુણાકાર કર્યો, તેમાં ૩પ આવતાં પ ને નીચે ઉતાર્યો અને ૩ ને વૃદ્ધિમાં રાખ્યા પછી ૭ અને ૨ ને ગુણાકાર કર્યો, તેમાં ૧૪ આવતાં ૩ વૃદ્ધિ ઉમેરી, એટલે ૧૭ થયા, તેને છ નીચે ઉના અને ૧ ને વૃદ્ધિમા રાખે. પછી ૭ ને ૧ નો ગુણાકાર કર્યો, તેમાં છ આવતાં ૧ વૃદ્ધિ ઉમેરી, એટલે ૮ થયા, તે ૮ નીચે ઉતાર્યો. આ રીતે ૧રપ ને ૭ થી ગુણતાં ૮૭પ ની સયા આવી, તે પહેલી લીટીમાં લખી.
ત્યાર પછી ૩ વડે ગુણાકાર કરવાની શરૂઆત કરી. આનુ પરિણામ એક અંકસ્થાન છોડીને લખવાનું છે, એટલે એકમના આક નીચે ચોકડી મારી દીધી, જેથી બધા એકે એક અકસ્થાનના ફેરમાં જ લખાય.
૩ ને ૫ થી ગુણતા ૧૫ આવ્યા, તેમને પ નીચે ઉતાર્યો અને ૧ વૃદ્ધિમાં રાખો. પછી ૩ અને ૨ થી ગુણતાં જ આવ્યા, તેમાં ૧ વૃદ્ધિ ઉમેરતા છ થયા, તે નીચે ઉતાર્યા. ત્યારબાદ ૩ ને ૧ થી ગુણતાં ૩ આવ્યા, તેને નીચે ઉતાર્યા. આ પ્રમાણે ૧૫ ને ૩ થી ગુણતાં ૩૭૫ ની સંખ્યા આવી, તે એક અંકસ્થાન છોડીને નીચે લખી.
પછી તેનો સરવાળો કરતાં ૪૨૫ પરિણામ આવ્યું, તેને જ ગુણકાર સમજવાને.
હવે પછીના પૃઠેમાં ગુણાકારને લગતી અનેક ટૂંકી અને સહેલી રીતે આપી છે. તે વાચકેએ ધ્યાનથી વાંચવાવિચારવાની છે.
Page #104
--------------------------------------------------------------------------
________________
[ ૧૧ ] ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતો
[ ગુચ્છ પહેલું ]
૧–પાંચ વડે ગુણવાની રીત આપણું વ્યવહારમા ૫ ને ઉપગ ખૂબ જ થાય છે અને તેના વડે સ ખ્યાઓને ગુણવાનો પ્રસંગ અનેક વાર આવે છે, તેથી પ વડે ગુણાકાર કેમ કરે છે તે પ્રથમ વિચારીએ.
કે ૪૮ ને ૫ વડે ગુણવાના છે, તો ચાલુ પદ્ધતિએ ગુણાકાર કરતાં પ્રથમ ૮ને પ વડે ગુણ પડશે, તેમા 2 નીચે ઉતારી ૪ વૃદ્ધિ બાજુએ રાખવી પડશે અને ત્યાર પછી ૪ ને પ વડે ગુણી તેમા ૪ વૃદ્ધિ ઉમેતાં ૨૪ નો આક આવશે, તે લખવો પડશે. આ રીતે તેને જવાબ ૨૪૦ આવશે, પરંતુ આ દાખલે અન્ય રીતે બહુ સહેલાઈથી ગણી શકાય એવો છે.
૫ એ ૧૦ ને અર્ધો ભાગ છે, એટલે ૪૮ને ૧૦ થી ગુણીએ અને તેને ૨ થી ભાગીએ તે પણ એ જ પરિણામ. આવે. જેમ કે –
Page #105
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતો
૧
૪૮૪૧૦ = ૪૮૦ – ૨ = ૨૪૦.
અથવા ૪૮ ને ૨ થી ભાગી પછી તેને ૧૦ થી ગુણીએ તો પરિણામ એ જ આવે. જેમ કે
૪૮ – ૨ = ૨૪૪૧૦ = ૨૪૦.
કેઈ પણ સંખ્યાને ૧૦ થી ગુણવાનું કામ સહેલું છે અને ર થી ભાગવાનું કામ પણ સહેલું છે, એટલે પ્રથમ કરતાં આ રીતે વધારે સરલ પડે તેમ છે. ખાસ કરીને માનસિક ગણતરી કે મૌખિક હિસાબમાં તે આ જ રીત કામમાં લેવા જેવી છે.
અહીં એટલી સ્પષ્ટતા કરી દઈએ કે કઈ પણ સંખ્યાને ૨ થી ભાગવી, એટલે તેનુ અરધું કરવું એ દૃષ્ટિએ આવા દાખલામા અરધાના આક ઘણું ઉપયોગી થઈ પડે જેઓને અરધાના આક યાદ છે, તેઓ અહીં “અડતાલીશ અરધે ચોવીશ અને આગળ એક મીંડું” એટલી ગણતરી કરીને જ ૨૪૦ નો જવાબ મૂકી દેશે શુ આ રીત ઘણી ઝડપી અને સહેલી નથી?
હવે આ રીતથી કેટલાક દાખલા ગણી જોઈએ, તે આ રીતનો અભ્યાસ થશે અને તેથી કઈ પણ સંખ્યાને પ વડે ઝપાટામાં ગુણ શકાશે
રીત જાણીએ, પણ તેને અભ્યાસ ન કરીએ તે આપણને ખાસ લાભ થાય નહિ. આપણે કેઈ અનુભવી પુરુષના મુખમાંથી સાભળ્યું કે
આખે ત્રિફળા દાંતે લૂણ, પિટ ન ભરીએ ચારે ખૂણ.
Page #106
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ
તે શું એટલાથી જ લાભ થાય ખરો ? એ તે ત્રિફળા (હરડાં, બહેળાં અને આંબળા)ને ખાંડી માટીની મટકીમાં આખી રાત પલાળવા પડે, અને તેનું પાણી ગાળી લઈને રોજ સવારે દાતણ કર્યા પછી આંખે છાંટવું પડે. તે જ આંખોનું તેજ વધે અને લાભ થાય એજ રીતે તે અવારનવાર લૂણ એટલે મીઠું ઘસતા રહેવું જોઈએ, તેજ અવાળાં ન લે, રસી ન થાય અને દાંતની અનેક પ્રકારની વ્યાધિ
માથી બચી જવાય ભેજન માટે પણ એમ જ સમજવું. રસોઈ ગમે તેવી સ્વાદિષ્ટ હોય, તો પણ પેટ ઠાસીને જમવું નહિ. તેને છેડે ભાગ હંમેશા ઊણે એટલે અધૂરો રાખવો. આ પ્રકારે ભજન કરનાર બનતા સુધી બિમાર પડતો નથી અને દાચ પડે તો પણ જલ્દી સાજો થઈ જાય છે. કહેવાનું તાત્પર્ય એ છે કે અનુભવી પુરુષોએ આપણને જે રીત બતાવી હોય તે માત્ર જાણી લેવાથી જ ફાયદે થતું નથી, પણ તે પ્રમાણે વર્તવાથી કે તેને અભ્યાસ કરવાથી ફાયદો થાય છે.
૩૨૪ને ૫ થી ગુગુવા હોય તો એ કામ પણ સહેલું છે પ્રથમ રીત પ્રમાણે તેના ૩ર૪૦ બનાવે અને ૨ થી ભાગ, એટલે તેને જવાબ ૧૯૨૦ આવશે અહીં ૩૨૪૦ ને ર થી શી રીતે ભાગવા ? તેનું માનસિક ચિત્ર રજૂ કરીએ છીએ.
૩ર ૪૦
મનમાં ૩૨ ૪૦ની સંખ્યા કુલથી તેની નીચે “ત્રીશ
Page #107
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
૭૩
અરધું સોળ” અને “ચાલીશ અરધું વિશ” એ પ્રમાણે સંખ્યા મૂકતાં ૧૬૨૦નો આંક આવી જશે.
અહીં બીજી રીત પ્રમાણે ૩૨૪ને ૫ વડે ગુણવા હેય તે ૩૨૪ના અરધા કરવા પડે. તે ઉપર બતાવેલી માનસિક રીતથી શીધ્ર થઈ શકે. અથવા “ત્રણસે અરધું દોઢસો અને ગ્રેવીસ અરધુ બાર” એ રીતે ૧૬૨ ને આક મૂકી તેના પર શૂન્ય ચડાવી શકાય.
જ્યાં એક કરતાં વધારે રીત આપી હોય, ત્યા અનુકૂળતા મુજબ કામ લેવું વધારે પરત આપવાને હેતુ પણ એ જ છે કે જ્યાં એક રીત ન ફાવે, ત્યા બીજી રીતથી કામ લઈ શકાય.
ધારે કે પ૧૭ ને પ થી ગુણવા છે, તે શું કરશે ? તેમાં પહેલી રીત અજમાવશે કે બીજી ? અમારા અભિપ્રાયથી અહીં પહેલી રીત અજમાવવાનું ઠીક પડશે. જેમકે
પ૧૭ X ૧૦ = ૫૧૭૦ - ૨ = ૨૫૮૫.
આ દાખલે બીજી રીત પ્રમાણે ગણો હેય તે આ રીતે ગણી શકાય
પ૧૭ – ૨ = ૨૫૮ ૪૧૦ = ૨૫૮૫.
તાત્પર્ય કે ૫૧૭ એ વિષમ સંખ્યા છે, એટલે તેનું અરધુ કરતા બે પાન આવે. અપૂર્ણા કની પરિભાષામાં કહીએ તે ૩ આવે. પૂર્ણાક કરતા અપૂર્ણાંકનું કામ કંઈક અંશે કઠિન ગણાય, આથી અમે પ્રથમની રીતને પસંદગી આપી છે.
Page #108
--------------------------------------------------------------------------
________________
૭૪
ગણિત-સિદ્ધિ હજી એક મોટો ગુણાકાર કરી જોઈએ તે જ ચાલુ પદ્ધતિ કરતાં આ રીત કેટલી ટૂંકી અને કેટલી સહેલી છે, તે સમજી શકાશે. ધારો કે ૨૩૨૪૬૫ને ૫ થી ગુણવા છે, તે ચાલુ પદ્ધતિએ આ પ્રમાણે ગુણાકાર થશે •
૨૩૨૪૬૫
- ૪૫
૧૧૬૨૩૨૫ આમાં પ્રત્યેક આંકને ગુણવાને વિધિ કરવું પડે અને વૃદ્ધિને ચડાવવા વગેરેની પણ સાવધાની રાખવી પડે. જ્યારે બીજી રીતમા ૨૩૨૪૬૫૦ – ૨ = ૧૧૯૨૩૨૫ આટલે વિધિ કરવાથી જ જવાબ આવી જાય છે
ર-પંદર વડે ગુણવાની રીતે ધારો કે ૭૮૨ ને ૧૫ વડે ગુણવા છે, તો મૌખિક ગુણ શકશે ખરા? જે એ માટે તમારી તૈયારી ન હોય તે અહીં બતાવવામાં આવેલી રીતનો ઉપગ કરે.
૧૫ એટલે ૧૦ + ૫, આ વાત તે તમારા ખ્યાલમાં છે જ, પણ તેનો ઉપયોગ કેમ કરે છે તે કદી વિચાર્યું છે ખરું ? ઝાડ પરથી ફળ પડવાનું લાખ માણસે નજરે જુએ છે, પણ તે નીચે શા માટે પડે છે ? ઉપર કેમ જતુ નથી ? એવો વિચાર તેમાંના કેટલા કરે છે ? આઈઝેક ન્યુટન નામના એક મહાનુભાવે એનો ગંભીરતાથી વિચાર ર્યો, એટલે તેને ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ જડી આવ્યું. આ
Page #109
--------------------------------------------------------------------------
________________
૭૫.
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે ૧૫ નું પણ તેમ જ છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ૧૦ + ૫ =૧૫ પરથી એ સિદ્ધાંત તારવ્યું છે કે “કેઈ પણ સંખ્યાને. ૧૦ વડે ગુણી, તેમાં તેનું અરધું ઉમેરીએ તે તેનું પરિણામ મૂળ સંખ્યાને ૧૫ વડે ગુણ્યા બરાબર આવે.”
દાખલા તરીકે ૩ ને ૧૫ થી ગુણતાં ૪૫ ની સંખ્યા આવે છે. તે અહીં આ રીતે આવે : ૩ ૪ ૧૦ = ૩૦ + ૧૫ = ૫ અથવા ૮ને ૧૫ થી ગુણતાં ૧૨૦ ની સંખ્યા આવે છે, તે અહીં આ રીતે આવે ૮૪૧૦ = ૮૦ + ૪૦ = ૧૨૦.
આ રીત પ્રમાણમાં સહેલી છે, એટલે મૌખિક હિસાબો કરવામાં તેનો ઉપગ કરી શકાય. અહી આ રીત આ. પ્રમાણે અજમાવીએ :
૭૮૨ ૪૧૦ = ૭૮૨૦ + ૩૯૧૦ = ૧૧૭૩૦
૭૮રને ૧૦ વડે ગુણવાનું કામ જરાયે અઘરું નથી. ત્યાં તે માત્ર શુન્ય જ ચડાવવાનું છે અહીં સાત હજાર આઠસે ને વીશ એ પ્રમાણે સંખ્યા યાદ રાખવી જોઈએ અને આંખ બંધ કરીને માનસિક ભૂમિ પર નજર નાખીએ તે ત્યાં ૭૮૨૦ એ પ્રમાણે આકડાને સાક્ષાત્ દર્શન થવા જોઈએ જે આટલું યે યાદ ન રહે કે મનમા ચિત્ર ન ઉઠે તે સમજવું કે આપણે માનસિક વિકાસ ઘણો ઓછો છે અને તે સુધારવાની ખાસ આવશ્યક્તા છે
૭૮૨૦ ને આક યાદ રહ્યા પછી તેને ૨ થી ભાગવો જોઈએ, અર્થાત્ તેનું અરધું કરવું જોઈએ. અહીં અરધાન
Page #110
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ આકની મદદથી “અડ્રોત્તર અધું ઓગણચાલીશ અને વીશ અરધું દશ” એ રીતે ૩૧૦ નો આંક લાવી શકાય.
હવે વાત રહી બંનેનો સરવાળો કરવાની. અહીં કેટલાક કહેશે કે “આ કામ સહેલું નથી. આ તો કાગળપિનસીલની મદદ વિના થઈ શકે જ નહિ. પરંતુ અહીં એ વિચારવું ઘટે કે “કાગળ-પેનસીલનો વપરાશ તો છેલ્લી
ડી સદીઓમાં જ થયે. તે પહેલાં લેકે શું કરતા હશે ?” આના જવાબમાં કેઈએમ કહે કે “ભૂજપત્રની છાલ વગેરે પર લખતા હશે કે રેતીમાં આંકડા પાડતા હશે તો એમ બનવા સંભવ છે, પણ એ વખતે ઘણખા મનુ માનસિક શક્તિનો જ ઉપયોગ કરતા અને આવા દાખલાઓના જવાબ ઝડપથી આપી દેતા. આપણે પણ આવી શક્તિ કેમ ન કેળવીએ?
૭૮૨૦ અને ૩૧૦ને ચાલુ પદ્ધતિએ સરવાળો કરવો હોય તો એ વસ્તુ માનસિક ગણતરી કરનારને ફાવે તેમ નથી. પ્રથમ તો એમાં જમણી બાજુથી શરૂ કરીને ડાબી તરફ જવાનું હોય છે, એટલે જવાબ આપવા માટે એ રીત -અવળી પડે છે અને બીજું તેમાં દરેક આંકડાનો સરવાળે કરે, તેમાંને છેલ્લે અક નીચે ઉતારે, જે વૃદ્ધિ આવે તેને પછીના અંકમાં જોડવી વગેરે કડાકૂટ હોય છે તેથી અહીં જુદી જ રીત અજમાવવામાં આવે છે.
આ રીતમાં પ્રથમ ડાબી બાજુના બે આકડાઓને બીજી લીટીના ડાબી બાજુના બે આંકડાઓમાં ભેળવવામાં
Page #111
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહલી રીતે
|cg
આવે છે અને ત્યારપછી જમણી બાજુના બે આંકડાઓને બીજી લીટીના જમણી બાજુના બે આંકડામાં ભેળવવામાં આવે છે આથી કામ સહેલું સટ બની જાય છે. તે વખતે કેવું માનસિક ચિત્ર દોરાય છે, તે નીચે આપ્યું છે :
૭૮ | ૨૦
-
-
-
-
-
-
-
-
+ ૩૯ | + ૧૦
૧૧૭ ૩૦
અહીં જે સરવાળે ન કરવું હોય અને માત્ર ગુણકારથી જ કામ લેવું હોય તે લઈ શકાય છે. આ વિધાન તમને કદાચ વિચિત્ર લાગશે, કારણ કે ૭૮૨૦ અને ૩૯૧૦ને સાથે જોડેલા છે, તેમાં ગુણાકાર શી રીતે ઉપયેગી થઈ શકે? એવો તર્ક તમને ઉઠવાને અને તેનું સમાધાન સહેલાઈથી સાંપડવાનું નહિ પરંતુ આ વસ્તુ શક્ય છે અને તે તમે પિતે હમણું જ કબૂલ કરશે.
ને ૩ થી ગુણીએ તો ૧ાા થાય કે નહિ? અથવા પ ને ૩થી ગુણીએ તે ૧૫ થાય કે નહિ ? અહી ૩૯૧૦ ની સંખ્યા અર્ધા દશકને એટલે કે ૫ ને ગુણાકાર બતાવે છે, તેથી તેને ૩થી ગુણ નાખે તે ૧૫ વડે ગુણવા બરાબર જવાબ આવશે.
૩૯૧૦ x ૩ = ૧૧૭ ૩૦.
એટલે— ૭િ૮૨ ૪૧૦ = ૭૮૨૦ + ૨ = ૨૯૧૦ ૪ ૩ = ૧૧૭૩૦..
આ પ્રમાણે તેનો જવાબ લાવી શકાય.
Page #112
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ ૩-સાડા સાત વડે ગુણવાની રીતે
ઘરને છાપરું કરવું હોય તે પ્રથમ મેમનું મંડાણ કરવામા આવે છે, પછી તેના પર વળી અને વાસડા જડવામાં આવે છે, તેમાં ખપાટો ભરવામાં આવે છે અને છેવટે નળિયાનું .છા જ કરવામાં આવે છે, એટલે છાપરું તૈયાર થઈ જાય છે.
ગુણાકારની બાબતમાં પણ કંઈક આવું જ છે. તેમાં ૧૦ ની સંખ્યા મોભના સ્થાને છે અને તેના આધારે નાનીમોટી જે રીતે શોધી કાઢવામાં આવી છે, તે વળી–વાંસડાની ગરજ સારે છે તેમ જ તેમાં સહાયભૂત થતી સરવાળા, બાદબાકી તથા ભાગાકારની સહેલી રીત નળિયાનું કામ આપે છે
૧૦ નુ અરધુ કરીએ તે પ થાય અને ૧૦ માં તેનું અરધું ઉમેરીએ તો ૧૫ થાય. આ બને સંખ્યાઓ વડે ગુણાકાર કેમ કરવા? તે અમે ગત પ્રકરણોમાં વિસ્તારથી વર્ણવ્યું છે.
અહીં એટલી સ્પષ્ટતા કરવી ઉચિત છે કે અમુક જમાનામાં અમુક દેશમાં અરધા કરવાની તથા બેવડા કરવાની રીતને બહુ મહત્ત્વ અપાયું હતું. ખાસ કરીને ઈજિપ્તના લેકે તથા રશિયાના ખેડૂતોમાં આ રીત ઘણી પ્રચલિત હતી અને ત્યાના લકે તેના આધારે ગુણાકાર પણ કરતા હતા.
આપણને ઘડીભર વિચાર થશે કે આ કેવી રીતે બની શકે? પરંતુ ગણિત-ચમત્કારના નવમા પ્રકરણમાં અમે
Page #113
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
૧
ગુણાકારની છે અનેાખી રીતે આપી છે, તેમાંની ખીજી રીત આ પ્રકારની છે. તે જિજ્ઞાસુએ અવશ્ય જોઈ લેવી.
૧૦
ર = ળા. એટલે
વડે ગુણીએ અને તેમાંથી તેનો તે તેનું પરિણામ મૂળ સંખ્યાને આવે. આ રીતે ૪૪ ને છાણા વડે ગુણવા હોય તે આટલું જ કરવાનું –
કોઈ પણ સખ્યાને ૧૦ ચાથા ભાગ માદ કરીએ છણા વડે ગુણ્યા મરામર
-
૪૪ × ૧૦ = ૪૪૦
૧૧૦ = ૩૩૦.
અને ૫૬ ને છણા વડે ગુણવા હાય તે પણ આટલું
જ કરવાનું કે—
G
૫૬ × ૧૦ = ૫૬૦
૧૪૦ = ૪૨૦,
અને ૧૨૫ ને છા વડે ગુણુવા હાય તે પણ આટલાં
જ પદ માંડવાનાં કું.
-
૧૨૫ ૪૧૦ = ૧૨૫૦
૩૧૨ા = ૯૩૭ાા.
એ
અહી અરધાની એ પાન માંડવી પડે એટલું જ, પણ અપૂર્ણાંક કરતા આ વસ્તુ સહેલી છે. વળી બાદબાકી પણ અઘરી નથી. ૧૨ માંથી ૩ જાય તે ૯ અને ૧૦ માંથી ૧૨ા જાય તે ૩૭ણા એ સીધા હિસાબ છે,
-
રૂપિયા તથા પૈસાને છણા વડે ગુણવા હોય તે પણુ આ જ રીત અજમાવવાની. તેને જવાબ આવી ગયા પછી જમણી આજુના બેંક છેડીને વચ્ચે – આવું ચિહ્ન મૂકી દેવાનું, એટલે રૂપિયા ને પૈસા છૂટા પડી જાય. દાખલા તરીકે
Page #114
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ
હવે આ રીતથી ઘેાડા દાખલા ગણીએ, એટલે તેની વ્યવહારિક ઉપચાગિતા સમજાશે.
g&
(૧) કપડાંની એક પેટીની 'મત ૧૯૨ રૂપિયા છે, તે ૧૫ પેટીની કિમત શુ?’
૧૯૨ × ૧૦ = ૧૯૨૦ + ૯૬૦ = ૨૮૮૦ રૂપિયા. ૧૯૨ × ૧૦ = ૧૯૨૦ + ૨ = ૯૬૦ x ૩ = ૨૮૮૦ રૂપિયા. (૨) સૈનિકોના એક જૂથમાં ૧૦૨૮ સૈનિકે છે, તે ૧૫ જૂથમા કેટલા સૈનિકો હાય ?
૧૦૨૮ ૪ ૧૦ = ૧૦૨૮૦ + ૫૧૪૦ = ૧૫૪૨૦ સૈનિકો. ૧૦૨૪ × ૧૦ = ૧૦૨૮૦ - ૨ = ૫૧૪૦ × ૩ =૧૫૪૨૦
સૈનિકે
(૩) એક માણસનું એક અઠવાડિયાનું ભાજનખર્ચ ૧૫ રૂપિયા આવે છે, તા ૭૭૯ માણસાનુ લેાજનખ કેટલું આવે?
૭૭૯ × ૧૦ = ૭૭૯૦ + ૩૮૯૫ = ૧૧૬૮૫ રૂપિયા ૭૭૯ × ૧૦ = ૭૭૯૦ -૨ =૩૮૫૪૩=૧૧૬૮૫ રૂપિયા.
-
પહેલા દાખલામા એક ત્રીજી રીત પણ અજમાવી શકાય એવી છે અને તે મૌખિક ગણુના માટે સહેલી છે. પેટીની કિંમત ૧૯૨ રૂપિયા છે, તેમાં ૮ વધારી ૨૦૦ કરવા અને તેને ૧૫ થી ગુણવા એટલે ૩૦૦૦ ના આંક આવશે. તેમાંથી ૮ પેટીના ૧૨૦ રૂપિયા બાદ કરવા, એટલે જવામ ૨૮૮૦ આવશે.
Page #115
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
૭૯
બીજા દાખલામાં ત્રીજી રીત દોઢાની અજમાવી શકાય. તે પ્રમાણમાં ખૂબ જ સહેલી છે. જેમકે
૧૦ ૨૮ * ૧ ૪ ૧
૧૫ ૪૨ x ૧૦ = ૧૫૪૨૦ ૧ ને ૧૦ વડે ગુણીએ તો તેનું પરિણામ ૧૫ વડે ગુણ્યા બરાબર આવે, માટે છેવટે ૧૦ વડે ગુણ્યા છે.
બીજા દાખલામાં ચેથી રીત પણ અજમાવી શકાય એવી છે, તે આ પ્રમાણે
૧૦૦૦ ૪ ૧૫ = ૧૫૦૦૦ અને ૨૮ ૪ ૧૫ = ૪૨૦ અને મળીને ૧૫૪૨૦.
અહીં દોઢને પ્રસંગ છે, એટલે કહેવાનું મન થાય છે કે દરેક કામની દેહે તૈયારી રાખવી, પણ દોઢડાહ્યા થવું નહિ. જે તૈયારી ચાલતી હોય તે એક તૈયારી અને તેમાં મદદ કરે તેવી બીજી ગૌણ તૈયારી તે અરધી તૈિયારી. આ રીતે દેઢે તૈિયારી રાખનાર કદી પાછો પડતો નથી. તે પોતાનું કાર્ય સિદ્ધ કરે છે.
પૂછે તેનો ઉત્તર આપ, એ ડહાપણ છે, પરંતુ વગર પૂછયે કેઈને કંઈ પણ કહેવું કે સલાહ–શિખામણ આપવા મંડી પડવું, એ દોઢ ડહાપણ છે. તેનું પરિણામ સૂઘરીએ વાંદરાને શિખામણ આપી, તેના જેવું જ આવે.
Page #116
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ
રૂ. ૩૯૨ = ૩૬ પૈસાને કા વડે ગુણવાના છે, તે પગથિયાં આ રીતે મંડાશે :
૩૯૨૩૬૪૧૦ = ૩૯૨૩૬૦ – ૬૮૦૯૦ = ૨૯૪ર૭૦ = રૂ. ૨૯૪૨ = ૭૦.
આમાં કંઈજ મુશ્કેલી નથી. માત્ર થોડા અભ્યાસની જરૂર છે, તે અવકાશે જરૂર કરી લેવું જોઈએ.
રા ૪ ૩ = ા. આ પરથી એ સિદ્ધાંત ફલિત થાય છે કે કોઈ પણ સંખ્યાને રા વડે ગુણને ફરી ૩ વડે ગુણુએ તો તેનું પરિણામ મૂળ સંખ્યાને કા વડે ગુણ્યા બરાબર આવે. પરંતુ આ રીત ગુણ્ય રકમ નાની હોય ત્યાં અજમાવવા જેવી છે. દાખલા તરીકે–
૧૨ ને ૭ થી ગુણવા છે, તે ત્યાં આટલું જ કરવાનું કે૧૨ ૪ ર = ૩૦ x ૩ = ૯૦
અથવા ૨૬ ને શા થી ગુણવાના છે, તે ત્યાં આટલું જ કરવાનું -
૨૬ ૪ રા = ૬૫ x ૩ = ૧૫.
અથવા ૩૮ને છા થી ગુણવાના છે, તે ત્યાં આટલું જ કરવાનું કે
૩૮૪ રા = ૯૫ ૪૩ = ૨૮૫.
જે લોકે એક સંખ્યાના અરધા અને તેના પણ અરધા કરવાને ટેવાયેલા છે, તેઓ એ બંનેને સરવાળો કરીને તથા તેને ૧૦ વડે ગુણીને ળા વડે ગુણ્યા જેટલું
Page #117
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણકારની ટૂંકી અને સહેલી રીત પરિણામ લાવી શકે છે. ખાસ કરીને મૌખિક હિસાબો કરવા માટે આ રીત ઘણી સહેલી છે.
દાખલા તરીકે ૨૮ ને છા થી ગુણવા છે, તે તેઓ આ રીતે ગુણશેઃ
૨૮ અરધું ૧૪ અને ૧૪ અરધું છે. ૧૪ અને ૭ = ૨૧. તેના માથે મીંડું એટલે ૨૧૦.
અથવા રૂપ ને છા થી ગુણવા છે, તે તે આ રીતે
ગુણશેઃ
૩૫ અરધું ૧૭ અને ૧છા અરધું ૮. ૧છા અને ૮ = દા. તેને ગુણ્યા ૧૦ એટલે રદરા.
અમે એક વાર કહ્યું છે અને અહીં ફરી પણ કહીએ છીએ કે જ્યાં જે રીતે વધારે અનુકૂળ હોય ત્યાં તે અજમાવવી. તેમાં અમુક જ રીતને આગ્રહ રાખ નહિ. વ્યાવહારિક ભાષામાં કહીએ તે આપણે પાડા–પાડીનું કામ નથી, માત્ર બળી ખાવાનું કામ છે.”
૪-સાડા બાર વડે ગુણવાની રીતે
જો તમે એક સંખ્યાને કા વડે સહેલાઈથી ગુણી શકે તે ૧ર વડે કેમ ન ગુણી શકે? બંનેની રીત એક જ છે, તેમાં તફાવત માત્ર ઓછા અને વત્તાને છે. ૧૦ – રા = ળા અને ૧૦ + ર = ૧રા.
આ પરથી એમ સમજવાનું કે કોઈ પણ સંખ્યાને ૧૦ વડે ગુણી, તેમાં તેને ચેલે ભાગ ઉમેરીએ તે તેનું પરિણામ મૂળ સંખ્યાને ૧ર વડે ગુણ્યા જેટલું જ આવે.
Page #118
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ
આ રીતમાં જે સરલતા રહેલી છે, તે નીચેના હિસાબે પરથી સમજી શકાશે. તેમાં ચાલુ પદ્ધતિ અને ટૂંકી રીત અને પ્રમાણે હિસાબેા ગણેલા છે :
૮૪
(૧) ૧૬ ને ૧૨૫ વડે ગુણા.
ચાલુ પદ્ધતિ
૧૬
× ૧૫
૩૨
૧૬ ૪
૮ ( અરધે ગુણતાં )
૨૦૦
(૨) ૫૪ ને ૧૨૫ વડે ગુણા.
ચાલુ પદ્ધતિ
૧૪
× ૧૨ા
૧૬ ૪ ૧૦ = ૧૬૦ - ૪૦ = ૨૦૦
૧૦૮
૫૪ ×
ટૂંકી રીત
ફૂંકી રીત
૫૪ ૨૧૦ = ૫૪૦ - ૧૩૫ = ૬૭
૨૭ (અરધે ગુણતાં )
૬૭૫
Page #119
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે (૩) ૧૭૨ ને ૧ર વડે ગુણે. ચાલુ પદ્ધતિ
ટૂંકી રીત ૧૭૨ ૧૭૨ x ૧૦ = ૧૭૨૦+૪૩૦ = ૨૧૫૦ ૪૧૨ાા
૩૪૪ ૧૭૨૪
૮૬ (અરધે ગુણતાં) ૨૧૫૦
હવે કઈ પણ સંખ્યાને ૧રા વડે કેમ ગુણવી? તેની બીજી રીતે જોઈએ. ૧ર એ ૧૦૦ ને આઠમે ભાગ છે, એટલે એક રકમને ૧૦૦ વડે ગુણી તેને ૮ વડે ભાગીએ તે તેનું પરિણામ મૂળ રકમને ૧રા વડે ગુણ્યા જેટલું જ આવે. આ રીતે ઉપરના ત્રણેય દાખલાઓ ગણીએ, એટલે તેની વિશેષતા ધ્યાનમાં આવશે. (૧) ૧૬ ને ૧૨ા વડે ગુણો.
૧૬ ૪૧૦૦ = ૧૬૦૦ ૮ = ૨૦૦ (૨) પ૪ ને ૧રા વડે ગુણ.
૫૪ ૪૧૦૦ = ૧૪૦૦ - ૮ = ૬૭૫ (૩) ૧૭૨ ને ૧રા વડે ગુણો.
૧૭૨ ૪૧૦૦ = ૧૭૨૦૦ + ૮ = ૨૧૫૦ આઠથી ભાગી શકાય તેવી રકમમાં આ રીતે ઘણી
Page #120
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ સહેલી પડે છે. ત્યાં તે ગુય રકમને ૮ વડે ભાગી પછી ૧૦૦ વડે ગુણવામાં આવે છે અને એ રીતે તેનું પરિણામ ઝડપથી લાવવામાં આવે છે.
દાખલા તરીકે ૧૬ એ ૮ વડે ભાગી શકાય એવી રકમ છે, તે ત્યાં એટલું જ કરવાનું કે
૧૬ - ૮ = ૨ x ૧૦૦ = ૨૦૦. ૫૪ કે ૧૭૨ ને ૮ વડે અખંડ ભાગી શકાતા નથી, એટલે ત્યાં આ રીત અજમાવવાની જરૂર નથી. ત્યાં તે ઉપર જણાવી, તે જ રીત અજમાવવી ગ્ય છે.
પ-નવ વડે ગુણવાની રીતે ૧ થી ૪૦ સુધીની કેઈ પણ સંખ્યાને ૯ વડે ગુણવી હોય તે ગુણાકાર કરવાની જરૂર નથી. તેને જવાબ આંકની મદદથી તરત મળી જાય છે. જેમ કે
૭ ૪૯ તે સાત નવા શઠ ૧૨ ૪૯ તે બાર નવા અઠલંતરસે ૧૦૮ ૧૭ X ૯ તે સત્તર નવા ત્રેપનસે
(સો અને ત્રેપન) ૧૫૩ ૨૬૪ ૯ તો છવીસ નવા બે ચોત્રીશા ૨૩૪ ૩૩ % ૯ તે તેત્રીશ નવા બે સતાણવા ૨૯૭ ૩૮૪ ૯ તે આડત્રીશ નવા ત્રણ બેંતાલા ૩૪૨
ભારતના લોકેએ દશકપદ્ધતિ શેધી કાઢી અને તેના આધારે કેની રચના કરી, તેથી ગુણાકારની પ્રાથમિક ભૂમિકા મજબૂત બની અને વ્યવહારમાં ઘણી સરલતા થઈ
Page #121
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
૮૭
જે દેશમાં આંક ન હતા, ત્યાં સામાન્ય ગુણાકાર કરવા માટે પણ તકલીફ પડતી અને જૂદી જૂદી અનેક રીતે અજમાવવામાં આવતી. તાત્પર્ય કે આંક એ આપણે વિશિષ્ટ પ્રજ્ઞાનું પરિણામ છે અને તેથી તેને જાળવી રાખવા જોઈએ.
જે ૪૦ થી ઉપરની રકમને ૯ વડે ગુણવી હોય તે સામાન્ય રીતે ચાલુ પદ્ધતિને આશ્રય લેવામાં આવે છે. જેમ કે ૯૨ તથા ૩૧૬ ને ૯ વડે ગુણવાના છે, તે–
૩૧૬ ૪ ૯ X ૯ ૮૨૮ ૨૮૪૪
પરંતુ આ દાખલાઓ બીજી રીતે પણ ગણી શકાય છે અને એ રીત પ્રમાણમાં વધારે સહેલી છે. ઉપરના બંને દાખલા આ રીતે ગણુએ, એટલે તેને સ્પષ્ટ ખ્યાલ આવી જશે.
૨૦ મૂળ સંખ્યાના દશગણું
૯૨ મૂળ સંખ્યા ૮૨૮ ૩૧૬૦ મૂળ સંખ્યાના દશગણું
૩૧૬ મૂળ સંખ્યા ૨૮૪૪
ગુણ્ય રકમને દેશગણી કરવા માટે માત્ર મીંડુ ચડાવવાનું હોય છે. તેમાં કંઈ તકલીફ નથી કે લાંબે વિચાર
Page #122
--------------------------------------------------------------------------
________________
•
ગણિત-સિદ્ધિ
કરવાપણુ નથી અને ખાદખાકીનું કામ ગુણાકાર કરતાં ઘણુ સહેલું છે. ગુણાકારમાં તે દરેક અંકને ૯ વડે ગુણવા પડે છે, તેમાં જે વૃદ્ધિ આવે તેની કાળજીપૂર્વક વ્યવસ્થા કરવી પડે છે અને તેા જ સંઘ દ્વારિકા પહેાંચે છે, તેમાં કોઈ સ્થળે હૂકયા અર્થાત્ ગફલત કરી તેા ગુણાકારમાં ગામડું પડવાનું અને તેને પૂરવા માટે ફરી પાછે આખા ગુણાકાર કરવાના. ખાસ કરીને મેટા ગુણાકારમાં બહુ સંભાળવું પડે છે, જ્યારે આ રીતમાં બધા આંકડા એના એ હાવાથી ભૂલ થવાને જરાય સાઁભવ નથી.
.
૧૦માંથી ૧ ખાદ કરીએ તા ૯ રહે છે, એ પરથી ગણિતજ્ઞાએ એવું નક્કી કર્યું છે કે કોઈ પણ રકમને ૧૦ વડે ગુણીએ અને તેમાંથી તે જ રકમને ખાદ્ય કરીએ તે તેનુ પરિણામ તેજ રકમને ૯ વડે ગુણ્યા ખરાખર આવે. તેથી જ ઉપરના દાખલાઓમાં ૯૨ ના ૯૨૦ અને ૩૧૬ ના ૩૧૬૦ કરવામાં આવ્યા અને તેમાંથી મૂળ રકમા ખાદ્ય કરવામાં આવી.
હવે તમે કોઈ પણ સખ્યાને આ રીતે ૯ વડે ગુણી શકે છે અને શ્રમ તથા સમયના બચાવ કરી શકે છે. જો તમે ચાલુ પદ્ધતિને છેડી ન શકતા હૈા તે આ રીતના ચકાસણી માટે ઉપચેગ કરશે.
૬-અગિયાર વડે ગુણવાની રીતે
૯ અને ૧૧ સામસામાં છામડામાં બેઠેલા છે, એટલે
Page #123
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
૯ પછી ૧૧ નું પતાવવું જોઈએ. ૧૦ – ૧ = ૯ અને ૧૦ + ૧ = ૧૧. આમાં કેન્દ્રસ્થાને ૧૦ છે અને તેમાં ૧ એ છે કે વત્તે કરવાનું છે, જે મૂળ રકમને બાદ કરવાથી, કે ઉમેરવાથી થઈ શકે છે. દાખલા તરીકે ૧૮ ને ૧૧ થી ગુણવા હોય તે –
૧૮૪૧૦ = ૧૮૦ + ૧૮ = ૧૯૮
આ રીતે તેને ગુણાકાર થઈ શકે. અને ધારે કે પદ ને ૧૧ થી ગુણવા છે, તે–
પ૬ ૪૧૦ = પ૬૦+૫૬ = ૬૧૬ આ રીતે તેને ગુણાકાર થઈ શકે. કદાચ રકમ મેટી, હોય તે પણ ફિકર નહિ. દાખલા તરીકે ૪૭૩ ને ૧૧ થી ગુણવા છે, ત્યાં આટલું જ કરવાનું કે
૪૭૩ ૪ ૧૦ = ૪૭૩૦+૪૭૩ = પર૦૩ શું આ રીત ચાલુ પદ્ધતિ કરતાં વધારે સરલ નથી?
અગિયારના ગુણાકારમાં બીજી પણ એક રીત અજમાવી શકાય એવી છે અને તે આના કરતાં પણ ટૂંકી છે, પરંતુ તે માટે શેડો અભ્યાસ જોઈએ. આ રીતમાં તે સંખ્યા જોઈને જ તેને જવાબ લખવાનું હોય છે. તેમાં બીજાં કેઈ પગથિયાં માંડવાના હોતાં નથી. તે શી રીતે લખાય છે? એ અહીં જણાવીશું.
જે રકમને ૧૧ વડે ગુણવી હોય તેને છેલ્લે આંકડે એને એ જ રાખવું. પછી એકમ અને દશક, દશક અને
Page #124
--------------------------------------------------------------------------
________________
૨૦
ગણિત-સિદ્ધિ
સે, સે। અને હજાર એ ક્રમે આંકડાઓને સરવાળા કરતાં જવું. તેમાં છેલ્લે આક જવામમાં લખવાના અને વૃદ્ધિ આગળના અંકમાં ઉમેરી દેવાની. આ રીત પ્રમાણે ઉપરના ત્રણેય દાખલા અહીં ગણી અતાવ્યા છે.
૧૮ × ૧૧ તા
૮ ના
૮+૧ =
૧ ના
તે
૫૬ × ૧૧ તા ૬ ના
આમાં જે જે આંકડા આવતા જાય તે જમણી બાજુથી શરૂ કરીને ડામી માજી તરફ લખવાના હાય છે, તેથી આ પ્રમાણે લખાશે : ૧૯૮
*
૬ + ૫ = ૧૧ તેના ૧
૫ + ૧=
مله س
८
૯
૧
= ૬૧૬
»
°
૪૭૩ ૪ ૧૧ તા
૩ ના
૩ + ૭ =૧૦ તેનુ' ૭+૪+ ૧ = ૧૨તેના ર
૪ + ૧ =
૫
- ૫૨૦૩
૧ વૃદ્ધિમાં
૧ વૃદ્ધિમાં ૧ વૃદ્ધિમાં
Page #125
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
૯૧.
આ વસ્તુ સમજાવવા માટે આટલા વિસ્તારથી લખી છે, પણુ અભ્યાસ થયા પછી ગમે તેવી માટી રકમને જવાબ પણ થેાડી સેકન્ડોમાં જ લખી શકાય છે. જેમકે૨૩૫૬૮૪૯૨ ને ૧૧ થી ગુણવાના છે, તે
૨૩૫૬૮૪૯૨ મૂળ રકમ
૨૫૯૨૫૩૪૧૨ ૧૧ ના ગુણાકાર હવે ચાલુ પદ્ધતિએ આ દાખલા ગણી જુઓ :
૨૩૫૬૮૪૯૨
× ૧૧
૨૩૫૬૮૪૯૨
૨૩૫૬૮૪૯૨૪
૨૫૯૨૫૩૪૧૨
આમાં કેટલા બધા આંકડા માંડવા પડ્યા છે? વળી એ વાર ગુણાકાર અને એક વાર સરવાળા કરવાથી આ પરિણામ આવ્યું છે, જ્યારે ઉપરની રીતમાં માત્ર મનથી. સરવાળે કરવા સિવાય ખીજું કંઈ કરવું પડતું નથી
અમે ગણિત-રહસ્યના નવમા પ્રકરણમાં સમક સખ્યાના સરવાળા અંગે વિસ્તારથી વિવેચન કરેલું છે, તેમાં ૧૧ ના ગુણાકાર અંગે પણ કેટલેક મહત્ત્વપૂર્ણ નિર્દેશ કરેલા છે, તે જિજ્ઞાસુએએ અવશ્ય જોઈ લેવે,
d
અવધાનકારી ૧૧ ના ગુણાકારમાં મુખ્યત્વે આ જ રીતના ઉપયાગ કરે છે.
Page #126
--------------------------------------------------------------------------
________________
[ ૧૨ ] ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતો
[ ગુછ બીજું 1
૧-પચાશ વડે ગુણવાની રીતે કઈ પણ સંખ્યાને ૫૦ વડે ગુણવી હોય તે સામાન્ય રીતે તેને પ થી ગુણને તેના પર શૂન્ય ચડાવીએ છીએ. -જેમકે ૧૮ ને ૫૦ વડે ગુણવા છે, તો ૧૮૪ ૫ = ૯૦ અને આગળ ૦ એ રીતે ૯૦૦. અથવા ૩૭૨ ને ૫૦ વડે ગુણવા છે, તે ૩૭૨ ૪૫ = ૧૮૬૦ અને આગળ ૦ એ રીતે ૧૮૬૦૦. અથવા ૨૬૪૭૫ને ૫૦ વડે ગુણવા છે, તે ૨૬૪૭૫ ૪ ૫ = ૧૩૨૩૭૫ અને આગળ ૦, એ રીતે ૧૩૨૩૭પ૦.
પરંતુ આના કરતાં ટૂંકી અને સહેલી રીત એ છે કે ગુણ રકમને ૧૦૦ વડે ગુણ ૨ થી ભાગી નાખવી. ૧૦૦ વડે ગુણવામાં તે માત્ર બે શુન્ય જ ચડાવવાના છે અને ૨ થી ભાગવામાં કંઈ મુશ્કેલી નથી. એક સંખ્યાને ૫ વડે ગુણીએ તેના કરતાં ૨ વડે ભાગવાનું કામ પ્રમાણમાં
Page #127
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે ઘણું સહેલું છે. આ રીત પ્રમાણે ઉપરના ત્રણેય દાખલા ગણી જેવાથી વધારે સ્પષ્ટતા થશે. ૧૮ ૪૫૦ તે
૧૮ * ૧૦૦ = ૧૮૦૦ - ૨ = ૯૦૦ ૩૭૨ ૪૫૦ તે
૩૭૨ x ૧૦૦ = ૩૭ર૦૦ + ૨ = ૧૮૬૦૦ ૨૬૪૭૫ ૪ ૫૦ તે ૨૬૪૭૫ ૪ ૧૦૦ = ૨૬૪૭૫૦૦ – ૨ =
૧૩૨૩૭૫૦જે ગુણ્ય રકમ નાની એટલે કે બે-ત્રણ આંકડાની જ હોય તે એક વિશેષ રીત અજમાવી શકાય. મૂળ રકમને. ૨ થી ભાગવી અને તેનું જે પરિણામ આવે તેને ૧૦૦ થી ગુણવા. આ રીતે ૧૮ ને ૫૦ થી ગુણવા હોય તે
૧૮ - ૨ = ૯ * ૧૦૦ = ૯૦૦ અને ૩૭૨ ને ૫૦ થી ગુણવા હેય તે૩૭૨ – ૨ = ૧૮૬ ૪ ૧૦૭ = ૧૮૬૦૦.
૨૬૪૭૫ મા આ રીત નહિ અજમાવીએ, કારણ કે સંખ્યા મેટી છે અને વિષમ પણ છે. આમ છતાં જાણવાની ખાતર એ દાખલે અહીં ગણી બતાવે છે. તે આ પ્રમાણે ૨૬૪૭૫ - ૨ = ૧૩ર૩ળા * ૧૦૦ = ૧૩ર૩૭૫૦
ર-પચીસ વડે ગુણવાની રીત કેઈ પણ સંખ્યાને ૨૫ વડે ગુણવી હોય તે સામાન્ય
Page #128
--------------------------------------------------------------------------
________________
२४
ગણિત-સિદ્ધિ રીતે તેને ચાલુ પદ્ધતિએ ગુણાકાર કરવામાં આવે છે. જેમકે૪૪
૧૫૩ ૪ ૨૫. ૪ ૨૫
૪ ૨૫
૨૨૦
૪૩૦ ૧૭૨૪
૭૬૫ ૩૦૬૪
૮૮૪
૧૧૦૦ - ૨૧૫૦
૩૮૨૫ પરંતુ ૨૫ એ ૧૦૦ ને ચે ભાગ (Q) છે, એટલે ગુણ્ય રકમને ૧૦૦ વડે ગુણી તેને ૪ થી ભાગીએ તો પણ પરિણામ ૨૫ વડે ગુણવા જેટલું જ આવે. કેઈ પણ સંખ્યાને ૧૦૦ વડે ગુણવામાં જરાય મુશ્કેલી નથી, કારણું કે તેમાં માત્ર બે શુન્ય જ ચડાવવાનાં હોય છે અને ૪ થી ભાગવાનું કામ પણ પ્રમાણમાં સહેલું છે. આ રીત પ્રમાણે ઉપરના દાખલા ગણવા હોય તે આટલું જ કરવાનું કે
૪૪ * ૧૦૦ = ૪૪૦૦ = ૪ = ૧૧૦૦ ૮૬ * ૧૦૦ = ૮૬૦૦ = ૪ = ૨૧૫૦ ૧૫૩ * ૧૦૦ = ૧૫૩૦૦ + ૪ = ૩૮૨પ
જે મૂળ રકમને ૪ થી ભાગીએ અને તેના ભાગફળને ૧૦૦ વડે ગુણીએ, તે પણ મૂળ સંખ્યાને ૨૫ વડે ગુણ્યા જેવું જ પરિણામ આવે.
3 * ૧૦૦ = ૨૫. આ ત્રીજી રીતે ઉપરના ત્રણ દાખલા આ રીતે ગણાય : ૪૪ ૪ ૨૫
૪૪ : ૪ = ૧૧ * ૧૦૦ = ૧૧૦૦
Page #129
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
પ
અહી મૂળ રકમ ૪ થી ભાજ્ય છે, એટલે કામ સાવ
સહેલુ છે.
૮૬ ૪ ૨૫
૮૬ - ૪ = ૨૧૫ × ૧૦૦ = ૨૧૫૦
કોઈ પણ રકમને ૪ થી ભાગીએ કે તેનું પા કરીએ એ મને ખરાખર છે, એટલે અહી યાશી પા સાડી ઃ એકવીશ ? એમ સીધુ પદ પણ માંડી શકીએ.
૧૫૩ ૪ ૨૫
૧૫૩ - ૪ - ૩૮૫ × ૧૦૦ = ૩૮૨૫.
અહી સે પા પચીશ ’ અને • ત્રેપન પા સવા તેર’ એ રીતે ૩૮ા નુ પદ સીધું માંડી શકીએ.
રા ને ૧૦ થી ગુણીએ તા. ૨પ આવે, એટલે કોઈ પણ રકમને અઢી ગણી કરીને ૧૦ વડે ગુણીએ તા તેનુ પરિણામ મૂળ સખ્યાને ૨૫ વડે ગુણ્યા ખરાખર આવે. નાના હિસાબેામાં આ ચેાથી રીત ઉપયાગી છે. ખાસ કરીને જેને અઢિયા આવડતા હેાય તે આ રીતના સરલતા
'
પૂર્ણાંક ઉપયોગ કરી શકે છે. દાખલા તરીકે ગુણવા છે, તેા · આઠ અઢીયું વીશ ” અને એમ કરીને ૨૦૦ ના જવાય તાત્કાલિક અથવા ૧૮ ને ૨૫ વડે ગુણુવા છે, તા · અઢાર અઢિયું પીસ્તાલીશ ’ અને આગળ મીંડું' એમ કરીને ૪૫૦ ને જવામ જલદી લાવી શકાય છે. અથવા ૩૪ ને ૨૫ વડે
૮ ને ૨૫ વડે આગળ મીઠું’ લાવી શકાય છે.
Page #130
--------------------------------------------------------------------------
________________
દ૬
ગણિત-સિદ્ધિ ગુણવા છે તે “ત્રીસ અયુિં પંચાશી” અને “આગળ મીડું” એમ કરીને ૮૫૦ ને જવાબ પળવારમાં રજૂ કરી શકાય છે
જે રકમ મોટી હોય તે અઢિયાને સીધે ઉપગ. થઈ શકતો નથી, પણ મૌખિક હિસાબ ગણનારા વિભાગથી હિસાબ ગણીને તેને મેળ મેળવી દે છે અને કામ ચલાવે છે. આ રીતે ૧૪૬ને ૨૫ થી ગુણવા હોય તે “સે અઢિયે. અઢિસો” અને “ચાલીશ અઢિયે સે” એ રીતે ૩૫૦ ને. આંક લાવી તેમાં “છ અઢિયે પંદર ”ઉમેરી ૩૬પની સંખ્યા, લાવવાના. પછીનું કામ તે માત્ર મીંડું ચડાવવાનું છે, એટલે તેમાં કંઈ મુશ્કેલી નથી. તાત્પર્ય કે ૩૬૫ની સંખ્યા આવી કે તેઓ જવાબમાં ૩૬૫૦ રજૂ કરવાના.
આંક મુખપાઠ હોય તે ગુણાકાર કરવામાં કેટલી સરલતા રહે છે, તે આ પરથી સમજી શકાશે.
૩-પંચેતેર વડે ગુણવાની રીતે ૧૦૦ – ૨૫ = ૭૫, એટલે કેઈપણ રકમને ૧૦૦ વર્ષે ગુણ તેમાથી તેને ચે ભાગ ઓછો કરીએ, તે તેનું
પરિણામ મૂળ સંખ્યાને ૭૫ વડે ગુણ્યા બરાબર આવે. આ તે રીતે ૬૪ ને ૭પ થી ગુણવા હેય તે આ રીતે ગુણી શકાય
૬૪ x ૧૦૦ = ૪૦૦ – ૧૬૦૦ = ૪૮૦૦ અહીં સંખ્યા મોટી કે વિષમ હોય તે પણ ગુણા
Page #131
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતો કાર સહેલાઈથી થઈ શકે. જેમ કે ૧૦૩ને ૭૫થી ગુણવા છે, તે
૧૦૩ * ૧૦૦ = ૧૦૩૦૦ – ૨પ૭પ = ૭૭૨૫ અને ૨૫૭ને ૭૫ વડે ગુણવા હોય તે– ૨પ૭ ૪૧૦૦ = ૨૫૭૦૦ – ૪રપ = ૧ર૭પ
હવે બીજી રીત. ૦ ને ૧૦૦થી ગુણીએ તે ૭૫ આવે છે, એટલે કેઈપણ રકમને પિણી કરીને તેને ૧૦૦થી ગુણીએ તે તેનું પરિણામ મૂળ સંખ્યાને ૭૫ વડે ગુણ્યા બરાબર આવે. નાના હિસાબમાં આ રીત ઉપગી છે. ખાસ કરીને જેને પણ આવડતા હોય, તે આમાં ઝપાટો લગાડી શકે છે.
દાખલા તરીકે ને ૭પથી ગુણવા છે, તે “ આઠ પિણું છ” અને “આગળ બે મીંડાં” એ રીતે ૬૦૦ને જવાબ આખના પલકારામાં રજૂ કરી દેવાના.
અથવા ૧૪ને ઉપથી ગુણવાના છે, તે ચૌદ પિણું સાડાદશ, ગુણ્યા સે, બરાબર ૧૦૫૦ ”ને જવાબ તરત રજૂ કરવાના.
આ તો મહાવરાની વાત છે. જેને વિશેષ મહાવરે હોય તે મોટી સંખ્યાના ગુણાકારેમાં પણ તેને સફળતાથી ઉપગ કરી શકે છે. દાખલા તરીકે ૨૪૭ને ૭૫થી ગુણવા છે, તે “બસે પિણું દેઢ” ચાલીશ પણું ત્રીશ અને સાત પણું સવા પાંચ” એ રીતે હિસાબ ગણું ૧૮પાને
Page #132
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ આંક લાવવાના અને તેને ૧૦૦ વડે ગુણ જવાબમાં ૧૮૫૨૫ રજૂ કરવાના.
હવે આ જ દાખલો ચાલુ પદ્ધતિએ કરી જુઓ, એટલે આ રીતની સરલતા સમજાશે.
ક-એકસો પચીસ વડે ગુણવાની રીતે
એ તે તમારા ખ્યાલમાં હશે જ કે ૧૨૫ની સંખ્યા એ ૧૦૦૦ને બરાબર આઠમો ભાગ છે, એટલે કેઈ પણ રકમને ૧૦૦૦થી ગુણને તેને ૮ વડે ભાગીએ તે પરિણામ ૧૨૫થી ગુણ્યા બરાબર આવે. દાખલા તરીકે ૨૬ને ૧રપથી ગુણવા છે, તે હિસાબ આ પ્રમાણે મંડાશે :
૨૬ ૪૧૦૦૦ = ૨૬૦૦૦ - ૮=૩૨૫૦ :
અથવા ૩૭ને ૧રપથી ગુણવાના છે, તે હિસાબ આ પ્રમાણે મંડાશેઃ
૩૭ ૪૧૦૦૦ = ૩૭૦૦૦ - ૮ = ૪૬૨૫
જે સવાના ગડિયા મુખપાઠ હોય તે તેને ઉપયોગ કરીને પણ અહીં ખૂબ ઝડપથી જવાબ લાવી શકાય છે. તે માટે ઉપરના બે દાખલાઓ જોઈએ. “છવીશ સવાયું સાડી બત્રીશ” એટલે અહીં ૩રપ૦ મૂકવાના. “સાડત્રીશ સાચું સવા છેતાલીશ” એટલે અહીં ૪૬૨૫ મૂક્વાના.
૧૨૫ની સંખ્યા ૧૦૦ + ૨૫થી બને છે, એટલે કે ઈ રકમને ૧૦૦ વડે ગુણ તેમાં તેને ચે ભાગ ઉમેરીએ તે
Page #133
--------------------------------------------------------------------------
________________
સરવાળાની ટૂંકી અને સહેલી રીતો
પરિણામ ૧૨૫થી ગુણવા જેવું જ આવે. આ રીતે રને ૧૨૫થી ગુણવા માટે નીચેની રીત અજમાવી શકાય?
૨૬ * ૧૦૦ = ૨૬૦૦ + ૬૫૦ = ૩૨૫૦
અને ૩૭ ને ૧૨૫ થી ગુણવા માટે આ પગથિયાં માંડવા પડે :
૩૭ ૪૧૦૦ = ૩૭૦૦ + ૯૨૫ = ૪૬૨૫
થોડા જ અભ્યાસથી આ રીતની ફાવટ આવી જાય એમ છે. પ-એક સે ને સાડાબાર વડે ગુણવાની રીત
કોઈ પણ રકમને ૧૧રા વડે ગુણવાનું કામ ધારવા જેટલું અઘરું નથી. ત્યાં મૂળ રકમને ૧૦૦ વડે ગુણી તેને આઠમે ભાગ તેની અંદર ઉમેરવાને, એટલે પરિણામ મૂળ સંખ્યાને ૧૧રા વડે ગુણવા જેટલું જ આવી જવાનું. ૧૦૦ + ૧રા = ૧૧રા.
દાખલા તરીકે અને ૧૧રાથી ગુણવાન છે, તે ત્યાં ૪૬ ૪૧૦૦ = ૪૬૦૦ + ૫૭૫=૫૧૭૫ એમ ગણના કરવાની. અથવા ૮૨ને ૧૧રાથી ગુણવાને છે, તે ત્યાં ૮૨ ૪૧૦૦ ૮ર૦૦ + ૧૦૨૫ = ૯૨૨૫ એમ પદ માંડવાનાં.
ધારે કે ૧૭૪ને ૧૧ર થી ગુણવાના છે, તે ત્યાં પણ આ રીત એટલું જ કામ આપવાની. જેમકે–
૧૭૪ * ૧૦૦ = ૧૭૪૦૦ ગુણાકારને આઠમે ભાગ + ૨૧૭૫
૧૯૫૭૫
Page #134
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૦૦
ગણિત-સિદ્ધિ,
ચાલુ પદ્ધતિએ. આ ગુણાકાર કરવું હોય તો નીચે પ્રમાણે સાત પગથિયાં માંડવા પડે ?
૧૭૪ ૪ ૧૧૨
३४८ ૧૭૪ ૪ ૧૭૪ ૪
૮૭ (અને ગુણાકાર)
૧૫૭૫ આ પરથી આ રીતની સરલતા સમજી શકાશે.
૬-પીસ્તાલીશ વડે ગુણવાની રીત
કેઈ પણ સંજયાને ૫, ૯, ૧૧, ૧૫ આદિ ગુણકથી ટૂંકી અને સહેલી રીતે ગુણ શકાય છે, તેમ પ વડે પણ ટૂંકી અને સહેલી રીતે ગુણ શકાય છે. કદાચ આ વસ્તુ તમારા માન્યામાં નહિ આવે, પણ થોડી જ વારમાં તમારે એ કબૂલ કરવું પડશે
૫૦ – ૫ = ૪૫ આ પરથી કઈ સંખ્યાને ૫૦ વડે ગુણએ અને તેમાંથી તેને દશમે ભાગ અથત ૫ નો ગુણાકાર બાદ કરીએ, તે તેનું પરિણામ ૪૫ થી ગુણ્યા બરાબર જ આવે.
એક રકમને ૫૦થી ગુણવી સહેલી છે અને તેને દશમે ભાગ પાડવામાં ખાસ મુશ્કેલી નથી, એટલે આ
Page #135
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
૧૦૧
રીતથી ટૂંકમાં ઝડપી પરિણામ લાવી શકાય છે. દાખલા તરીકે ૧૮ને જપથી ગુણવાના હોય તે માત્ર આટલું જ કરવાનું કે ૧૮ ૪૫૦ = ૯૦૦ –- ૯૦ = ૮૧૦. અથવા ૪૬ને
૫થી ગુણવા હોય તો માત્ર આટલું જ કરવાનું કે ૪૬ ૪ ૫૦ = ૨૩૦૦ – ૨૩૦ = ૨૦૭૦. શું આ રીત ચાલુ પદ્ધતિ કરતાં ટૂંકી અને ઝડપી નથી?
સંખ્યા મેટી હેય તે પણ આ રીત અજમાવી શકાય છે. દાખલા તરીકે ર૧૮ને ૪પથી ગુણવા છે, તે—
૨૧૮ ૪પ૦ = ૧૦૯૦૦ – ૧૦૯૦ = ૯૮૧૦.
અહીં વધારે આંકડા જોઈને ગભરાવાનું નથી. ૨૦૦ને પ૦થી ગુણીએ તે ૧૦૦૦૦ આવે અને ૧૮ ને ૫૦ થી ગુણીએ તે ૯૦૦ આવે. એ રીતે ૧૦૯૦૦ને આંક આવે. તેને દશમો ભાગ કરવામાં તે છેલ્લું શુન્ય જ ઉડાવી દેવાનું છેઆ રીતે ૧૦૯૦૦ અને ૧૦૯૦ એ બે સંખ્યાઓ પ્રાપ્ત થયા પછી તેની બાદબાકી કરવાની રહે છે, તે પણ ઘણી સરલતાથી કરી શકાય એવી છે ૧૦૦૦૦માંથી ૧૦૦૦ ગયા એટલે ૯૦૦૦ રહ્યા અને ૯૦૦માંથી ૯૦ ગયા, એટલે ૮૧૦ રહ્યા. આ રીતે ૯૮૧૦ રહ્યા, એ તેને જવાબ છે.
હજી એક મોટો અને વિષમ સ ચાવાળો દાખલ ગણએ. એટલે તમને આ રીતની અસરકારકતા બરાબર ધ્યાનમાં આવશે. માને કે ૧૦૬૭ને ૪૫થી ગુણવાના છે, તે અહીં ૧૦૬૭૪૫૦ = ૫૩૩૫૦ – પ૩૩૫ = ૪૮૦૧૫ એટલા જ આંક માંડવાના.
Page #136
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૦૨
ગણિત-સિદ્ધિ અહીં ૧૦૬૭ને પ૦થી ગણવામાં તમને કંઈ વિચાર કે ભ થતો હોય તે એક સાદી રીત ધ્યાનમાં રાખી લે. ૧૦૦૦ને ૫૦ થી ગુણીએ તે પ૦૦૦૦ થાય, ૬૦ને પ૦થી ગુણીએ તે ૩૦૦૦ થાય અને છને પથ્થી ગુણીએ તે ૩૫૦ થાય. આ રીતે પ૩૩પ૦નો આંક આવી જાય.
પ૩૩પ૦માંથી પ૩૩પ મૌખિક બાદ કરવામાં પણ કેટલાક મુશ્કેલી અનુભવશે, પરંતુ થોડા જ વિચાર કરવાથી એ મુશ્કેલીનું નિવારણ થઈ જાય એવું છે. પ૩૦૦૦માંથી ૫૦૦૦ ગયા તે ૪૮૦૦૦ અને ૩૫૦માંથી ૩૩૫ ગયા તે ૧૫ આ રીતે ૪૮૦૧પની સ ા સહેલાઈથી પ્રાપ્ત થશે, તેને તમે જવાબ તરીકે રજૂ કરી શકે છે
આગળ અગિયારમી કલમમાં ૪૫ વડે ગુણવાની બીજી રીત આવે છે, તે પણ ધ્યાનમાં રાખવાની છે
૭-પંચાવન વડે ગુણવાની રીત
હવે ૪૫ના ગુણાકારને મળતી જ પણ ઓછાને બદલે વત્તાવાળી એક રીત જોઈએ એ રીત છે પંચાવન વડે
ગુણવાની.
૫૦ + ૫ = ૫૫, એટલે કેઈપણુ રકમને ૫૦ વડે ગુણીએ. અને ગુણાકારનો દશમ ભાગ તેમાં ઉમેરીએ તે તે સંખ્યાને પપથી ગુણ્યા બરાબર પરિણામ આવે. આ રીતે ૩૨ને ૫૫ થી ગુણવા હોય તો ૩૨ ૪ ૫૦ = ૧૬૦૦ + ૧૬૦ =
Page #137
--------------------------------------------------------------------------
________________
સરવાળાની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
૧૦૩
૧૭૬૦ જવાબ આવશે. અથવા ૧૦૭ને પપથી ગુણવા હેય તે ૧૦૭૪૫૦ = પ૩૫૦ + પ૩પ = ૫૮૮૫ જવાબ આવશે.
વધારે મોટી રકમને પણ આ જ રીતે ગુણ શકાય છે, જેમકે ૨૩૪૬૫ ૪૫૫ તે ૨૩૪૬૫ ૪ ૫૦ = ૧૧૭૩૨૫૦
+ ૧૧૭૩૨૫
૧૨૯૦૫૭૫ આ દાખલે ચાલુ પદ્ધતિએ ગણું જુઓ, એટલે બંને રીત વચ્ચેનો તફાવત સમજાશે.
૨૩૪૬૫ ૪ પપ
૧૧૭૩૨૫ ૧૧૭૩૨૫ ૪
૧૨૯૦૫૭૫ આમાં આંકડાની પાંચ હારે માંડવી પડી છે, ત્યારે ઉપરની રીતમાં ત્રણ હારેથી જ કામ પત્યું છે.
૮પાંત્રીશ વડે ગુણવાની રીત ૨૫ + ૧૦ = ૩પ બને છે. આ વસ્તુ ધ્યાનમાં રાખીને કેઈપણ સંખ્યાને ૩૫ વડે ગુણવાની ટૂંકી રીત શોધી કાઢવામાં આવી છે. તેમાં ત્રણ પગથિયાં માડવાનાં હોય છે. મૂળ રકમને ૨૫થી ગુણતાં જે સંખ્યા આવે, તે પ્રથમ પગથિયે માંડવી. તે રકમને ૧૦થી ગુણતાં જે સંખ્યા આવે,
Page #138
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૦૪
ગણિત-સિદ્ધિ તે બીજા પગથિયે માંડવી અને તે બંનેને સરવાળે કરતાં જે રકમ આવે, તે ત્રીજા પગથિએ માંડવી. આ સરવાળે એ જ તેનો જવાબ છે.
દાખલા તરીકે ૪૮ને રૂપથી ગુણવાના છે, તે તેનાં પગથિયાં આ રીતે મંડાશે :
૪૮૪ ૨૫ = ૧૨૦૦ ૪૮ ૧૦ = ૪૮૦
પરંતુ આટલે વિસ્તાર સમજવા માટે કર્યો છે. મૌખિક ગણતરીમાં તે માત્ર આટલું જ કરવામાં આવે છે કે ૪૮ X રપ = ૧ર૦૦ + ૪૮૦ = ૧૬૮૦.
૨૫ એ ૧૦૦નો ચોથો ભાગ છે, એટલે “અડતાલીશ પા બાર” એ રીતે ૧૨૦૦ની સખ્યા લાવી શકાય છે અને દશથી ગુણવામાં તે કંઈ મુશ્કેલી છે જ નહિ. મૂળ રકમ પર માત્ર શુન્ય ચડાવવાનું છે. આ રીતે ૧૨૦૦ અને ૪૮૦ની સંખ્યા પ્રાપ્ત થયા પછી તેને સરવાળે ૧૬૮૦ આંખના પલકારામાં થઈ જાય છે.
જે ૮રને ૩૫થી ગુણવા હેય તે ત્યાં આટલું જ કરવાની જરૂર છે કે ૮૨ ૪૨૫ = ૨૦૫૦ + ૮૨૦ = ૨૮૭૦. જે આંક યાદ હોય તો અહીં “ખાસી પ સાડીવીશ” એ રીતે ૨૦૫૦નો આંક માંડી શકાશે, અન્યથા ૮રના ૮૨૦૦ બનાવી તેને ચાર વડે ભાગતાં આ રકમ લાવી શકાશે.
Page #139
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૫
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
આ રીતે અહીં કેટલાક દાખલાઓ ગણું બતાવ્યા છે, તેનું બરાબર નિરીક્ષણ કરે ? ૨૭૩ X ૩૫
ર૭૩ ૪ ૫ = ૬૮૨૫ ર૭૩ ૪ ૧૦ = ૨૭૩૦
૫૫૫ ૩૨૯ ૪ ૩૫
૩૨૯ X ૨૫ = ૮૨૨૫ ૩૨૯ ૪ ૧૦ = ૩૨૯૦
૧૧૫૧૫ ૪૦૩૬ ૪૩૫ ૪૦૩૬ ૪ ૨૫ = ૧૦૦૯૦૦
૪૦૩૬ ૪ ૧૦ = ૪૦૩૬૦
૧૪૧૨૬૦ પ૨૯૦ x ૩૫
પર૯૦ x ૨૫ = ૧૩૨૨૫૦ પ૨૯૦ x ૧૦ = પર૯૦૦
૧૮૫૧૫૦ ૬૨૩૨ ૪ ૩૫ ૬૨૯૩૨ ૪ ૨૫ = ૧૫૭૩૩૦૦
૬૨૯૨ x ૧૦ = ૬ર૯૩૨૦
૨૨૦૨૬૨૦ ચાલુ પદ્ધતિ કરતાં આમાં કેટલી સરળતા છે, તે પ્રથમ દૃષ્ટિએ જ સમજાય એવું છે.
૯-નવાણું આદિ વડે ગુણવાની રીત
૧૦૦ – ૧=૯૯, એટલે કેઈપણ સંખ્યાને ૧૦૦ વડે ગુણ તેમાંથી મૂળ રકમ બાદ કરીએ તે તેનું પરિણામ તે
Page #140
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૦૬
ગણિત-સિદ્ધિ સંખ્યાને ૯૯ વડે ગુણ્યા બરાબર આવે. આ રીતે ૧૪૭ને
@ી ગુણવા હોય તે ૧૪૭ ૪૧૦૦ = ૧૪૭૦૦ – ૧૪૭ એ હિસાબ માંડવે જોઈએ. તેનું પરિણામ આવશે ૧૪૫૫૩. આ જ રીતે રને લ્હી ગુણવા હોય તે ૨૫૬ * ૧૦૦ = ૨૫૬૦૦ – ૨૫૬ = ૨૫૩૪૪ જવાબ આવશે. જે આ બંને ગુણાકારે ચાલુ પદ્ધતિએ કરવા હોય, તે નીચે મુજબ થશે ? ૧૪૭
૨૫૬ ૪ ૯૯૯
૪ ૯૯
૨૩૦૪
૧૩૨૩ ૧૩૨૩ ૪
૨૩૦૪ ૪
૧૪૫૩
૨૫૩૪૪
શું આ પદ્ધતિ કરતાં ઉપરની રીત વધારે ટૂંકી અને વધારે સહેલી નથી ?
જે સિદ્ધાંતને ૯ ના ગુણાકારમાં ઉપગ કર્યો છે, તે જ સિદ્ધાંતને ઉપગ ૯૮ તથા ૯૭ ના ગુણાકારમા. કરવાને. તેમાં માત્ર આંકનો ફેર રાખવે, એટલું જ.
૧૦૦ – ૨ = ૯૮, એટલે ઈ પણ સંખ્યાને ૧૦૦ વડે ગુણ તેમાંથી મૂળ રકમના બમણું બાદ કરીએ તો તેનું પરિણામ મૂળ રકમને ૯૮ વડે ગુણ્યા બરાબર આવે. આ રીતે ૩૬ ને ૯૮ થી ગુણવા હોય તો ૩૬ * ૧૦૦ =
Page #141
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
૧૦૩,
૩૬૦૦ – ૭૨ (મૂળ રકમના બમણું) = ૩૫૨૮ જવાબ. આવે. અથવા ૩૪૬ ને ૯૮ થી ગુણવા હેય તે ૩૪૬ ૪ ૧૦૦ = ૩૪૬૦૦ – ૬૯૨ (મૂળ રકમના બમણુ) = ૩૩૯૦૮. જવાબ પ્રાપ્ત થાય.
૧૦૦ – ૩ = ૯૭ એટલે કેઈ પણ સંખ્યાને ૧૦૦ વડે ગુણી તેમાંથી મૂળ રકમના ત્રણ ગણુ બાદ કરીએ તે. તેનું પરિણામ મૂળ રકમને ૯૭ વડે ગુણ્યા બરાબર આવે. આ રીતે ૨૩ ને ૯૭ થી ગુણવા હેય તે ૨૩ * ૧૦૦ = ૨૩૦૦ – ૬૯ (મૂળ રકમના ત્રણ ગણું) = ૨૨૩૧ જવાબ આવે અથવા ૭૬ ને ૯૭ થી ગુણવા હેય તે ૭૬ ૪૧૦૦ = ૭૬૦૦ – ૨૨૨૮ (મૂળ રકમના ત્રણ ગણું) = ૭૩૭૨ જવાબ આવે. ૧૦-એક સે એક આદિ વડે ગુણવાની રીત
૧૦૦ ને કેન્દ્રમાં રાખીને ૯૯, ૯૮ તથા ૭ ના. ગુણાકાર કર્યો, તેમ ૧૦૦ ને કેન્દ્રમાં રાખીને ૧૦૧, ૧૦૨, તથા ૧૦૩ ના ગુણાકાર થઈ શકે છે. તેમાં તફાવત માત્ર ઓછા અને વત્તાને છે. જેમકે –
૧૦૦ – ૧ = ૯ ૧૦૦ + ૧ = ૧૦૧ ૧૦૦ – ૨ = ૯૮ ૧૦૦ + ૨ = ૧૦૨ ૧૦૦ – ૩ = ૯૭ ૧૦૦ + ૩ = ૧૦૩
એટલે મૂળ રકમને ૧૦૦ વડે ગુણ્યા પછી જેવી. જરૂર હોય તે પ્રમાણે મૂળ રકમ, અથવા તેનાથી બમણું
Page #142
--------------------------------------------------------------------------
________________
*૧૦૮
ગણિત-સિદ્ધિ
અથવા તેનાથી ત્રણ ગણા ઉમેરી લેવા. આ રીતે ૫૮ ને ૧૦૧થી ગુણવાના હેાય તે! ૫૮ ૪ ૧૦૦ = ૧૮૦૦ + ૫૮ = ૫૮૫૮ એમ જવા લાવવાના; અથવા છને ૧૦૨ થી ગુણવાના હાય તે। ૭૬ * ૧૦૦ = ૭૬૦૦ + ૧૫૨ = ૭૭પ૨ એમ જવામ લાવવાના. અને ૪૪ તે ૧૦૩ શ્રી ગુણવા હાય -તે ૪૪.૪ ૧૦૦ = ૪૪૦૦ + ૧૩૨ = ૪૫૩૨ એમ જવામ લાવવાના.
વિશેષમાં ૧૦૦૦ ને કેન્દ્રમાં રાખીને ૯૯૯, ૯૯૮, ૯૯૭, ૧૦૦૧, ૧૦૦૨ તથા ૧૦૦૩ ના ગુણુકારે પણ આ જ રીતે કરી શકાય દાખલા તરીકે ૨૩ ને ૯૯૭ થી ગુણવા હાય તે ૨૩ x ૧૦૦૦
૨૩૦૦૦
૬૯ =૨૨૯૩૧
આ પ્રમાણે જવામ લાવી શકાય; અને તે જ રકમને ૧૦૩ થી ગુણવી હાય તા ૨૩ x ૧૦૦૦ = ૨૩૦૦૦ + ૬૯= ૨૩૦૬૯ આ પ્રમાણે જવામ લાવી શકાય.
-
--
૧૧-અઢાર, સત્તાવીશ, છત્રીશ આદિ વડે ગુણવાની રીત
૯ × ૨ = ૧૮
૯૪ ૩ = ૨૭
નવ વડે ગુણવાની રીત અગિયારમા પ્રકરણમા આપેલી છે. હવે તેના સબંધવાળી ૧૮, ૨૭, ૩૬ આદિ રકમ વડે ગુણાકાર કરવા હાય ! ટૂંકી અને સહેલી રીતે થઈ શકે છે. તે માટે અહી નવના સમધવાળી નીચેની રકમે લઈશું:
Page #143
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની કી અને સહેલી રીતે
૧o૯:
૯ × ૪ = ૩૬ ૯ × ૫ = ૪૫ ૯ × ૬ = ૫૪ ૯ × ૭ = ૬૩ ૯ ૪ ૮ = ૭ર
૯ × = ૮૧ આ રકમમાં જે વિશેષતા છે, તે જાણી લેવાથી. આપણું કામ સરલ બની જશે.
૧૮ એટલે ૨૦ – ૨ ૨૭ એટલે ૩૦ – ૩ ૩૬ એટલે ૪૦ – ૪ ૪૫ એટલે ૫૦ – ૫ ૫૪ એટલે ૬૦ – ૬ ૬૩ એટલે ૭૦ – ૭૨ એટલે ૮૦ – ૮
૮૧ એટલે ૯૦ – ૯ આ રકમની રચના જોતાં એવો નિયમ બાંધી શકાય. કે કેઈપણ સંખ્યાને ૨૦ થી ગુણ તેમાંથી તેને દશમે. ભાગ બાદ કરીએ તે એનું પરિણામ મૂળ સંખ્યાને ૧૮ થી. ગુણ્યા બરાબર આવે અને ૩૦ થી ગુણ તેમાંથી તેને. દશમો ભાગ બાદ કરીએ તે તેનું પરિણામ મૂળ સંખ્યાને. ૨૭ થી ગુણ્યા બરાબર આવે. આ રીતે કેઈ પણ સંખ્યાને ૪૦, ૫૦, ૬૦, ૭૦, ૮૦ કે ૯૦ વડે ગુણીને તેમાંથી.
9
Page #144
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૧૦
તેને દશમા ભાગ ખાદ્ય કરવામાં આવે તે મૂળ સંખ્યાને અનુક્રમે ૩૬, ૮૧ થી ગુણ્યા ખરાખર આવે. દાખલા તરીકે
૪૫, ૫૪,
(૧) ૨૪ × ૧૮ તે
(૨) ૩૫ × ૨૭ તે
(૩) પર × ૩૬
(૪) ૨૧ ૪ ૪૫ તે
(૫) ૪૨ ૪ ૫૪ તા
ગણિત-સિદ્ધિ
તેનું પરિણામ ૬૩, ૭૨ અને
૨૪ × ૨૦ = ૪૮૦
-
૪૮
દશમા ભાગ
૪૩૨
૩૫ × ૩૦ = ૧૦૫૦
દશમા ભાગ
V
૧૦૫
૯૪૫
૫૨ ૪ ૪૦ = ૨૦૮૦
---
દશમે ભાગ
૨૦૮
૧૮૭૨
૨૧ ૪ ૫૦ = ૧૦૫૦
દશમા ભાગ
-
૧૦૫
૯૪૫
૪૨ x ૬૦ = ૨૫૨૦
---
દશમા ભાગ
પર
૨૨૬૮
Page #145
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૧૧,
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
(૬) ૩૯ ૪ ૬૩ તે ૩૯ ૪ ૭૦ = ૨૭૩૦
દશમો ભાગ ૨૭૩
(૭) ૧૭ X ૭૨ તે
૨૪પ૭ ૧૭ X ૮૦ = ૧૩૬૦
– – દશમે ભાગ ૧૩૬
૧૨૨૪ ૪૯ X ૯૦ = ૪૪૧૦
(૮) ૪૯ × ૮૧ તે
દશમે ભાગ ૪૪૧
૩૯૬૯ હવે આ જ રીતે ૧૫૨ ને ૩૬ થી ગુણવા હોય તે ગણતરી આ રીતે કરવાની.
૧૫ર ૪ ૪૦ = ૬૦૮૦
— — દશમે ભાગ ૬૦૮
- ૫૪૭૨ અથવા ૪૭૫ ને ૮૧ થી ગુણવા છે, તે,
૪૭૫ ૪ ૯૦ = ૪ર૭૫૦
દશમે ભાગ ૪૨૭૫
૩૮૪૭૫ આ રીતે ૯ ના સંબંધવાળી સંખ્યા વડે કઈ પણ રકમને ગુણવી હોય તે ટૂંકી અને સહેલી રીતે ગણી શકાય છે, પરંતુ તે માટે અભ્યાસની ખાસ જરૂર છે.
Page #146
--------------------------------------------------------------------------
________________
[ ૧૩ ]
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
[ ગુચ્છ ત્રીજી ]
૧-છેડે અર્ધાવાળી સખ્યાઓને ગુણવાની રીત
એ તે સિદ્ધ હકીક્ત છે કે કોઈ પણ સંખ્યાને પૂર્ણાંકથી ગુણવી હેાય તે સરલતાથી ગુણી શકાય છે અને તેના છેડે અરધા એટલે અેનું વળગણ હાય, ત્યારે મુશ્કેલી પડે છે. દાખલા તરીકે ૩૪ને ૪ થી ગુણવાનુ કામ જેટલું" સરલ છે, તેટલું જ વડે ગુણવાનુ સરલ નથી. ત્યાં ૪ ને ગુણાકાર કર્યા પછી મૂળ સંખ્યાને ૐ વડે ગુણવી પડે છે અને તેનુ જે પિરણામ આવે તે ૪ ના ગુણાકારમાં ઉમેરવું પડે છે ત્યારે જ ૩૪ × ૪ ને જવામ તૈયાર થાય છે.
આવા પ્રસંગે એક સહેલી રીત અજમાવી શકાય છે. જે કે આ રીત ભરવાડી હિંસામ જેવી છે, એટલે કે એક માજુની સખ્યાને અરધી કરવી અને બીજી માનુની સખ્યાને ગમણી કરવી. વધારે સ્પષ્ટ કહીએ તે ગુણ્ય રકમને ખમણી
Page #147
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતેા
૧૧૩
કરવી. ગુણ્ય રકમ ખમણી થતાં તેની છેડેનું કે તું વળગણુ ઉડી જાય છે. આ રીતે ૩૪ × ૪ ના હિસામ આ પ્રમાણે થાય ઃ
૩૪ × ૪
૧૭ ૪ ૯
= ૧૫૩
૩૪ નીચે જે આંક મૂકયેા છે, તે અરધા કરેલા છે
અને ૪ ની નીચે જે આંક મૂકયો છે, ખીજા થાડા દાખલા આ રીતે ગણીએ, એટલે આ
તે અમણેા કરેલા છે.
'
રીતની સરલતા વધારે સ્ફુટ થશે.
×
૨૪
| ♠ ♠ | s #
|
૩૮
૯૮
××
૫
××
va
”
= ૬
×
७
× 414
૫
૧૧ - ૪૧૮
= ૨૧૭
૪
× ૧૩ = ૬૩૭
+
આ રીતમાં ખરેખર સરલતા રહેલી છે, વાતનું ધ્યાન રાખવાનુ છે કે જો ગુણ્ય રકમ તા આ રીત અજમાવવાથી ખાસ ફાયદો નથી, ગુણ્ય રકમના અરધા કરતાં તેના છેડે આવવાનું અને રળિયા ગઢવી ક્યાં ગયા
८
પણ એક એકી હાય
કારણ કે નું વળગણ તા તા કે ઠેરના
Page #148
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૧૪
ગણિત-સિદ્ધિ ઠેર” જેવો ઘાટ થવાને. દાખલા તરીકે ૧૧૭ ને ૪ થી ગુણવા છે, તે આ રીત પ્રમાણે નીચે પ્રમાણે પદો માંડવા પડશે :
૧૧૭ ૪ ૪
૫૮ ૪ અહીં ૧૧૭ ને ૪ થી ગુણવામાં જે કઠિનાઈ રહેલી છે, તે ૫૮૩ ને ૯ વડે ગુણવામાં રહેલી છે, એટલે કે તેનો ઉકેલ થતો નથી, તેથી ગુણ્ય રકમ બેકી હોય ત્યાં જ આ રીત અજમાવવી એગ્ય છે.
ર-અવયવો વડે ગુણવાની રીત ધારો કે તમારે કોઈ સંખ્યાને ૨૪, ૩ર, પ૬, ૬૪ કે ૧૨૧ વડે ઝડપથી ગુણવી છે, તે શું પ્રથમ એક આંકડાથી અને પછી બીજા આંકડાથી ગુણ તેને સરવાળે કરશો ? એ રીત ટૂંકી નથી, એટલે કે તેનાથી તમે ઝડપી ગુણાકાર કરી શકશે નહિ. જે તેને અવય વડે ગુણો તે જ તેમાં ઝડપ આવી શકશે.
અવયવને સામાન્ય અર્થ અંગ છે, પરંતુ અહીં સંખ્યાના જે ભાગને ગુણતાં પરિણામ મૂળ સંખ્યા જેટલું આવે, તેને અવયવ સમજવાના છે. આ વ્યાખ્યા અનુસાર તમે ર૪ ના ૮ અને ૩ એવા બે અવયવ પાડી શકે, કારણ કે ૮૪ ૩ = ૨૪ છે. અથવા તેના ૬ અને ૪ એવા એ અવયવ પાડી શકે, કારણ કે ૬ ૪ ૪ = ૨૪ છે. અથવા
Page #149
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
૧૧૫
તેના ૧૨ અને ૨ એવા બે અવયવ પાડી શકે, કારણ કે ૧૨ ૪ ૨ = ૨૪ છે. પરંતુ અહીં એટલું ૨૫ષ્ટ કરી દઈએ કે અવયવે બને ત્યાં સુધી એક આકડાના હેય તે સારું તેનાથી ગુણાકારમાં સરલતા રહે છે. બે આંકડાના અવયવમાં તેવી સરલતા રહેતી નથી, એટલે તે પસંદ કરવા ગ્ય નથી, એના કરતાં ત્યાં ૪૪ ૩ ૪ ૨ એમ ત્રણ અવય પાડીએ તે ઈચ્છવા ચગ્ય છે.
ધારે કે અહીં ૮૨૭ ને ૨૪ થી ગુણવા છે, તે ચાલુ પદ્ધતિએ તેને ગુણકાર નીચે મુજબ થશે •
૮૨૭ ૪ ૨૪
૩૩૦૮ ૧૬૫૪ ૪.
૧૯૮૪૮ હવે આજ રકમને અવયવથી ગુણીએ ?
(૨)
૮૨૭
૮૨૭
૮૨૭ ૪૧૨
૮૨૭ ૪ ૪
૪ ૮
૪૯૬૨
X ૪.
૧૬૫૪ ૮૨૭ ૪.
૪ ૩ ૧૯૮૪૮
૩૩૦૮
૪ ૩ ૯૯૨૪ ૪ ૨
૧૯૮૪૮
:
૯૯૨૪ - ૪ ૨ ૧૯૮૪૮
૧૯૮૪૮
Page #150
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૧૬
ગણિત-સિદ્ધિ ચાલુ પદ્ધતિના ગુણાકારમાં બે વાર ગુણાકાર કરીને સરવાળે કરે પડે છે. ત્યારે આ પદ્ધતિમાં માત્ર બે વાર - જ ગુણાકાર કરે પડે છે. પરંતુ ૧૨ ૪ ૨ ના અવયવમાં તેમ બનતું નથી, એટલે તે પસંદ કરવા યોગ્ય નથી. ૪ x ૩ ૪ ૨ ના અવયમાં ગુણાકાર ત્રણ વાર કરે પડે છે, પણ તેમાં ખૂબ જ સરલતા છે, એટલે ઝા આવી શકે છે.
૩ર ના સહુથી વધારે અનુકૂળ અવય ૮ અને ૪ છે ૮૪ ૪ = ૩૨. પ૬ ના ૮ અને ૭ : ૮૪ ૭ = પ. ૬૪ ના ૮ અને ૮ઃ ૮ ૪૮= ૬૪. અને ૧૨૧ ના ૧૧. અને ૧૧ : ૧૧ ૪ ૧૧ = ૧૨૧. એટલે ૩ર વડે ગુણાકાર કરવો હોય તે ત્યાં તેના અવયવ ૮ અને ૪ વાપરી શકે. ૫૬ વડે ગુણાકાર કરે છેય તે ત્યાં તેના અવય ૮ અને ૭ વાપરી શકે. અન્ય સંખ્યામાં પણ આ પ્રમાણે જ સમજી લેવું. થોડા દાખલા આ રીતે ગણી જુઓ એટલે તેમા બરાબર ફાવટ આવી જશે. ૩-વિશિષ્ટ અકરચનાવાળી સંખ્યાઓને
ગુણવાની રીત ૨૪, ૩૬, ૪૮ વગેરે સંખ્યામાં જે વિશિષ્ટતા રહેલી છે, તે તમારા ધ્યાનમાં આવે છે ખરી? ૨ કરતાં ૪ને આક બમણે છે, ૩ કરતાં ૬ ને આંક બમણ છે અને ૪ કરતાં ૮ નો આંક બમણું છે. આપણે આ વિશિષ્ટતા લક્ષ્યમાં રાખીને તેને ગુણાકારમાં ઉપયોગ કરીએ
Page #151
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકરેની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
૧૭
તે શ્રમ તથા સમય બચાવી શકીએ. દાખલા તરીકે ૧૫ ને ર૪થી ગુણવાના છે, તો ત્યાં ચાલુ પદ્ધતિ ન અજમાવતા આટલું જ કરવાનું કે
૧૫ × ૨ = ૧૫ ૪૪ = ૬૦
3६०
અથવા ૬૬ થી ગુણવાને છે, તે–
૧૫ x ૩ = ૪૫ ૧૫ ૪ ૬ =
૫૪૦ અથવા ૪૮ થી ગુણવાન છે, તે
૧૫ × ૪ = ૬૦
૧૫૪ ૮ = ૧૨૦ અહીં પ્રથમ દશકની સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાનો છે અને બીજી લીંટીમાં તેનાથી બમણું સંખ્યા મૂકવાની છે પછી તે બંનેનો સરવાળો કરતા જવાબ આવી જાય છે. શું આ રીતે આપણા શ્રમ અને સમયને બચાવ કરનારી નથી?
૫૧૦, ૬૧૨, ૭૧૪, ૮૧૬, ૧૨૨૪, ૧૪૮, ૧૮૩૬ વગેરે આ પ્રકારની જ સંખ્યાઓ છે. તેના વડે કેઈ પણ રકમને ગુણવી હોય તે ઉપર બતાવ્યા મુજબ સહેલાઈથી ગુણ શકાય છે. દાખલા તરીકે ૩૮૪ ને દર વડે ગુણવા છે, તે ત્યા આંટલું જ કરવાનું કે
Page #152
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૧૮
ગણિત-સિદ્ધિ
૩૮૪ x = ૩૮૪ x ૧૨ =
૨૩૦૪
४६०८
૨૩૫૦૦૮ અહીં પ્રથમ સેની સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાને છે અને બીજી પંક્તિમાં તેનાથી બમણ સંખ્યા મૂકી દેવાની છે. ચાલુ પદ્ધતિએ આ ગુણાકાર કરી જુઓ, એટલે આ રીતની સરલતાને વધુ સ્પષ્ટ ખ્યાલ આવશે.
૩૮૪ ૬૧૨
७६८ ૩૮૪ ૪ ૨૩૦૪ ૪
૨૩પ૦૦૮ અહીં ૩૮૪ ને ૧૮૩૬ થી ગુણવા હોય તે પણ આટલું જ કરવાનું કે
૩૮૪ ૪ ૧૮ = ૬૯૧૨ ૩૮૪ ૪ ૩૬ = ૧૩૮૨૪
૭૦૫૦૨૪ જે અઢારના ગડિયા આવડતા હોય તે ૩૮૪ ને ૧૮ વડે ગુણવામાં કોઈ મુશ્કેલી નથી. તેને સીધો ગુણાકાર મૂકી શકે છે, અન્યથા કાગળ-પેનસીલનો ઉપગ કરીને આ પરિણામ નોંધી શકે છે. નીચેની રકમમાં તો તેના
Page #153
--------------------------------------------------------------------------
________________
સરવાળાની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
૧૧૯ બમણા જ કરવાના છે, એટલે તેમાં કંઈ મુશ્કેલી નથી ચાલુ પદ્ધતિએ આ ગુણાકાર કરે હોય તે ચાર વાર ગુણાકાર કરવો પડે, તેનો સરવાળો કરવો પડે અને તેમાં ખૂબ સાવધાની રાખવી પડે જેમકે–
३८४ ૪ ૧૮૩૬
२३०४ ૧૧પર ૪ ૩૦૭૨ ૪ ૩૮૪ ૪
૭૦૫૦૨૪ પ૧૫, ૬ર૪ અને ૧૧૫૫ની સંખ્યાઓ પણ વિશિષ્ટ અંકરચનાવાળી છે, કારણ કે તેના બે ભાગ કરીએ તે પ્રથમ ભાગ કરતાં બીજો ભાગ અનુક્રમે ત્રણ ગણો, ચાર ગણું તથા પાચ ગણે છે. આ વિશિષ્ટતાને ગુણાકારમાં જરૂર ઉપયોગ થઈ શકે જેમ કે ૪૫ર ને આ સંખ્યાઓ વડે ગુણવાના છે, તે ત્યાં આટલું જ કરવાનું કે
૪૫૨ ૪ ૫ = ૨૨૬૦ ૪૫૨ ૪૧૫ = ૬૭૮૦ (ઉપરની સંખ્યા કરતાં
૨૩ર૭૮૦ ત્રણ ગણી) અહીં પ્રથમ સોની સંખ્યા વડે ગુણાકાર કર્યો અને બીજી લીટીમાં તેનાથી ત્રણ ગણી સંખ્યા મૂકી, જે વાનું કામ તદ્દન સહેલું છે.
Page #154
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૨૦
૪૫૨૪૬
૨૭૧૨
૪૫૨૪ ૨૪ = ૧૦૮૪૮
૪૫૨ ૪ ૧૧ = ૪૯૭૨
૪૫૨ × ૫૫ = ૨૪૮૦
૨૮૨૦૪૮
૨૨૬૦
૪૫૨ ૨
૨૨૬૦ ×
૫૨૨૦૬૦
આ જવાખાની યથાર્થતા ખ્યાલમાં આવે તે માટે આ દાખલાએ ચાલુ પતિએ પણ ગણી મતાન્યા છે :
૪૫૨
૪૫૨
૪૫૨
× ૫૧૫
× ૬૨૪
× ૧૧૫૫
૧૮૦૮
૯૦૪ ×
૨૭૧૨૪
ગણિત-સિદ્ધ
(ઉપરની સંખ્યા કરતાં ચાર ગણી)
(ઉપરની સખ્યા કરતાં પાંચ ગણી)
૨૨૬૦
૨૨૬૦ ×
૪૫૨ x
૪૫૨ ૪
૨૩૨૭૮૦ ૨૮૨૦૪૮
૫૨૨૦૬૦
૧૦૫, ૧૨૬, ૧૪૭, ૧૬૮ પણ વિશિષ્ટ અ’કરચનાવાળી સંખ્યાઓ છે. તેના બે ભાગ કરીએ તે પ્રથમ ભાગ કરતાં બીજો ભાગ અરધા છે, એટલે તેના ગુણાકારમાં આ વિશિષ્ટતાને ઉપયાગ કરવાને. દાખલા તરીકે ૨૧૨ ને ૧૦૫ વડે ગુણવા છે, તેા ત્યાં આ રીતે પદ્મ માંડવાનાં :
Page #155
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
-૧૧
૨૧૨ * ૧૦ = ૨૧૨૦ ૨૧૨ ૪ ૫ = ૧૦૦ (ઉપરની સંખ્યા
કરતાં અરધી)
૨૨૨૬૦ અથવા ૧૨૬ વડે ગુણવા છે, તે– ૨૧૨ x ૧૨ = ૨૫૪૪ ૨૧૨ x ૬ = ૧ર૭૨ (ઉપરની સંખ્યા
કરતાં અધી)
૨૬૭૧૨
અન્ય ગુણાકારમાં પણ આ રીતે જ સમજી લેવું. ૪–એકમને સરવાળે ૧૦ થતું હોય અને દશક. કે સરખા જ હોય તેવી બે સંખ્યાને ગુણવાની રીત,
ધારે કે ૩૪ ને ૩થી ગુણવા છે, તે અહીં એકમને સરવાળે ૪ + ૬ = ૧૦ થાય છે અને બને દશકે સમાન છે. તે તેને ગુણાકાર નીચે પ્રમાણે સહેલાઈથી થઈ શકશે :
૩ ૪ ૪ = ૧૨ બે મીંડા ચડાવતા ૧૨૦૦ ૪૪૬ = (બે એકમને ગુણાકાર) ૨૪
૧૨૨૪
Page #156
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૨૨
ગણિત-સિદ્ધિ, દશક કે તેની સંખ્યા સમાન હોય ત્યાં તેનાથી ૧ વધારાવાળી સંખ્યાથી તેનો ગુણાકાર કરો અને તેના પર બે મીંડાં ચડાવવાં. દશક ને દશથી ગણીએ તે સો જ આવે ને ? પછી એમને એકમથી ગુણતાં જે સંખ્યા આવે તે પહેલી રકમની નીચે લખવી અને તે બંનેને સરવાળે. કરે, એટલે જવાબ આવી જાય.
આ રીતે અહી ૩ ૪ ૪ = ૧૨ કર્યા અને તેના પર બે શૂન્ય ચડાવી ૧૨૦૦ બનાવ્યા. પછી એકમને એકમથી ગુણતા ૪ x ૬ = ૨૪ આવ્યા, તે ૧૨૦૦ની નીચે લખ્યા. પછી તેને સરવાળો કર્યો, એટલે ૧૨૨૪ જવાબ આભે.
હવે ચાલુ પદ્ધતિએ આ ગુણાકાર કરી જુઓ, એટલે આ જવાબની યથાર્થતા સમજાશે :
- ૩૪
૩૬
૨૦૪ ૧૦૨ ૪ ૧૨૨૪
અહી નવી રીતે બીજા પણ દાખલા ગણ્યા છે, તેનું નિરીક્ષણ કરે, એટલે તમારું કામ પાકું થશે. ૪૧ ૪ ૪૯
૪ ૪ ૫ = ૨૦ x ૧૦૦ = ૨૦૦૦
રે
૨૦૦૯
Page #157
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
૮૩ ૪ ૮૭
૮ X ૯ = ૭૨ * ૧૦૦ = ૩ x 9 =
૭૨૦૦
૨૧
- -
-
૭૨૨૧
૧૧૨ ૪ ૧૧૮
૧૧ ૧૨ = ૧૩૨ * ૧૦૦ = ૨ ૪૮ =
૧૩૦૦
૧૬.
૧૩૨૧૬ વિશેષ મહાવરા માટે તમે નીચેના ગુણાકાર જાતે કરી જાઓ ઃ
૭૩ X ૭૭ પ૭ ૪ ૫૩ ૬૨ ૪ ૬૮
૭૪ x ૭૬ ૧૨૨ X ૧૨૮
Page #158
--------------------------------------------------------------------------
________________
[ 18 ]
બહુ મોટા ગુણાકાર કરવાની સહેલી રીત
ધારો કે ૬૮૭૨૩૫૪૦૧૮ ને ૭૫૦૨૩૪ વડે ગુણવા છે, તે તમે આવા ગુણાકાર કરવાની હામ ભીડશે! ખરા ? અને ભીટા તે તેમાં એક પણ ભૂલ નહિ રહેવાની ખાતરી આપી શકશે ખરા ? અમે માનીએ છીએ કે સેંકડે તેવું માણસે તે માટે તૈયાર નહિ થાય અને ક્દાચ તૈયાર થશે - તે પણ ખિલકુલ સ્વસ્થ ચિત્તે આ ગુણાકાર ગણીને એક પણ ભૂલ વિનાને જવાખ રજૂ કરવાની હિંમત કરશે નહિ. પરંતુ આવા ગુણાકારા વધારે સહેલી રીતે ગણી શકાય છે અને તેમાં ભૂલ થવાના સંભવ નથી.
તે અંગે અહીં એક ચિત્ર આપ્યુ છે, તેના પર • ખરાખર ધ્યાન આપે. આ ચિત્રના મથાળે જે રકમ લખેલી છે તે ગુણ્ય છે, અર્થાત્ તેને ગુણવાની છે અને ડાખી આજુએ • ઊભી રકમ લખી છે તે ગુણુક છે, અર્થાત્ તેનાથી ઉપરની • રકમને ગુણવાની છે.
Page #159
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
૧૨૫
અહીં દશ આંકડાની રકમને ગુણવાની છે, એટલે ઉભા ખાનાં ૧૦ રાખેલાં છે અને છ આંકડાની રકમ વડે ગુણવાનું છે એટલે આડા ખાનાં ૬ રાખેલાં છે. પછી તે દરેક ખાનામાં એક કર્ણરેખા દેરીને તેના બે ભાગ કરવામાં આવ્યા છે. આ રીતે તેમાં ૬૦ ચેરસ અને ૧૨૦ અડધિયાં ગોઠવાચેલાં છે. અહીં ગુણકના દરેક આંકડા વડે ગુણ્યના દરેક આંકડાને ગુણેલા છે અને તેને જે જવાબ આબે, તે અનુકેમે દરેક ચેરસમાં લખેલે છે. તેમાં દશકનો આંકડે ઉપરના અડધિયામાં ભરેલું છે અને એકમનો આંકડો નીચેના અડધિયામાં ભરેલું છે જ્યાં જવાબ માત્ર એક અંકને આવેલે. છે, ત્યાં ઉપર ૦ મૂકીને તે અક નીચેના અડધિયામાં મૂકેલે છે.
પછી ૩ થી શરૂ કરીને દરેક ખાનાને ત્રાસ સરવાળે કરેલો છે. તે સરવાળાની ચાલુ રીતે જ કરેલ છે, એટલે એકમને જવાબમાં લખેલ છે અને વૃદ્ધિને પછીની હારમાં ઉમેરેલ છે.
- આ રીતે સરવાળે કરતાં જે. આંક આવ્યા તે દરેક ચોરસની નીચે તથા બાજુમાં લખેલા છે.
ત્યાર બાદ ત્ર- થી શરૂ કરીને ૩૪ સુધીના અંકને. ક્રમશઃ લખ્યા છે, તે એને જવાબ છે.
જે બરાબર સમજ ન પડે તે બે-ત્રણ વાર આનું અધ્યયન કરે, એટલે વરતુ તદ્દન સ્પષ્ટ થઈ જશે..
Page #160
--------------------------------------------------------------------------
________________
જ
/
૫
૧ / ૨ / /૪ /૧
/\ ૧
/
૫
૧/૩
{ ૩/\
?
0 /
૬
૯!
?
છે
9
-
-
-
-maxx Massages રાકર
-
-
-
-
=
=
= =
3
:
આ
૬
રજી દરજી
ગણિત-સિદ્ધિ
૭
૭
૧
૨
૩
૬ ૮ ૪ ૪ ૮ ૨ ૫,૧૯,૭૧,૨૭,૭૬,૮૪,૪૮, ૨ ૧ ૨ જવાબ
Page #161
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતા
૧૨૭
આ
જ દાખલેો ચાલુ પદ્ધતિએ પણ ગણી મતાન્યા છે, તેની આ પદ્ધતિ સાથે સરખામણી કરા, એટલે આમા જે સરલતા અને ભૂલને ટાળવાની ગેાઢવણુ છે, તે તમારા લક્ષમાં આવી જશે.
૬
૫૧૯૭૧૦૭૭૬૮૪૪૮૨૧૨
નાના ગુણાકારો પણ આ રીતે કરી શકાય જેમકે ૩૨૪ ને ૬૫ વડે ગુણવા છે,
૩
← ભ
૩૫ ૧
૧
8
.
૫
૧
૧
૨૭૪૮૯૪૧૬૦૭૨
૨૦૬૧૭૦૬૨૦૫૪×
૧૩૭૪૪૭૦૮૦૩૬xx
૪૧૨૩૪૧૨૪૧૦૮×××
૩૪૩૬૧૭૭૦૦૯૦XxXx
૪૮૧૦૬૪૭૮૧૨૬×××××
૨
૨
૬૮૭૨૩૫૪૦૧૮ ૪૭૫૬૨૩૪
૨
૬
૨૧૦૬૦ જવાબ
૪
૪
0
अ
Page #162
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧ર૮
ગણિત-સિદ્ધિ
પરંતુ નાના ગુણાકારે માટે ચાલુ પદ્ધતિ અનુકૂળ. હેવાથી મોટા ગુણકામાં જ આ રીત વપરાય છે અને તે સહેલી પડે છે.
Page #163
--------------------------------------------------------------------------
________________
[૧૫]
ગુણાકાર અંગે વિશેષ
ગુણાકાર અંગે જે વિશેષ હકીકત જાણવા જેવી છે, તે આ પ્રકરણમાં જણાવેલી છે.
૧-જવાબ એક કે બેકી? ગુણાકારને જવાબ એકીમાં આવશે કે બેકીમાં? તે ગુય અને ગુણકની સંખ્યા પરથી જાણી શકાય છે.
(૧) જે ગુય સંખ્યા એકી હોય અને ગુણક સંખ્યા પણ એકી હોય તે તેને જવાબ એકીમાં જ આવે. જેમકે– ૭ ૪ ૫ = ૩પ. ૧૩૪ ૯ = ૧૧૭. ૧૩૫ ૪૧૧ = ૧૪૮૫.
(૨) જે ગુણ્ય સંખ્યા એકી હેય અને ગુણક સ ગ્યા બેકી હોય તો તેને જવાબ બેકીમાં જ આવે. જેમકે – ૯ ૪૪ = ૩૬. ૧૫ ૪ ૮ = ૧૨૦. ૩૬૭ ૪ ૧૨ = ૪૪૦૪.
(૩) જે ગુણ્ય સંખ્યા બેકી હેય અને ગુણક સંખ્યા એકી હોય તે પણ તેને જવાબ બેકીમાં જ આવે. જેમકે ૧૮૪ ૭ = ૧૨૬. ૨૪૪૯ = ૨૧૬. ૧૧૮૪ ૧૫= ૧૭૭૦.
Page #164
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૩૦
ગણિત-સિદ્ધિ (૪) જે ગુખ્ય સંખ્યા બેકી હોય અને ગુણક સંખ્યા પણ બેકી હોય તે તેને જવાબ પણ બેકીમાં જ આવે. જેમકે– ૧૪૪ ૬ = ૮૪. ૩૨ ૪૪ = ૧૨૮, ૨૦૦ x ૧૨ = ૨૪૦૦, ર-ગુણ્ય અને ગુણકના પરિવર્તનથી જવાબમાં
ફરક પડે નહિ. જે ગુખ્ય સખ્યાને ગુણકના સ્થાને લખીએ અને ગુણક સંખ્યાને ગુણયના સ્થાને લખીએ તે તેથી જવાબમાં કઈ ફરક પડતો નથી જેમકે ૮૪ ૭ = ૫ અને ૭૪ ૮= પ. આ વસ્તુ અહીં એટલા માટે સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે કે ઘણી વખત ગુણ્ય રકમ નાની હોય છે અને ગુણુક રકમ મોટી હોય છે, ત્યારે તેમનું પરિવર્તન કરી લેવાથી ગુણાકાર કરવામાં વધારે અનુકૂળતા રહે છે. દાખલા તરીકે રૂને ૧૭૦૦થી ગુણવા હોય તો ૩ ને ગુયના સ્થાને મૂકીને ૧૭૦૦ને ગુણકના સ્થાને મૂકવા કરતાં ૧૭૦૦ને ગુણ્યના સ્થાને મૂકીને ૩ને ગુણકના સ્થાને મૂકવાથી ગુણાકાર કરવાનું વધારે અનુકૂળ રહે. અહીં બંને રીતે અંકની સ્થાપના કરેલી છે.
૧૭૦૦
૪ ૩
૪ ૧૭૦૦
હવે બંનેને ગુણાકાર કરી જુઓ, એટલે શેમાં વધારે અનુકૂળતા પડે છે, તે જણાઈ આવશે.
આમ છતાં કેટલીક વાર ગુણ્યની રકમ નાની હોય
Page #165
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકાર અંગે વિશેષ
૧૩૧ અને ગુણકની રકમ મેટી હોય તે તેમ જ રહેવા દેવામાં આવે છે, કારણ કે તેમાં ગુણાકાર કરવાની અનુકૂળતા હોય છે. દાખલા તરીકે ૧૮ ને ૨૫ વડે ગુણવાના હોય તે ત્યાં ગુય–ગુણકનું પરિવર્તન કરવાની જરૂર નહિ. એક તો બંને રકમ બે આંકડાની છે અને બીજું “અઢાર પા સાડાચાર’ એમ ગણી અહીં સીધે જવાબ ૪૫૦ મૂકી શકાય છે, તે ર૫ ૪૧૮ કરીએ તો મૂકી શકાતો નથી. ત્યાં ચાલુ પદ્ધતિએ ગુણાકાર કરવો પડે અથવા ૨૫ ૪૨૦ = ૫૦૦ – ૫૦ = ૪૫૦ આ રીતે જવાબ લાવવો પડે.
મુખ્ય વાત એ છે કે જે જરૂર હોય તે ગુણ્યનું ગુણક તરીકે અને ગુણકતું ગુણ્ય તરીકે પરિવર્તન કરી શકાય છે. તે કરવું જ જોઈએ, એ સિદ્ધાંત નથી.
૩–વિભાગ પદ્ધતિ ગુણાકારની ક્રિયાને સહેલી કે સરલ બનાવવા માટે ગુણકના વિભાગો કરી નાખવા તેને વિભાગપદ્ધતિ (Break down method) કહે છે. દાખલા તરીકે ૩૬ ને ૧૭ થી ગુણવા હોય તો આ પદ્ધતિ અનુસાર નીચે પ્રમાણે ગુણી શકાય?
૩૬ ૪ ૧૦ = ૩૬૦ ૩૬ ૪ ૭ = ઉપર
૬૧૨
૧૦+ ૭ = ૧૭ થાય છે, એટલે અહીં ૧૦ અને ૭
Page #166
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૩૨
ગણિત-સિદ્ધિ
એવા એ વિભાગે પસદ્ઘ કરવામાં આવ્યા છે. જો ૨૫૭૪ ને ૪૧૬ થી ગુણુવા હૈાય તે નીચે પ્રમાણે ગુણી શકાય :
૨૫૭૪ × ૪૦૦ = ૧૦૨૯૬૦૦
૨૫૭૪ × ૧૦ =
૨૫૭૪૦
૨૧૭૪ × હું =
૧૫૪૪૪
૧૦૭૦૭૮૪
૪૦૦ + ૧૦ + ૬ = ૪૧૬ થાય છે, એટલે અહી આ પ્રમાણે ૩ વિભાગે પાડવામાં આવ્યા છે. આમાં દેશના પાયાને મુખ્ય ઉપચેાગ હોવાથી તથા છેલ્લી રકમ માત્ર એક જ અંકની હેાવાથી ગુણાકારમાં ઘણી સરલતા રહે છે. આ જ દાખલે ચાલુ પદ્ધતિએ કરવા હાય તે નીચે પ્રમાણે થાય :
૨૫૭૪
× ૪૧૬
૧૫૪૪૪
૨૫૭૪ ×
૧૦૨૯૬ ૪
૧૦૭૦૭૮૪
હવે તમે જ કહો કે આ બે રીતમાં કઈ રીત વધારે સરલ છે?
મૌખિક ગણના કે જેમાં બે થી ત્રણ આંકડા વડે ગુણાકાર કરવાને હાય છે, તેમાં આ રીત વધારે સહેલી પડે છે. દાખલા તરીકે ૨૭ને ૩૬ વડે મૌખિક ગુણવા હાય
Page #167
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકાર અને વિશેષ
૧૩૩ તે ત્યાં ચાલુ પદ્ધતિનો આશ્રય લઈ શકાય નહિ. એ તે દ્રાવિડી પ્રાણાયામ જેવું કામ બની જાય પરંતુ અહીં ૨૭૪૩૦ = ૮૧૦ અને ર૭ ૪ ૬ = ૧૬૨ એમ ગણ ૯૭૨ જવાબ તરત જ આપી શકાય. અથવા ૪પ ને ર૭ વડે મૌખિક ગુણવા હોય તે ચાલુ પદ્ધતિ ભારે પડે. ત્યાં ૪૫ x ૩૦ = ૯૦૦ અને ૫ x 9 = ૩૧૫ = ૧૨૧૫ આ રીતે જવાબ આપવાનું વધારે સગવડભર્યું રહે.
૪-અનુષ્ફળતા પર ખાસ ધ્યાન આપો
ગુણાકાર કરવાની રીતે ઘણું છે, પણ તેમાં અનુકૂળતા પર ખાસ ધ્યાન આપવાનું છે. જે રીત જ્યા વધારે અનુકૂળ લાગે, ત્યાં તેને ઉપયોગ કરો. દાખલા તરીકે ૪૧૭ ને ૧૫ વડે ગુણવા છે, તે જેને ચાલુ પદ્ધતિ અનુકૂળ આવી ગઈ હાય, તે નીચે પ્રમાણે સીધે ગુણાકાર કરે :
(૧) ૪૧૭ ૪ ૧૫ = ૬૨૫૫. (૨) અથવા તે તે માટે નીચે પ્રમાણે પદો માડે:
૪૧૭ ૪ ૧૫
૨૦૮૫ ૪૧૨૭ ૪
૬૨૫૫
(૩) અથવા ૧૫ વડે ગુણવાની જે રીત બતાવી છે, તે અનુકૂળ આવી ગઈ હોય તો આ પ્રમાણે ગણના કરે ?
Page #168
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૩૪
ગણિત-સિદ્ધિ
૪૧૭ ૪ ૧૦ = ૪૧૭૦ તેના અરધા ૨૦૮૫
૬૨૫૫ (૪) અથવા વિભાગપદ્ધતિથી ગુણવાનું ફાવી ગયું હોય તે આ પ્રમાણે પદો માંડે :
૪૧૭ x ૧૦ = ૪૧૭૦ ૪૧૭ ૪ ૫ = ૨૦૮૫
દર૫૫ (૫) અથવા આંકથી ટેવાઈ ગયેલ હોય તો :
ચાર દેટું છ” ગણીને ૨૦૦૦ ની સંખ્યા મૂકે અને સત્તર દેવું સાડી પચીશ” ગણુને ર૫૫ ની સગ્યા તેમાં ઉમેરે. આ રીતે જવાબ દર૫૫ આવે.
(૬) અથવા કેઈને અવયવ વડે ગુણવાનું વધારે પસંદ હોય તો આ પ્રમાણે ગુણે:
૪૧૭ ૪ ૩ = ૧૨૫૧ ૪ ૫ = ૬રપ.
(૭) અથવા અરધા બમણાની રીત અજમાવતાં આનંદ તે હોય તો આ પ્રમાણે આકડા માડે :
ગુણ્ય ગુણક ૧૫ ૪૪૧૭ [ અહીં ગુણ્ય-ગુણકનું પરિવર્તન ૭૪ ૮૩૪
કર્યું છે.] ૩૪ ૧૬૬૮ ૧ = ૩૩૩૬
૬૨૫૫
Page #169
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકાર અંગે વિશેષ
૧૩૫ (૮) અથવા જેને ચેકડીની રીતને આગ્રહ હોય તે એનો જવાબ સીધે માંડે. જેમ કે –
૪૧૭ ૪ ૧૫
દરપપ
સાતમી તથા આઠમી રીતનું વિસ્તૃત વર્ણન ગણિતચમત્કારના નવમા પ્રકરણમાં કરેલું છે. તે જિજ્ઞાસુએ અવશ્ય જોઈ લેવું.
HI
(
કર
TI
IST
iii
ET
R
S
'
Page #170
--------------------------------------------------------------------------
________________
[ ૧૬ ]
ગુણાકારની ચકાસણી
લખેલું એક વાર વાંચી જવું જોઈએ અને ગણેલું એક વાર તપાસી જવું જોઈએ. તે જ તેમાં ઉતાવળ, દષ્ટિદેષ, પરિશ્રમ કે માનસિક વ્યવધાન થવાનાં કારણે જે ભૂલ રહી ગઈ હોય તે નજરે પડે છે અને તે સુધારી શકાય છે. જેઓ લખેલું વાંચી જવાની દરકાર કરતા નથી કે ગણેલું તપાસી જવાની તસ્દી લેતા નથી, તેઓ એક પ્રકારનું સાહસ ખેડે છે અને કઈ વાર ભળતું જ નુકશાન ઉઠાવે છે.
મારી તે ભૂલ થાય જ નહિ” એમ માનવું છેટું છે. ઘણી વાર આપણે એક યા બીજા કારણે ભૂલ કરી બેસીએ છીએ અને તેને આપણને ખ્યાલ રહેતો નથી. પરંતુ તેને ફરી તપાસવાનું રાખીએ તો એ ભૂલ જડી આવે છે અને આપણે પોતે આશ્ચર્ય પામીએ છીએ કે આવી ભૂલ મારા હાથે શી રીતે થવા પામી છે
જેમ આપણે કઈ વાર ભૂલ કરીએ છીએ, તેમ
Page #171
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ચકાસણી
૧૩૭
કારકુન, ગુમાસ્તા આદિ પણ ભૂલ કરે છે, તેથી જ હિંસાએની ચકાસણી કરવાની પદ્ધતિ રાખવી જોઈ એ.
સરવાળાની ચકાસણી કેમ કરવી ? તે અમે પાંચમા પ્રકરણમાં વિસ્તારથી વર્ણવ્યું છે અને માદબાકીની ચકાસણી કેમ કરવી ? તેની સૂચનાએ સાતમા પ્રકરણમાં આપી છે. હવે ગુણાકારની ચકાસણી કેમ કરવી ? તે આ પ્રકરણમાં દર્શાવીએ છીએ.
એક વાર એક મિત્રે ચકાસણી માટે નીચેને ગુણાકાર અમારી સામે ધર્યાં :
૮૮૮૮૮૮૮૮૮૨ = ૭૯૦૧૨૩૪૪૮૦૯૮૭૬૫૪૪. અહીં ૮ ની ઉપર ૨ ચડાવ્યા છે, તે વર્ગના સંકેત છે. એને અર્થ એ છે કે એ રકમને એ રકમે જ ગુણવાની છે, અર્થાત્ ૯ આઠેડાને ૯ આડાથી ગુણવાના છે આ ગુણાકાર જોઈ ને અમે બે સેકન્ડમા જ કહ્યું કે, આમાં • ભૂલ છે. તરત જ સામેથી પ્રશ્ન થયા કે આ વસ્તુ તમે અંતઃસ્ફુરણાથી કહેા છે કે ગણિતના આધારે કહેા છે ?” અમે કહ્યું: ‘ગણિતના આધારે કહીએ છીએ.’ ફ્રી સામેથી પ્રશ્ન થયે કે એટલી વારમાં તમે ગણ્યુ શું ? આ વાત ધ્યાનમાં બેસતી નથી.’
*
અમે કહ્યું. આ દાખલામાં ગુણ્ય રકમ ૯ આકની છે અને ગુણુક પણ ૯ આંકના છે. વળી તેની ડાખી ખાનુ ૮ જેવા ભારે આક છે, એટલે આ ગુણાકારના જવામ
Page #172
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૩૮
ગણિત-સિદ્ધિ ૧૮ આંકડાનો આવો જોઈએ, પરંતુ આ જવાબમાં ૧૭ આંકડા છે, માટે તેમાં ભૂલ હેવાનું જણાવ્યું છે.”
આ જવાબથી તેમના મનનું કંઈક અંશે સમાધાન થયું, પણ વધારે સ્પષ્ટતા કરવા ફરી એક પ્રશ્ન પૂછ્યો કે “આમાં નિયમ શું છે?”
અમે કહ્યું કે “કઈ પણ ગુણાકારની ગુણ્ય રકમના આંકડા તથા ગુણક રકમના આંકડાને સરવાળે કરીએ, તેના જેટલા જ કે તેનાથી એક ઓછા આંકડાને જવાબ આવે. તેથી ઓછા આકડા હોય કે વધારે આંકડા હેાય તો સમજવું કે એ ગુણાકાર ઓટો છે. તમે કઈ પણ ગુણકાર ગણી જુઓ, એટલે આ વાતની ખાતરી થશે?
તેમણે કહ્યું: “આ નિયમ અનુસાર તે આ ગુણાકારમાં ભૂલ છે, એમ કહી શકાય નહિ, કારણ કે ગુણ્ય રકમના ૯ આંકડા છે અને ગુણક રકમના પણ ૯ આંકડા છે. તે બંનેનો સરવાળે ૧૮ થાય છે અને તેનાથી ૧ ઓછો આંકડે એટલે ૧૭ આંકડા આ ગુણાકારમા છે.”
અમે કહ્યું “ગુણ્ય અને ગુણકના પ્રારંભમાં ૧, ૨ કે ૩ જેવા નાના આંકડા હોય ત્યારે જવાબમાં સરવાળા કરતાં ૧ ઓછો આંકડે આવવાનો સંભવ ખરે, પણ ૪ કે તેથી મોટા આંકડા હોય તે તેના જવાબમાં ગુણ્ય અને ગુણક રકમના જેટલા આંકડા હોય તેના સરવાળા જેટલા જ આંકડા જવાબમાં આવે. અહીં ગુણ્ય અને ગુણકના પ્રારંભમાં ૮
Page #173
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ચકાસણી
૧૩૯ છે, તેથી ૧૭ આંકડા સંભવી શકે નહિ. તેમાં પૂરા ૧૮ આંકડા જ જોઈએ.
અમારા મિત્ર જિજ્ઞાસુ હતા. તેમણે આ ગુણાકાર સંબંધી એક વિશેષ પ્રશ્ન પૂછોઃ “આ ગુણાકારના પ્રારંભના આંકડાઓમાં ભૂલ છે, મધ્યના આંકડાઓમાં ભૂલ છે કે છેવટના આંકડામાં ભૂલ છે, તે તમે કહી શકશે ખરા ?”
અમે કહ્યું. “પ્રાથમિક દૃષ્ટિએ તો એમ જ જણાય છે કે આ ગુણાકારના પ્રારંભના અને છેલ્લા આંકડાઓ ઠીક છે. તેમાં જે કંઈ ભૂલ છે, તે વચલા આંકડાઓમાં જ હેવી જોઈએ.
તેમણે પૂછ્યું: “આવું શા આધારે કહે છે ?”
અમે કહ્યું. “૮૮ ને ૮૮ થી ગુણતાં ૭૭ અને ઉપર અમુક અંક આવે તેમાં વૃદ્ધિ આદિ ભળતાં શેડ વધારે થાય, એટલે અહીં ૭૯ ને આંક બરાબર લાગે છે. વળી ગુણાકારના છેડે તો બે એકમના ગુણાકારનો છેલ્લે અંક જ આવે. એટલે કે ૮૪ ૮ = ૬૪ નો ૪ આવે. તે અહીં બરાબર દેખાય છે અને ૮૮ ૪ ૮૮ ને ગુણકાર કરીએ તો ૭૭૪૪ જવાબ આવે, એટલે તેની આગળને. આંકડો પણ ઠીક લાગે છે”
આ ઉત્તર સાંભળીને થોડી વાર સુધી તે તેઓ અમારી સામે તાકી જ રહ્યા અને બેલી ઊઠયા કે “અમારું બધું પાણીમાં ગયું. આવી સાદી સીધી વાત પણ અમારા મગજમાં આવતી નથી. સાચી હકીકત એ છે કે શાળામાં
Page #174
--------------------------------------------------------------------------
________________
-૧૪૦
ગણિત-સિદ્ધિ
અમને કોઈ દિવસ આ વસ્તુ શીખવવામાં આવી ન હતી અને પછી પણ અમારી સાથે કોઈએ આ જાતની વાત કરી ન હતી. અમે ગણિત સબંધી એક-બે પુસ્તક વાંચેલાં, પણ તે તદ્દન સામાન્ય કોટિનાં હતાં. તેમાં આવી ફાઈ મહત્ત્વની વિચારણા ન હતી. વારુ, હજી મને એક પ્રશ્ન પૂછવાનું મન થાય છે કે મધ્યના આંકડાઓ ઘણા છે, તેમાં કયા સ્થળે ભૂલ છે? એ જાણવાનુ કંઈ સાધન ખરું ??
અમે કહ્યુ’: ‘ એને જવામ આપવા ખરેખર કિઠન છે, પણ ગુણાકારનું સૂક્ષ્મ નિરીક્ષણ કરીએ તે એમ લાગે છે કે જમણી બાજુથી શરૂ કરીને આઠ આકડામાં એક પ્રકારના ક્રમ છે. જેમ કે —
૦ ૯ ૮ ૭ ૬ ૫ ૪ ૪ એટલે કે આગલા કરતાં એક આંકડા ક્રમશઃ વધતા જાય છે અને તે ઠેઠ શૂન્ય સુધી પહેાચે છે, એટલે તેમાં ભૂલ હેાય એવા સંભવ નથી. તે જ રીતે ડાખી માજુથી જોઈએ તા ૭૯૦૧૨૩૪ સુધી ક્રમ દેખાય છે અને પછી ૪૮ ની સખ્યા આવે છે, એટલે ભૂલ આટલામાં જ કંઈક હોવી જોઈએ.’
તેમણે કહ્યું: ‘કમાલ છે! આ વાત તે અમને કદી સૂક્ષ્મત જ નહિ, પરંતુ એટલું તે કહેા કે ગુણાકારને ચકાસવાની ખીજી ફાઈ રીત છે ખરી ?
"
અમે કહ્યું · · નવડીની રીત છે. પણ તેમાં કોઈ વાર ગેાથુ ખવાઈ જવાય છે, એટલે ગુણાકારની ચકાસણી આ પ્રમાણે બે-ત્રણ રીતથી કરવી જોઈએ.”
Page #175
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ચકાસણી
૧૪૧, હવે સમય થયે હતો, એટલે અમે અમારા મિત્રને કહ્યું કે “જ્યારે એક વાત શરૂ જ કરી છે, ત્યારે તેને છેડે લાવે. અર્થાત્ આ ગુણકાર ચાલુ પદ્ધતિએ કરી જુઓ અને અમારે ઉત્તર ખરે છે કે ખોટો ? તેની પણ ખાતરી કરી જુઓ.” પછી તે મિત્રે નીચે પ્રમાણે ગુણાકાર કર્યો :
८ ८ ८ ८ ८ ८ ८ ८ ८ x ८ ८ ८ ८ ८ ८ ८ ८ ८
૭ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૦ ૪ ૭ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૦ ૪ ૪ ૭ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૦ ૪ ૪ ૭ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૦ ૪ ૪ ૭ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૦ ૪ ૪ ૭ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૦ ૪ ૪ ૭ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૦ ૪ ૪ ૭ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૦ ૪ ૪ ૭ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૧ ૦ ૪ ૪
૭ ૯ ૦, ૧ ૨ ૩, ૪ ૫ ૫, ૨ ૦ ૯, ૮ ૭ ૬, ૫ ૪ ૪
આમાં જવાબ ૧૮ આંકડાને આવ્યું, એટલે અમારી પ્રથમ વાત સાચી સાબીત થઈ. પછી પ્રથમના ગુણાકાર સાથે આ ગુણાકારની રકમ મેળવતા નક્કી થયું કે તેમાં આઠમે તથા નવમે આંકડે બેટે લખાયેલું હતું તથા દશમે.
Page #176
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૪૨
ગણિત-સિદ્ધિ આંક ઉડી ગયે હતે. મતલબ કે અમે ત્યાં ભૂલ હોવાનું અનુમાન કર્યું હતું, તે પણ સાચું જ નીવડયું હતું અને -તેથી અમારા મિત્ર ખૂબ જ પ્રભાવિત થયા હતા.
અહીં નવડીની રીત અંગે થેડે ખુલાસે કરીએ. ગુખ્ય રકમના બધા આકડાઓનો સરવાળે કરી એક અંક બનાવ. પછી ગુણક રકમના બધા આંકડાઓનો સરવાળે કરી એક અંક બનાવ. આ બંને અંકને પરસ્પર ગુણવા. તેને જે જવાબ આવે તેને પણ એક અંક બનાવવો. પછી ગુણાકારના બધા અને સરવાળે કરી એક અંક બનાવ. તે જે આ અક બરાબર હોય તો સમજવું કે ગુણાકાર સાચે છે, નહિ તે તેમાં કંઈ ભૂલ છે. દાખલા તરીકે
૭૮૬ ૭ + ૮ + ૬ = ૨૧ = ૩ ૩ ૪૮૯ ૮ + ૬ = ૧૭ = ૧ + ૭ = ૮ ૮ ৩০98
૨૪=૩ + ૪ = ૬ ૬૨૮૮૪ ૬૯૯હ્ય૪ ૬+ ૯ + ૯ + ૫ + ૪ = ૩૩ == ૩૩૬
નવડીની રીત પ્રમાણે આ ગુણાકાર બરાબર છે, કારણ કે ગુણ્ય અને ગુણક રકમનો ગુણાકાર ૬ ને આંક બતાવે છે અને ગુણાકારના આંકડાઓ પણ ૬ને આંક બતાવે છે.
હવે આ જ સિદ્ધાંત ઉપરના દાખલાને લાગુ કરીએ. -તેમાં ગુણ્ય રકમના આંકને સરવાળે ૮૪ ૯ = ૭૨ = ૯ છે અને ગુણક રકમને સરવાળે પણ તેટલે જ છે, એટલે
Page #177
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગુણાકારની ચકાસણી
૧૪૩
કે ૯ છે. આ ૯૪ ૯ = ૮૧ થાય છે અને તેને સરવાળે પણ ૮ + ૧ = ૯ છે, એટલે ગુણાકારના આંકડાઓનો સરવાળે ૯ આવા જોઈએ. હવે પ્રથમના જવાબમાં ૭ +૯+૦+૧+ ૨ + ૩ +૪+૪ + ૮ + ૦-૯૧ ૮ + 9 + ૬ +૫+૪+ ૪ = ૮૧ = ૮ + ૧ = ૯ આવે છે, એટલે તેના જવાબમાં કંઈ ભૂલ સંભવતી નથી, પરંતુ આપણે જોયું કે તેમાં ૩ અંકની ભૂલ છે, એટલે માત્ર આ રીત ઉપર આધાર રાખી શકાય નહિ.
અહીં નવડીની રીતથી ભૂલ કેમ ન પકડાઈ, તે પણ જોઈએ. સાચા ગુણાકારમાં પપર એમ ત્રણ આંકડા હેવા જોઈએ આ ત્રણ આકડાઓને સરવાળે ૫ +૫ + ૨ = ૧૨ થાય છે હવે ભૂલભરેલા આંકડા ૪ અને ૮ આવ્યા છે, તેનો સરવાળે પણ ૪+ ૮ = ૧૨ થાય છે, એટલે નવડીની રીતે આમાં ભૂલ પકડી શકાઈ નહિ. આવી ભૂલ થવાની શક્યતા છે, તેથી જ અમે માત્ર નવડીની રીત પર આધાર રાખવાની ભલામણ કરતા નથી. અલબત્ત, તેને પ્રાથમિક ઉપગ કરી જે જોઈએ. જો તેમાં ભૂલ દેખાય તે ગુણકારની ભૂલ શોધવી જ રહી.
Page #178
--------------------------------------------------------------------------
________________
[ ૧૭ ] ભાગાકારની મૂળ ભૂમિકા
સરવાળામાં એક જ ક્રિયા હોય છે અને તે ઉમેરવાની. રમૂજમાં કહીએ તો એ એક પિડાંની ગાડી છે. બાદબાકીનું પણ એમ જ છે. તેમાં બાદ કરવા સિવાય બીજી કે કિયા હોતી નથી, પરંતુ ગુણાકારમાં બે કિયાઓ હોય છે? એક ગુનક્રિયા અને બીજી સરવાળાની ક્રિયા. તેમાં પ્રથમ ગુણાકિયા થાય છે અને પછી સરવાળાનો આધાર લેવામાં આવે છે. આ રીતે બને ક્રિયાઓ થઈ જતા ગુણાકાર તૈયાર થાય છે. ભાગાકારમાં પણ આ જ પરિસ્થિતિ છે. તેમાં બે કિયાઓ હોય છે. એક ગુણનક્રિયા અને બીજી બાદબાકીની ફિયા. તેમા ગુકિયા પ્રથમ થાય છે અને પછી બાદબાકી આધાર લેવાય છે. આ રીતે બને ક્રિયાઓ થઈ જતાં ભાગાકાર તૈયાર થાય છે. દાખલા તરીકે રૂપ ૫ વડે ભાગવા છે તે પ્રથમ પ ક છ = ૩પ એમ ભાગ ચલાવવો પડે અને પછી તેને ના સંખ્યામાંથી બાદ કરે છે.
Page #179
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૪પ
ભાગાકારની મૂળ ભૂમિકા
૫) ૩૫ (૭
૫ ૮ ૭ = ૩૫
૦૦
અહીં ગુણાકાર શા માટે કરે પડે છે ? તે પણ. સમજી લેવું જોઈએ. મૂળ પ્રશ્ન એ છે કે રૂપ માંથી પનો ભાગ કેટલી વાર લઈ શકાય ? એના ઉત્તરમાં ૭ સાપડે છે, એટલે ૫ અને ૭નો ગુણાકાર કરી કુલ સંખ્યા નકકી કરવામાં આવે છે અને તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરવામાં આવે છે.
ભાજક અને ભાગના ગુણાકારની રકમ ભાજ્યની નીચે લખાય છે, તે બાદ જ કરવાની હોય છે, એટલે તેની નીચે
– આવું બાદબાકીનું ચિહ્ન ઘણું ભાગે મૂકવામાં આવતું નથી. ત્યાં આટલું જ લખાય છે કે
૫) ૩૫ (૭
૩પ
૦૦ એક વસ્તુ કે વસ્તુસમૂહમાંથી અમુક પ્રમાણમાં ભાગ લીધા કરીએ તે કેટલી વાર લઈ શકાય ? એ પ્રશ્નને ઉત્તર બાદબાકીથી પણ સાપડે છે. જેમકે – પહેલી વાર ૩૫ – ૫ = ૩૦ બીજી વાર ૩૦ – ૫ = ૨૫ ત્રીજી વાર ૨૫ – ૫ = ૨૦ ૧૦
Page #180
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૪૬
ચાથી વાર પાંચમી વાર
છઠ્ઠી વાર સાતમી વાર
૨૦-૫- ૧૫
૧૫ - ૫ = ૧૦
૧૦
૫= ૧
૫ - ૫ = O
ગણિત-સિદ્ધિ
આ ખાદ્યબાકી પરથી એવા નિ ય થઈ શકે કે ૩૫ માથી ૫ ની સંખ્યા લીધા કરીએ તેા ૭ વાર લઈ શકાય અને પછી કઈ બાકી રહે નહિ, અર્થાત્ ત્યાં શૂન્ય જ રહે.
આ જ વસ્તુ ભાગાકારમા સ કેતરૂપે ગાઠવાયેલી છે. તેમાં ૩૫ની સંખ્યા વચ્ચે મૂકી છે, તેના અથ એ છે કે આ સ ખ્યામાથી ભાગ લીધા કરવાના છે. ગણિતજ્ઞોએ તેને માટે ‘ ભાજ્ય ’ ની સંજ્ઞા મુકરર કરી છે. ભાજય એટલે ભાગવા ચેાગ્ય સંખ્યા. હવે ૩૫ની સંખ્યામાથી કેટલા પ્રમાણમાં ભાગ લેવાને છે ? તે ડાબી બાજુ પના આક મૂકીને બતાવ્યું છે. ગણિતજ્ઞોએ તેને ‘ ભાજક ’ની સંજ્ઞા આપી છે. ભાજક એટલે ભાગનાર.
હવે જેટલી વખત ભાગ લઈ શકાતા હૈાય તે જમણી માજી લખવામા આવે છે. એ રીતે ઉપરના દાખલામા છને આક જમણી બાજુ મૂકાયેલા છે. તેને ગણિતજ્ઞોએ ‘ભાગ’ કે ‘ ભાગફળ’ની સંજ્ઞા આપી છે.
આ રીતે ભાગ ચલાવતાં જે સંખ્યા વધે તેને ગણિતજ્ઞોએ ૮ શેષ ’ની સ’જ્ઞા આપેલી છે. અહીં સખ્યા વધતી નથી, એટલે ॰ મૂકેલુ છે. તેનેજ ઔપચારિક રીતે શેષસંખ્યા કે શેષ સમજવાની છે.
હવે ઉપરના ભાગાકારને સ’જ્ઞાથી વિભૂષિત કરીએ, તા તેનું સ્પષ્ટ ચિત્ર મનમાં અક્તિ થઈ જશે.
Page #181
--------------------------------------------------------------------------
________________
ભાગાકારની મૂળ ભૂમિકા
૧૪૭ ભાજ્ય ભાજક ૫) ૩૫ (૭ ભાગ
૩૫
૦૦ શેષસંખ્યા કે શેષ આ સંજ્ઞાઓ બરાબર યાદ રાખવી ઘટે, કારણ કે ભાગાકારના વિષયમાં તેને ઉપગ વારંવાર થવાને દરેક શાસ્ત્રને દરેક વિષચને પોતાની વિશિષ્ટ પરિભાષા હોય છે, તેમ ગણિતને પણ પિતાની વિશિષ્ટ પરિભાષા છે, તે ભૂલવાનું નથી.
કેટલાક કહે છે કે સરવાળે ઠીક, બાદબાકી ઠીક અને ગુણાકાર પણ ઠીક, પરંતુ ભાગાકારનું કામ ઘણું માથાફેડિયું. તેમાંયે આઠ–દશ આંકડાનો ભાગાકાર હોય અને ભાજક કેક મોટો હોય તે માથું પાકી જાય. પરંતુ વાસ્તવમાં આવું કંઈ નથી. એક વાર ભાગાકારની પદ્ધતિ જાણી લીધી, તેને છેડા મહાવરો પાડ્યો અને તેની કેટલીક ટૂંકી અને સહેલી રીતે હાથ કરી લીધી કે ભાગાકારની ગાડી બરાબર પાટે ચાલવાની. તેમાં માથાકૂટ જેવું કંઈ રહેવાનું નહિ.
જે તમે ભાગાકારથી ભડક્યા, તે તમારું કામ ગૂંચમાં પડશે અને કેટલીક બાબતેને ઉકેલ તે આવી શકશે જ નહિ. દાખલા તરીકે તમારે ૫૦૦ કિલે માલમાંથી ૧૫૦ ગ્રામના પેકેટ કરવા હોય તે, તે પેકેટની સંખ્યા જાણવા માટે ભાગાકાર જ માંડવો પડે અથવા રૂ. ૨,૩૫,૬૨૦ની રકમને ૭ ભાગીદાર વચ્ચે સરખા હિસે વહેંચવી હોય તો
Page #182
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૪૮
ગણિતસિદ્ધિ ત્યાં ભાગાકારનો જ આશ્રય લેવો પડે. અહીં સરવાળા, બાદબાકી કે ગુણાકાર તમને સીધી મદદ કરી શકે નહિ, તે પછી ભાગાકારને વ્યવહારસિદ્ધિનું એક ઉત્તમ સાધન માની તેની સાથે દોસ્તી કરવી શું ખોટી?
તમે આઠ-દશ આંકડાની તથા મોટા ભાજકની વાત કરી, પણ આ ભાગાકાર અભ્યાસ થયા પછી માત્ર એક કે બે મીનીટમાં જ તૈયાર થઈ શકે છે. જેમકે –
૧૧૨) ર૩પ૬૨૦૮ર૬૪ (૨૧૦૩૭પ૭૩
૨૨૪
૧૧૬ ૧૧૨
૪૨૦
396
८४८ ૭૮૪
૬૪૨
પ૬૦
७८४
૪ર૪ ૩૩૬ ૮૮
Page #183
--------------------------------------------------------------------------
________________
ભાગાકારની મૂળ ભૂમિકા
૧૪૯
પ્રથમ ભાગ ચલાવ્યા પછી ભાન્યની રકમમાંથી જે આંકડા નીચે ઉતારવામાં આવે તેના માથે ઊભી લીટી મૂકાય છે. કેટલાક ઝીણુ ટપકું પણ મૂકે છે. એથી દરેક આંક ક્રમશઃ નીચે ઉતારવામાં અનુકૂળતા રહે છે અને કોઈ આંક ભૂલી જવાતા નથી. વિશેષ અભ્યાસ થયા પછી આવું ચિહ્ન ન મૂકીએ તે પણ ચાલે, પરંતુ ભાગાકાર માટે હોય ત્યાં આવું ચિહ્ન અવશ્ય મૂકવું નેઈ એ.
સરવાળાનું ચિહ્ન (+) ઊભી ચેાકડી છે, માદખાકીનુ ચિહ્ન ( ~) આડી લીટી છે, અને ગુણાકારનું ચિહ્ન ( × ) આડી ચેાકડી છે; તેમ ભાગાકારનું ચિહ્ન (-) આડી લીટી તથા તેની ઉપર અને નીચે એ ટપકાં છે.
જ્યારે એ સ’ખ્યાઓની વચ્ચે આવું ચિહ્ન મૂકાય, ત્યારે સમજવાનું કે પ્રથમની રકમને બીજી રકમ વડે ભાગવાની છે. જેમકે ૨૭૧૯ એટલે ૨૭ એ ભાજ્ય છે અને ૯ એ ભાજક છે. તેની આગળ ઘણી વાર ખરાખરનું – આવુ' ચિહ્ન કરવામાં આવે છે. તે એટલા માટે કે ત્યાર પછી તરત જ તેને જવાબ લખેલેા હાય છે • જેમકે ૨૭ - ૯ = ૩. -
સરવાળા અને ગુણાકારની જેમ ભાગાકારની પણ ટૂંકી અને સહેલી રીતેા છે, તે હવે પછીના પ્રકરણમાં આપેલી છે.
5
Page #184
--------------------------------------------------------------------------
________________
[ ૧૮ ] ભાગાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતો
ગત પ્રકરણમાં જણાવ્યા મુજબ અહીં ભાગાકારની કેટલીક સહેલી રીતે આપવામાં આવી છે.
૧–પાંચ વડે ભાગવાની રીત કઈ રકમને પ વડે ભાગવાનું કામ અઘરું નથી. દાખલા તરીકે ૧૩પ ને પ થી ભાગવા હેય તો તમે સહેલાઈથી ભાગી શકે છે. ત્યાં નીચે પ્રમાણે પદો માંડવાનાં :
૫) ૧૩૫ (૨૭
૧૦
૩૫
૩પ
૦૦ ૨૭ જવાબ. જે અભ્યાસ હેય તે તમે આ ભાગાકાર મેથી ગણું શકે અને તેનો જવાબ તરત આપી શકે. પરંતુ આ રીતે પદે માંડવાં ન હોય અને તેને જવાબ ઝડપથી મેઢે
Page #185
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૫૧
ભાગાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
આપવો હોય તે એટલું જ કરવાનું કે ભાજ્ય સંખ્યાને બમણી કરી નાખવાની અને તેની પાછળનું શૂન્ય ઉડાવી દેવાનું. તેનું કારણ સમજ્યા ? કઈ પણ સંખ્યાને બમણી કરીને ૧૦ વડે ભાગીએ તે તેનું પરિણામ ૫ વડે ભાગ્યા બરાબર જ આવે છે. આ રીતે અહીં ૧૩૫ × ૨ = ૨૭૦ થાય અને પાછલું શૂન્ય ઉડાવી દેતાં જવાબ ર૭ આવે. પ્રથમ કરતા આ રીત ટૂંકી છે, કારણ કે આમાં માત્ર ભાજ્ય રકમને બમણી કરવાની છે. પાછળનું શૂન્ય ઉડાવવામાં કંઈ જ મહેનત નથી.
હવે આ રીતે ૨૨૫ ને પ વડે ભાગી જુઓ, એટલે તેમાં રહેલી સરલતા સમજાશે ૨૨૫ ૪૨ = ૪૫૦ = ૪૫. બસ, જવાબ આવી ગયે. જે તેને ચાલુ પદ્ધતિએ ગયે હત કે એ રીતે મનમાં ગણતરી કરી હેત તે તમારે જરૂર વધારે પદો માંડવા પડ્યા હોત. જેમકે–
૫) ૨૨૫ (૪૫
૨૫
પરંતુ આ તે ત્રણ અકની સંખ્યા છે. જે એ સંખ્યા ચાર, પાંચ કે છ અંકની હોય તે આ બીજી રીતની પ્રશંસા કર્યા વિના ચાલે જ નહિ. જેમકે-૬૫૩૭૫ કપ તે–
Page #186
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૫૨
ગણિત-સિદ્ધિ ટૂંકી રીત
ચાલુ પદ્ધતિ
૫) ૬પ૩૭૫ (૧૩૦૭૫
૧૫ ૬૫૩૭૫ ૪૨ = ૧૩૦૭૫૦ = ૧૩૦૭૫. ૧૫ ૩૭
૩૫
૨-પંદર વડે ભાગવાની રીત કેઈ પણ સંખ્યાને ૧૫ વડે ભાગવી હોય તે તેને બેવડી કરીને ૩૦ વડે ભાગીએ તે પણ પરિણામ એ જ આવે. જેમકે –
૧૫) ૧૮૦ (૧૨
૧૫
૩૦
૧૮૦ x ૨ = ૩૬૦ - ૩૦ = ૧ર અહીં સ્પષ્ટ દેખાય છે કે બીજી રીત પહેલાં કરતાં
Page #187
--------------------------------------------------------------------------
________________
ભાગાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
૧૫૩, સહેલી છે, કારણ કે તેમાં શૂન્યાંત સંખ્યાને શૂન્યાંત સંખ્યા વડે ભાગવાની આવે છે. અહીં બીજો એક દાખલો બને રીતે ગણેલે છે, તે જેવાથી તમને આ વસ્તુની વધારે આતરી થશે.
ચાલુ પદ્ધતિ ૧૫) ૩૬૨૨ (૨૪૧૫ ૩૦
ટૂંકી રીત
૬૨ ૩૬ ૨૨૫ × ૨ = ૭૨૪૫૦ - ૩૦ = ૨૪૧૫
૨૨
૧૫
૭૫
અહીં ૭૨૪૫૦ – ૩૦ ને ૭ર૪પ – ૩ કરી નાખવી, એટલે કામમાં વધારે સરલતા રહેશે. જેને ૩ વડે મૌખિક ભાગાકાર કરવાને અભ્યાસ છે, તેઓ તે અહીં મનથી આટલાં જ પદ માંડશેઃ 93 33
૭૨ અને ૪પ એ બને સંvયાએ ૩ વડે ભાજ્ય છે, એટલે મનમાં એ પ્રશ્ન કરવાને કે કેટલા તેરી બેતેર ?” તેને જવાબ તરત મળવાને કે બચવીશ તેરી બોતેર.” અને કેટલા તેરી પીસ્તાળીશ? એનો જવાબ તરત જ મળવાને
Page #188
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૫૪
ગણિત-સિદ્ધિ કે પંદર તેરી પીસ્તાલીશ” અહીં પણ આંક ઘણા ઉપયોગી. નીવડે છે.
૩–સાડાસાત વડે ભાગવાની રીત કોઈ પણ સંખ્યાને છડુ વડે ભાગવી હોય તે તેના અપૂર્ણાંક ૧પ કરી તેને અવળી કરવામાં આવે છે, તેનો અર્થ એ છે કે ભાજ્ય રકમને ૨ વડે ગુણવી અને ૧૫ વડે ભાગવી, એટલે તેને જવાબ ૭ થી ગુણ્યા બરાબર આવે. જેમકે—–
૩૦ - ૭
= = ૪ ૫ = = ૪ પરતુ આવો દાખલો ગણવાની સહેલી રીત એ છે કે ભાજ્ય સંખ્યાને ૪ વડે ગુણવી અને તેને ૩૦ વડે ભાગવી. તેનું પરિણામ ૭ વડે ભાગ્યા બરાબર જ આવે. આ રીતે અહીં ૩૦ ૪૪ == ૧૨૦ - ૩૦ = ૪ એ મૌખિક જવાબ ઘણું ઝડપથી આપી શકાશે.
ધારે કે ૧૩૩પ ને વડે ભાગવા છે, તે બમણુ. કરીને પંદર વડે ભાગવામાં મહેનત છે. જેમકે ૨૬૭૦ - ૧૫. આને મૌખિક ભાગાકાર કરતાં ત્રણ પદ માંડવા પડે અને તેમાં ઘણું સાવધાની રાખવી પડે. તેના કરતાં પ૩૪૦ કરીને ૩૦ થી ભાગવા શું ખાટા ? એમાં ખરી રીતે તે પ૩૪ ને ૩ વડે જ ભાગવાના છે અને તે સહેલાઈથી ભાગી શકાય છે. એ રીતે તેને જવાબ ૧૭૮ આવવાને.
Page #189
--------------------------------------------------------------------------
________________
ભાગાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
૧૫૫:
ભાગાકારમાં ઘણી વખત શેષ વધતા હાય છે. તેવી રકમને પણ ૭૧ વડે આ જ રીતે ભાગી શકાય. જેમકે ૨૭પ ને છણા વડે ભાગવા છે, તા-~~
ચાલુ પદ્ધતિ
૨૭૫ -
- ૨૭૫
=
૭
૧૫
૫ × વ
=
૫૫ = ૧૩૦ = ૩૬
ટ્રંકી રીત
૨૭૫ ૪ ૪ = ૧૧૦૦ - ૩૦ = ૧૧૦ × ૩ = ૩૬ ૪-સાડા બાર વડે ભાગવાની રીત
કોઈ પણ સંખ્યાને સાડા બાર વડે ભાગવાનું કામ કઠિન તેા છે જ, પણ તેને સરલ અનાવવુ હાય તે બનાવી શકાય છે. તે માટે આટલુ' જ કરવાનું કે ભાજ્ય રકમને ૮ વડે ગુણુવી અને તેને ૧૦૦ વડે ભાગવી. આઠ વડે ગુણવાનુ કામ સહેલુ છે અને ૧૦૦ વડે ભાગવાનું કામ તા તેથી પણ સહેલુ છે. તે ભાજ્ય રકમના છેડે બે શૂન્ય હાય તા તેને ઉડાવી દેવાથી જ ૧૦૦ ના ભાગાકાર થઈ જાય છે. આ રીતે ૪૫૦ ને ૧૨ વડે ભાગવા હાય તેા આ પ્રમાણે ભાગી શકાય :
૪૫૦ x ૮ = ૩૬૦૦
૧૦૦ = ૩૬
અથવા ૧૪૦૦ ને ૧૨ વડે ભાગવા હાય તો આ પ્રમાણે ભાગી શકાય ઃ
Page #190
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૫૬
ગણિત-સિદ્ધિ ૧૪૦૦ ૪ ૮ = ૧૧૨૦૦ - ૧૦૦ = ૧૧૨ શું ચાલુ પદ્ધતિના ભાગાકાર કરતાં આમાં સરળતા નથી?
અહીં ૨૩૫ તથા ૨૭૦ ની સંખ્યાઓને આ રીત પ્રમાણે ૧૨૩ થી ભાગી બતાવી છે :
ર૩૫ ૪૮ = ૧૮૮૦ * ૧૦૦ = ૧૮૦ = ૧૮. ર૭૦ ૪૮= ૨૧૬૦ – ૧૦૦ = ૨૧ = ૨૧૨
આ રીત ચાલુ પદ્ધતિ કરતાં વધારે સરસ છે અને જવાબ ઝડપથી લાવી શકે છે.
પ–સાડી સાડત્રીશ વડે ભાગવાની રીત
કેઈ પણ સંખ્યાને ૫, ૧૫, ૭ અને ૧૨ વડે કેમ ભાગવી? તે જોઈ ગયા. તેમાં જે પ્રકારની રીતે અજમાવી છે, તેવી જ રીત ૩૭ વડે ભાગવામાં અજમાવવાની છે. ૩૦૦ = ૮ = ૩૭ એ પરથી એટલું નક્કી કે કઈ પણ સંખ્યાને ૮ વડે ગુણીને ૩૦૦ વડે ભાગીએ તે તેનું પરિણામ ૩૭૩ વડે ભાગ્યા બરાબર આવે. દાખલા તરીકે ૭પ ને ૩૭ થી ભાગીએ તો જવાબમાં ૨ આવે છે અને ૭૫ ને ૮ વડે ગુણી ૬૦૦ બનાવીએ અને ૩૦૦ વડે ભાગીએ તે પણ જવાબ ૨ જ આવે છે. મુગ્ય વાત એ છે કે ભાજ્ય તથા ભાજકને જો દશના પાયાવાળી રકમમાં પરિણુત કરીએ તો આપણું કામ સરલ બની જાય છે. તે માટે જ અહીં ૮ થી ગુણીને ૩૦૦ વડે ભાગવાની હિમાયત કરવામાં આવી છે. નીચેના બે દાખલાઓમાં પણ આ રીતની અજમાયશ
Page #191
--------------------------------------------------------------------------
________________
ભાગાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીત
૧૫૭* કરી છે, તે જુએ, એટલે તેમાં રહેલી સરલતા તરત. ધ્યાનમાં આવશે. (૧) ૧૩૫૦ – ૩૭
૧૩પ૦ % ૮ = ૧૦૮૦૦ = ૩૦૦ = ૩૬ (૨) ૨૦૫૦ - ૩૭
૨૦૫૦ ૪ ૮ = ૧૬૪૦૦ – ૩૦૦ =૧૪ss=
૫૪૩ બળદગાડી કામ આપતી હતી, પણ તે ધીમી લાગી, એટલે લેકેએ ઘોડાગાડી શેધી કાઢી; અને ઘોડાગાડી ધીમી લાગી ત્યારે આગગાડી શોધી કાઢી. વળી આગગાડી ધીમી લાગી ત્યારે મેટર સુધી પહોંચ્યા. એટલે એક રીત લાંબી કે કઠિન લાગતી હોય તે ટૂંકી અને સહેલી રીત શેધી કાઢવાનો પ્રયત્ન કરવા જોઈએ. તેમાં જ માનવપુરુષાર્થની સાર્થકતા છે.
દ-સાડી બાસઠ વડે ભાગવાની રીત
તમે કહેશે કે ૩૭૩ તો ઠીક, પણ દ૨૩ વડે ભાગવાનું કામ ખરેખર કઠિન છે ! પરંતુ બુદ્ધિમાન મનુષ્યએ તેને પણ ઉપાય શો છે. જેમ હિંગાષ્ટક ચૂર્ણ અજીર્ણ, અપચો તથા અરુચિ દૂર કરીને ભૂખ જગાડે છે, તેમ આ ઉપાય દ૨૩ ના ભાગાકારમાં રહેલી કઠિનાઈ દૂર કરીને તેને માર્ગ સરલ બનાવી દે છે એ તો તમે કબૂલ કરશે કે ૫૦૦ + ૮ = ૬૨, એટલે કે ઈપણ રકમને ૮ વડે ગુણુએ
-
Page #192
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૫૮
ગણિત-સિદ્ધિ અને ૫૦૦ વડે ભાગીએ તે તેનું પરિણામ ૨૩ વડે ભાગ્યા બરાબર આવે.
દાખલા તરીકે ૧૨૫ને ૬૩ વડે ભાગીએ તે જવાબમાં ૨ આવે છે અને તેને ૧૨૫ ૪૮ = ૧૦૦૦ કરીને ૫૦૦ વડે ભાગીએ તો પણ જવાબમાં ૨ જ આવે છે. પરંતુ પ્રથમની રીત કરતાં બીજી રીતમાં સરલતા રહેલી છે અને તે જ કારણે અમે તેનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરીએ છીએ. - દાખલો • ૯૩૭૭ ને ૬૨ વડે ભાગે.
આ દાખલામાં નીચેનાં પદે મંડાશે : ૩૭ ૪ ૮ = ૭૫૦૦-૫૦૦ = ૧૫
શું આમાં પ્રથમની રીત કરતાં સરલતા નથી ? -દાખલે : ૪૦૫૦ ને દર વડે ભાગે.
આ દાખલામા નીચેનાં પદો મંડાશેઃ ૪૦૪૫ ૪૮= ૩ર૩૬૦ = ૧૦૦ = ૪ = ૬૪ ૭-એક સે સાડી બાર વડે ભાગવાની રીત
આંકડો એકદમ મટો જોઈને મુંઝાવાની જરૂર નથી. તેને માટે પણ એક સહેલી રીત નિર્માણ કરવામાં આવી છે. કિઈ પણ સંખ્યાને ૮ વડે ગુણીએ અને ૯૦૦ વડે ભાગીએ તે તેનું પરિણામ તેને ૧૧૨૩ વડે ભાગ્યા બરાબર આવે. ૯૦૦ + ૮ = ૧૧૨ એ તેને સીધો હિસાબ છે. આ રીતે (૩૮૨૫ને ૧૧ર વડે ભાગવા હોય તે આ રીતે ભગાશેઃ
૩૮૨૫ ૪ ૮ = ૩૦૬૦૦ + ૯૦૦ = ૩૪.
.
'
*
"
અ
Page #193
--------------------------------------------------------------------------
________________
ભાગાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
૧૫૯
આમાં કોઈ મુશ્કેલી કે અગવડ નડી ખરી ? હજી એક બીજો હિસાઞ આ રીતે ગણી જુએ. ૧૭૭૫ – ૧૧૨ૐ,
-
૧૭૭૫ ૪ ૮ = ૧૪૨૦૦ - ૯૦૦ = ૧૫૦૦ = ૧૫૬.
-
ખરેખર 1 આ રીત ટૂંકી અને સહેલી છે, ૮-સાય—ભાજક અસણા કરવાની રીત આપણા રોજિંદા વ્યવહારમાં ઘણીએ વખત ૧, ૨, ૩, ૪, ૫ આદિ વડે ભાગવાના પ્રસંગે। આવે છે. ત્યાં કેટલાક મુંઝવણ અનુભવે છે, પણ આ પ્રકારના ભાગાકારાને એવડાની રીતથી સહેલા મનાવી શકાય છે. એવડાની રીત એટલે ભાન્ય તથા ભાજક અનેને એવડા કરી નાખવા. આથી ભાજકના છેડે રહેલ " નું વળગણ દૂર થઈ જાય છે અને ભાગવામાં સરલતા રહે છે. જેમકે
(૧) ૩૬ – ૧૧ તે
૩૬ X ૨ = ૭૨ - ૩ = ૨૪.
(૨) ૮૧ – ૧૧ તે
-
૮૧ ૪ ૨ = ૧૬૨ - ૩ = ૫૪.
તા
(૩) ૨૭o - ૨ ૨૭ ૪ ૨ = ૫૫
(૪) ૩૭૧ - ૨
તા
૩૭ × ૨ = ૭૫ – ૫ = ૧૫.
૫ - ૧૧.
(૫) ૨૮ – ૩૧ તે
૨૮ ૪ ૨ =
૫ = ૭ = ૮.
Page #194
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૬૦
ગણિત-સિદ્ધિ (૬) ૨૧૭ - ૩ તે
૨૧૭ ૪ ૨ = ૪૩૪ - ૭ = ૬૨. (૭) ૪૦ ૪; તો
૪૦૩ ૪ ૨ = ૮૧ ૬ ૯ = ૯. (૮) ૯૯ – ૪૩ તો
૯ × ૨ = ૧૯૮ – ૯ = ૨૨. (૯) ૨૪ર = પડું તો
૨૪૨ ૪ ૨ = ૪૮૪ – ૧૧ = ૪૪.
કેઈ પણ સંખ્યાને ૧૩, ૨૩, ૩૩ વગેરે વડે બીજી રીતે પણ સરલતાથી ભાગી શકાય છે. જેમકે કેઈ રકમને ૧૩ વડે ભાગવી છે, તે ભાત્યને ૩ વડે ભાગવા અને ૨ થી ગુણવા જે સંખ્યા ૩ થી ભાજ્ય હોય ત્યાં આ રીત ખૂબ સહેલી પડે છે. દાખલા તરીકે ફ઼ ને ૧૩ વડે ભાગવા છે, તો ૭ – ૩ = ૨ ૪ ૨ = ૫. ૩૦ ને ૧૩ વડે ભાગવા છે, તે ૩૦ – ૩ = ૧૦ x ૨ = ૨૦.
૨૩ એ ૧૦ નો ચોથો ભાગ હોવાથી કેઈ પણ રકમને ૪ વડે ગુણીને ૧૦ વડે ભાગીએ તે પણ પરિણામ ૨૩ વડે - ભાગવા બરાબર આવે છે. દાખલા તરીકે ૩૭ - ૨૩ વડે ભાગવાના છે તે ૩૭ = ૪ = ૨૫૦ - ૧૦ = ૧૫ ૧૦૫ ને. ૨૩ વડે ભાગવા છે, તે ૧૦૫ ૪૪ = ૪ર૦ – ૧૦ = ૪૨.
કેઈ સખ્યાને ૭ વડે ભાગીને ૨ વડે ગુણીએ તે. પરિણામ ૩૩ જેટલું જ આવે. જે ભાજ્ય સંખ્યા ૭ થી.
Page #195
--------------------------------------------------------------------------
________________
ભાગાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતો ભાગી શકાય એવી હોય તે આ રીત જરૂર અજમાવવી. જેમકે–૩૬૪ ને ૩૩ વડે ભાગવા છે, તે
૩૬૪ - ૭ = પર X ૨ = ૧૦૪. ૪૩૪ - ૩૩ તો ૪૩૪ - ૭ = ૬૨ ૪ ૨ = ૧૨૪. ૯-ભાજ્ય–ભાજકને અરધા કરવાની રીત
ભાગાકારની સરલતા ખાતર ભાજ્ય–ભાજકને બમણું કરવાની રીત જોઈ ગયા. હવે ભાગાકારને સરલ બનાવવા માટે તેનાથી ઉલટી એટલે ભાજ્ય-ભાજને અરધા કરવાની રીત જોઈએ.
૧૧૨ ને ૧૪ વડે ભાગવાના હોય તેના કરતાં પદ ને ૭ વડે ભાગવાનું કામ સરલ કે નહિ ? ૫૬ – ૭ = ૮. તે જ રીતે ૧૨ ને ૨૪ વડે ભાગવા કરતાં ૬ ને ૧૨ વડે ભાગવાનું કામ સરલ કે નહિ ? ૯૬ – ૧૨ = ૮. વળી ૯૬ ને ૧ર વડે ભાગીએ તેના કરતાં ૪૮ ને ૬ વડે ભાગવાનું હોય છે તેથી પણ સરલ પડે. ૪૮- ૬ = ૮. અને ૨૪ ને ૩ વડે ભાગવાના હોય તો તેને જવાબ આપતાં જરાય વિલંબ થાય નહિ. ૨૪ – ૩ = ૮. એટલે અરધાન અરધા અને તેના પણ અરધા થતા હોય ત્યાં સુધી કરતા જવું અને છેવટે જે સંખ્યા આવે તેને ભાગાકાર કરે, એ વધારે સગવડભરેલું છે.
૧૨૬૭૨ ને ૬૪ વડે ભાગવા હોય તે તમે કાગળપિનસીલની સહાય લીધા વિના માત્ર મૌખિક ગણતરીથી ભાગી શકે ખરા? ઘણું શેડા જણ આવી હિંમત કરશે.
૧૧
Page #196
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ પરંતુ નીચે પ્રમાણે ભાજ્ય-ભાજકને અરધા કરતા જાઓ તે કામ સાવ સહેલું બની જશે. જેમકે–
૧૨૬૭૨ - ૨૪
૩૧૬૮ - ૧૬ ૧૫૮૪ - ૮
૭૯૨ – ૪
૩૯૬ – અહીં તમે તરત જ જવાબ આપી દેશે : ૧૯૮. ૧૦-ભાજ્ય-ભાજન ઘટાડવાની રીત
ભાજ્ય–ભાજને અરધા કરવાની રીત જોઈ ગયા હવે તેને જ મળતી બીજી રીત જોઈએ. તેમાં ભાજ્ય અને ભાજક રકમેનો સગો અનુસાર ત્રીજે, ચે કે પાંચમે ભાગ કરવાનો હોય છે. દાખલા તરીકે ૪૯૫ ને ૩૩ વડે ભાગવાના હોય તે બંનેને ત્રીજો ભાગ કરે તે ૧૬૫ અને ૧૧ આવે. પછીનું કામ સહેલું છે. તાત્પર્ય કે તેના જવાબમાં તમે ૧પ ની સંખ્યા તરત જ રજૂ કરી શકે.
અથવા ૧૨૯૯ને ૨૭ થી ભાગવા હોય તે કામ કઠિન લાગે, પણ તે બનેને ૩ વડે ભાગીએ તે ૪૩૨ અને ૯ આવે. પછી તેનો જવાબ આપતાં વાર લાગે ખરી? ૪૩૨ = ૯= ૪૮ એમ તરત કહી શકે.
જે ૧ર૭૬ ને ૪૪ થી ભાગવા હોય તે ભાજ્ય અને
Page #197
--------------------------------------------------------------------------
________________
ભાગાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
૧૬૩ ભાજક બંનેને ચે ભાગ કરે. અહીં ૪૪ ની સંખ્યા પ્રથમ નજરે જ ૪ વડે ભગાય એવી લાગે છે અને ૧૨૭૬ ના છેલ્લા બે અંકે ૪ વડે ભાજ્ય હેવાથી તેને પણ એ ભાગ થઈ શકે એવો છે. આ રીતે અહીં ૩૧૯ અને ૧૧ આવે. પછી તેને ભાગાકાર કરવામાં કંઈ જ તકલીફ નથી. તેના જવાબમાં તરત જ ૨૯ રજૂ કરી શકીએ.
અથવા ૧૨૪૮ ને પર થી ભાગવા હેચ તે ભાજ્ય અને ભાજકને ચે ભાગ કરે. તે ૩૧૨ અને ૧૩ આવે. તેને ભાગાકાર તરત જ થઈ શકે. ૩૧૨ ૧૩ = ૨૪.
જે ૧૯૪૫ને રૂપથી ભાગવા હોય તે બંનેનો પાંચમે ભાગ કરવો અને પછી ભાગાકાર કરે, એ વધારે સહેલું છે. આ રીતે ૧૬૪૫ ના ૩ર૯ અને ૩૫ ના ૭ આવે. શું ૩ર૯ની સંખ્યાને તમે ૭ વડે સહેલાઈથી ભાગી ન શકે? ૩૨૯ - ૭ = ૪૭.
આ રીતે સંગ અનુસાર ભાજ્ય તથા ભાજકને ઘટાડવાથી ભાગાકારનું કામ સહેલું બને છે, એટલે જ્યાં એવી શક્યતા હોય ત્યાં આ રીત અવશ્ય અજમાવવી.
૧૧-અવયવથી ભાગવાની રીત અવયવથી ગુણાકાર કરતાં ગુણવાનું કામ સહેલું બને છે, તેમ અવયવથી ભાગાકાર કરતાં ભાગવાનું કામ સહેલું બને છે. એક સંખ્યાને ૨૪થી ભાગીએ તેના કરતા ૪ વડે ભાગીએ એ કામ સહેલું તે ખરૂં જ ને? પછી ૬ વડે ભાગીએ એમાં પણ એટલી જ સરલતા છે. ધારો કે ૩૨૬૪
Page #198
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૬૪
ગણિત-સિદ્ધિ
ને ૨૪ વડે ભાગવા છે, તે ચાલ પદ્ધતિ અને અવયવની રીત બંનેની અજમાયશ કરી જુઓ, એટલે બીજી રીતની સરલતા તમારા ધ્યાનમાં આવી જશે. ચાલુ પદ્ધતિ
અવયવની રીત ૨૪) ૩૨૬૪ ( ૧૩૬ ૪) ૩૨૬૪ ( ૮૧૬ ૨૪
૬ ) ૮૧૬ ( ૧૩૬ જવાબ
192
૧૪૪ ૧૪૪
૦૦૦ ધારો કે ભાજક સંખ્યા ૬૪ છે, તે ત્યાં ૬૪ વડે ભાગે તેના કરતાં ૮ વડે બે વાર ભાગે તે શું ખોટું ? ત્યાં તમારે આટલું જ કરવાનું કેઃ
( ૮ ) ૪૫૪૪ (પ૬૮
( ૮ ) પ૬૮ ( ૭૧ જવાબ શું આમાં ચાલુ પદ્ધતિ કરતાં સરલતા નથી?
હજી એક બીજો દાખલો જુઓ. તેમાં ૧૦૨૪૮૭ ને ૧૩૩૧ થી ભાગવાના છે, તે ત્યાં સીધો ભાગાકાર માંડતા તમે જરૂર વિચારમાં પડશે. કેટલાક માથું પણ ખજવાળશે, પરંતુ અહીં અવયવો ઉપગ કરે તે બધી કઠિનાઈ દૂર થઈ જશે અને કામ સહેલું સટ બની જશે. ૧૧ ૪ ૧૧ ક
Page #199
--------------------------------------------------------------------------
________________
ભાગાકારની ટૂંકી અને સહેલી રીતે
૧૬૫ ૧૧ = ૧૩૩૧ એટલે ૧૦૨૪૮૭ ને ત્રણ વખત ૧૧ થી ભાગવા જોઈએ. તે આ રીતે ભગાશે :
૧૧ ) ૧૦૨૪૮૭ ( ૯૧૭ ૧૧ ) ૯૩૧૭ ( ૮૪૭
૧૧ ) ૮૪૭ ( ૭૭ જવાબ. એક જ સંખ્યાના ઘણા અવયવો પડતા હોય ત્યાં ક્ય અવયવ વધારે અનુકૂળ પડશે, એને નિર્ણય કરી લેવામાં જ ખરી બહેશી છે. અહીં એટલું ધ્યાન રાખવું કે પ્રથમ નાના અવયવથી ભાગવા અને પછી મોટા અવયવથી ભાગવા, તો ભાગાકારમાં વધારે સરળતા રહે. દાખલા તરીકે ૩ર૬૪ ને ૨૪ વડે ભાગવાના હતા, ત્યાં જ અને ૬ એવા બે અવચવે પાડીને કામ લીધું. અહીં ૬ અને ૪ એવા અવય પડી શકે અને ઘણું ખરા એ જ પ્રમાણે પાડે, પણ આ રીતે ભાગાકાર કરી જોવાથી જ ખબર પડશે કે એમાં કઈ રીત વધારે સહેલી છે ?
૬ ) ૩૨૬૪ ( પ૪૪
૪ ) ૫૪૪ ( ૧૩૬ પર તુ અહીં એમ દેખાતું હોય કે અમુક અવયવ વડે પ્રથમ ભાગવાથી વધારે સરળતા રહેશે, તે તેમ કરવામાં કંઈ જ હરક્ત નથી. એ પ્રમાણે ભાગાકાર કરી શકાય છે.
Page #200
--------------------------------------------------------------------------
________________
[ ૧૮ ] ભાગાકાર અંગે વિશેષ
ભાગાકારની કેટલીક ટૂંકી અને સહેલી રીતે જોઈ ગયા. હવે બીજી કેટલીક બાબતો પર એક દષ્ટિપાત કરી લઈએ. અનુભવીઓએ કહ્યું છે કે “જેટલું નાહ્યા, તેટલું પુણ્ય.” અમે અહી એમ કહીએ છીએ કે “જેટલું શીખ્યા, તેટલુ લાભમા. કેઈ વાર તદ્દન નાની અને સામાન્ય દેખાતી રીત પણ આપણું કામ સરલ બનાવી દે છે.
ઘણી વાર ૧, ૨, ૩રૂ આદિ સંખ્યાઓ વડે ભાગવાના પ્રસંગ આવે છે, ત્યા આ રકમને અપૂર્ણાકનું પૂરું રૂપ આપીને ઉલટાવી નાખવી અને તેને ભાજ્ય સંખ્યા સાથે ગુણાકાર કરે, એટલે કામ સરલ બની જાય છે. દાખલા તરીકે ૨૦ ને ૧ વડે ભાગવા છે, તે ત્યાં આ પ્રમાણે પદ માંડવાં :
૨૦ - ૧ = ૨૦ - B = ' x ૬ = ૬૦ = ૧૬ જવાબ.
Page #201
--------------------------------------------------------------------------
________________
ભાગાકાર અંગે વિશેષ
૧૬૭ - અથવા ૧૮ ને ૨ વડે ભાગવા છે, તે આ પ્રમાણે પદે માંડવાં :
૧૮– ૨ = ૧૮ - ૬
= ૬ ૪ = કૃ = ૮ જવાબ
અથવા ૩૯ ને ૩ વડે ભાગવા છે, તે આ પ્રમાણે પદો માડવાં :
= ૩૯ – ૬
= x, x ૧ = ૧૨ જવાબ.
; તથા ના વળગણવાળા ભાગાકારે પણ આજ રીતે કરવાના. જેમકે ૧૨ ને ૧૩ વડે ભાગવા છે, તો
૧૨ – ૧૩ = ૧૨ –
અથવા ૧૬ ને ૨૩ વડે ભાગવા છે, તે - ૧૬ - ૨
= ૪૩ = ૬ = ૬.
આ બધા દાખલાઓ મૌખિક ગણી શકાય એવા છે. અહીં ૩ડુ તથા ૬૩ અંગે એટલું જણાવી દઈએ કે તેના ભાગાકારે તે ઘણા જ સહેલા છે. જ્યારે કેઈપણ સંખ્યાને ૩૩ વડે ભાગવી હોય ત્યારે તેને ૩ વડે ગુણને ૧૦ થી
Page #202
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૬૮
ગણિત-સિદ્ધિ
ભાગવી. જેમકે ૫૦ ને ૩ વડે ભાગવા છે, તો પ૦ x ૩ = ૧૫૦ - ૧૦ = ૧૫, અથવા ૬૦ ને ૩ વડે ગુણવા છે તે દ૪ ૩ = ૧૮૦ – ૧૦ = ૧૮ આજ રીતે ૬૩ વડે કઈ રકમને ભાગવી હોય તે તેને ૩ વડે ગુણીને ૨૦ વડે ભાગવી. જેમ કે ૪૦ ને રૂ વડે ભાગવા છે, તો ૪૦ x ૩ = ૧૨૦ - ૨૦ = ૬. અથવા ૭૦ને રૂ વડે ભાગવા છે, તે ૭૦ x ૩ = ૨૧૦ - ૨૦ = ૧૦ = ૧૦.
જ્યારે ભાગાકારમાં નીચે શૂન્ય વધે, ત્યારે એ ભાગાકાર નિશેષ કહેવાય છે, કારણ કે તેમાં ખરેખર કંઈ વધતું નથી. ત્યાં ૦ લખાય છે, તે માત્ર સમજવા માટે લખાય છે. દાખલા તરીકે ૨૪ને ૬ વડે ભાગીએ તો ભાગમાં જ આવે છે અને શેષમાં લખાય છે, તે એ નિઃશેષ ભાગાકાર કહેવાય.
આ જ વસ્તુને બીજી રીતે કહેવી હોય તો એમ કહી શકાય કે જ્યારે ભાજક વડે પૂરે ભાગ ચાલે, ત્યારે ભાગાકાર નિ શેષ બને છે. ૨૪ ને ૬ વડે ભાગતાં ભાગમાં ૪ આવે છે. તેનો અને દ નો ગુણાકાર કરીએ તે ૨૪ ની સંખ્યા આવે છે અહીં ભાજ્ય ૨૪ છે અને બાદ કરવાની રકમ પણ ૨૪ છે, એટલે પૂરે ભાગ ચાલે છે અને તે કારણે કંઈ શેષ રહેતું નથી
એક ભાગાકાર નિશેષ થશે કે કેમ ? તે જાણવાની કેટલીક તરકીબ છે. તે આ પ્રમાણે –..
Page #203
--------------------------------------------------------------------------
________________
ભાગાકાર અંગે વિશેષ
૧૬૯
(૧) જો ભાજક રકમ ૨ હાય અને ભાજ્ય રકમના છેડે બેકી અંક આવેલા હેય તા એ ભાગાકાર નિઃશેષ થાય. જેમ કે
૨ ) ૧૧૮ ( ૫૯
૧૦
૧૮
૧૮
૦૦
(૨) જો ભાજક રકમ ૩ હાય અને ભાજ્ય રકમના અધા અકાને સરવાળે કરતાં તેને ૩ વડે પૂરેપૂરા ભાગી શકાતા હાય તે! એ ભાગાકાર નિશેષ થાય જેમ કે
૩) ૨૭૯૧૫૬૪૨
અહીં આટલું કરવાનું = ૨ + ૭ + ૯ + ૧ + ૫ + + =2+0+ +9+4 + ૪ + ૨ = ૩૬ ૩૬ 3 = ૧૨ માટે આ ભાગાકાર નિશેષ થવાના. તે તમે ગણી જુએ.
(૩) જો ભાજક ૪ હાય અને ભાજ્ય રકમના છેડેના એ અકીને ૪ વડે ખરાખર ભાગી શકાતા હાય તે એ ભાગાકાર નિ:શેષ થાય. જેમ કે
૪) ૨૩૫૪૪
અહીં ૪૪ ની સંખ્યા ૪ વડે પૂરેપૂરી ભાજ્ય છે, એટલે ભાગાકાર નિઃશેષ થાય. જેમ કે
Page #204
--------------------------------------------------------------------------
________________
co
ગણિત-સિદ્ધિ
૪) ૨૩૫૪૪ (૫૮૮૬
૩૫
૩૪
३२
૨૪
(૪) જે ભાજ પ હેય અને ભાજ્ય સંખ્યાને છેડે ૫ કે ૦ હોય તે એ ભાગાકાર અવશ્ય નિઃશેષ થાય. જેમ કે
૫) ૧૭૭૫ ( ૩૫૫ ૫ ) ર૧૮૦ ( ૪૩૬ ૧૫
૨૦
૨૭
૨૫
૩૦
(૫) જે ભાજક ૬ હેાય અને ભાજ્ય સંખ્યાના બધા.
Page #205
--------------------------------------------------------------------------
________________
ભાગાકાર અંગે વિશેષ
૧૭૨
અકાના સરવાળા ૬ વડે પૂરેપૂરા ભાગી શકાતા હોય અથવા ૩ વડે ભાગી શકાતા હાય પણ છેડે એકી અક હાય તા એ ભાગાકાર નિ:શેષ આવે. જેમ કે
૬ ) ૭૨૩૮૪
અહી. ૭ + ૨ + ૩ + ૮ + ૪ = ૨૪ થાય છે. હવે ૨૪ની સ`ખ્યા ૭ વડે પૂરેપૂરી ભાજ્ય છે, એટલે આ ભાગાકાર નિશેષ થાય. અને ૨૪ ને ૩ વડે પૂરેપૂરા ભગાય છે તથા તેના છેડે એકી આંક છે, એટલે પણ આ ભાગાકાર નિશેષ થાય.
"
૬ ) ૭૨૩૮૪ ( ૧૨૦૬૪
• \s g |
૩૮
૩૬
૨૪
૨૪
૦૦
(૬) જો ભાજક ૮ હેાય અને ભાજ્ય સંખ્યાના છેલ્લા વડે પૂરેપૂરા ભગાતા હોય તે ભાગાકાર નિશેષ
Page #206
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૭૨
થાય. જેમ કે
૮ ) ૯૧૨૮
અહી° ૧૨૮ એ ૮ વડે પૂરેપૂરા ભાજ્ય છે, તેથી ભાગાકાર નિઃશેષ થવાના. ખાતરી માટે તેને ચાલુ પદ્ધતિએ
ભાગી જુઓ.
૮)૯૧૨૮(૧૧૪૧
|z • | g |
૦૮
v
ગણિત-સિદ્ધિ
.
(૭) જે ભાજક સંખ્યા ૯ વ્હાય અને ભાજ્યના આકડાને સરવાળા ૯ વડે પૂરેપૂરા ભાગી શકાતા હાય તે એ ભાગાકાર નિશેષ થાય જેમ કે
૯)૨૩૫૫૮૨૧૧
૨ + ૩ + ૫ + ૫ + ૮ + ૨ +૧+૧=૨૭ ૯=૩ એટલે આ ભાગાકાર નિશેષ થવાના. જેમ કે
Page #207
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૭૩
ભાગાકાર અંગે વિશેષ
૯)૨૩૫૫૮૨૧૧ (૨૬૧૭૫૭૯૯
૧૮
પપ
૫૪
V જીિ
/ / /... 2 / 8 / 8/7 re
૫૨.
૪૫
(૮) જે ભાજક ૧૦ હેાય અને ભાજ્ય સંખ્યાના છેડે ૦ હોય તે એ ભાગાકાર નિ શેષ થાય. જેમકે ૭૨૦ – ૧૦ = ૭૨. આમાં કંઈ શેપ વધતું નથી.
(૯) જે ભાજક ૧૧ હોય તો નીચેની રીત અજમાવવામાં આવે છે. પ્રથમ ભાજ્ય સંખ્યાના એક અંકને સરવાળે કરે અને પછી બેકી એકેને સરવાળો કર. પછી તે બંનેને તફાવત કાઢવો. તેમાં ૦ આવે કે ૧૧ આવે તો સમજવું કે ભાગાકાર નિઃશેષ થશે. દાખલા તરીકે
Page #208
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૭૪
ગણિત-સિદ્ધિ
૧૧)૮૭૧૦૮ અહીં ૮ + ૭ + ૦ = ૧૫ એકી અંગેનો સરવાળે.
+ ૧ + ૮ = ૧૫ બેકી અને સરવાળે.
૧૫ – ૧૫ = ૦ એટલે આ ભાગાકાર નિઃશેષ થાય. ૧૧)૮૬૭૧૦૮ (૭૮૮૨૮
-
-
ધારે કે અહીં ૧૧)૧૯૨૧૬ છે, તો આ ભાગાકાર નિ શેષ થશે કે કેમ ? તે જાણવા માટે ઉપરનો નિયમ અજમાવીએ.
૧ + ૨ + ૬ = ૯ એકી અને સરવાળે ૯ + ૧ = ૧૦ બેકી અને સરવાળે
અહીં તફાવતમાં ૧ રહે છે, તેથી આ ભાગાકાર નિઃશેષ થાય નહિ.
Page #209
--------------------------------------------------------------------------
________________
ભાગકાર અંગે વિશેષ
૧૭૫
૧૧)૧૨૧૬ (૧૭૪૬
૧૧
99.
પ૧
४४
-
-
-
સંઘરેલે સાપ પણ કામ લાગે છે, તે સંઘરેલી સિદ્ધ રીતે કામ કેમ ન લાગે ? તે પ્રસંગે જરૂર કામ લાગવાની અને તમારું કામ સરલ કરી આપવાની.
Jit
*
Page #210
--------------------------------------------------------------------------
________________
[ ૨૦ ] ભાગાકારનો સંક્ષેપ અને ચકાસણી
ભાગાકારની ચાલુ પદ્ધતિને સંક્ષેપ કરવો હોય તે અમુક પ્રમાણમાં થઈ શકે એવે છે. દાખલા તરીકે ચાલુ પદ્ધતિમાં ભાગની રકમ જમણા હાથ તરફ મૂકવામાં આવે છે, તેના બદલે ભાજ્ય રકમના મથાળે મૂકી શકાય. જેમકે
૨૧૪૬ ૩૭)૭૯૪૦૨
૭૪
૫૪ ૩૭
૧૭૦ ૧૪૮
-
૨૨૨ ૨૨૨
આમાં ભાગાકારની પહેળાઈ ઘટે છે અને ભાગાકારને.
Page #211
--------------------------------------------------------------------------
________________
ભાગાકાર
સક્ષેપ અને ચકાસણી
૧૯૭
જવાબ કેટલા આંકડાના આવશે, તે સમજી શકાય છે. દાખલા તરીકે અહીં ૯ ના ઉપર ભાગના પ્રથમ અક ૯ ચડયા, એટલે તેને પ્રથમ અંક ગણી ખાકીના અકોની ગણના કરતાં કુલ ૪ આંકડાને જવામ આવશે, એમ સમજી શકાય છે. ચાલુ પદ્ધતિમાં આ વસ્તુને સ્પષ્ટ મેધ થતે નથી. યુરોપના કેટલાક દેશેામાં આ પદ્ધતિ ચાલુ છે, તેથી તેને ખંડપદ્ધતિ (Continental method) કહેવામા આવે છે.
:
ત્યાના લાકો આ ભાગાકારના હજી વિશેષ સક્ષેપ કરે છે, તે આ રીતે તેમાથી ભાજક અને ભાગના ગુણાકારના આંકડા ઉડાવી દે છે અને જે રકમ બાકી રહે છે, તેટલી જ લખે છે. જેમકે-
૨૧૪૬
૩૭) ૭૯૪૦૨ (
૫૪
૧૭૦
૨૨૨
૩૭ × ૨ = ૭૪ તે એ યાદ રાખી લીધા અને ૭૯ ૭૪ = ૫ તે ભાગાકારમાં લખ્યા. પછી તેના પર ભાજકને ૪ ચડાવ્યેા, એટલે ૫૪ થયા, જે આપણે ભાગાકારમાં જોઈ શકીએ છીએ.
તેના ભાગ ૧ થી ચાલતાં ૩૭ આવ્યા, તે યાદ રાખ્યા અને ૫૪ માથી યાદ કરી બાકીના ૧૭ ભાગાકારમાં
૧૨
-
Page #212
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૭૮
ગણિત-સિદ્ધિ લખ્યા. તેના પર ભાજ્યનું શૂન્ય ઉતાર્યું, એટલે ૧૭૦ થયા, તે ભાગાકારમાં જોઈ શકાય છે.
તેને ભાગ ૪ થી ચાલતાં ૧૪૮ આવ્યા, તે યાદ રાખી ૧૭૦ માથી બાદ કર્યા અને બાકીના ર૨ ભાગાકારમાં લખ્યા તેના પર ભાજ્યને ૨ ઉતારતાં એ સંખ્યા ૨૨૨ ની બની, તે ભાગાકારમાં જોઈ શકાય છે.
તેને ભાગ ૬ થી ચાલતાં રરર આવ્યા, તે યાદ રાખી ર૨૨ માથી બાદ કર્યા. શેષ કંઈ વધતું નથી, એટલે અહીં લખ્યું નથી. આ રીતે ભાગાકારમાંથી પાંચ પદે ઓછા થતાં તેને ખૂબ જ સંક્ષેપ થયો. નીચેના ભાગાકારમાં * મારી છે, તે પદો ભાગાકારમાંથી ઓછાં થયાં છે. ચાલુ પદ્ધતિ તથા સંક્ષેપ પદ્ધતિવાળા ભાગાકારની સરખામણી થઈ શકે, તે માટે અહીં બંને ભાગાકાર સાથે આવ્યા છે.
૨ ૧૪૬
૩૭) ૭૯૪૦૨ (ર૧૪૬
૭૪ ૪
૩૭) ૭૯૪૦૨
૫૪
૫૪
૧૧૭૦
૩૭ ૪
૨૨૨
૧૭૦ ૧૪૮ ૪ ૨૨૨ ૨૨૨ ૪
૦૦૦ ૪
Page #213
--------------------------------------------------------------------------
________________
ભાગાકારને સંક્ષેપ અને ચકાસણી
૧૭૯ અમારા અનુભવ એમ કહે છે કે ભાગાકારની ચાલુ પદ્ધતિને બરાબર અભ્યાસ થયા પછી ભાજ્ય–ભાજકની સંખ્યા પછી તરત જ જવાબના આંકડા મૂકી શકાય છે. જેમ કે
૭૨૮ - ૧૪ = પ૨. પ૩૭૯ – ૧૧ = ૪૮૯. ૧૨૫૭૦ કે ૧૫ = ૮૩૮. ૬૩૦૧૮ - ૨૭ = ૨૩૩૪.
આથી વિશેષ સંક્ષેપ છે હેઈ શકે? આમાં માત્ર જવાબનું જ પદ માંડેલું છે. તે સિવાય વચલું કઈ પદ નથી.
જે ભાજકની સંખ્યા મેટી હોય તે આ રીતે લીધે જવાબ લખવાનું મુશ્કેલ પડે. ત્યાં પૂવે બતાવેલી કોઈ પણ રીતે લાગુ કરી તેની સંખ્યા નાની બનાવીને આ રીતે સીધે જવાબ લખી શકાય. જેમકે
પર૧૩૨૮ ક. ૧૨૮ ૧૩૦૩૩૨ = ૩૨
૩૨૫૮૩ + ૮ = ૪૦૭૨ 9
અહીં પ્રથમ અને સંખ્યાને ચે ભાગ કર્યો છે, જે સરલતાથી કરી શકાય છે. પછી પણ એ ભાગ થઈ શકે એવું લાગતાં ફરી ચેાથે ભાગ કર્યો છે. આ રીતે ભાજક તદ્દન નાને બની જતાં તેની સામે સીધે જવાબ મૂકે છે.
Page #214
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૮૦
હવે ભાગાકારની ચકાસણી પર ખાતરીભરેલી રીત એ છે કે ભાગ તથા કરવા, પછી તેમા શેષસંખ્યા ઉમેરવી. તેને ભાજ્ય સંખ્યા ખરાખર મળી રહે ભાગાકાર ખરાખર છે. દાખલા તરીકે
૨૪) ૩૫૬૭૮ (૧૪૮૬
૨૪
-
૧૧૬
૯૬
૨૦૭
૧૯૨
૧૫૮
૧૪૪
૧૪ શેષ
૧૪૮૬ ભાગ
× ૩૪ ભાજઙ
૫૯૪૪
૨૯૭૨૪
ગણિત સિદ્ધિ
આવીએ. તે માટે ભાજકના ગુણાકાર સરવાળા અને
તે સમજવું કે આ
૩૫૬૬૪ + ૧૪ શેષ
૩૫૬૭૮ ભાજ્ય
અહીં ભાન્ય રકમ ખરાખર આવી ગઈ, એટલે ભાગાકાર સાચા સમજવા.
Page #215
--------------------------------------------------------------------------
________________
ભાગાકારને સંક્ષેપ અને ચકાસણી
પરંતુ ચકાસણુની આ રીતને ટૂંકી કરવી હોય તો કરી શકાય છે. તે આ રીતે ? (૧) પ્રથમ એક ઊભી ચોકડી કરવી. (૨) તેમાં જ્યાં લખ્યું છે, ત્યાં ભાજકની રકમને એકાંકી
સરવાળે મૂકવે, રસ લખ્યું છે ત્યા ભાગને એકાંકી સરવાળે મૂક, જે લખ્યું છે ત્યાં શેષસંખ્યાને એકાંકી સરવાળો મૂકે અને ઘ લખ્યું છે, ત્યા ભાજ્ય
સંખ્યાનો એકાકી સરવાળે સૂકવે. (૩) પછી શું અને ર ને ગુણાકાર કરી તેમાં શેષસંખ્યાને
ઉમેરવી અને તેનો એક અંક કરવો (૪) તેને અંક ભાજ્યના અંક મુજબ મળી રહે તે સમજવું કે ભાગાકાર સાચે છે. અહીં ચિત્રને અનુસરવાથી વધારે સ્પષ્ટતા થશે.
ख
१
+
૫
૧૧ = ૨
ભાજ્ય ૨ ભાગાકાર બરાબર છે.
Page #216
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૮૨
ગણિત-સિદ્ધિ ભાજક સંખ્યા ૨૪ છે, એટલે ૨ + ૪ = ૬ થાય તે # બિંદુ પર મૂકેલ છે. ભાગની સંખ્યા ૧૪૮૬ છે, એટલે ૧ + ૪ + ૮ + ૬ = ૧૯= ૧ - ૯ = ૧૦ = ૧+ ૦ = ૧ છે, તે 6 બિંદુ પર મૂકેલ છે. શેષસંખ્યા ૧૪ છે, એટલે ૧ + ૪ == પ થાય, તે જ બિંદુ પર મૂકેલ છે અને ભાજ્ય સંખ્યા ૩પ૬૭૮ છે, એટલે ૩ +૫ + ૬-૭ + ૮ = ૨૯ = ૨ | ૯ = ૧૧ = ૧ + ૧ = ૨ છે, તેથી તે ઘબિંદુ પર ૨ મૂકેલ છે.
પછી ૬ અને ૪ ને ગુણાકાર કર્યો, તે ૬ ૪ ૧ = ૬ આવ્યા અને તેમાં શેષની સંખ્યા ૫ ઉમેરતાં ૧૧ ની સંખ્યા થઈ તેને એકાકી સરવાળે ૧ + ૧ = ર આવ્યા.
ઉપર ભાજ્ય સંખ્યાને એકાંકી સરવાળે ર છે, એટલે આ ભાગાકાર બરાબર છે, એમ સમજવું. વિશેષ ખાતરી માટે અહીં એક નાના ભાગાકારની ચકાસણી કરી બતાવી છે. ૨૬) ૪પ૬૭ (૧૭પ
૨૬
૧૯૬
૧૮૨
૧૪૭ ૧૩૦
-
-
..
Page #217
--------------------------------------------------------------------------
________________
ભાગાકારને સંક્ષેપ અને ચકાસણી
૧૮૩
૮ ૪ ૪ = ૩૨
૪૦ = ૪
૪+ ૫ + ૬ + ૭ = ૨૨ = ૨ + ૨ = ૪ ભાગાકાર બરાબર છે.
ખ
.
:
-
૨i
મ
ની
છે
-
Page #218
--------------------------------------------------------------------------
________________
[૨૧] ગણિત અને ગણતરી
ગણિત સાચું હેય અને ગણતરી ખોટી હેય એવું બની શકે છે પ્રથમ ક્ષણે આ વાત તમારા માન્યામાં નહિ આવે, પણ ડી વિચારણા કરીશું કે આ વાતને તમે જરૂર સ્વીકાર કરશે. -
એક મનુષ્ય ૧ કલાકમાં ૧૫૦ સરનામાં કરે છે, તે ૧૫ કલાકમાં કેટલા કરશે ?”
આ દાખલે ગણિતની દષ્ટિએ બરાબર છે, પણ વ્યવહારથી નિરપેક્ષ છે, એટલે કે તેની રજૂઆત કરવામાં વ્યવહારને લક્ષ્યમા લેવાયેલ નથી. જે વ્યવહારને લક્ષ્યમાં લીધા હતા તે તેની રજૂઆત લગભગ આ પ્રમાણે થાત?
એક માણસ સવારના ૮ વાગ્યે સરનામાં લખવાને પ્રારંભ કરે છે અને તે કલાકના ૧૫૦ સરનામાં કરવાની ઝડપ બતાવે છે, તે રાત્રિના બાર વાગ્યા સુધીમાં કેટલાં સરનામાં કરી શકશે ? ?
Page #219
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત અને ગણતરી
૧૮૫ પ્રશ્નના પ્રથમ પ્રકારમાં ય ત્રવત્ જવાબ આવવાનો કે ૧૫૦ x ૧૫ = ૨૨૫૦.
પરંતુ બીજા પ્રકારમાં જવાબ આપતી વખતે કેટલાક મુદ્દાઓ ધ્યાનમાં રાખવા પડે. જેમ કે સવારે આવેલે માણસ બપોરે જમવા જાય, તેને ઓછામાં ઓછા ૧૫ કલાક ઓછો થાય. વચ્ચે બે વાર ચા–પાણી પીએ તેમાં પણ ૩૦ મીનીટ જેટલે સમય જાય. સાંજે ભોજન કરવા જાય ત્યારે પણ ઓછામાં ઓછી ૧ કલાકનો સમય જાય. એટલે ૧૫ કલાકમાં ખરી રીતે ૧૨ કલાકથી વધારે કામ થઈ શકે નહિ. વળી સવારે જે સ્કૂતિ હેય તે જોજન કર્યા પછી ન હોય. ઓછામાં ઓછા અર્ધા કલાક પછી તે મૂળ સંસ્કૃતિમા આવે અને દિવસના આઠ–દશ કલાક કામ કર્યા પછી પ્રારંભના જેવી તિ તો ન જ રહે તાત્પર્ય કે સાજે ૭ વાગ્યા પછી તેના સરનામાની ઝડપ ૧૦૦ થી ૧૨૦ જેટલી જ રહે.
આ રીતે બધા સંગોને ધ્યાનમાં લેતા તેનું કામ નીચે પ્રમાણે ઉતરવાનું ટેવી શકાય . પ્રારંભમાં ૧૨ કલાકમાં ૯ કલાક x ૧૫૦ = ૧૩૫૦ પાછળના ૩ કલાકમાં ૪ ૧૨૦ = ૩૬૦
૧૭૧૦ આમા પણ આળસ કરે, કાં ખાય કે કઈ સાથે વાતમાં ચડે તો ઓછું થવા સંભવ ખરે. એટલે ૧૬૦૦ થી વધારે સરનામાની તેની પાસેથી આશા રાખી ન શકાય.
ગણિત અને ગણતરી વચ્ચે જે ફેર રહેલે છે, તે આમાં સ્પષ્ટ જોઈ શકાય છે જે માત્ર ગણિતને ધ્યાનમાં લે છે, પણ સ્થિતિ-સંગોને ધ્યાનમાં લેતા નથી, તેઓ ગણતરીમા થાપ ખાય છે.
-
-
Page #220
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૮૬
ગણિત-સિદ્ધિ એક વાર એક પ્રોફેસર ગણિત પર ભાષણ આપતા હતા તેમણે કહ્યું કે “૨ વીઘાનું એક ખેતર ૧૦ માણસે ૨ દિવસમાં ખેડી શકે તે ૨૦ માણસે તે જ ખેતર ૧ દિવસમાં ખેડી શકે.”
આ સાંભળીને કેઈ કંઈ બેહ્યું નહિ, એટલે તેમણે વાત આગળ ચલાવીને કહ્યું: “અને ૪૦ માણસો તે જ ખેતર 3 દિવસમાં ખેડી શકે અહીં દિવસ શબ્દથી સવારના ૭ થી સાંજના ૭ સુધીના સમય સમજવાનો હતો.
આ સાંભળી એક ચબરાક મનુષ્ય ઉભું થશે અને તેણે પ્રોફેસર સાહેબને કહ્યું : “આપ ગણિતમાં નિત છે, એટલે જવાબ આપો કે ૧૬૦ માણસે તે જ ખેતર કેટલા વખતમાં ખેડી શકે ?”
પ્રોફેસરે ચમા જરા ઊંચા કરીને તે માણસની સામે જોયું અને કહ્યું: “ દિવસના આઠમા ભાગમાં. અરધાને ચારે ભાગીએ એટલે ? જ આવે.'
પેલાએ કહ્યું. “એનો અર્થ એ છે કે એ ખેતર ૧ કલાકમાં ખેડાય. વારુ, પ્રોફેસર સાહેબ ! ૧૬૦૦ માણસોને કામે લગાડીએ તે એ ખેતર કેટલા વખતમાં ખેડાય ?
પ્રોફેસર આ પ્રશ્ન પૂછવાનો ભાવાર્થ સમજી ગયા હતા, પણ જવાબ આપ જ જોઈએ, એટલે તે બેલ્યા કે “૯ મીનીટમાં. ૧૩ કલાકની ૯૦ મીનીટ અને તેને દશમ ભાગ એટલે ૯ મીનીટ.”
પિલાએ કહ્યું: “સાહેબ ! આપની ગણિતવિદ્યા માટે મને ઘણું માન છે. આપ ગુણાકાર અને ભાગાકાર જે સ્કૃતિથી કરી શકે છે, તે માટે આપને ધન્યવાદ ઘટે છે.
Page #221
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત અને ગણતરી
૧૮૭ પણ મને એટલું જ કે ૧૬,૦૦,૦૦૦ માણસોને કામે લગાડીએ તે એ ખેતર કેટલા વખતમાં ખેડાય?”
ગણિત પ્રમાણે તે પ્રેફેસર સાહેબે 7 મીનીટ એટલે ૨૭ સેકન્ડ કહેવી જોઈએ, પણ તેઓ એનો જવાબ આપ્યા વિના જ પ્લેટફોર્મ પરથી નીચે ઉતરી ગયા. તાત્પર્ય કે આમાં ગણિત સાચું હતું, પણ ગણતરી છેટી હતી. એક ખેતરમાં બમણ માણસે કામે લગાડીએ એ તો ઠીક, પણ ચાર ગણ–આઠ ગણ કામે લગાડીએ તેમાં કેટલાં સાધન જોઈએ? અને તે પૂરાં પાડી શકાય ખરાં? અને ૧૬,૦૦,૦૦૦ સેળ લાખ માણસ ભેગા થાય તે ઊભા ક્યાં રહે છે તેને સાધન કેટલાં જોઈએ? અને તેની વ્યવસ્થા શી રીતે થાય ? એટલે કે આવી ગણતરી વ્યવહારમાં ચાલી શકે નહિ. | ક્યારે કઈ પ્રક્રિયાને ઉપયોગ કરે, તે પણ જાણવું જોઈએ, નહિ તો ભગા પટેલ જેવા હાલ થવા સંભવ છે.
ભગા પટેલ ગણિત ભણ્યા હતા તેમને સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર, ત્રિરાશિ, પચરાશિ, વ્યાજ, ટકાવારી, સરેરાશ બધુ બરાબર આવડતું હતું. તેઓ એક વખત પિતાના કુટુંબ સાથે પ્રવાસે નીકળ્યા વચ્ચે એક નદી આવી અહીં પ્રશ્ન થયે કે “આ નદી આપણાથી પાર કરી શકાશે કે નહિ ? ”
તેમણે લોકેને આડાઅવળા પ્રશ્નો પૂછી માહિતી મેળવી તે જાણી શકાયું કે પ્રારંભમાં પાણી ૨ ફુટ ઊંડું છે, પછી ૪ ફુટ ઊંડું આવે છે, પછી ૫ ફુટ ઊંડું આવે છે, ત્યાર બાદ ૭ ફુટ ઊંડું આવે છે, ત્યાર બાદ ૫ ફુટ
Page #222
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૮૮
ગણિત-સિદ્ધિ
ત્યાર બાદ ૩ ફૂટ અને ત્યાર બાદ ૨ ફૂટ. આ પરથી ભગા પટેલે નીચે મુજબ સરેરાશ કાઢી :
જ
=
૫
૧
૭ ૫
-
Y |
૭ ૨૮ સરેરાશ ૪ કુટ.
એટલે તેમણે બધાને નદી પાર કરવા આદેશ આ અને પોતે પણ પાણીમાં ઝુકાવ્યું. કહેવાની ભાગ્યે જ જરૂર છે કે તેમાંનું કોઈ સામા કિનારે ન પહોંચ્યું, કારણ કે વચ્ચે ૫ ફુટ પાણી આવ્યું, તેમાં જ સહું અકળાવા લાગ્યા અને ૭ ફુટમાં સહુએ જળસમાધિ લીધી!
આ વાત કલ્પિત હોય તો પણ તેનો સાર ગ્રહણ કરવા જેવો છે. અહીં સરેરાશ કાઢવાની હોય શેની ? પાણી વધારેમાં વધારે કેટલું ઊંડું છે, તે જ જાણવાનું હોય અને તે પરથી નિર્ણય કરવાનો હોય
ઘણી વાર માણસો ઉત્સાહમાં આવી જઈને લાભના આંકડા માડે છે, પણ પરિણામ જૂદું જ જોવામાં આવે છે, કારણ કે તેમાં ગણતરી સાચી હોતી નથી; એટલે પાઠકગણને અમારી ખાસ સુચના છે કે ગણિતની સાથે વ્યવહારનું પણ લડ્ય રાખશે અને એ રીતે સાચી ગણતરી કરી લાભ અને ચાના અધિકારી બનશે.
Page #223
--------------------------------------------------------------------------
________________
વિદ્યાભૂષણ ગણિતદિનમણિ સાહિત્યવારિધિ શતાવધાની પંડિત
શ્રી ધીરજલાલ શાહનું સાહિત્યસર્જન [ ૩૪૧ પુસ્તક ] ચરિત્રો
×
૧ વિશ્વવદ્ય પ્રભુ મહાવીર (એક લાખ ચાલીશ હજાર નકલે ) × ૨ વીર વિઠ્ઠલભાઈ ( ×ચરેાતર એજ્યુ. માસાયટી ) (બે લાખ નકલા) ( શ્રી સયાજી વિજય પ્રેસ )
X ૐ મહારાજા સયાજીરાવ ગાયકવાડ
૪ શ્રીમત રાજપિ` સયાજીરાવ ગાયકવાડ
*
૫ શ્રી પાદલિપ્તસૂરિ
૬ શ્રી રામ ૭ શ્રીકૃષ્ણ
૮ ભગવાન બુદ્ધ ૯ ભગવાન મહાવીર
૧૦ વીર હનુમાન
૧૧ સતી દમયંતી ૧૨ ચક્રવતી ચંદ્રગુપ્ત ૧૩ રાજા ભતૃ હિર
૧૪ ભક્ત સુરદાસ ૧૫ નરસિહુ મહેતા
૧૬ મીરાંબાઈ ૧૭ લેાકમાન્ય ટિળક
૧૮ આદ્યકવિ વાલ્મીકિ
૧૯ મહર્ષિ અગસ્ત્ય ૨૦ દાનેશ્વરી ક
( પ્ર. જૈન—ભાવનગર ) ( વિદ્યાથી વાંચનવાળા શ્રેણી-૧ )
33
""
"">
""
""
,,
,,
""
""
33
,,
( વિ વાં શ્રેણી–૨ )
2.
""
Page #224
--------------------------------------------------------------------------
________________
૨૧ મહારથી અર્જુન ૨૨ વીર અભિમન્યુ ૨૩ પિતૃભક્ત શ્રવણુ ૨૪ ચેલૈયા
-૨૫ મહાત્મા તુલસીદાસ ૨૬ શ્રી રામકૃષ્ણ પરમહેસ
૨૭ સ્વામી વિવેકાનદ
-૨૮ સ્વામી રામતી
૨૯ શ્રીમદ્ રાજચંદ્ર ૨૦ ૫. મદનમેાહન માવિયા -૩૧ મહામુનિ ૩૨ દ્રૌપદી
સિ
૨૩ વીર વિક્રમ
૩૪ રાજા ભાજ
રુપ મહાકવિ કાલિદાસ
૩૬ વીર દુર્ગાપ્રસાદ ૩૭ મહારાણા પ્રતાપ ૩૮ સિકીમનેા સપૂત ૨૯ દાનવીર જગડ્ ૪૦ સિદ્ધરાજ જયસિ ડુ
૪૧ જગત શેઠ ૪૨ વીર વિઠ્ઠલભાઈ ૪૩ એની બેસન્ટ
૪૪ શ્રી ગજાનન ૪૫ શ્રી કાર્તિકેય સ્વામી ૪૬ શ્રી હે ૪૭ રસકવિ જગન્નાથ
૪૮ ભક્ત નામદેવ ૪૯ ત્રપતિ શિવાજી
૧૯૦
,,
33
33
23
22
33
""
"3
22
,,
( વિ. વા. શ્રેણી-૩)
""
,,
,,
',
કરો ર ક
38
,,
33
( વિ. વાં. શ્રેણી—૪ )
22
""
કો
{
Page #225
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૮૧
૫૦ સમર્થ સ્વામી રામદાસ પ૧ ગુરુ નાનક પર મહાત્મા કબીર પ૩ ગરાગ મહાપ્રભુ ૫૪ શ્રી ત્રિભુવનદાસ ગજજર પપ શ્રી વિજયધર્મસૂરિ ૫૬ બાબુ રાજેન્દ્રપ્રસાદ પ૭ મહારાજા કુમારપાળ
શ્રેણ-૫) ૫૮ રણજિતસિંહ પ૯ શ્રી ઈશ્વરચંદ્ર વિદ્યાસાગર ૬૦ મહાદેવ ગોવિદ રાનડે ૬૧ દાદાભાઈ નવરેજી ૬૨ શ્રી ગોપાળકૃષ્ણ ગોખલે ૬૩ શ્રી જવાહરલાલ નહેરુ ૬૪ શ્રી સુભાષચંદ્ર બોઝ. ૬૫ તારામ ડળ ૬૬ મહાદેવી સીતા
(વિ. વા. શ્રેણ–૬) ૬૭ કર્મદેવી અને મેવાડની વીરાંગનાઓ ૬૮ સર ટી. માધવરાવ ૬૯ ઝ ડુ ભટ્ટજી ૧૭૦ સ્વ. હાજીમહમ્મદ (વિ. વાં. શ્રેણી–૭) ૭૧ વીર લધાભા ૭૨ શ્રી ઋષભદેવ ૧૭૩ વીર કુણાલ ૧૭૪ મહામંત્રી મુજાલ ૧૭૫ શ્રી જયકૃષ્ણભાઈ ૭૬ શ્રી સયાજીરાવ ગાયકવાડ ૭૭ મહાવીરપ્રસાદ ત્રિવેદી ૭૮ મહાકવિ નાનાલાલ ૭૯ અબદુલ ગફારખાન
Page #226
--------------------------------------------------------------------------
________________
૮૦ સાડી સા ૮૧ કવિ નદ ૮૨ જમશેદજી તાતા ૮૩ ૫. વિષ્ણુ દિગમ્બર
૮૪ સૌધામ કાશ્મીર
૮૫ દ્વારકા
૮૬ સુર
૮૭ નેપાલ
૮૮ અમરનાથ
૮૯ બદરી-કેદારનાથ ૯૦ અનુપમ ઈલ્લુરા
૯૧ પાવાગઢ
૨. અજ તાની ગુકાઓ
X eG
""
૯૮ ગણિત-ચમત્કાર ૯૯ ગણિત—રહય ૧૦૦ ગણિત-સિદ્ધિ
૧૦૧ સ્મરણકલા
૧૯૨
>>
33
( વિ. વા શ્રેણી−૮)
33
27
( વિવા. શ્રેણી૯ ) ભૌગાલિક
( વિ. વા. શ્રેણી-૬ )
""
>>
( વિવા. શ્રેણી-૭ )
ગણિત
×૯૬ કાયડાસ ગ્રહ ભાગ પહેલા
ખીજૉ
""
""
પ્રવાસવર્ણન
*૯૩ કુદરત અને ક્લાધામમા વીસ દિવસ
૪૯૪ અચલરાજ આણુ ૪૯૫ પાવાગઢના પ્રવાસ
..
( વિ. વા શ્રેણી-૯ )
ܕܕ
માનવિજ્ઞાન
સામાન્ય જ્ઞાન
×૧૦૨ રમુજી ટૂચકા ૪૧૦૩ આલમની અજાયખી
× ૧૦૪ વિમાની હુમલા અને તેમાંથી બચવાના ઉપાયે .
Page #227
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૯૩
*
*
*
કિશોરકથાઓ ૪૧૦૫ કુમારોની પ્રવાસસ્થા ( કુમાર ગ્રંથમાળા) ૪૧૦૬ વિમલશાહ
(સયાજી બાલ સાહિત્યમાળા) X ૧૦૭ વસ્તુપાળ–તેજપાળ *૧૦૮ સિકીમની વીરાંગના * ૧૦૯ નેકીનો રાહ
કાવ્યો * ૧૧૦ અજ તને યાત્રી (ખંડકાવ્ય)
આ કાવ્યને સંસ્કૃત અનુવાદ થયેલ છે * ૧૧૧ જલમદિર પાવાપુરી (ખડકાવ્ય)
શિલ્પ-સ્થાપત્ય *૧૧૨ ઈલુરાનાં ગુફામ દિરે
સંકલન ૪૧૧૩ શ્રી વીર–વચનામૃત આ ગ્રથને હિંદી તથા અંગ્રેજી અનુવાદ થયેલો છે...
જૈનધર્મવિષયક ૧૧૪-૨૧૫ બાળગ્રંથાવલી–છ શ્રેણી
(૧૨૦ પુસ્તકનું સંપાદન, તેમાં ૧૦૨નું લેખન). * ૨૧૬-૨૩૫ ધર્મબોધ ગ્રંથમાળા ૨૦ પુસ્તકો ૪૨૩૬-૨૪૭ જૈન શિક્ષાવલી પહેલી શ્રેણ ૧૨ પુસ્તકે * ૨૪૮–૨૫૯ ,, ,, બીજી શ્રેણી ૧૨ પુસ્તકે * ૨૬૦–૭૧ ,, ,, ત્રીજી શ્રેણું ૧૨ પુસ્તકે ૨૭૨–૨૯૧ જૈન ચરિત્રમાળા ૨૦ પુસ્તકો ર૯૨–૨૯૪ ધાર્મિક પ્રશ્નોત્તરી ભાગ ૧ થી ૩ ૨૫–૨૯૬ જિનેંદ્ર કાવ્યસંગ્રહ ભાગ ૧-૨ * ૪૨૯૭–૨૦૮ જૈનધર્મને સામાન્ય પરિચય ભાગ ૧-૨.
૧૩
Page #228
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૯૪
(6 ૦
છ ૦
૪ ૩૦૪
رد
X
૨૯૯ જૈન ધર્મસાર
આ પુસ્તકને હિદી તથા અંગ્રેજી અનુવાદ થયેલ છે. * ૩૦૦ જેન તરવપ્રવેશક ગ્રંથમાળા ભાગ બીજો ૩૦૧ શ્રી પ્રતિક્રમણઋત્ર પ્રબોધટીકા ભાગ પહેલે
» ભાગ બીજો ૩૦૩
ભાગ ત્રીજો
પ્રબોધટીકાનુસારી ૩૦૫ જિનપાસના ૩૦૬ જીવવિચાર–પ્રકાશિકા યાને જૈન ધર્મનું પ્રાણીવિજ્ઞાન ૩૦૭ નવતત્વદીપિકા યાને જૈનધર્મનુ અભુત તત્ત્વજ્ઞાન * ૩૦૮ સતી ન હતી (ત્રિઅંકી નાટક) ૩૦૯ શ્રી શાલિભદ્ર
(A ). X ૩૧૦ રાજનગર સાધુસંમેલન ૪૩૧૧ જેનોની શિક્ષણ સમસ્યા ૪ ૩૧૨ પવિચાર
૩૧૩ દક્ષિણમાં દિવ્ય પ્રકાશ -૪૩૧૪-૩૩૮ પ્રકીર્ણ ચરિત્ર, વિશેષાંક આદિ
આધ્યાત્મિક ૩૩૯ મત્રવિજ્ઞાન ૩૪૦ મત્રચિંતામણિ ૩૪૧ સંકલ્પસિદ્ધિ યાને ઉન્નતિ સાધવાની અદ્ભુત કલા
X
X
X
-
-
-
xકડીનાં નિશાનવાળાં પુસ્તકે અલભ્ય છે. માત્ર જાણ માટે જ
તેનો નિર્દેશ કરવામાં આવ્યો છે.
Page #229
--------------------------------------------------------------------------
________________
સહુએ અવશ્ય સંઘરવા જેવા ગણિત સંબંધી ત્રણ સુંદર ગ્રંથ
જેમાં ગણિતની ગેબી સૃષ્ટિનો ભેદ સુંદર રીતે ખોલવામાં આવ્યો છે તથા અનેક પ્રકારના ચમત્કારિક પ્રયોગો અને ઉપયોગી બાબતનો સગ્રહ આપવામાં આવ્યું છેવિશેષમાં બુદ્ધિને કસે તેવા વિશ્વભરના ચૂંટી કાઢેલા કેયડાઓનો ઉત્તમ સગ્રહ રજૂ કરવામાં આવ્યો છે. પત્રોએ તથા વિદ્વાનોએ તેની મુક્તકંઠે પ્રશસા કરેલી છે
આ ગ્રંથની રચના જાણીતા લેખક તથા સુપ્રસિદ્ધ તત્વચિ તક વિદ્યાભૂષણ
ગણિતદિનમણિ શતાવધાની પડિત
શ્રી ધીરજલાલ ટોકરશી શાહે ઘણું અનુભવ પછી ગુગમ શૈલીમાં કરેલી છે.
આ સેટ રૂપિયા પંદરમાં જ મળે છે.
[ પિસ્ટે જ જૂ૬ ]
તે આજે જ વસાવી લો દરેક ગ્રંથનું છૂટક મૂલ્ય રૂપિયા પાંચ છે.
પ્રાપ્તિસ્થાન . » જ્ઞા પ્ર કી શ ન મંદિર લધાભાઈ ગુણપત બીલ્ડીગ, ચી ચ બદર, મુંબઈ-૯ વિશેષ વિગત માટે હવે પછીનાં પૃષ્ઠ જુએ
ગુજરાત રાજ્યના શિક્ષણ ખાતા તરફથી આ પુસ્તકની અધ્યાપનમદિર, વાણિજ્ય મહાવિદ્યાલય, વિજ્ઞાન મહાવિદ્યાલયો અને પ્રૌઢ માટેના વાચનાલયોને માટે ખાસ ભલામણુ થયેલી છે
Page #230
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-ચમત્કાર અંગે
કેટલાક અભિપ્રા શ્રી ધીરજલાલ શાહના ગણિતના પ્રયોગો જોઈને ખરેખર પ્રભાવિત થયો છું તેમણે લખેલું આ ગણિત-ચમત્કારનું પુસ્તક વિદ્યારસિકોને ખૂબ આદર પામશે, એમ મને શંકા નથી તા. ૧૭--૬૫ –મહારાજા ફત્તેહસિંહરાવ ગાયકવાડ
આયુર્વેદ, જ્યોતિષ અને ગણિત એ ત્રણ વિષયમાં ભારતવર્ષે ઘણું સુદર પ્રગતિ કરી હતી ગણિત-ચમત્કાર તેના એક વિશિષ્ટ અગને અંદર પરિચય આપે છે. ગણિતરસિકોએ તેનું ખાસ અધ્યયન કરવા જેવું છે. વિદ્યાર્થીઓને આ પુસ્તક આશીર્વાદરૂપ નીવડશે. તા. ૧૭-૨-૬૫
–શ્રી કે. કે. શાહ ગણિત–ચમત્કાર'નું પુસ્તક મન્યુ આ શુષ્ક ગણાતા વિષયને રસમય અને કુતુહલપૂર્ણ બનાવી લેકભોગ્ય સાહિત્યમાં તમે સારો ફાળે આપ્યો છે રશિયાનુ આવું એક પુસ્તક બજારમાં મળે છે તેમ જ બીજાં યુરેપી પ્રકાશનેમા પણ ગણિતને લેકપ્રિય બનાવવાના ઘણા સારા પ્રયત્ન થયા છે, પણ ગુજરાતીમાં આવાં પુસ્તકે મે જોયાં નથી. તમે અગ્રેસર થયા છે, તેથી ખૂબ ખુશી થાઉં છું. અમદાવાદ
–શ્રી રવિશંકર મ. રાવળ વિદ્યાથીર્વાચનમાળાની સો ઉપર પુસ્તિકાઓ લખનાર શ્રી શાહે “ગણિત-ચમત્કાર લખીને ગુજરાતની સારી સેવા કરી છે. અવકાશનો સમય સારી રીતે વ્યતીત કરતાં આવડે એ શિક્ષણને એક તું છે. એ હેતુ પાર પાડવા માટે આ પુસ્તક અતિ ઉપયોગી નીવડશે. સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકારની વિવિધ રીતે,
Page #231
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૯૭
તેમજ આંકડાના ચમત્કારિક ઉપયોગ અને કેયડાઓ જ્ઞાન સાથે ગમ્મત આપે એવા છે. મેળાવડામા, મિત્રમંડળેમાં કુટુંબોમાં, પ્રવાસમાં આ પુસ્તકમાંના કેયડાઓને વપરાશ વાતાવરણ આનદમય બનાવી શકે એમ છે. ગણિતની રમૂજી અટપટી વાતો ગુજરાત સમક્ષ ધરી શ્રી શાહે સારી સેવા કરી છે, તે માટે અમારા હાર્દિક અભિનંદન. વડેદરા,
–પુસ્તકાલય જુન ૧૯૬૬
T.
ગણિત-રહસ્ય અંગે સન્માનનીય શ્રી મોરારજી દેસાઈને અભિપ્રાય
તમારું પુસ્તક હું રસપૂર્વક જોઈ ગયો છું. “ગણિત-રહસ્ય મા તમે ગણિતનાં રહસ્ય ખોલીને એને સરળ અને રસિક બનાવ્યું છે. ભાષા પણ સાદી અને સરળ છે, એટલે સામાન્ય વાચકને પણ એમાં રસ પડશે એમ હું ધારું છુ. જિનામુ વાચકને તમારું પુસ્તક ગણિત વિશે વધારે જાણવા પ્રેરે એવું છે. - તમારું સાહિત્યસર્જન લેકેની નાન–પિપાસા જાગૃત કરે અને પિજે એવું બને, એ મારી શુભેચ્છા છે
નવી દિલ્લી, તા. ૯-૮-૧૯૬૬
સામાન્ય રીતે અઘરે અને નીરસ જણાતો ગણિતનો વિષય આટલે અભુત અને રસભરપૂર છે, તેની પ્રતીતિ આ પુસ્તક સંપૂર્ણ
Page #232
--------------------------------------------------------------------------
________________
૧૯૮
પણે વાચી ગયા પછી થઈ જાય છે બુદ્ધિ કામ ન કરે એવા ચમત્કારિક ગણિત પ્રયોગો અહીં આપવામાં આવ્યા છે.
અસંખ્ય રકમેના સરવાળા, ગુણાકાર ચપટી વાગે એટલા સમયમાં કહી આપતા શતાવધાની પ્રયોગો રજૂ કરતાં પહેલાં શ્રી ધીરજલાલ ભાઈએ સમગ્ર ગણિતશાસ્ત્રના આધારસ્થભ અંકસ્થાનની સવિસ્તાર સમજ આપી છે. શત્યનું સામર્થ્ય, મેટી સંખ્યાઓ યાદ રાખવાની રીત, અંકસ્મૃતિના પ્રયોગો, સફરક સંખ્યાઓના સરવાળા, ક્રમિક સખ્યાઓનું શોધન, અજ્ઞાત સંખ્યાઓનુ જ્ઞાત સંખ્યામાં પરિણમન, અચૂક ઉત્તર આદિ બાબતો લેખકે એટલી સરળતાથી રજૂ કરી છે કે ગણિતથી ભડકીને ભાગતા આજના યુવાનોને પણ રસ લેતા કરી મૂકે. છેલ્લે આપેલા કેયડાઓ બુદ્ધિને કસે એવા છે અને તેમાં પણ “અજયબ થેલીઓ અને હિરાની વહેચણીના કેયડા તે ભલભલાનું પાણી ઉતારી નાખે એવા છે.
ઉત્તમ કોટિના મોર જન સાથે ગણિતની ગહનતાનો ખ્યાલ આપતુ આ પુસ્તક ગણિતશાસ્ત્રના દરેક જિજ્ઞાસુએ, વિદ્યાર્થીએ, તેમજ પડિતે પણ વાંચી જવા જેવું છે. તા. ૨૨-૮-૬૬
–મુંબઈ સમાચાર આંકડાની ઈન્દ્રજાળ અજબ પ્રકારની હોય છે. “ગણિત-રહસ્ય” પુસ્તકમાં આ ઈન્દ્રજાળનો ઉકેલ આપવામાં આવ્યો છે. શયના સામÁથી માડીને ધારેલા પ્રશ્નો અને અજ્ઞાત સંખ્યાઓને સાચે સરવાળો કહી આપવાની રીત, અકસ્મૃતિના વિલક્ષણ પ્રયોગ ઉપરાત યાત્રા તથા કેયડાઓ આપીને તેના ઉત્તર પણ આ ગ્રંથમાં અપાયા છે.
નાન સાથે ગમ્મત આપે અને આશ્ચર્ય પમાડે તેવા અનેક અકજદગરીના અદભૂત પ્રયોગે રજૂ કસ્તે આ ગ્રંથ આબાલવૃદ્ધ બધાને ઉપયોગી નીવડે તે છે.
મુંબઈ
સપ્ટેમ્બર ૧૯૬૬
–કિસ્મત
Page #233
--------------------------------------------------------------------------
________________
ગણિત-સિદ્ધિ અંગે
કેટલાક અભિપ્રાય આવો સુદર ગ્રંથ રચવા માટે હું શ્રી ધીરજલાલ શાહને ધન્યવાદ આપુ છું. અમદાવાદ
શ્રી હિતેન્દ્ર દેસાઈ ૧૬–૧૦–૬ ૬
(ગુજરાત રાજ્યના મુખ્ય મંત્રી) આ પુસ્તકની રચના દ્વારા શ્રી ધીરજલાલભાઈએ ગણિતના વિષયની એક મોટી સેવા કરી છે.
અમદાવાદ શ્રી ઈન્દુમતીબહેન ચીમનલાલ શેઠ ૧૬–૧૦–૬૬
(ગુજરાત રાજ્યના શિક્ષામંત્રી) ગણિતસિદ્ધિ એક અપૂર્વ રથ છે. તે વિદ્યાર્થીઓ, યુવાને તથા વ્યાપારીઓને તો ઉપયોગી છે જ, પણ અધિકારીઓ અને કર્મચારીઓને પણ એટલે જ ઉપયોગી છે કે જેને જ આંકડા અને હિસાબ સાથે કામ પાડવું પડે છે. આ ગ્રંથમાં આપેલી રીતે અજમાવવામાં આવે તે થોડા સમયમાં વધારે કામ થઈ શકે અને એ રીતે શ્રમ તથા સમયનો બચાવ કરી શકાય. તેનાથી રાષ્ટ્રને પણ ઘણે લાભ થવા સંભવ છે. મદસૌર
પંડિત શ્રી રુદ્રદેવ એમ. એ. ૧૫–૧૬૭
સાહિત્યાચાર્ય શ્રી ધીરજલાલભાઈએ વિધવિધ વિષયો પર ત્રણથી વધુ ગ્રંથો લખ્યા છે, જેની કુલ સંખ્યા વીશ લાખને આંકડે વટાવી જાય છે. છેલ્લા બે-ત્રણ વર્ષથી તેઓએ ગણિતવિદ્યાની ગેબી સૃષ્ટિમાં
Page #234
--------------------------------------------------------------------------
________________
२००
પ્રવેશ કર્યો છે અને તેની ફલસિદ્ધિ સ્વરૂપે ત્રણ અમૂલ્ય ગ્રંથ આપ્યા છે. (૧) ગણિત-ચમત્કાર, (૨) ગણિત-રહસ્ય અને (૩) ગણિત-સિદ્ધિ, તેમાં પ્રથમ પુસ્તક ગણિતમાં રહેલી રમૂજ સમજવા માટે, બીજુ પુસ્તક અંક–જાદુગરી (Mathe–magic) ના પ્રગો સમજવા માટે તથા ત્રીજુ પુસ્તક ગણિતના દાખલા કેવી સૂકી અને સહેલી રીતોથી ઝડપબધ થઈ શકે ? એ જાણવા માટે અતિ ઉપગી છે. આ છેલ્લા પુસ્તકનું સમર્પણ શ્રી મોરારજીભાઈએ સ્વીકારીને તેનું બહુમાન કર્યું છે અને તેમાં હું મારે સૂર પૂરાવું છું. મુબઈ
શ્રી મનસુખલાલ તારાચંદ મહેતા ૧૨–૧૧–૬૬
ગણિતશાસ્ત્ર આંકડાઓની ઈજાળ અથવા શુષ્ક સૃષ્ટિસમું લેખાય છે, પરંતુ લેખકે લાબા અનુભવ પછી આ પ્રકારનાં પુસ્તક તૈયાર કરીને બતાવી આપ્યું છે કે આ શાસ્ત્ર રસભરપૂર છે, તેમજ તેમાં અનેક અજાયબીઓ પડેલી છે. મોટી રકમના તેમજ અનેક રકમના અટપટા સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર વગેરેના દાખલા કેટલીક કુચીઓ લક્ષ્યમાં રાખવાથી સરળતાથી અને ઝડપથી થઈ શકે છે અને એ રીતે ગણિતમાં સિદ્ધિ પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. સરલ લેખનશૈલિ અને રજૂ કરવાની લેખકની પદ્ધતિ ગણિતશાસ્ત્રમાં તેમની નિપુણતાના પુરાવા સમી છે. લેખકને ધન્યવાદ.
મુંબઈ સમાચાર તા. ૫-૧૨-૬૬
મુંબઈ
Page #235
--------------------------------------------------------------------------
________________
rese
સ્મરણકલા અંગે સદ્ગત સાક્ષરવ` શ્રી રમણલાલ વસ તલાલ દેસાઈના અભિપ્રાય
સામાન્ય જનતાને ચમત્કાર, મસિદ્ધિ કે ચેગપ્રક્રિયા લાગે એવી સ્મરણકલાની શતાવધાની કલા પાછળ શાસ્ત્રીય સિદ્ધાતા રહેલા છે, એમ જ્યારે શ્રી ધીરજલાલે અમને સમજાવ્યુ, ત્યારે તેમની હૃદયવિશુદ્ધિ માટે મને ખૂબ માન ઉત્પન્ન થયુ. આપણા દેશમાં વિદ્યા-કલાને ગુપ્ત રાખવાની પ્રથા પડી ગઈ છે કા તે કલાકાર લાચાર બને છે કે કા કલાની આસપાસ ગૂઢ રહસ્યભર્યું વાતાવરણ ઉત્પન્ન કરી પેાતાની મહત્તા વધારવા મથે છે. આને પરિણામે આપણી કેટલીય કલા અને કેટલાય હુન્નરા ખગડી ગયા અને નાશ પણુ પામ્યા શ્રી ધીરજલાલે સ્મરણ કલાનું ઊ ! અવગાહન કર્યું છે અને તેના પરિણામે તે પેાતાના ગુરુપદની મહત્તા ટીક ઠીક વધારી શકયા હાત, પરતુ તેમણે તેમ ન કરતા પેાતાના અભ્યાસ અને પેાતાની તપશ્ચર્યાના ફત્ર આ મણકલા' નામના અપૂર્વ ગ્રંથમા પ્રકટ કરી ગૂર્જર જનતા સમક્ષ ખુલ્લાં મૂકી દીધાં છે અને સ્મરણુકલાની વિવિધ કુચીએ ગૂર્જનતાના હાથમા મૂકી દીધી છે આ ગ્રંથને ઠીક ઠીક વિચાર કરીને હું અપૂર્વ કહુ છું મને યાદ છે ત્યાં સુધી સ્મરણુકલા વિષે આવે કેાઈ ગ્રંથ ગુજરાતીમાં પ્રસિદ્ધ થયા નથી.
*
મૂલ્ય રૂા. ૫-૦૦ : પાસ્ટેજ અલગ. પ્રાપ્તિસ્થાન :
પ્રજ્ઞા પ્રકાશન મંદિર મુંબઈ-૯.
Page #236
--------------------------------------------------------------------------
________________
ભારતની ભવ્ય સંપત્તિરૂપ મંત્રવિદ્યાનું રહસ્ય સમજાવના દરેક કટિના મંત્રસાધકેને મહત્ત્વપૂર્ણ માર્ગદર્શન આપનાર
એક સર્વોપચોગી સુંદર ગ્રંથ
મેં ત્રા. શાન
આ ગ્રંથ જે હજી સુધી તમે વસાવી લીધો ન હોય તો તરત વસાવી લેશે પત્રકારોએ આ ગ્રંથને હાર્દિક સત્કાર કર્યો છે અને એની મૂલવણું પ્રમાણભૂત માત્રસાહિત્ય તરીકે કરી છે. આ ગ્રંથ વિદ્યાભૂપનું ગણિતદિનમણિ શતાવધાની પંડિત શ્રી ધીરજલાલ શાહની એક મનનીય કૃતિ છે.
આ ગ્રંથ ૨૬ પૃષનો છે, ઉ ચા મેપલીયો કાગળ પર છપાયેલો છે. મૂલ્ય રૂ ૭૫૦ પૈસા છે તેનો રછ પોસ્ટેજ ખર્ચ રૂ ૧–૨૫ આવે છે
આ ગ્રથ વૈદિક, પૌરાણિક, તાત્રિક, તેમ જ જૈન મત્રસાહિત્યના ૬૦ જેટલા ગ્રથને આધારે ઘણું પરિશ્રમપૂર્વક નિર્માણ કરવામા આવ્યો છે. તેમાં ૩૫ જેટલા પ્રકરણ છે અને તે મંત્રના તમામ અંગોનો ગુટર પરિચય આપી મંત્રસિદ્ધિ કયારે થાય ? તેની સ્પષ્ટ સમજૂતી રજૂ કરે છે. ગુજરાતી ભાષામાં આ જાતનો ગ્રંથ આ પહેલે જ છે.
હવે ગણતરીની નકલો જ બાકી રહી છે, તેથી આજે જ તમારો ઓર્ડર મોકલી આપો વી પી થી મોકલવામાં આવે છે.
પ્રજ્ઞા પ્રકાશન મંદિર લધાભાઈ ગુણપત બીલ્ડીંગ, ચીચ બંદર, મુંબઈ
Page #237
--------------------------------------------------------------------------
________________
હવે પછી પ્રકટ થશે-મંત્રશાસ્ત્રને એક અદભુત ગ્રંથ
મંત્રદિવાકર
લેખક : વિદ્યાભૂષણ ગણિતદિનમણિ શતાવધાની
પંડિત શ્રી ધીરજલાલ શાહ ટૂંક સમયમાં અતિ કપ્રિય થઈ પડેલા મંત્રવિજ્ઞાન ગ્રંથની પૂર્તિ રૂપે “મંત્રચિંતામણિ ગ્રંથ લખાયો અને તેની પતિ પે મંત્રદિવાકર નામના એક અતિ મનનીય ગ્રંથ તૈયાર થઈ રહ્યું છે. આ ગ્રંથ સને ૧૯૬૮ ના ડીસેમ્બર માસમાં પ્રકટ થશે
આ ગ્રંથમાં અનેક જાતના અનુભવસિદ્ધ મંત્રપ્રયોગો રજૂ કરવામાં આવશે, જેમાં વિવિધ રોગો મટાડવાના, વિપ ઉતારવાના, લક્ષ્મી વધારવાના, જિત મેળવવાના તથા બીજા પણ એવા જ પ્રયોગોનો સમાવેશ થશે. ઉપરાત કેટલાક મહત્ત્વના ચિત્રો તથા ત ત્ર– પ્રાગે પણ આપવામાં આવશે કે જેના આધારે મનુષ્ય મુખ, સંપત્તિ, આરોગ્ય, યશ વગેરેની પ્રાપ્તિ કરી શકે અને અચિંત્ય કામો કરવાને શક્તિમાન થાય.
આ ગ્રંથની છપાઈ મુઘડતા, બાધણું તથા પૃસંખ્યા મંત્રવિજ્ઞાન તથા મંત્ર ચિંતામણિ જેવી જ રહેશે અને મૂલ્ય પણ તેટલું જ રહેશે, અર્થાત્ રૂા. ૭-૫૦ પૈસા રહેશે. તેનુ રજી પોસ્ટ જ ખર્ચ રૂ. ૧–૨૫ સમજવુ.
આ ગ્રંથની નકલ સમયસર મેળવવા માટે અગાઉથી ઓર્ડર નોધાવી દેશો.
પ્રજ્ઞા પ્રકાશન મંદિર લધાભાઈ ગુણપત બીલ્ડીગ, ચીચ બંદર, મુંબઈ-૯
Page #238
--------------------------------------------------------------------------
________________ હવે પછી પ્રકટ થનારા ગ્રંથ સંકલ્પરિદ્ધિ યાને ઉન્નતિ સાધવાની અદ્ભુત કલા લેખક વિદ્યાભૂષણ શતાવધાની પંડિત શ્રી ધીરજલાલ શાહ સ કલ્પશક્તિનો વિકાસ કેમ કરવા તથા તેના દ્વારા જીવનના જૂદા જૂદા ક્ષેત્રોમાં ઉન્નતિ કેવી રીતે સાધવી તેની સ પૂર્ણ સમજણ આપતો આ ગ્રંથ દરેક ગુજ્ઞ સસ્કારી મનુષ્ય અવશ્ય વાચવો જોઈએ. તેનાથી જીવનનો મનમા ઘાટ ઘડી શકાશે તથા આ જગતમાં એક સફલ મનુષ્ય તરીકેની કારકીર્દિ પ્રાપ્ત કરી વિજયડ કે વગાડી શકાશે. ઊચા મેપલી કાગળ, લગભગ 240 પૃષ્ણ, પાકું પૂઠું મૂલ્ય ૫-૦૦રજી. પિસ્ટેજ ખર્ચ રૂ 1-20 પૈસા. આ ગ્રંથ સને 1968 ના જુલાઈ માસમાં બહાર પડશે. * માનવુમનની અજાયીઓ લેખક વિદ્યાભૂષણ શતાવધાની પંડિત શ્રી ધીરજલાલ શાહ. માનવમન અનેક અજાયબીઓથી ભરેલું છે તેના દ્વારા મનુષ્ય. કેવા અદ્ભુત કાર્યો કરી શકે છે તથા આ જગતમાં મહાન નામના મેળવવા ઉપરાત મનગમતી લક્ષ્મી મેળવી શકે છે, તે આ ગ્ર થમાં અનેક દાખલા–દલીલ સાથે અનોખી શૈલિએ રજૂ કરવામાં આવ્યું છે પ્રગતિને ચાહનાર દરેક મનુષ્ય આ ગ્રંથ અવશ્ય વાચવો જ જોઈએ. તેનું પ્રકાશન સને 1968 ના ઓકટોબર કે નવેમ્બર માસમાં થશે ઊંચા મેપલીથો કાગળ, લગભગ 350 પૃષ્ટ, પાકુ પૂઠ મૂલ્ય રૂ. 7--50 રજી પિસ્ટેજ ખર્ચ રૂ 1-25 પિસા. - પ્રજ્ઞા પ્રકાશ નું મંદિર લધાભાઈ ગુણપત બીલ્ડીંગ, ચિચબંદર, મુંબઈ-૯,